高等数学进阶教材目录第一章：函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 极限的概念与性质1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限存在准则1.5 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.2 基本导数公式2.3 高阶导数与导数的应用2.4 已知导数求原函数2.5 隐函数与参数方程的导数第三章：定积分3.1 定积分的概念与性质3.2 反常积分与定积分的应用3.3 定积分的计算方法3.4 微积分基本定理3.5 定积分的几何应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 可分离变量的微分方程4.3 齐次微分方程4.4 一阶线性微分方程4.5 高阶线性微分方程第五章：多元函数与偏导数5.1 多元函数的定义与性质5.2 偏导数的概念与计算5.3 隐函数与参数方程的偏导数5.4 多元函数的极值与条件极值5.5 多元函数的泰勒展开第六章：多重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法6.5 曲线与曲面的面积、体积计算第七章：向量与矩阵7.1 向量的概念与性质7.2 向量的运算与线性组合7.3 空间直线与平面7.4 矩阵的定义与性质7.5 矩阵的运算与逆矩阵第八章：多元函数的微分学8.1 多元函数的概念与性质8.2 多元函数的偏导数与全微分8.3 隐函数与参数方程的微分8.4 多元函数的极值与条件极值8.5 多元函数的极值的几何应用第九章：无穷级数与幂级数9.1 无穷级数的概念与性质9.2 收敛级数与发散级数9.3 幂级数的概念与性质9.4 幂级数的收敛半径与收敛域9.5 幂级数的运算与函数展开第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶常微分方程的解法10.3 高阶常微分方程的解法10.4 常系数线性微分方程10.5 常微分方程的应用以上是《高等数学进阶教材目录》的大致内容。
这本教材以系统全面介绍高等数学的各个领域为主线，包含了函数与极限、导数与微分、定积分、微分方程、多元函数与偏导数、多重积分、向量与矩阵、多元函数的微分学、无穷级数与幂级数以及常微分方程等内容。
第9章 无 穷 级 数无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，本质上它是一种特殊数列的极限.它是用来表示函数、研究函数性质，以及进行数值计算的一种工具，对微积分的进一步发展及其在各种实际问题上的应用起着非常重要的作用．本章先讨论常数项级数，介绍级数的一些基本知识，然后讨论幂级数及其应用.§9.1 常数项级数的概念和性质9.1.1 常数项级数的概念人们在研究事物数量方面的特性或进行数值计算时，往往要经历一个由近似到精确的逼近过程，其中会涉及有限个到无限个数量相加的问题．例1 分数13写成循环小数形式为0．333…，在近似计算中，可以根据不同的精确度要求，取小数点后的n 位数作为13的近似值．因为0．3=310,0．03=2310，0．003=3310，…，30.000310n n=，所以有2133********n ≈+++． 显见，n 越大这个近似值就越接近13，根据极限的概念可知21333lim 3101010n n →∞⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭, 从形式上看，上式也可写成233311031010n ++++=．上式左端称为一个级数． 定义1 给定数列｛u n ｝，则表达式u 1+u 2+…+u n +…=1n n u ∞=∑（9-1）称为一个无穷级数，简称为级数．其中u n 称为该级数的通项或一般项．若级数（9-1）的每一项u n 都为常数，则称该级数为常数项级数(或数项级数);若级数（9-1）的每一项u n =u n (x )，则称1()n n u x ∞=∑为函数项级数．我们首先讨论常数项级数．应该注意，无穷多个数相加可能是一个数，也可能不是一个数．比如，0+0+…+0+…是一个数,而1+1+…+1+…则不是一个数．因此，应明确级数(9-1)何时表示一个数，何时不表示数．为此，必须引入级数的收敛和发散的概念．记 s 1=u 1，s 2=u 1＋u 2，…，s n =u 1+u 2+…+u n =1nk k u =∑,…称S n 为级数(9-1)的前n 项部分和，称数列｛S n ｝为级数(9-1)的部分和数列，显u n =S n -S n -1．从形式上看，级数u 1+u 2+…+u n +…相当于和式(u 1+u 2+…+u n )中项数无限增多的情形，即相当于12lim()lim n n n n u u u s →∞→∞+++=,因此可以用数列｛S n ｝的敛散性来定义级数(9-1)的敛散性．定义2 若级数1n n u ∞=∑的部分和数列｛S n ｝的极限存在，且等于S ,即lim n n s →∞=s ,则称级数1n n u +∞=∑收敛，S 称为级数的和．并记为s =1n n u ∞=∑，这时也称该级数收敛于S ．若部分和数列的极限不存在，就称级数1n n u ∞=∑发散．例2 试讨论等比级数(或几何级数)nn ar∞=∑=a +ar +ar 2+…+ar n +… (a ≠0)的敛散性，其中r 称为该级数的公比．解 根据等比数列的求和公式可知，当r ≠1时，所给级数的部分和s n =a ·11nr r--．于是，当r ＜1时，1lim lim 11nn n n r a s a r r→∞→∞-=⋅=--． 由定义2知，该等比级数收敛，其和s =1ar-．即 01nn a arr∞==-∑, |r |＜1． 当|r |＞1时，1lim lim 1nn n n r s a r→∞→∞-=⋅=∞-． 所以该等比级数发散． 当r =1时，S n =na →∞ (当n →∞时)，因此该等比级数发散． 当r =-1时，s n =a -a +a -…+(-1)n a =0,,.n a n ⎧⎨⎩当为偶数，当为奇数部分和数列的极限不存在，故该等比级数发散．综上所述可知：等比级数0n n ar ∞=∑ (a ≠0)，当公比|r |＜1时收敛；当公比|r |≥1时发散．例3 求级数11(2)(3)n n n ∞=++∑的和． 解 注意到111,(2)(3)23n n n n =-++++因此s n =1111111.(2)(3)2333nnk k k k k k n ==⎛⎫=-=- ⎪+++++⎝⎭∑∑ 所以该级数的和为s =111lim lim 333n n n s n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭, 即111(2)(3)3n n n ∞==++∑． 例4 判别级数21123n nn ∞-=∑的敛散性解 因为214233,3nn n n u -⎛⎫== ⎪⎝⎭该级数为等比级数， 公比41,3r =>所以原级数发散. 9.1.2 常数项级数的性质根据数项级数收敛性的概念和极限运算法则，可以得出如下的基本性质. 性质1 若级数1n n u ∞=∑收敛，C 是任一常数，则级数1n n Cu ∞=∑也收敛，且11nn n n CuC u ∞∞===∑∑．证 设1n n u ∞=∑的部分和为S n ，且lim n n s →∞=s ．又设级数1n n Cu ∞=∑的部分和为s n ′=C ·s n ，显然有s n ′=C ·s n ，于是lim lim lim nn n n n n s Cs C s →∞→∞→∞'===C ·s ， 即11nn n n CuCs C u ∞∞====⋅∑∑．性质2 若级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛，则()1n n n u v ∞=±∑也收敛，且()111nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑．证 设1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑的部分和分别为A n 和B n ，且设lim n n A →∞=s 1, lim n n B →∞=s 2,则()1n n n u v ∞=±∑的部分和为s n =()1nk k k u v =±∑=A n ±B n ．于是()lim lim n n n n n s A B →∞→∞=±=s 1±s 2,即()111nn n n n n n uv u v ∞∞∞===±=±∑∑∑．性质2的结论可推广到有限个收敛级数的情形．性质3 在一个级数中增加或删去有限个项不改变级数的敛散性，但一般会改变收敛级数的和．证 我们不妨只考虑在级数中删去一项的情形．设在1n n u ∞=∑中删去第k 项u k ，得到新的级数u 1+u 2+…+u k -1+u k +1+…+u k +…,则新级数的部分和s n ′与原级数的部分和S n 之间有如下关系式：1,1,,.n n n k s n k s s u n k +≤-⎧'=⎨-≥⎩．从而数列｛s n ′｝与｛s n ｝具有相同的敛散性．性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． 该性质的证明从略．要注意的是：加括号后的级数收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛．例如级数(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…收敛于零，但级数(1)nn ∞=-∑=1-1+1-1+…是发散的．这是因为s n =1,,0,.n n ⎧⎪⎨⎪⎩偶奇因而｛S n ｝的极限不存在．由性质4可得结论：如果加括号后的级数发散，则原级数一定发散．9.1.3 级数收敛的必要条件若数项级数1n n u ∞=∑收敛于S ，那么由其部分和的概念，就有u n =s n -s n -1．于是()1lim lim n n n n n u s s -→∞→∞=-．依据收敛级数的定义可知，1lim lim n n n n s s -→∞→∞= =s ．因此这时必有lim n n u →∞=0．这就是级数收敛的必要条件．定理1 若级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=0．需要特别指出的是，lim n n u →∞=0仅是级数收敛的必要条件，绝不能由u n →0(当n →∞时)就得出级数1n n u ∞=∑收敛的结论．例如，调和级数11n n ∞=∑，u n =1n →0(当n →∞时)，但调和级数11n n∞=∑是发散的．事实上，当1k x k ≤≤+时，11x k≤，从而 11111k k kk dx dx x k k++≤=⎰⎰， 于是11111111ln(1)()nnk n n k k k s dx dx n n k x x ++===≥==+→+∞→∞∑∑⎰⎰，所以lim n n s →∞=+∞，因此调和级数发散.从级数收敛的必要条件可以得出如下推论，该推论可作为判定级数发散的方法. 推论 若lim n n u →∞≠0,则级数1n n u ∞=∑发散．事实上，如果1n n u ∞=∑收敛，必有lim n n u →∞=0，这与假设lim n n u →∞≠0相矛盾，所以，若lim nn u →∞≠0,则级数1n n u ∞=∑发散．例5 试证明级数112ln ln 2ln ln 1231n n n n n n n ∞==++++++∑发散．证 级数的通项u n =ln1nn n +，当n →∞时， 1lim ln lim ln 111n n n n n n n →∞→∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭= -1． 因为lim n n u →∞≠0，所以该级数发散．例6 试判别级数1πsin 2n n ∞=∑的敛散性．解 注意到级数1πsin 2n n ∞=∑=1+0-1+0+1+0-1+0+…,通项u n =πsin2n ，当n →∞时，极限不存在，所以级数发散． 注 在判定级数是否收敛时，我们往往先观察一下当n →∞时，通项u n 的极限是否为零．仅当lim n n u →∞=0时，再用其他方法来确定级数收敛或发散．习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑;(2) 113n n ∞=+∑; (3) 1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5)11n n n∞=+∑;(6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑．2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑;(4)πcos 2n n ∞=∑．§9.2 正项级数及其审敛法正项级数是数项级数中比较简单，但又很重要的一种类型．若级数1n n u ∞=∑中各项均为非负，即u n ≥0(n =1，2，…)，则称该级数为正项级数．这时，由于u n =S n -S n -1，因此有S n =S n -1＋u n ≥S n -1,即正项级数的部分和数列｛S n ｝是一个单调增加数列．我们知道，单调有界数列必有极限，根据这一准则，可以得到判定正项级数收敛性的一个充分必要条件．定理1(正项级数的基本收敛定理) 正项级数1n n u ∞=∑收敛的充要条件是正项级数1n n u ∞=∑的部分和数列｛S n ｝有界．直接应用定理1来判定正项级数是否收敛，往往不太方便，但由定理1可以得到常用的正项级数的几个判别法．定理2(比较判别法) 设有两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，有u n ≤v n 成立，那么(1) 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；(2) 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．证 不妨只对结论(1)的情形加以证明.设1n n u ∞=∑的前n 项和为A n ，1n n v ∞=∑的前n 项和为B n ,于是A n ≤B n ．因为1n n v ∞=∑收敛，由定理1，就有常数M 存在，使得B n ≤M (n =1,2,3,…)成立．于是A n ≤M (n =1,2,3,…)，即级数1n n u ∞=∑的部分和数列有界，所以级数1n n u ∞=∑收敛．证明结论(2)的方法与上面相同，读者不妨自行完成．由§9.2的性质1和性质3，可减弱定理2的条件，得到如下的推论1.推论1 设有两个正项级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，且存在正数k >0,使得从某一项起(例如从第N项起),总有u n ≤kv n 成立，那么(1) 若级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑也收敛；(2) 若级数1n n u ∞=∑发散，则级数1n n v ∞=∑也发散．注：比较判别法是判断正项级数敛散性的一个重要方法，对于给定的级数，需要通过观察，找到另一个已知级数进行比较，已知的重要级数包括等比级数、调和级数以及p -级数(例2)等.用比较判别法来判断给定级数的敛散性，必须找到一个已知级数的一般项与给定级数的一般项之间的不等式.但有时并非易事，为应用方便，给出如下的比较判别法的极限形式.推论2(比较判别法的极限形式) 若正项级数1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑满足lim n n nuv →∞=ρ，则(1) 当0＜ρ＜+∞时，1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑具有相同的收敛性；(2) 当ρ=0时，若1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑亦收敛；(3) 当ρ=+∞时，若1n n v ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑亦发散．证 (1) 由于limn n nu v →∞=ρ＞0，取ε=2ρ＞0，则存在N ＞0,当n ＞N 时，有 n n u ρv -＜2ρ即2n ρρv ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜u n ＜2n ρρv ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 由比较判别法知结论成立．结论(2)、结论(3)的证明类似，请读者自己完成． 例1 判断级数112sin 3n nn ∞=∑的收敛性． 解 由于0≤2n 1sin3n ＜2n·13n =23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数123n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知112sin 3n n n ∞=∑收敛．例2 讨论p -级数11p n n∞=∑的敛散性． 解 当p ≤1时，1p n ≥1n ＞0，由11n n ∞=∑发散及比较判别法知，11p n n∞=∑发散．当p ＞1时，对于1k x k -≤≤,有11p px k ≥,因此11111(2,3,)k k p ppk k dx dx k k k x --=≤=⎰⎰ 于是，p -级数的部分和111221111111nnnk n n p p p pk k k k s dx dx k k x x -=====+≤+=+∑∑∑⎰⎰ 11111(1)111p p p n-=+-<+--, 说明S n 有界,因此级数11p n n∞=∑收敛． 综上所述，当p ＞1时，11p n n ∞=∑收敛；当p ≤1时，11p n n ∞=∑发散．例3 判断级数211(1)n n n ∞=+∑的敛散性． 解 因为3221(1)1n n n n →∞+323lim n nn n →∞+=2111n n+，而p -级数3211n n ∞=∑收敛(p =32＞1)，故由推论2知21(1)n n n ∞=+收敛．例4 试证明正项级数21152n n n n ∞=+++∑发散．证1 注意到2152n n n +++＞28nn =118n⋅ (n =1,2,3,…)，因调和级数11n n ∞=∑是发散的，由比较判别法知，21152n n n n ∞=+++∑发散．证2 因为21520lim 1,1n n n n n→∞+++<=<∞且11n n∞=∑发散， 故由比较判别法的极限形式知正项级数21152n n n n ∞=+++∑发散． 从例3与例4可以发现，如果正项级数的通项u n 是分式，而其分子分母都是n 的多项式(常数是零次多项式)，只要分母的最高次数高出分子的最高次数一次以上(不包括一次)，该正项级数收敛，否则发散．利用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，相对不太方便.下面介绍的两个判别法，不需要借助另外的级数，只需利用自身的特点，就可判断级数的敛散性．定理3［达朗贝尔(d ′Al e mb e rt )比值判别法］ 设有正项级数1n n u ∞=∑，如果极限1limn n nu u +→∞=ρ，那么(1) 当ρ＜1时，级数收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，级数发散；(3) 当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散(需另行判别)．证 (1) 由于1lim n n nuu +→∞=ρ＜1，因此总可找到一个小正数ε0＞0，使得ρ+ε0=q ＜1．而对此给定的ε0，必有正整数N 存在，当n ≥N 时，有不等式1n nu ρu +-＜ε0 恒成立．得1n nu u +＜ρ+ε0=q ． 这就是说，对于正项级数1n n u ∞=∑，从第N 项开始有u N +1＜qu N ， u N +2＜qu N +1＜q 2u N ，…．因此正项级数u N +u N +1+u N +2+…=n n N u ∞=∑的各项(除第一项外)都小于正项级数u N +qu N +q 2u N +…=1Nn u∞=∑·q n -1的各对应项.而级数1N n u ∞=∑q n -1是公比的绝对值|q |＜1的等比级数，它是收敛的，于是由比较判别法可知，级数n n Nu ∞=∑收敛，由上节性质1，知1n n u ∞=∑也收敛．(2) 由于1lim n n nu u +→∞=ρ＞1,可取ε0＞0，使得ρ-ε0＞1．对此ε0，存在N ＞0,当n ＞N 时，有1n nu ρu +-＜ε0 恒成立．得1n nu u +＞ρ-ε0＞1这就是说,正项级数1n n u ∞=∑从第N 项开始，u n +1≥u n ．这表明lim n n u →∞≠0，因此，由级数收敛的必要条件可知，正项级数1n n u ∞=∑发散．(3)当ρ=1时，正项级数1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．这个结论从p -级数就可以看出．事实上，若1n n u ∞=∑为p -级数，则对于任意实数p ，有()111lim lim 1,1pn n n npn u u n +→∞→∞+== 但当p ≤1时，p级数发散；p ＞1时，p级数收敛．例5 判断级数1!2n n n ∞=∑的的敛散性． 解 因为1lim n n nu u +→∞=1(1)!2lim !2n n n n n +→∞+⋅=1lim2n n →∞+=+∞. 所以由比值判别法知，级数发散．例6试证明正项级数12tan 3nnn π∞=∑收敛．证 因为1limn n nu u +→∞=1(1)lim 1pn pn n →∞+=1, 所以由比值判别法知，级数收敛．例7* 讨论级数21!n x n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑（x ＞0）的敛散性．解 因为1limn n nu u +→∞=1(1)!1lim !n n n x n n x n n +→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=lime 11nn xx n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以,当x ＜e,即e x ＜1时，级数收敛；当x ＞e ，即ex＜1时，级数发散． 当x =e 时，虽然不能由比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是，由于数列11n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是一个单调增加而有上界的数列，即11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤e (n =1,2,3,…)，因此对于任意有限的n ，有1n nu u +=e 1111n nx n n =⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞1． 于是可知，级数的后项总是大于前项，故lim n n u →∞≠0，所以级数发散．定理4［柯西(Cauchy )根值判别法］ 设正项级数1n n u ∞=∑满足lim n n n u →∞=ρ，那么(1) 当ρ＜1时，1n n u ∞=∑收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，1n n u ∞=∑发散；(3) 当ρ=1时，1n n u ∞=∑可能收敛，也可能发散．它的证明与定理3的证明完全相仿，从略．例8 判别级数1nn x a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的敛散性，其中x ,a 为正常数．解 因为lim nn n x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭lim n x x a a→∞=． 故当x ＞a 时，x a ＞1，级数发散；当0＜x ＜a 时，xa＞1，级数收敛；当x =a 时，一般项u n =1不趋于零，级数发散．习题9-21. 判定下列正项级数的敛散性： (1)11(1)(2)n n n ∞=++∑;(2)211(5)n n n ∞=+∑； (3) 111nn a∞=+∑ (a ＞0);(4) 41121n nn ∞=+-∑； (5)132n n n n ∞=⋅∑； (6) 1!n n n n ∞=∑; (7) 1357(21)4710(31)n n n ∞=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+∑; (8)13nn n∞=∑；(9) 221(!)2n n n ∞=∑；(10) 121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; (11)π312sin n nn ∞=∑;(12) 2π31cos 2n nn n ∞=∑． §9.3 任意项级数任意项级数是较为复杂的数项级数，它是指在级数1n n u ∞=∑中，总含有无穷多个正项和负项．例如，数项级数21(1)2nn n n ∞=-∑是任意项级数．在任意项级数中，比较常见和重要的是交错级数．9.3.1 交错级数及其审敛法如果在任意项级数1n n u ∞=∑中，正负号相间出现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一般形式为11(1)n n n u ∞-=-∑=u 1-u 2+u 3-…+(-1)n -1u n +…，其中u n ＞0(n =1，2，3，…)．交错级数的审敛法由下面定理给出.定理1［莱布尼兹(L e ibniz )判别法］ 设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足(1) u n ≥u n +1 (n =1,2,3,…)； (2) lim n n u →∞=0，则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛，且其和S ≤u 1．证 根据项数n 是奇数或偶数分别考察S n ． 设n 为偶数，于是S n =S 2m =u 1-u 2+u 3-…+u 2m -1-u 2m ,将其每两项括在一起S 2m =（u 1-u 2）+（u 3-u 4)+…+(u 2m -1-u 2m )．由条件(1)可知，每个括号内的值都是非负的．如果把每个括号看成是一项，这就是一个正项级数的前m 项部分和．显然，它是随着m 的增加而单调增加的．另外，如果把部分和S 2m 改写为S 2m =u 1-（u 2-u 3)-…-(u 2m -2-u 2m -1)-u 2m ,由条件(1)可知，S 2m ≤u 1,即部分和数列有界． 于是2lim m m s →∞=s ．当n 为奇数时，我们总可把部分和写为S n =S 2m +1=S 2m +u 2m +1,再由条件(2)可得lim n n s →∞=21lim m m s +→∞=()221lim m m m s u +→∞+=s ．这就说明，不管n 为奇数还是偶数，都有lim n n s →∞=s ．故交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛．由于s 2m ≤u 1,而2lim m m s →∞=s ，因此根据极限的保号性可知，有S ≤u 1．例1 判定级数111(1)n n n ∞-=-∑的敛散性.解 这是一个交错级数，u n =1n ,且u n =1n ＞u n +1=11n +，lim n n u →∞=1lim n n →∞=0．由莱布尼兹判别法知111(1)n n n ∞-=-∑收敛．例2 试判定交错级数11(1)2n n n n ∞-=-∑的敛散性． 解 因为u n =2n n ， u n ＋1=112n n ++，而 u n -u n ＋1=2n n -112n n ++=1102n n +-≥ (n =1,2,3,…)即u n ≥u n +1 (n =1,2,3,…).又lim n n u →∞=lim2nn n→∞=0，所以由交错级数审敛法可知,11(1)2n nn n ∞-=-∑收敛． 9.3.2 绝对收敛与条件收敛现在讨论正负项可以任意出现的级数．首先引入绝对收敛的概念．定义1 对于级数1n n u ∞=∑，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果1n n u ∞=∑发散，但1n n u ∞=∑本身收敛，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．条件收敛的级数是存在的，例如级数111(1)n n n ∞-=-∑就是条件收敛．绝对收敛与收敛之间有着下面的重要关系. 定理2 若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛．证 因为u n ≤|u n |,所以0≤|u n |＋u n ≤2|u n |．已知1nn u∞=∑收敛，由正项级数的比较判别法知，()1nn n uu ∞=+∑收敛，从而1n n u ∞=∑=()()1nn n n uu u ∞=+-∑收敛．由定义可见，判别一个级数1n n u ∞=∑是否绝对收敛，实际上，就是判别一个正项级数1nn u ∞=∑的收敛性．但要注意，当1n n u ∞=∑发散时，我们只能判定1n n u ∞=∑非绝对收敛，而不能判定1nn u ∞=∑本身也是发散的．例如11111(1)n n n n n ∞∞-==-=∑∑虽然发散，但111(1)n n n ∞-=-∑却是收敛的．特别值得注意的是，当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法，判断出正项级数1n n u ∞=∑发散时，可以断言，1n n u ∞=∑也一定发散．这是因为此时有lim n n u →∞≠0，从而有lim nn u →∞≠0．例3 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：()()()2121sin 1,2ln nn n nn n ∞∞==-∑∑解 ()222sin sin 11,0,n n n n u u n n n=≤=≤ 因为211n n ∞=∑收敛，故由比较判别法，级数21sin n nn∞=∑绝对收敛.()()212ln nn n∞=-∑为交错级数，满足莱布尼兹判别法，所以收敛，而()111ln ln nn u n n n -==<,且11n n ∞=∑发散，因此级数()21ln nn n∞=-∑条件收敛而不绝对收敛. 例4 判别级数1(1)nnn x n ∞=-∑ (x ＞0)的收敛性． 解 记u n =(-1)n nx n ，则1limn n nu u +→∞=lim 1n x nn →∞⋅+=x ． 由达朗贝尔比值判别法知，当x ＜1时，1(1)n nn x n ∞=-∑绝对收敛；当x ＞1时，1(1)nn n xn ∞=-∑发散；而当x =1时，1(1)n nn x n ∞=-∑=11(1)n n n ∞=-∑发散，11(1)n n n ∞=-∑收敛，故1(1)nn n x n ∞=-∑条件收敛．习题9-31. 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛： (1)11(1)21nn n ∞=--∑; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑; (3)21sinn nx n∞=∑; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑; (5)21111210nn n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑； (6) 1(1)nn n x ∞=-+∑;(7) 1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑;(8)∑∞=--11ln )1(n n nn．2. 设级数21n n a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，证明级数1n n n a b ∞=∑及11n n ar ∞-=∑也都收敛．§9.4 幂 级 数9.4.1 函数项级数一般地，由定义在某一区间I 内的函数序列构成的无穷级数1()nn ux ∞=∑=u 1(x )＋u 2(x )＋…+u n (x )+…， （9-2）称为函数项级数．在函数项级数(9-2)中，若令x 取定义区间中某一确定值x 0，则得到一个数项级数01()nn ux ∞=∑=u 1(x 0)＋u 2(x 0)＋…+u n (x 0)+…．（9-3）若数项级数(9-3)收敛，则称点x 0为函数项级数(9-2)的一个收敛点．反之，若数项级数(9-3)发散，则称点x 0为函数项级数(9-2)的发散点．收敛点的全体构成的集合，称为函数项级数的收敛域．若x 0是收敛域内的一个值，则必有一个和S (x 0)与之对应，即s (x 0)=01()nn ux ∞=∑=u 1(x 0)＋u 2(x 0)＋…+u n (x 0)+…．当x 0在收敛域内变动时，由对应关系，就得到一个定义在收敛域上的函数S (x )，使得s (x ）=1()n n u x ∞=∑=u 1(x )＋u 2(x )＋…+u n (x )+…．这个函数S (x )就称为函数项级数的和函数．如果仿照数项级数的情形，将函数项级数(9-2)的前n 项和记为S n (x )，且称之为部分和函数，即s n (x )=1()nk k u x =∑=u 1(x )＋u 2(x )＋…+u n (x ),那么，在函数项级数的收敛域内有lim ()n n s x →∞=s (x )．若以r n (x )记余项，r n (x )=s (x )-s n (x ),则在收敛域内,有lim ()n n r x →∞=0.例1 试求函数项级数0n n x ∞=∑的收敛域．解 因为21()1....n n S x x x x-=++++=11n x x--, 所以，当|x |＜1时，lim ()n n s x →∞=11lim11nn x x x→∞-=--． 级数在区间(-1，1)内收敛．易知，当|x |≥1时，级数发散．故级数的收敛域为(-1，1)．在函数项级数中，比较常见的是幂级数与三角级数．这里，我们只讨论幂级数．9.4.2 幂级数及其敛散性定义1 具有下列形式的函数项级数()n n n a x x∞=-∑=a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+…+a n (x -x 0)n +…称为在x =x 0处的幂级数或(x -x 0)的幂级数，其中a 0,a 1,…，a n ,…称为幂级数的系数． 特别地，若x 0=0,则称nn n a x∞=∑=a 0+a 1x +…+a n x n +…为x =0处的幂级数或x 的幂级数．下面主要讨论这种形式的幂级数，因为令t =x -x 0,则()nn n a x x∞=-∑=0n n n a t ∞=∑.显然，幂级数是一种简单的函数项级数，且x =0时，级数0n n n a x ∞=∑收敛．为了求幂级数的收敛域，我们给出如下定理.定理1［阿贝尔(Ab e l )定理］(1) 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点x =x 0(x 0≠0)处收敛，则对于满足|x |＜|x 0|的一切x ，0nn n a x ∞=∑均绝对收敛．(2) 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点x =x 0处发散，则对于满足|x |＞|x 0|的一切x ,nn n a x∞=∑均发散．证 (1) 设00n n n a x ∞=∑收敛，由级数收敛的必要条件知，0lim n n n a x →∞=0，故存在常数M ＞0，使得|a n x 0n ︱≤M (n =0，1,2,…)，于是|a n x n|＝0n nn n x a x x ⋅=|a n x 0n ︱·0n x x ≤M 0nx x ,当|x |＜|x 0|时，0x x ＜1，故级数00nn xM x ∞=∑收敛．由正项级数的比较判别法知，幂级数nn n a x∞=∑绝对收敛．(2) 设00nn n a x ∞=∑发散，运用反证法可以证明，对所有满足|x |＞|x 0|的x ，0n n n a x ∞=∑均发散．事实上，若存在x 1，满足|x 1|＞|x 0|，但0nn n a x ∞='∑收敛，则由(1)的证明可知，00n n n a x ∞=∑绝对收敛，这与已知矛盾．于是定理得证．阿贝尔定理告诉我们：若x 0是0n n n a x ∞=∑的收敛点，则该幂级数在(-|x 0|，|x 0|)内绝对收敛；若x 0是0n n n a x ∞=∑的发散点，则该幂级数在(-∞,-|x 0|)∪(|x 0|,+∞)内发散．由此可知，对幂级数nn n a x∞=∑而言，存在关于原点对称的两个点,0x R R =±>，它们将幂级数的收敛点与发散点分隔开来，在(),R R -内的点都是收敛点，而在,R R -⎡⎤⎣⎦以外的点均为发散点，在分界点x R =±处，幂级数可能收敛，也可能发散，称正数R 为幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径，由幂级数在x =±R 处的收敛性就可以确定它在区间())(,,,,,,,R R R R R R R R ----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦之一上收敛，该区间为幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域．特别地，当幂级数0nn n a x ∞=∑仅在x =0处收敛时，规定其收敛半径为R =0;当0n n n a x ∞=∑在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径为R =+∞，此时的收敛域为(-∞,+∞)．定理2 设R 是幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径，而0n n n a x ∞=∑的系数满足1limn n na a +→∞＝ρ， 则(1) 当0＜ρ＜＋∞时，1R ρ=；(2) 当ρ=0时，R =+∞; (3) 当ρ=+∞时，R =0． 证 因为对于正项级数nnn a x∞=∑=|a 0|+|a 1x |+…+|a n x n |+…，有11lim n n n n n a x a x ++→∞=1lim n n na a +→∞·|x |＝ρ|x |， 所以，(1) 若0＜ρ＜＋∞，由达朗贝尔比值判别法知，当ρ|x |＜1,即|x |＜1ρ时，0nn n a x ∞=∑收敛，即0nn n a x ∞=∑绝对收敛，当|x |＞1ρ时，0n n n a x ∞=∑发散，故幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为1R ρ=． (2) 若ρ=0，则ρ|x |=0＜1，则对任意x ∈(-∞,+∞)，0nn n a x ∞=∑收敛，从而0n n n a x ∞=∑绝对收敛，即幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径R =+∞．(3) 若ρ＝＋∞，则对任意x ≠0，当n 充分大时，必有11n n nn a x a x ++＞1，从而由达朗贝尔判别法知，0n n n a x ∞=∑发散，故幂级数仅在x =0处收敛，其收敛半径为R =0．例2 求下列幂级数的收敛半径及收敛域：()11,!nn x n ∞=∑()12n n n n x ∞=∑.解 (1) ρ＝1limn n na a +→∞＝()!1lim lim 011!n n n n n →∞→∞==++， 故收敛半径R 为∞，收敛域为(),-∞+∞.(2) ρ＝1lim n n na a +→∞＝()()()111limlim 11n nn n n n n nn +→∞→∞+=++=∞，故收敛半径为0.例3 求11()3nn n x n ∞-=-∑的收敛半径和收敛域．解 因为ρ＝1lim n n na a +→∞＝13lim 31n nn n n -→∞+＝13， 故收敛半径13R ρ==当x = -3时，原级数为13n n ∞=∑，由p -级数的收敛性知，此时原级数发散．当x =3时，原级数为1(1)3n n n ∞=-⋅∑，由莱布尼兹判别法可知原级数收敛．综上所述，原级数的收敛半径为R =3,收敛域为(-3,3］． 例4 求幂级数201(1)4n nn x ∞=-∑的收敛半径及收敛域． 解 此级数为(x -1)的幂级数，且缺少(x -1)的奇次幂的项，不能直接运用定理2来求它的收敛半径，但可以运用达朗贝尔比值判别法来求它的收敛半径．令u n =21(1)4nnx -,则1lim n n nu u +→∞＝22124(1)lim 4(1)n n n n n x x ++→∞--=21(1)4x -． 于是，当21(1)4x -＜1，即|x -1|＜2时，原级数绝对收敛.当21(1)4x -＞1，即︱x -1︱＞2时，原级数发散．故原级数收敛半径为R =2． 当|x -1|=2，即x =-1或x =3时，原级数为01n ∞=∑，它是发散的．综上所述，原级数的收敛半径为R =2，收敛域为(-1,3)．9.4.3 幂级数的运算设幂级数0nn n a x ∞=∑与0n n n b x ∞=∑的收敛半径分别为R 1与R 2，它们的和函数分别为S 1(x )与S 2(x )，在两个幂级数收敛的公共区间内可进行如下运算：(1) 加法运算nn n a x∞=∑±0nn n b x ∞=∑=()0n n n n a b x ∞=±∑＝s 1(x )±s 2(x )，x ∈(-R ,R )，其中R =min ｛R 1,R 2｝． (2) 乘法运算nn n a x∞=∑·0nn n b x ∞=∑＝0n n n c x ∞=∑=s 1(x )·s 2(x )，x ∈(-R ,R )，其中R =min ｛R 1,R 2｝，c n ＝0nk n k k a b -=∑=a 0b n +a 1b n -1+…+a k b n -u +…+a n b 0．(3) 逐项求导数若幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为R ，则在(-R ,R )内和函数S (x )可导，且有()s x '= 0n n n a x ∞='⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=()n n n a x ∞='∑=10n n n a nx ∞-=∑． 所得幂级数的收敛半径仍为R ，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变．(4) 逐项积分设幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数为S (x )，收敛半径为R ，则和函数在(-R ,R )上可积，且有()d xs x x ⎰=0d x nn n a x x ∞=∑⎰=0d xnn n a x x ∞=∑⎰=11n n n a x n ∞+=+∑． 所得幂级数的收敛半径仍为R ，但在收敛区间端点处的收敛性可能改变．以上结论证明从略．例5 求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数．解 所给幂级数的收敛半径r =1，收敛区间为(-1,1)． 注意到(n +1)x n =(x n +1)′，故0(1)nn n x ∞=+∑=10n n x ∞+='∑（）=10n n x ∞+='⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=()1x x '-=()211x -．((1,1))x ∈-．例6 求幂级数1nn x n∞=∑的和函数．解 所给幂级数的收敛半径r =1，收敛区间为[-1,1)，在收敛区间[-1,1)内有：1100111()n x x n n n n n x x dx x dx n ∞∞∞--=====∑∑∑⎰⎰ 01ln(1),[1,1).1xdx x x x==--∈--⎰例7* 求1(2)n n n n x ∞=+∑在(-1，1)内的和函数．解1(2)nn n n x∞=+∑＝1(1)nn n n x ∞=+∑+1nn nx ∞=∑＝x 11(1)n n n n x∞-=+∑＋x 11n n nx ∞-=∑＝x 11n n x ∞+="⎛⎫ ⎪⎝⎭∑＋x 1n n x ∞='⎛⎫ ⎪⎝⎭∑＝x 21xx "⎛⎫ ⎪-⎝⎭+x 1x x '⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝322(1)(1)x x x x +--＝3(3)(1)x x x --，-1＜x ＜1．习题9-41. 求下列幂级数的收敛域： (1)1nn nx∞=∑； (2)1!nnn n x n∞=∑；(3) 212nn n x n ∞=⋅∑； (4)21(1)21n nn x n ∞+=-+∑． (5) 1(2)2nn n x n ∞=+⋅∑； (6)12(1)nn n x n ∞=-∑． (1)1nn nx∞=∑； (2) 1!nn n n x n∞=∑；(3) 212nn n x n ∞=⋅∑； (4)21(1)21n n n x n ∞+=-+∑． (5) 1(2)2nn n x n ∞=+⋅∑； (6)12(1)nn n x n∞=-∑． 2. 求下列幂级数的和函数：(1) 1(1)nnn x n ∞=-∑； (2) 0(21)nn n x∞=+∑．3. 求下列级数的和：(1) 11(21)2nn n ∞=-∑； (2) 1(1)2nn n n ∞=+∑． §9.5 函数展开为幂级数在上一节中，我们讨论了幂级数的收敛性，在其收敛域内，幂级数总是收敛于一个和函数．对于一些简单的幂级数，还可以借助逐项求导或求积分的方法，求出这个和函数．但实际应用中常常提出相反的问题，对于给定的函数f (x )，能否在某个区间内用幂级数表示？又如何表示？本节将讨论并解决这一问题．9.5.1 泰勒级数在上册第4章§4.2节，我们已经看到，如果函数f (x )在x =x 0的某一邻域内，有直到n +1阶的导数，则在这个邻域内有f (x )的n 阶泰勒（Taylor ）公式：f (x )=f (x 0)+0()f x ' (x -x 0)+0()2!f x '' (x -x 0)2+…+()0()!n f x n (x -x 0)n +r n (x )， （9-4）其中r n (x )=(1)()(1)!n f ξn ++ (x -x 0)n +1 (ξ在x 0与x 之间)，称R n (x )为拉格朗日型余项．如果令x 0=0,就得到f (x )的n 阶麦克劳林（Maclaurin ）公式f (x )=f (0)+2(0)(0)2!f f x x '''+ +…+()(0)!n nf x n +r n (x )， （9-5）此时，r n (x )=(1)1()(1)!n n f ξx n +++ =(1)1()(1)!n n f θx x n +++ (0＜θ＜1)．如果函数f (x )在x =x 0的某一邻域内，有任意阶导数，则称幂级数f (x 0)+0()f x ' (x -x 0)+0()2!f x '' (x -x 0)2+…+()0()!n f x n (x -x 0)n +（9-6）为f (x )的泰勒级数. 当x 0=0时,幂级数f (0)+ 2(0)(0)2!f f x x '''++…+()(0)!n nf x n +… （9-7）又称为f (x )的麦克劳林级数．那么，它是否以f (x )为和函数呢?若令麦克劳林级数(9-7)的前n +1项和为S n +1(x )，即s n +1(x )=f (0)+ 2(0)(0)1!2!f f x x '''++…+()(0)!n nf x n ， 那么，级数(9-7)收敛于函数f (x )的条件为1lim ()n n s x +→∞=f (x )．注意到麦克劳林公式(9-5)与麦克劳林级数(9-7)的关系，可知 f (x )=S n +1(x )+R n (x )．于是，当lim ()n n r x →∞=0时，有1lim ()n n s x +→∞=f (x )．反之亦然．即若1lim ()n n s x +→∞=f (x )，则必有lim ()n n r x →∞=0．这表明，麦克劳林级数(9-7)以f (x )为和函数的充分必要条件是，麦克劳林公式(9-5)中的余项R n (x )→0 (n →∞)．这样，我们就得到了函数f (x )的幂级数展开式：f (x )=()0(0)!n n n f x n ∞=∑＝f (0)+ 2(0)(0)1!2!f f x x '''++…+()(0)!n nf x n +…． （9-8） 它就是函数f (x )的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的．事实上，假设函数f (x )可以表示为幂级数f (x )=0n n n a x ∞=∑＝a 0+a 1x +…+a n x n +…,（9-9）那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令x =0(幂级数显然在x =0点收敛)，就容易得到a 0=f (0), a 1=(0)f ', a 2=(0)2!f ''， …， a n =()(0)!n f n ,…．将它们代入式(9-9)，所得与f (x )的麦克劳林展开式(9-8)完全相同．综上所述，如果函数f (x )在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的麦克劳林公式中的余项以零为极限(当n →∞时)，那么，函数f (x )就可展开成形如式(9-8)的幂级数．9.5.2 函数展开为幂级数利用麦克劳林公式将函数f (x )展开成幂级数的方法，称为直接展开法． 例1 试将函数f (x )=e x 展开成x 的幂级数． 解 因为f (n )(x )=e x(n =1,2,…),所以f (0)=f ′(0)=f ″(0)=…=f (n )(0)=1,于是我们得到幂级数1+x +12!x 2+…+1!n x n +…, （9-10）显然，该幂级数的收敛区间为（-∞,+∞），至于它是否以f (x )=e x 为和函数，即它是否收敛于f (x )=e x ，还要考察余项R n (x )．因为r n (x )=1e (1)!θx n x n ++ (0＜θ＜1), 且θx θx x ≤<, 所以|r n (x )|= e (1)!θx n +|x|n +1＜e (1)!xn +|x |n +1．注意到对任一确定的x 值，e |x |是一个确定的常数，而级数11(1)!xn n i e x n +=+∑是绝对收敛的,因此其一般项当n →∞时，1(1)!n xn ++→０，由此可知 lim ()n n r x →∞=0．这表明级数(9-10)确实收敛于f (x )=e x ，因此有e x=1+x+12!x2+…+1!nx n+…(-∞＜x＜+∞)．例2试将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数．解因为f(n)(x)=sin(x+π2n)，n=1，2，…，所以f(0)=0,(0)f'=1，(0)f''=0,(0)f'''= -1, …, f(2n)(0)=0,f(2n+1)(0)=(-1)n．于是，得到幂级数x-13!x3+15!x5-…+21(1)(21)!nn xn+-++…，且它的收敛区间为（-∞,+∞）．又因r n(x)=(1)πsin2(1)!nθxn+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+x n+1,故可以推知|r n(x)|=(1)πsin2(1)!nθxn+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦+|x|n+1≤1(1)!nxn++→０(当n→∞时)，因此有sin x= x-13!x3+15!x5-…+21(1)(21)!nn xn+-++…（-∞＜x＜+∞）．这种运用麦克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法．在此之前，已经得到了函数11x-,e x及sin x的幂级数展开式，利用已知的展开式，通过幂级数的运算，可以得到其他函数的幂级数展开式．这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法．例3试求函数f(x)=cos x在x=0处的幂级数展开式．解因为(sin x)′=cos x,而sin x= x-13!x3+15!x5-…+21(1)(21)!nn xn+-++…（-∞＜x＜+∞），所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得cos x=1-12!x2+14!x4 -…+1(1)(2)!nn-x2n+…（-∞＜x＜+∞）．例4将函数f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数．解注意到ln(1+x)=1d 1xxx+⎰, 而11x +=11()x --=1-x +x 2-…+(-1)n x n +…, （ |x |＜1）， 将上式两边同时积分，得ln(1+x )=x -12x 2+13x 3-…+(-1)n 11n +x n +1+…＝101(1)1nn n x n ∞+=-+∑=111(1)n n n x n ∞-=-∑．因为幂级数逐项积分后收敛半径r 不变，所以上式右边级数的收敛半径仍为r =1；而当x =－1时，该级数发散；当x =1时，该级数收敛．故收敛域为(－1,1］．例5 试求函数f (x )=arctan x 在x =0处的幂级数展开式． 解 因为arctan x =21d 1x xx +⎰，而211x +＝211()x --＝1-x 2+x 4 -…+(-1)n x 2n +,…（|x |＜1）． 将上式两边同时积分可得arctan x = x -13x 3+15x 5-…+21(1)(21)n n x n +-++…（|x |≤1）． 例6 试将函数f (x )=2132x x -+展开成x 的幂级数．解 因为f (x )=2132x x -+＝1(1)(2)x x --＝1112x x---，而12x -＝12·211x -＝12[1+2x +22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ (2)x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+…]，（︱x ︱＜2）． 所以f (x )= 1112x x ---＝(1+x +x 2+…+x n +…)－12[1+2x +22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ (2)x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+…] ＝0nn x ∞=∑－12012n nn x ∞=∑＝101(1)2n n n x ∞+=-∑＝110212n n n n x ∞++=-∑． 根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，故R =1，因此所得级数的收敛区间为(－1，1)．最后，我们将几个常用的函数的幂级数展开式列在下面，以便于读者查用．e x =1+x +12!x 2+…+1!n x n +… (-∞＜x ＜+∞)； ln(1+x )=x -12x 2+13x 3 -…+(-1)n11n +x n +1+…， x ∈（-1,1］；sin x =x -13!x 3+15!x 5-…+(-1)n 1(21)!n +x 2n +1+… (-∞＜x ＜+∞)；cos x =1-12!x 2+14!x 4-…+(-1)n1(2)!n x 2n +… (-∞＜x ＜+∞)；arctan x =x -13x 3+15x 5-…+(-1)n 121n +x 2n +1+… (-1≤x ≤1)；(1+x )α=1+αx +(1)2!αα-x 2+…＋(1)(1)!αααn n --+x n+… （-1＜x ＜1)．习题9-51. 将下列函数展开成x 的幂级数：(1) 2cos 2x ; (2) sin 2x； (3) 2e x x -;(4)211x-； (5)1()2x x e e --． (6)arcsin x 2. 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间： (1) 13x-，在x 0＝１； (2) cos x , 在x 0=π3;(3)2143x x ++， 在x 0=1; (4) 21x， 在x 0＝３．§9.6 级数的应用9.6.1 巧智的农夫分牛问题著名的农夫分牛问题，在许多趣味数学书中有收录，但是很少给出具体解题的思路和背后隐藏的数学问题.农夫分牛问题的意思是：农夫养牛17头，临死前要把这17头牛分给自己的3个儿子.遗嘱是这样的：老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9.既不能把牛杀死，也不能卖了分钱.农夫去世后，农夫的3个儿子怎么也想不出办法.兄弟3人只好向邻居请教，邻居想了想说：我借给你们一头牛，就好分了.这样，老大得到18的1/2为9头，老二得到1/3为6头，老三得到1/9为2头，合计刚好为17头，剩下1头牛还给邻居.农夫的问题得到解决，邻居的聪明才智令人赞扬.我们再细细思考一下，这样分牛合理吗？也就说，老大、老二和老三得到的牛数是否真的按农夫的遗嘱丝毫不差？我们来仔细分析并计算这个问题.假设就按17头牛进行分配，第一次分后，老大得到17×1/2头牛，老二得到17×1/3头牛，老三得到17×1/9头牛.由于牛不能分割，分数的分法在这里不起作用.这就是农夫儿子想不出办法的原因. 为什么会出现分数而不是整数呢？问题就出在这里.按照农夫的遗嘱，第一次分后牛不能够把17头牛完全分完，还剩下17/18头牛.每个人必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛.第二次分后，牛也没有分完，还剩下17/182头牛.每个人按照遗嘱继续分牛. 继续分下去，这就是一个收敛的无穷级数. 因此，老大得到的牛头数为17×1/2＋17/18×1/2＋17/182×1/2＋17/183×1/2＋…，老二得到的牛头数为。
第九章无穷级数无穷级数是函数逼近与近似计算的重要工具。
本章主要讨论⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---和函数展开收敛性傅立叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法交错级数根值法比值法比较法正项级数常数项级数级数,,,,,,,基本概念基本性质收敛域和函数§1、数项级数的基本概念与性质一、基本概念定义1（级数）设有无穷数列，称形式和{}∞1n u++++n u u u 21为无穷级数，简称级数，记为，即∑∞=1n n u ,211++++=∑∞=n n nu u u u其中每个数均称为级数的项，数称为级数的一般项或通项，级数的前n 项和n unnk k n u u u u s +++==∑= 211称为级数的部分和数列。
研究级数的基本问题：1、判定级数是否收敛——无穷个数相加是否等于一个有限数（级数的和）；2、当级数收敛时，如何求其和。
判定级数收敛或发散的方法统称为审敛法。
熟练掌握针对各种级数的审敛法是学习的主要内容。
定义2（敛散性）设有级数，其部分和为，则n s ∑∞=1n nu∑∞=1n nu1、级数收敛此时，称s 为级数的和，并记,lim s s n n =⇔∞→∃;1s un n=∑∞=2、级数发散不存在。
∑∞=1n nun n s ∞→⇔lim 显然，收敛级数才有和，发散级数无和；任何级数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。
利用敛散性定义可以判定一些级数的敛散性，并求出收敛级数的和。
【例1】判定级数的敛散性。
∑∞=+1)1(1n n n 〖解〗由分项分式),2,1(111)1(1 =+-=+k k k k k 得级数部分和为)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n s n )111()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n111+-=n s n 故n n s ∞→lim )111(lim +-=∞→n n 1=于是，原级数收敛，且和为1，即.1)1(11=+∑∞=n n n □练习：判定下列级数∑∞=-+1)1(n n n 的敛散性。
