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2020～2021学年度山东省滕州一中东校区高二第一学期10月竞赛数
学试题(实验班)
2020年10月31日
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,只有一项是符合题目要求的) 1.圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 2.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB ＝AA 1＝2,AD ＝1,E 为CC 1的中点,则异面直线BC 1与AE 所
成角的余弦值为( )
A.1010
B.3010
C.21510
D.31010 3.若双曲线x 2a －y 2
＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ,则正实数a 的值为( )
A.9
B.3
C.13
D.1
9
4.设P 是双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a ＞0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0,F 1,F 2分别是双
曲线的左、右焦点,若|PF 1|＝3,则|PF 2|＝( )
A.1或5
B.6
C.7
D.8
5.我们把离心率为黄金分割系数5－1
2的椭圆称为“黄金椭圆”.如
图,“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点,F 为左焦点,A ,B 分别为长轴和短轴上的顶点,则∠ABF ＝( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
6.如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒,则1AC =( )
A.2
10
C.3 147.已知1F ,2F 是椭圆C :22
214x y
b
+=的左、右焦点,离心率为12,点A
的坐标为3(1,)2,则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为( ) A.2
B.1
3 2
8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知12,F F 是一对相关曲线的
焦点,P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当1260F PF ∠=︒时,这一对相关曲线中椭圆的离心率为 A.
3
3
B.
32
C.
22
D.
12
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分)
9.对于双曲线C 1:x 24－y 2＝1与双曲线C 2:y 2－x 2
4
＝1的下列说法正确的是( )
A.它们的实轴长和虚轴长相同
B.它们的焦距相同
C.它们的渐近线相同
D.若它们的离心率分别为12,e e ,那么2212
11
1e e +=
10.已知点M (1,0),A ,B 是椭圆x 24
＋y 2＝1上的动点,当MA →·BA →取下列哪些值时,可以使MA →·MB →
＝0
( ) A.3 B.6 C.9 D.12 11.下列结论正确的是( )
A.过点(2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=;
B.已知直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交,则实数k 的取值范围为1322
k -≤≤; C.已知0ab ≠,O 为坐标原点,点(,)P a b 是圆222x y r +=外一点,直线m 的方程是2ax by r +=,则m 与圆
相交;
D.若圆()()()2
2
2:440M x y r r -+-=>上恰有两点到点(1,0)N 的距离为1,则r 的取值范围是(4,6).
12.如右图,正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段1A B 上的动点(不含端点),则下列结论正确的是
A.直线1D P 与AC 所成的角可能是6
π
B.平面11D A P ⊥平面1A AP
C.三棱锥1D CDP -的体积为定值
D.平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形
三、填空题(本题共4题,共20分)
13.如果点(,)M x y 在运动过程中,总满足关系式
2222(3)(3)10x y x y +-++=,那么点
(,)M x y 的轨迹方程为_____________________.
14.数学家默拉在1765年提出定理,三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重
心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知ABC 的顶点(1,0),B -(0,3),C
AB AC =,则ABC 的欧拉线方程为____________________.
15.已知动点(,)P x y 满足22||||0x y x y +--=,O 为坐标原点,则||PO 的最小值为________,最大值为
_________________.
16.已知1F ,2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一
