17.1.2在数轴上表示无理数

⼈教版⼋年级下册17.1在数轴上表⽰⽆理数教案第⼗七章勾股定理第三课时17.1 勾股定理（3）⼀．教学⽬标：1.熟练掌握勾股定理，并能灵活的运⽤勾股定理解决数学中的实际问题。

2.能运⽤勾股定理在数轴上画出表⽰⽆理数的点，进⼀步体会数形结合的思想及数轴上的点与实数⼀⼀对应的理论。

3.通过研究⼀系列富有探究性的问题，培养学⽣与他⼈交流、合作的意识和品质．⼆．重点与难点：重点：运⽤勾股定理解决数学中的问题。

难点：勾股定理的灵活运⽤。

三．学情分析：在此之前，学⽣已学过在数轴上表⽰有理数和勾股定理。

但勾股定理的运⽤不太熟悉。

对于⼀些特殊的⽆理数（带根号的）如何在数轴上准确表⽰它们。

可仿造前⾯有理数表⽰⽅法来学习，所以关键是借助勾股定理来⽤线段表⽰这⼀⽆理数是本节的难点。

四．教学过程：（⼀）回顾复习1．叙述勾股定理的内容？2. 在RT△ABC中，∠C=90°,已知：c=17 b=8 求a已知：c=13 a=5 求 b3.什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？4.在数轴上画出表⽰下列各数的点：3、1、0、-2.5、 -4.（⼆）⾃主学习学⽣阅读课本26页练习下和27页，思考并回答:1.在数轴上表⽰5的点到原点的距离为5. 表⽰-3.4的点到原点的距离为3.4，那么表⽰13的点，到原点的距离就是132.在数轴上要画出表⽰⼀个数的点，⾸先要画出表⽰这个数绝对值的线段.3. 如何画出表⽰13的线段。

由勾股定理知，直⾓边为1的等腰Rt△，斜边为2．因此在数轴上能表⽰2那么长为13的线段能否是直⾓边为正整数的直⾓三⾓形的斜边，通过下⾯的⽹格可以知道，两条直⾓边的长是2,3的直⾓三⾓形的斜边长为13。

（三）新知学习在数轴上作出表⽰的点。

作法：（1）在数轴上找到点A ，使OA=3；（2）过点A 作直线垂直于OA ，在上取点B, 使AB=2，那么OB=13；（3）以原点O 为圆⼼，以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则OC=13.如图，在数轴上，点C 为表⽰13 的点。

《17.1.2 勾股定理的应用—数轴上表示根号13》——教学设计一．教学目标：1.能运用勾股定理构建直角三角形，找到长度为无理数的线段；能利用尺规作图法在数轴上画出表示无理数的点，体会建模思想.2.通过在数轴上表示数13和15的点的探究过程，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．二．重点与难点：重点：在数轴上画出表示无理数的点。

难点：利用勾股定理建立模型，作出长度为无理数的线段。

三．学情分析：在此之前，学生已经学过勾股定理和在数轴上表示有理数的知识。

对于一些无理数（带根号的），如何在数轴上准确表示它们，关键是借助勾股定理建立模型，画出长度为无理数的线段。

但是现阶段的学生的建模思想还不成熟，所以我把利用勾股定理建立模型作为本节课的难点.四．教学过程：（一）知识准备1．叙述勾股定理的内容？2.什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？【设计意图】回顾本节课所需知识，帮助学生理清思路，明确学习方向和目的，为整堂课的学习打下基础. (二）自主探究【思考并回答】 问题1：如何画出表示2的线段？分析（学生讨论并总结）：1.在数轴上表示5的点到原点的距离为5， 表示-3.4的点到原点的距离为3.4.2.在数轴上要画出表示一个数的点，首先要画出表示这个数绝对值的线段.3.由勾股定理可以知道，直角边为1的等腰直角三角形，斜边为2．因此在数轴上能表示2的点．问题2 如何在数轴上表示-2呢？ 问题3 如何在数轴上表示n ，，，653呢？【设计意图】初步形成建立模型的方法，为后面的学习做好铺垫.（三）合作探究【合作探究1】如何在数轴上作出表示的点？13【设计意图】学生在已有知识的基础上，动脑、动手，亲身寻找作图方法，体验知识的发现和形成过程，通过讨论，最后形成自己的成果.学生在“做中学”“学中做”，体现他们的主体地位。

（1）在数轴上找到点A，使OA=3；（2）过点A作直线垂直于OA，在上取点B,使AB=2，那么OB=13；（3）以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则OC=13.如图，在数轴上，点C为表示13的点.【小试身手】你能在数轴上画出表示17的点吗？【设计意图】加深印象，更加明确构造直角三角形可以表示出长度为无理数的线段.【合作探究2】如何在数轴上画出表示15的点？【设计意图】通过出现问题，讨论问题，到解决问题，体验知识的迁移性，从而使所学的知识和方法得到拓展和延伸.学生分小组讨论，然后由小组派代表汇报讨论结果.【自主归纳】如何在数轴上直接画出表示点n(n为正整数)呢？学生们畅所欲言.结论：利用勾股定理，可以做出长度为n（n 为正整数）的线段，然后借助直角三角形，利用尺规作图，在数轴上画出表示n或者-n（n 是正整数）的点.（四）当堂检测：1.如图，在4×4的正方形网格,以格点与点A 为端点,你能画出几条边长为10的线段?【设计意图】巩固所学方法，培养发散思维能力.2.长为26的线段是直角边长为正整数 ， 的直角三角形的斜边.【设计意图】熟悉找长度为无理数的线段的方法，明确是凑成两个正整数的平方和与这个无理数的平方的关系，使学生加深印象.3.如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以A 圆心，以对角线AC 长为半径画弧交数轴正半轴于M 点，则M 点表示的数 是 .【设计意图】本题有一定的综合性，是一个数形结合题.对学生的计算、观察和迁移能力都有帮助.11111111111111111111918171615141312111098765432第3题图4.如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数为( ) A.0 B.1 C.2 D.35.正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形； （2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；（3）在图（3）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，5,13 .【设计意图】第4题旨在训练学生的建模思想和运算能力；第5题答案不唯一，具有灵活性，旨在训练学生的灵活运用能力。

苏桥中学导学案八年级数学 备课日期： 备课人： 班级 组别 姓名17.1.2勾股定理学习目标：了解勾股定理和简单的证明方法 学习过程：一、复习引入 勾股定理内容：右图中勾股定理可表示为：二、自主学习1.平面直角坐标系中求两点间的距离已知点A （2，6），B （-4，-2）是平面直角坐标系中的两点，求A ，B 两点间的距离平面直角坐标系中任意两点间的距离公式：2.在数轴上表示无理数 如何在数轴上表示2对应的点3.用勾股定理解决实际问题已知两棵树之间的距离为8米，两棵树的高度分别为8米和2米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，飞行的最短距离是多少？4.立体图形上距离最短的问题如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行多少cm ？BA BCA B D 三、自学检测 1. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

2. 如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______4. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长100cm ，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为60cm ，当端点B 向右移动20cm 时，滑杆顶端A 下滑多长？8kmC A B 6kmA EB C。

17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。

17.1(6)勾股定理--在数轴上表示无理数一．【知识要点】1.在数轴上表示无理数二．【经典例题】1.如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）-+A．15-C．5--B．15-D．152.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是.3.如图甲，把一个边长为2的大正方形分成四个同样大小的小正方形，再连接大正方形的四边中点，得到了一个新的正方形（图中阴影部分），求：（1）图甲中阴影部分的面积是多少？（2）图甲中阴影部分正方形的边长是多少？（3）如图乙，在数轴上以1个单位长度的线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，求点A所表示的数是多少？三．【题库】【A】1、如图，在数轴上点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3-D. 5-【B 】1．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．+1 B ．﹣1 C ．﹣+1 D ．﹣﹣12.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ）A. 5+1B. 5-1C. -5+1D. -5-13．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（ ）A ．+1B ．﹣1C ．﹣+1D ．﹣﹣14.如图以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O 为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A ，则点A 表示的数为________5.如图所示，是老师在讲解“实数”是所画的图，即“以数轴的单位长度1为边长作一个正方形，然后以O 为圆心、以正方形的对角线的长为半径画弧，交数轴于点A ，作这样的图是用来说明（ ）A ．无理数是存在的B ．实数是存在的C ．有理数可以在数轴上表示出来D ．无理数可以在数轴上表示出来6.如图以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径，交数轴于点A ，则点A 表示的数是_________【C 】1．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()2,3-，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A 4-和3-之间B 3和4之间C 5-和4-之间D 4和5之间2.如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．﹣1+B．C．﹣1+D．【D】。

17.1 勾股定理（3）一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．2．在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点235重点：在数轴上寻找表示，，，，……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容.本节课探究勾股定理的综合应用.思考：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？先画出图形，再写出已知、求证.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？的点呢？设计意图： 上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象，，……这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把，，……可以当直角三角形的斜边，只要找到长为，的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用． 师生行为：学生小组交流讨论教师可指导学生寻找象，，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为，这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示的点到原点的距离为，所以只需画出长为的线段即可． 我们不妨先来画出长为的线段．213232323232131313132生：长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边． 师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设c=，两直角边为a ，b ，根据勾股定理a 2+b 2=c 2即a 2+b 2=13．若a，b 为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a 2=4，b 2=9，则a=2，b=3．•所以长为的线段是直角边为2，3的直角三角形的斜边．师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A ，使OA=3.2．作直线L 垂直于OA ，在L 上取一点B ，使AB=2.3．以原点O 为圆心、以OB 为半径作弧，弧与数轴交于点C ，则点C 即为表示的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A 点表示男孩头顶的位置，C 、B •点是两个时刻飞机的位置，∠C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2．即5 0002=BC 2+4 8002，所以BC=1 400米．21313131313飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB •是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB ，BC ⊥AD ．所以在Rt △ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，即（AC+3）2=AC 2+62，AC 2+6AC+9=AC 2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：② 学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示的点． 解：是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点如下图：设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．171717师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2）能否找到斜边为，另外两个角直边为整数的直角三角形．例5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会.解：延长AD 、BC 交于E.∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°.∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34.∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32.∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB·BE-21CD·DE=36 小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差.（三）巩固练习1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.173．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．在数轴上画出表示－52,5 的点.答案1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC 于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=32，BC=2+32，S △ABC = =2+32；4．略.（四）课堂小结1、进一步掌握利用勾股定理解决直角三角形问题；2、你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应．（五）、板书设计17.1 勾股定理复习勾股定理相关内容问题引入： 你能在数轴上表示出的点吗？的点例题讲解： 例1 例2随堂练习 213呢？新课教授：在数轴上表示无理数的方法和步骤强调：理解数轴上的点与实数一一对应．小结 1、利用勾股定理解决直角三角形问题 2、会利用勾股定理得到一些无理数 布置作业：（六）、课后作业 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，∠A=60°，CD=3，AB=.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，S △ABC =30，c=13，且a ＜b ，则a=，b=.3．已知：如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22，求（1）AB 的长；（2）S △ABC .4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S △ABC .答案：1．4；2．5，12；3．提示：作AD ⊥BC于D ，AD=CD=2，AB=4，BD=23，BC=2+23，S △ABC = =2+23；4．作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=17-x，252-x2=262-（17-x）2，x=7，BD=24，S△ABC=12AC·BD=254；教学反思注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣.学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志.通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力.但是，这些并不是几何学的全部教育功能.从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平.这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因.按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程.根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往“由此及彼，由表及里”的思维方式.从几何教学的内容看，学生们从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了一定的关于图形的感性认识，在初中阶段应该更深入地在“为什么”的层面上认识图形.显然，单纯的直观实验这种学习方式已经不适应继续深入学习的需要，因为这种方式难以真正从道理上对图形规律进行解释，而逻辑推理的方式才能担此重任.因此，从“实验几何”向“推理几何”的过渡成为初中几何教学必须面对的问题，培养逻辑推理能力成为初中几何教学必须实现的教学目标.。

教案新课题目17.1 勾股定理(4)利用勾股定理在数轴上表示无理数教学（学习）目标知识与技能目标利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段.过程与方法目标经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．情感、态度和价值观目标体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.重点利用勾股定理在数轴上寻找表示2, 3,5…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为为无理的线段．教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规．教学方法讨论法、讲练结合法教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及一、课前5分钟：1、宣誓2、唱红歌3、学习《和田人民忠国爱民图册》暴恐分子是没有文化、没有脑子，很容易上当的蠢货。

二、温顾而知新1、勾股定理的内容是什么？2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90°1 导入新课①已知ɑ，b 则c=②已知ɑ，c 则b=③已知b，c 则ɑ=3、矩形的一边长5，对角线长13，则它的面积是.二、导入新课实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结一、探究1、议一议我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出13所对应的点吗？2、画一画、议一议在数轴上画出表示2的点.作法：1、在数轴上找到点A,使OA=12、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=13、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。

基础知识）教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）3、归纳结论只要能画出长为2的线段，就能在数轴上画出表示这个数的点。

长为2的线段是两条直角边的长都是1 的直角三角形的斜边。

在数轴上表示无理数一、教学目标知识与技能1、能用勾股定理证明直角三角形全等的"HL〞判定定理；2、能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；过程与方法1．通过证明 "HL〞加强学生对勾股定理的理解和运用2．通过学生在数轴上表示无理数培养学生运用知识、思考问题、解决问题的能力 . 3．在解决实际问题的过程中 ,学会与人合作 ,•并能与他人交流思维过程和结果 ,形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中 ,•体验勾股定理的重要作用 ,并从中获得成功的体验 ,锻炼克服困难的意志 ,建立自信心．2．在解决实际问题的过程中 ,•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．涉及核心素养1、数学抽象：通过对国际数学大会会徽认识数学中的数字海螺图 ,认识数学的美 ,体会数学的严谨和神奇 .运用勾股定理得到一个想要长度的线段2、数学推理和数学运算：勾股定理的理解、运用和计算二、教学重、难点35重点：在数轴上寻找表示 , ,……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学过程一、创设情境1.PPT展示第七届国际数学大会的会徽图案,联系生活中的海螺图,让学生体会数学的美,对数学学习有向往 .师生活动：老师引导学生了解会徽的构成特点,联系海螺的命名特点给会徽命名 .老师要多给予肯定和鼓励 .设计意图：引导学生总结会徽的特点,培养学生的观察总结能力和利用数学知识分析实际问题的能力,也引起学生的兴趣,为学生树立学习的目标,提高学生的爱国情操,让学生命名是一个开放性的创新问题,引人入胜,也培养了学生的创新意识和创新能力 .会徽也是本节课的学习知识,为后面的学习埋下伏笔 .2、复习引入勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b ,斜边长为c ,那么2a+2b=2c求直角三角形中未知边的长度2设计意图：复习上节课的知识,检查和稳固学生对勾股定理的理解和运用能力 .为下面的学习做好知识上的准备 .让学生顺利过渡到新问题的探究当中去,也为下面的学习做下铺垫 .3、学习探究探究点一：证明 "HL〞问题1在八年级|上册中 ,我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后 ,你能证明这一结论吗 ?：如图 ,在Rt△ABC 和Rt△A B C 中 ,∠C =∠C , =90° ,BC =B ,C ,,AC =A ,C ,.求证：△ABC≌△A B C ．证明：师生活动：跟学生一起完成整个分析、作图、证明的过程 ,老师要注重引导 ,不可直接给出答案 ,可以让一个学生说答案 ,老师板书 ,让其与学生以纠错完善的方式参与其中 .尤其要提醒学生注意画图的过程和证明的一般性 ,体会数学的严谨美 .设计意图：1、本节课的重点是在是在数轴上画出表示无理数的点 ,本环节在证明HL时 ,用到的勾股定理的运用和尺规作图都对下面的重点学习有重要的正面引导作用 .2、让学生感受学习的成就感和必要性 ,原来没有知识的准备 ,只能用作图的方法证明 ,有了新知识 ,可以用更严谨的方法证明 ,提高学生不断学习的内在动力和成就感 .3、让学生体会数学的严谨美 ,提高学生学习数学、研究数学的兴趣 .探究点二：在数轴上表示无理数??问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数 ,有的表示无理数 (与实数一一对应 ) ,你能在数轴上画出表示13的点吗 ?师生活动1：引导学生在数轴上找表示有理数的点 ,如表示点1、3、5、 -1、 -3等 老师追问:能像找出点1一样找到13位置吗 ?大致的在什么位置 ?如果给你一条长为13的线段呢 ?你在什么地方见过长为13的线段呢 ?设计意图：引导学生思考整数点可以在数轴上表示出来 ,无理数想要表示出来的关键点在于：找一条长度为该无理数的线段 ,借助前面的学习学生很容易得出可以用勾股定理来得到这样的线段 ,并且其余两边为整数 .师生活动2：让学生带着问题思考如何得到一条长为13的线段 ,并在数轴上表示出来表示13的点 ,学生给出结论 ,老师示范标准步骤 .设计意图：让学生在明白原理的根底上 ,动手画图 ,也可以自己给出答案 ,但是由于是第|一次接触这个问题 ,条理性、标准化要求肯定达不到 ,所以一定要做示范 ,将知识原理转化为具体过程 .师生活动3：请学生在数轴上画出表示17的点 ,并请学生上来演板 ,老师注意学生的答题情况 ,并给予点评 .老师一定要要求学生作图时保存作图痕迹 .你能找到一个两条边为正整数 ,一条边为13的点吗 ?设计意图：纸上得来终觉浅 ,绝|知此事要躬行 ,进一步稳固在数轴上找表示无理数点的方法 ,熟悉勾股定理的应用 ,并找出缺乏 ,及时改变 .4.....的点问题3：在数轴上表示出235师生活动4：因导学生画出课前预习中的第七届国际数学教育大会会徽 .并从中受到启发 ,4......在数轴上分别画出2、 -2、3、5设计意图：让学生举一反三 ,通过勾股定理两边都是整数发散思维 ,如果有一个边是的无理数 ,也可以当做边 ,构造直角三角形 ,求得所需要的无理数 ,让学生明白 ,可以通过勾习中的困惑 ,激发学生利用知识解决问题的活力和积极性 .可以让学生先自己大胆尝试和。

17.1勾股定理（3）教学设计教学目标：【知识与技能】1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题，会用勾股定理作无理线段；2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.【过程与方法】经历使用勾股定理解决实际问题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感、态度与价值观】1.培养学生使用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用水平.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识；2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展使用数学的信心和水平，初步形成积极参与数学活动的意识．教学重点：1.能熟练使用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题；2.探索空间与平面图形之间的关系.教学难点：熟练使用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用水平教学过程：一、使用勾股定理作无理线段1、情境导入复习回顾：1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ，∠C＝90°，则 a、b、c 三者之间的关系是；2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条边长是；3. 叫做无理数.设计意图：复习勾股定理和无理数相关概念，为当堂课的学习做好知识铺垫。

2、探究一：数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？分析引导：（1）你能画出长为2的线段吗？怎么画？说说你的画法.（2）长度13的线段怎么画？是由直角边长为_____和______整数组成的直角三角形的斜边？（3）怎样在数轴上画出表示13的点？作法：①在数轴上找到点A，使OA=3，②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2，③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示13的点.利用勾股定理作出长为2，3，5……的线段.按照同样方法，能够在数轴上画出2，3，5……的点。

练习：利用探究的方法，请你在数轴上表示17的点设计意图：拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点，并通过练习，注重学生是否掌握了用勾股定理话无理线段的方法，能否反应17出来位于怎样的直角三角形中。

数轴表示根号13教学目标知识与技能：1、利用勾股定理,能在数轴上找到用根号表示的无理数.2、进一步学习直角三角形的数学模型,并利用勾股定理解决实际问题.过程与方法：1、经历在数轴上构造直角三角形的过程,开展学生灵活运用勾股定理的能力.2、在解决问题的过程中,让学生积累数学活动经验,提高学生的动手操作能力.情感、态度与价值观：1、在数学活动过程中,培养学生勇于质疑和独立思考的学习习惯.2、培养学生勇于探索、合作交流的能力,获得成功的学习体验.学情分析：学生在学习实数一章时,已经学过了如何在数轴上表示根号2和π,并在前一节课学习了勾股定理及其应用,所以学生具备学习本节课的知识根底,学生在经历了几何内容的学习之后,也已初步具备了逻辑推理的能力,所以学习本节内容对学生来说难度不大,能够到达预期的教学目标,教学重点：能够在数轴上描述利用根号表示的无理数.教学难点：为学生建立利用勾股定理表示无理数的探究方法.教学过程：一、引入同学们,大家回忆一下,我们如何在数轴上表示根号2 ?师生活动：教师提出问题,学生独立思考,小组交流,教师总结做法.设计意图：通过对根号2的表示方法的回忆,引出今天的学习内容,让学生感到新知识并不困难.二、问题如何在数轴上画出表示根号13的点?师生活动：教师提出问题,学生在复习前面知识的根底上独立思考、小组交流.教师注意引导学生利用勾股定理来解决问题,教师进行点评.教师引导学生发现直角边为2,3的直角三角形的斜边为根号13 ,由此,可以依照如下方法画出表示根号13的点.做法：在数轴上找出表示3的点A ,过点A作直线l垂直OA ,在l上取点B ,使AB =2 ,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点即为表示根号13的点.设计意图：根号13并不能像根号2一样能够简单直接找出,需要学生思考什么样的直角三角形才会有长为根号13这样的线段,逐步引导学生利用勾股定理来解决问题.三、问题2我们学会了画根号13 ,那么像根号2 ,根号3 ,根号5 ,…的线段,你会画了吗?师生活动：教师提出问题,学生独立思考,小组活动交流,教师为学生展示勾股定理的海螺图,并解释作图原理.设计意图：为学生建立用勾股定理探究表示无理数的方法.四、问题3我们如何将上面不同的无理数用数轴上的点表示呢?师生活动：教师提出问题,学生独立思考,小组活动交流,并选代表讲述自己的做法,教师进行点评,全体学生作图.设计意图：通过在数轴上构造直角三角形,利用勾股定理找到表示根号2 ,根号3 ,根号5 ,…的线段,帮助学生构建研究思路,渗透数形结合的思想.五、习题1、在数轴上作出表示根号17的点.2、如图,等边三角形的边长是6 ,求：(1 )高AD的长；(2 )这个三角形的面积.师生活动：学生独立完成,组内互助交流,教师点评.设计意图：通过习题的完成,提高学生利用勾股定理解决问题的能力.六、小结同学们,你们能总结一下,如何在数轴上表示一个用根号表示的无理数吗?。

教学设计新课题目17.1 勾股定理 (3)利用勾股定理在数轴上表示无理数教学（学习）目标知识与技能目标利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段.过程与方法目标经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．情感、态度和价值观目标体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.建立自信心。

重点利用勾股定理在数轴上寻找表示2 , 3 ,5…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为无理数的线段．教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规．教学方法分组讨论法、讲练结合法教学方式实验课演示课电教课多媒体课√√回顾旧知导入新课一、温顾而知新1.勾股定理的内容是什么？2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90°①已知ɑ， b 则c=②已知ɑ， c 则b=③已知b， c 则ɑ=二、导入新课实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数：你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）三、探究新知1、议一议我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出2、13所对应的点吗？教师可指导学生寻找象2，3，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为2，13这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为13，所以只需画出长为13的线段即可．我们不妨先来画出长为2的线段．2、画一画、议一议在数轴上画出表示2的点.作法：①在数轴上找到点A,使OA=1②、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=1③、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。

17.1勾股定理（第3课时）教学目标：知识与技能：1. 利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点。

过程与方法：1. 经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决实际问题的能力。

2. 在勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神。

3. 在解决实际问题的过程中，学会与他人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意思。

情感态度与价值观：1. 在用勾股定理的，在数轴上寻找表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，增强自信心。

2. 在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度，以及进行质疑和独立思考的习惯。

教学重点、难点：重点：在数数数轴上寻找表示√2，√3，√5，这样的表示无理数的点。

难点：利用勾股定理，寻找直角三角形中长度为无理数的线段。

教学准备：教学助手课件，学生平板40台，智能手机一部。

教学方法：本节课基于宁夏教育资源公共服务平台中的资源，借助授课助手里的互动课堂软件，进行师生互动，优化课堂，实现信息化教育教学的目的。

整堂课采取三段式教学法,即尝试法加演示法加任务驱动法.设置了问题、例题和测试,学生自己尝试回答问题,分析理解定义,完成例题,教师通过几何画板演示得出结论,结合小组长和老师布置的任务,学生自己完成测试.教学过程：一、复习导入复习勾股定理的内容，探究勾股定理的综合应用。

教师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，能用勾股定理证明这一结论吗？学生：思考并独立完成，教师巡视指导，并总结。

在教师的指导下学生在练习本上完成证明，用平板拍照提交，小组内互相批改纠错。

先画出图形，在写出已知，求证如下：已知：如图，在RT∆A BC和RT∆A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,AC=A′C′求证:∆ABC≅∆A′B′C′证明: 在RT∆ABC和RT∆A' B' C'中, ∠C=∠C'=90°,根据勾股定理，得BC=√AB2−AC2,B′C′=√A′B′2−A′C′2又AB=A' B',AC=A' C'∴BC=B′C′∆ABC≅∆A' B' C'(SSS)教师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示√13所对应的点吗？设计意图：上节课我们利用勾股定理解决了生活中的不少问题。