甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

一、单选题甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高一上学期期末数学试题1. 下列命题正确的是（ ）A ．在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B ．一条直线与一个平面可能有无数个公共点C ．经过空间任意三点可以确定一个平面D ．若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行2. 已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 已知函数，若，则（ ）A ．2B ．C ．8D ．4.已知直线：与：，若，则（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85. 已知函数，则（）A．2B．3C．4D．56. 方程的根所在的区间为（）A．B．C．D．7. 不论为何实数，直线恒过定点（）A．B．C．D．8. 定义在上的奇函数在上有2个零点，则在上的零点个数为（）A．3B．4C．5D．69. 已知，是不同的平面，m，n是不同的直线，则下列命题不正确的是A．若，，，则B．若，，则，C．若，，则D．若，，则10. 若函数在上有最大值8，则在上有（）A．最小值－8B．最大值8C．最小值－6D．最大值6二、填空题三、解答题11. 如图，在长方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．平面C ．平面平面D ．平面平面12. 若直线l ：与曲线M ：有两个不同交点，则k 的取值范围是A ．B ．C ．D ．13. 函数的定义域为________.14. 计算:______.15. 已知直线：，点是圆：上的动点，则点到直线的最大距离为______.16. 已知在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是______.17. 已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.18. 已知直线l:kx-2y-3+k=0.(1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围.(2)设直线l与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程19. 在四棱柱中，已知底面ABCD是菱形，平面ABCD，M、N分别是棱、的中点证明：平面DMN；证明：平面平面在D.20. 已知函数.(1)求的单调区间;(2)求的值域.21. 如图，在四棱锥中，点是底面对角线上一点，，是边长为的正三角形，，.（1）证明：平面.（2）若四边形为平行四边形，求四棱锥的体积.22. 已知过坐标原点的直线l与圆C：x2+y2﹣8x+12＝0相交于不同的两点A，B．（1）求线段AB的中点P的轨迹M的方程．（2）是否存在实数k，使得直线l1：y＝k（x﹣5）与曲线M有且仅有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．。

甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．623．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1- C ．1,0,1,2 D ．{}0,1,24．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15D ．20 5．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞6．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．17 7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．1054 D ．1174 8．若直线不平行于平面，且，则（ ） A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12i z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i + 10．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e 11．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >> 12．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高一上学期期末考试英语试题本试卷共120分。

考试时间100分钟。

第一部分阅读理解(共两节，满分40分)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。

AVacation Packages in Los AngelesA Disney in Los Angeles Vacation packageEnjoy a fantastic and magical adventure in the Los Angeles area with a Disney Vacation in Los Angeles, which includes four nights of stay and a 1-day Disneyland Park Hopper (通票) with transport which will help you set up a perfect experience to Disney.Details:4 Nights stay in your choice of over 85 hotelsDisneyland 1-day Park Hopper with transportDescription:People of all ages love Disneyland, and you will have the park’s all kinds of rides and attractions. If you would prefer to look for excitement on exciting rides like Space Mountain, you are sure to find something new and exciting at Disneyland!Experience of the Hollywood Stars Vacation packageWith Experience of the Hollywood Stars, you can get a two-night stay at a hotel and the chance to see some of the most popular stars of Los Angeles!Details:2 Nights’ stay in your choice of over 85 hotelsStars’ Homes and Rodeo Drive Shopping TourDescription:The package includes the Stars Homes and Rodeo Drive Shopping Tour, so you are sure to have a fantastic time in having a look at the houses of your favorite stars and having a fantastic time in shopping as well.Places of Interest in Los Angeles Vacation packageThe fantastic city of Los Angeles has much to offer, and you can take full advantage of it with the Places of Interest in Los Angeles Vacation, offering three nights of stay at your choice of hotels.Details:3 Nights’ stay in your choice of over 85 hotelsHalf Day Hollywood and Beverly Hills TourDescription:Visit the most beautiful sights in the area and come back to your freshly-made bed for all three nights of your stay. You’ll be able to enjoy every moment of your vacation whether in your room or out on the town.1. What can you do in the Experience of the Hollywood Stars Vacation package?A. Enjoy all kinds of rides and shows.B. Visit the most wonderful sights.C. Have great fun in shopping.D. Meet your favourite stars in their homes.2. Which activity can you enjoy in the Vacation Packages in Los Angeles?A. Watching Disneyland cartoons.B. Having dinner with stars.C. Riding bikes around Los Angeles.D. Seeing the houses of stars.3. In which part of newspaper can you read the text?A. Travelling.B. Art.C. Fashion.D. Sport.这是一篇广告布告类阅读。

2018-2019学年甘肃省白银市会宁县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＞2x}，B＝{x|2x+3＞x}，则A∩B等于（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＞﹣3} 2．（5分）若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（）A．1B．C．D．23．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，3]B．（1，3]C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪[3，+∞）4．（5分）已知直线x+2ay﹣1＝0与直线（3a﹣1）x﹣y﹣1＝0垂直，则a的值为（）A．0B．C．1D．5．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（3，），则函数y＝f（x）+2﹣x的零点为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是（）A．若m∥α，α∥β，则m∥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．2B．4C．6D．88．（5分）已知a＝log32，b＝log95，c＝30.1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a9．（5分）已知直线l：x﹣y+6＝0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝（）A．B．4C．D．610．（5分）关于x的方程|lg|x﹣1||＝a（a＞0）的所有实数解的和为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PC＝2，点E 是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为60°，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．2D．312．（5分）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，]C．[2，+∞）D．[3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知点A（3，2，1），点B（﹣1，4，3），线段AB中点为M，O为坐标原点，则|OM|＝．14．（5分）若x log32＝1，则4x﹣2﹣x＝．15．（5分）一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为V1，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为V2，则＝．16．（5分）定义域为[﹣2，2]的减函数f（x）是奇函数，若f（﹣2）＝1，则t2﹣at+2a+1≤f（x）对所有的﹣1≤t≤1，及﹣2≤x≤2都成立的实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝，f（1）＝1，f（2）＝5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[﹣1，﹣]上的值域．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，AE⊥PC，垂足为E．（1）证明：PC⊥平面ABE；（2）若PC＝3PE，PD＝3，M是BC中点，点N在PD上，MN∥平面ABE，求线段PN的长．19．（12分）已知函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），f（x）在[，2]上的最大值为1．（1）求a的值；（2）当函数f（x）在定义域内是增函数时，令g（x）＝f（+x）+f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并求函数g（x）的值域．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝5，AB＝6，BB1＝6，BC1∩B1C＝O，D是线段AB的中点．（1）证明：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥A1﹣OCD的体积．21．（12分）已知f（log2x）＝2x．（1）判断f（x）的单调性，并用定义法加以证明；（2）若实数t满足不等式f（3t﹣1）﹣f（﹣t+5）＞0，求t的取值范围．22．（12分）已知圆M过点（）且与圆N：x2+8x+y2﹣1＝0为同圆心，圆N与y 轴负半轴交于点C．（1）若直线y＝x+m被圆M截得的弦长为，求m的值；（2）设直线：y＝kx+3与圆M交于点A，B，记A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+（y1+1）（y2+1）＝12，求k的值．2018-2019学年甘肃省白银市会宁县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝{x|x﹣1＞2x}＝{x|x＜﹣1}，B＝{x|2x+3＞x}＝{x|x＞﹣3}，则A∩B＝{x|﹣3＜x＜﹣1}．故选：A．2．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则πr2+πrl＝3π，…①又2πr＝πl，…②由①②解得l＝2，r＝1，∴高h＝＝．故选：C．3．【解答】解：由，解得1＜x≤3．∴函数的定义域为（1，3]．故选：B．4．【解答】解：a＝0时，两条直线不垂直．a≠0，由×＝﹣1，解得：a＝1．综上可得：a＝1．故选：C．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数）．∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），∴＝3α，解得α＝．∴f（x）＝，令y＝f（x）+2﹣x＝0，即+2﹣x＝0，解得：＝2，x＝4，故选：D．6．【解答】解：A中缺少m⊂β的情况；B中α，β也可能相交；C中缺少m⊂β的情况；故选：D．7．【解答】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：＝6．故选：C．8．【解答】解：，；∴a＜b＜c．故选：A．9．【解答】解：圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝3，圆的半径r＝2，∴|AB|＝2＝2，设直线l的倾斜角为α，则tanα＝，∴α＝30°，过C作l的平行线交BD于E，则∠ECD＝30°，CE＝AB＝2，∴CD＝＝＝4．故选：B．10．【解答】解：方程|lg|x﹣1||＝a（a＞0），可得lg|x﹣1|＝a或﹣a，即有|x﹣1|＝10a或10﹣a，可得x＝1±10a或1±10﹣a，则关于x的方程|lg|x﹣1||＝a（a＞0）的所有实数解的和为4．故选：B．11．【解答】解：在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PC＝2，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为60°，作EF⊥BC，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，EF⊥平面ABCD，EF＝1，∠AEF＝60°，∴AF＝，设AB＝a，则＝3，解得a2＝，∴该四棱锥的体积V＝＝．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝（a＞0且a≠1），当0＜a＜1时，当x≥1时，有a＜f（x）＝a x+a≤2a，而二次函数y＝﹣a（x﹣1）2+3开口向下，此时函数f（x）的值域不可能为R；当a＞1时，当x≥1时，f（x）≥2a，当x＜1时，f（x）＜3，若f（x）的值域为R，只需2a≤3，可得1＜a≤．综上可得a的取值范围是（1，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵点A（3，2，1），点B（﹣1，4，3），线段AB中点为M，O为坐标原点，∴M（1，3，2），∴|OM|＝＝．故答案为：．14．【解答】解：x log32＝1，则log32x＝1，∴2x＝3，∴2﹣x＝，∴4x﹣2﹣x＝9﹣＝，故答案为：．15．【解答】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为V1，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为V2，设斜边长为2，则直角边长为，∴V1＝2×＝，V2＝＝，∴＝＝．答案为：．16．【解答】解：根据题意，f（x）为定义域为[﹣2，2]的奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣1，则有﹣1≤f（x）≤1，当﹣1≤t≤1时，t2﹣at+2a+1≤﹣1即≤t2﹣at+2a+2≤0恒成立，令g（t）＝t2﹣at+2a+2，必有，解可得：a≤﹣3，则a的取值范围为（﹣∞，﹣3]；故答案为：（﹣∞，﹣3]．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．【解答】解：（1）∵f（1）＝1，f（2）＝5；∴；解得a＝3，b＝1；；（2）在上单调递增；；∴f（x）在上的值域为．18．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB，∵AB⊥AC，P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，∵PC⊂平面P AC，AB⊥PC，AE⊥PC，AB∩AE＝A，∴PC⊥平面ABE．解：（2）∵MN∥平面ABE，∴设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则MF∥BE，MG∥AB，又ABCD是平行四边形，CD∥AB，∴MG∥CD，∴CD∥平面MFNG，∴CD∥FN，∵M是BC中点，∴F是CE中点，∵PC＝3PE，∴PF＝，∴PN＝＝2．19．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝log a x（a＞0且a≠1），f（x）在[，2]上的最大值为1，若a＞1，则f（x）＝log a x为增函数，则有f（2）＝1，解可得a＝2；若0＜a＜1，则f（x）＝log a x为减函数，则有f（）＝1，解可得a＝；故a的值为2或；（2）根据题意，若函数f（x）为增函数，则a＞1，g（x）＝f（+x）+f（﹣x）＝log a（+x）+log a（﹣x）；有，解可得﹣＜x＜，即函数的定义域为（﹣，）；又由g（﹣x）＝log a（﹣x）+log a（+x）＝g（x），则函数g（x）为偶函数；又由g（x）＝log a（+x）+log a（﹣x）＝log a（﹣x2），设t＝﹣x2，x∈（﹣，），则y＝log a t，又由t＝﹣x2，则0＜t≤，则g（x）≤﹣2，故g（x）的值域为（﹣∞，﹣2]．20．【解答】解：（1）证明：在△ABC1中，∵O，D为中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD；（2）∵O为CB1中点，∴，易得：＝＝＝18，在等腰三角形CAB中，CD⊥AB，∴CD⊥平面A1B1D，且CD＝4，∴＝＝24，∴．故三棱锥A1﹣OCD的体积为：12．21．【解答】解：（1）令t＝log2x，（t∈R），则x＝2t，f（t）＝2t+1﹣2﹣t ∴f（x）＝2×2x﹣2﹣x，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，∵f（x1）﹣f（x2）＝2×2﹣2﹣2×2+2＝2（2﹣2）+＝（2﹣2）（2+），∵x1＜x2，∴2＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函数（2）不等式化为f（3t﹣1）＞f（﹣t+5）∵f（x）在R上是增函数，∴3t﹣1＞﹣t+5，∴t∴t的取值范围是（，+∞）22．【解答】解：（1）圆N的圆心为（﹣4，0），故可设圆M的方程为（x+4）2+y2＝r2，则（﹣+4）2+（）2＝r2＝1，∴圆M的标准方程为（x+4）2+y2＝r2，∵直线y ＝x+m被圆M 截得的弦长为，∴M到直线y ＝x+m的距离d ＝＝＝，∴m ＝或m ＝（2）联立方程，消y可得（1+k2）x2+（6k+8）x+24＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，△＝（6k+8）2﹣96（1+k2）＞0，（*），∴x1x2+（y1+1）（y2+1）＝（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16＝24﹣+16＝12，解得k＝1或k＝7，但k＝7不满足（*），∴k＝1第11页（共11页）。

甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A 版必修5，选修1-1.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题p ：∀x ∈R ，|x |＞x ，则￢p 为（ ） A. ∃x 0∈R ，|x 0|＜x 0 B. ∀x ∈R ，|x |＜x C. ∀x ∈R ，|x |≤x D. ∃x 0∈R ，|x 0|≤x 0【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得出p ⌝. 【详解】由题意知命题:,||p x R x x ∀∈>是全称命题，则p ⌝：000,x R x x ∃∈≤.故选：D .【点睛】本题主要考查的是全称命题的否定，是基础题. 2.若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（ ） A. 3- B. 1C. 1-D. 3【答案】A 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，即可求解. 【详解】21()2f x x x '=-，则(1)3f '-=-． 故选：A【点睛】本题考查求函数的导数，属于基础题.3.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率53e =，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为A. 22143x y -= B. 22134x y -= C. 221916x y -=D. 221169x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可得到结果.【详解】根据题意得到：2225328c e a b c a b ⎧==⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，得345a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故方程为：221916x y -=.故答案为C.【点睛】求双曲线方程的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222-,ca b c e a=+=的应用. 4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若6a =，5b =，9c =，则sin C =（ ）A. 3-B.13C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可求cos C ，根据范围()0,C π∈，利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值.【详解】解：因为6a =，5b =，9c =，由余弦定理得2223625811cos 22653a b c C ab +-+-===-⨯⨯，又因为()0,C π∈，得sin C ==. 故选：D.【点睛】本题主要考查了余弦定理和同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.若x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+<⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A. -1B. 0C.13D. 1【答案】C 【解析】 【分析】作出满足不等式组的可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可求z 的最小值.【详解】解：作出x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+<⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域，如图所示：由于2z x y =-可得2y x z =-，可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越大，z 越小， 作直线:2l y x =，然后把直线l 向平面区域平移， 由图可知，直线平移到点A 时，z 最小， 由021x y x y -=⎧⎨+=⎩可得11,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，即当直线2z x y =-经过点11,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 所以min 1112333z =⨯-=.故选：C.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用目标函数的几何意义求最值，属于基础题．6.曲线xy e -=在0x =处的切线斜率为（ ） A. -1 B. e - C. 1 D. e【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入0x =，即可得到切线的斜率．【详解】解：已知曲线xy e -=，可得'xy e -=-，当0x =时，则0'|1x y k ==-=，曲线xy e -=在0x =处的切线斜率为：-1. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义和简单复合函数的导数，利用导数求某点处的切线的斜率，考查计算能力．7.已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点与抛物线216x y =的焦点重合，且点()0,b 到该双曲线的渐近线的距离大于2，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (D.)+∞【答案】D 【解析】 【分析】由条件得双曲线的渐近线，由点到直线的距离列不等式即可得解. 【详解】因为抛物线方程216x y =的焦点坐标为()0,4，所以4c =.因为双曲线22221y x a b-=的渐近线为0ax by ±=，22>.因为222+=a b c =16，所以a <所以该双曲线的离心率为ce a=【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质及点到直线的距离公式，注意确定双曲线的焦点在y 轴是本题的关键，属于易错题型.8.已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a -+=+，则5a =（ ）A. 16B. 17C. 31D. 32【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，结合累加法，即可求出5a ．【详解】解：由题目条件知，数列{}n a 满足11a =，112n n n a a -+=+，则：112n n n a a -+-=，因此得出：0212a a -=， 1322a a -=，2432a a -=，3542a a -=，以上各式累加，得0253112222a a -=+++，由此可得：516a =.【点睛】本题考查数列的递推关系式以及累加法的运用，考查转化思想以及计算能力．9.“方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程22162x y m m +=--为椭圆时m 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆，则602062m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠， 则“方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的充分不必要条件．【点睛】方程221x y m n+=，若0m n =>，则方程表示的曲线为圆；若0m >，0n >，且m n ≠，则方程表示的曲线为椭圆；若0mn <，则方程表示的曲线为双曲线．10.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1a ，312a ，2a 成等差数列，则q =（ ）A.12B.12-【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的定义和等比数列的通项公式求解.【详解】因为1a ，312a ，2a 成等差数列，所以312=+a a a ，又因为{}n a 为等比数列，所以2111a q a a q =+，即21=0q q --，解得12q +=．因为数列的各项均为正数，所以12q +=． 【点睛】本题考查等差中项和等比数列的通项公式，属于基础题.11.过焦点为F 的抛物线y 2＝12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为-|MF |＝（ ）A. 2 C. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解||MF 即可． 【详解】解：抛物线212y x =的焦点坐标()3,0，则6DF =，直线NF 的斜率为3-，可得DN =，则抛物线212y x =可得：1212x =，解得1x =，所以(M ， ||314MF =+=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．12.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，定点214,09a M c ⎛⎫⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点N ，使得FM FN =，则椭圆C 的离心率的取值范围是A. 20,3⎛⎤⎥⎝⎦B. 6⎫⎪⎪⎝⎭C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 6⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意，椭圆C 上存在点N ，使得||||FM FN =，而214||9a FM c c=-，||[,]FN a c a c ∈-+故根据||FM [,]a c a c ∈-+，可转化为含e 的不等式 即可求解. 【详解】由题意，椭圆C 上存在点N ，使得||||FM FN =，而214||9a FM c c =-，||[,]FN a c a c ∈-+，显然2149a a c>，所以2149a c a c c -≤+即可， 得218914001e e e ⎧+-≥⎨<<⎩，解得213e ≤<故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.命题“若1x >，则0x >”的否命题是______. 【答案】“若1x ≤，则0x ≤” 【解析】 【分析】根据否命题的定义可直接写出．【详解】解：由于原命题的否命题是条件结论都要否定，所以命题“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x ≤，则0x ≤”. 故答案为：“若1x ≤，则0x ≤”.【点睛】本题考查四种命题的关系，否命题是将原命题中的条件和结论分别否定是解题的关键.14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin sin sin b B c C a A +=，则A =______.【答案】2π. 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，得到222b c a +=，利用勾股定理的逆定理即可判断得解. 【详解】解：因为sin sin sin b B c C a A +=，所以由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===， 利用角化边公式：sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===， 化简已知等式，得222b c a +=， 所以2A π=.故答案为：2π. 【点睛】本题考查正弦定理角化边公式的应用，以及勾股定理的逆定理，属于基础题. 15.函数()ln x f x x=在(20,e ⎤⎦上的最大值是____．【答案】1e【解析】 【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可． 【详解】函数()ln x f x x =，()21ln 'xf x x-=，令()'0f x =，解得x e =． 因为20e e <<，函数()f x 在(]0,x e ∈上单调递增，在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦单调递减；x e =时，()f x 取得最大值，()1f e e=．故答案为1e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．16.已知0x >，0y >，且3622x y+=．若247x y m m +>-成立，则m 的取值范围为________．【答案】(,3)(4,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】根据均值不等式的“1”的妙用得最值求解.【详解】因为136132414(4)12(121222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x =，6y =时，取等号， 由题意得2127m m >-，解得4m >或3m <． 故得解.【点睛】本题考查均值不等式，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x 轴上，且经过点(0,1)和(3,0)；（2）离心率为35，短轴长为8. 【答案】（1）2219x y +=；（2）2212516x y +=或2212516y x +=. 【解析】【分析】（1）根据焦点位置，设椭圆方程，代入点()0,1和()3,0即可求解（2）由题意建立,,a b c 方程即可求解.【详解】（1）因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 由于椭圆经过点()0,1和()3,0，代入方程22221x y a b+=， 解得31a b =⎧⎨=⎩， 故所求椭圆的方程为2219x y +=. （2）由2223528c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，若椭圆焦点在x 轴上，则方程为2212516x y +=； 若椭圆焦点在y 轴上，则方程为2212516y x +=. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c A =.（1）求C ；（2）若c =，ABC ∆ABC ∆的周长．【答案】（1）3C π=;（2.【解析】【分析】（1sinCsinA =，则tanC =，据此确定角C 的值即可；（2）由题意结合面积公式可得4ab =，结合余弦定理可得a b +=ABC 的周长即可.【详解】（1csinA =sinCsinA =，∵0sinA ≠sinC =，可得：tanC =， ∵()0,C π∈，∴3C π=.（2）∵c =，3C π=，ABC ∆124absinC ==， ∴可得：4ab =， ∵由余弦定理可得：()()222218312a b ab a b ab a b =+-=+-=+-，∴解得：a b +=∴ABC ∆的周长a b c ++=【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.在等差数列{}n a 中，57a =，2612a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()111n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =+；（2）525122(2)(3)n n S n n +=-++. 【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式求解； (2)运用裂项相消法求数列的和. 【详解】（1）∵2612a a +=，∴46a =，即54761d a a =-=-=．∴2n a n =+．（2）由（1）可得1(1)(3)n b n n =++， 即111213n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. 利用累加法得111111111224354613n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪++⎝⎭1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 525122(2)(3)n n n +=-++． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求数列的和. 20.设函数2()(1)x f x x axe =++.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若1a =-，求()f x 的单调区间.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）当1a =时，对函数()f x 求导，利用导数性质，即可求出极值．（2）当1a =-时，对函数()f x 求导，利用导数性质求出单调区间即可．【详解】（1）因为1a =，所以()()()()()21112x x f x x e x x e =+++=++'当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>.所以()f x 在1x =-处取得极小值，极小值为()11f e -=-，无极大值. （2）因为1a =-，所以()()()()()21112x x f x x ex x e =+-+=+-'.令()0f x '=，得11x =-，2ln20x =>.当()(),1ln2,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x '<，当()1,ln2x ∈-时，()0f x '>.故()f x 的单调递增区间为()1,ln2-. ()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，()ln2,+∞.【点睛】本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题．21.已知动圆C 过定点F （2，0），且与直线x =-2相切，圆心C 的轨迹为E ，（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）若直线l 交E 与P ，Q 两点，且线段PQ 的中心点坐标（1，1），求|PQ |．【答案】（1）y 2=8x （2【解析】【分析】 根据题意，动圆的圆心C 到定点F 距离等于圆心C 到直线2x =-的距离，可判断圆心C 的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E 的轨迹方程．设出直线斜率，及P 、Q 的坐标，根据中点坐标利用点差法求出斜率，可得直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式即可求出PQ ．【详解】解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x =-2的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x =-2为基准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为y 2=8x ．（2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在， 设直线l 的斜率为k ，11P x y （，）， 22Q x y （，），则有22112288y x y x ==，，两式作差得2212128y y x x （）即得128k y y =+， 因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k =4，则直线l 的方程为y -1=4（x -1），即y =4x -3，与y 2=8x 联立得16x 2-32x +9=0， 得12129216x x x x ，+==，PQ === 【点睛】在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差．求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．将直线y kx b =+代入曲线方程，化为关于x （或关于y ）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长．22.已知函数()()2ln f x a b x x x x =---． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，且()1f a =，求,a b 的值； （2）若1a =，()0f x ≥对()0,x ∈+∞恒成立，求b 的取值范围．【答案】（1）01a b =⎧⎨=-⎩；（2）(],0b ∈-∞ 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，()10f '=，()1f a =解方程组求出a ，b 即可．（2）将1a =代入，利用参变分离可以将问题转化为1ln 1x b x x ≤--在()0,+∞ 恒成立，求出()1ln 1x g x x x=--的最小值，令()min b g x ≤即可．【详解】（1）()()2ln f x a b x x x x =---，()()2ln 2f x a b x x -'=--， 由()()()111220f a b a f a b ⎧=--=⎪⎨=--='⎪⎩，得01a b =⎧⎨=-⎩，（2）因为1a =，()()21ln f x b x x x x =---， ()0f x ≥等价于1ln 1x b x x≤--， 令()1ln 1x g x x x =--，()2ln x g x x='， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g x g ==，所以(],0b ∈-∞.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题．。

2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设命题p：∀x∈R，|x|＞x，则￢p为（）A．∃x0∈R，|x0|＜x0B．∀x∈R，|x|＜xC．∀x∈R，|x|≤x D．∃x0∈R，|x0|≤x02．（5分）椭圆点＝1的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，则使l∥α成立的是（）A．＝（1，﹣1，2），＝（﹣1，1，﹣2）B．＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，1，1）C．＝（1，1，0），＝（2，﹣1，0）D．＝（1，﹣2，1），＝（1，1，2）5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．16．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若＝，＝，＝，则＝（）A ． +B ．C ．D ．7．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +2n ﹣1，则a 5＝（ ） A ．16 B ．17C ．31D ．328．（5分）“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m ＜6”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1，，a 2成等差数列，则q ＝（ ）A ．B ．C ．D ．或10．（5分）过焦点为F 的抛物线y 2＝12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF的斜率为﹣，则|MF |＝（ ）A ．2B ．2C ．4D ．411．（5分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．12．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c ＝2，且2a sin C cos B＝a sin A ﹣b sin B +b sin C ，点O 满足＝，cos ∠CAO ＝，则△ABC 的面积为（ ）A．B．3C．5D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是命题．（填“真”或“假”）14．（5分）双曲线x2﹣2y2＝2的渐近线方程为．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B﹣c sin C＝3c sin A，且a＝2c，则B＝．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝2，若4x+y＞7m﹣m2恒成立，则m的取值范围为．16．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＝c sin A．（1）求C；（2）若c＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）在等差数列{a n}中，a5＝7，a2+a6＝12．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列，{b n}的前n项和S n．19．（12分）在△PCD中，∠PCD＝，A，B分别为PD，PC的中点，现将△PAB沿AB折起，使△PBC为正三角形，且CD＝BC＝4．（1）证明：AB⊥平面PBC（2）求直线DP与平面PAC所成角的余弦值．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，SA⊥BC，SC⊥AC，SC＝6，M，N分别为线段AB，BC上的点，且CM＝MN＝2，BC＝3BN＝6．（1）证明：MN⊥SM；（2）求二面角A﹣SM﹣N的余弦值．21．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．22．（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设命题p：∀x∈R，|x|＞x，则￢p为（）A．∃x0∈R，|x0|＜x0B．∀x∈R，|x|＜xC．∀x∈R，|x|≤x D．∃x0∈R，|x0|≤x0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定￢p：∃x0∈R，|x0|≤x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．2．（5分）椭圆点＝1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．【解答】解：椭圆点＝1，可得a＝，b＝，c＝，可得e＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的离心率以及虚轴长，列出方程组，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：双曲线的离心率，且其虚轴长为8，由，得．可得．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．4．（5分）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，则使l∥α成立的是（）A．＝（1，﹣1，2），＝（﹣1，1，﹣2）B．＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，1，1）C．＝（1，1，0），＝（2，﹣1，0）D．＝（1，﹣2，1），＝（1，1，2）【分析】由直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，使l∥α成立，得到＝0，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，使l∥α成立，∴＝0，在A中，＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，故A错误；在B中，＝﹣2﹣1+3＝0，故B成立；在C中，＝2﹣1＝1，故C错误；在D中，＝1﹣2+2＝1，故D错误．故选：B．【点评】本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【分析】作出满足不等式组的可行域，由z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合图形可求z的最大值【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小作直线L：y＝2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，由可得A（，），此时z＝．故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．6．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若＝，＝，＝，则＝（）A． +B．C．D．【分析】利用＝﹣＝﹣即可得出．【解答】解：＝﹣＝﹣＝﹣﹣．故选：B．【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1，则a5＝（）A．16 B．17 C．31 D．32【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1，则a2＝a1+20＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+22＝4+4＝8，a5＝a4+23＝8+8＝16．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．8．（5分）“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先求“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m∈（2，4）∪（4，6）”，再由集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6）的包含关系得解．【解答】解：“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，解得：m∈（2，4）∪（4，6），设集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6），因为A⊊B，所以“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题．9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1，，a2成等差数列，则q＝（）A．B．C．D．或【分析】由题意可得q＞0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求q的值．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，且q＞0，由a1，，a2成等差数列，可得a3＝a1+a2，即有a1q2+a1+a1q，即有q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．（5分）过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF的斜率为﹣，则|MF|＝（）A．2 B．2C．4 D．4【分析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标（3，0），则DF＝6，直线NF的斜率为﹣，可得DN＝2，则抛物线y2＝12x可得：12＝12x，解得x＝1，所以M（1，2），|MF|＝3+1＝4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．﹣D．【分析】取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值．【解答】解：取AC的中点O，连结OP，OB，∵PA＝PC，∴AC⊥OP，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴OP⊥平面ABC，又∵AB＝BC，∴AC⊥OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵△PAC是等腰直角三角形，PA＝PC＝4，△ABC为直角三角形，∴A（2，0，0），C（﹣2，0，0），P（0，0，2），D（，，0），∴＝（﹣4，0，0），＝（，，﹣2），∴cos＜，＞＝．∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c＝2，且2a sin C cos B＝a sin A﹣b sin B+b sin C，点O满足＝，cos∠CAO＝，则△ABC的面积为（）A．B．3C．5D．【分析】求出b的值，根据余弦定理求出||＝，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：∵2a sin C cos B＝a sin A﹣b sin B+b sin C，∴2ac•＝a2﹣b2+bc，即c＝b，又c＝2，故b＝4，∵＝，∴O是△ABC的重心，∴+＝3，故＝3﹣，两边平方得：＝9﹣6||||cos∠CAO+，∵cos∠CAO＝，故＝9﹣6||||×+，于是9﹣9||﹣4＝0，故||＝，△AOC的面积S＝×||×||×sin∠CAO＝，故S△ABC＝，故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用以及三角形的面积以及转化思想，是一道常规题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是假命题．（填“真”或“假”）【分析】根据否命题的定义写出并判断命题的真假．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是“若x≤1，则x≤0”，可判断为假命题．【点评】本题考查四种命题的关系以及判断命题的真假，否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键．14．（5分）双曲线x2﹣2y2＝2的渐近线方程为y＝±x．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为y＝±x，即可得到所求．【解答】解：双曲线x2﹣2y2＝2即为：﹣y2＝1，即有a＝，b＝1，则渐近线方程为y＝±x，即有y＝±x．故答案为：y＝±x．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B﹣c sin C＝3c sin A，且a＝2c，则B＝．【分析】由已知利用正弦定理可得b2﹣c2＝3ca，又a＝2c，利用余弦定理可求cos B＝﹣，结合范围B∈（0，π），可求B的值．【解答】解：∵b sin B﹣c sin C＝3c sin A，∴b2﹣c2＝3ca，又∵a＝2c，∴cos B＝＝＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝2，若4x+y＞7m﹣m2恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，3）∪（4，+∞）．【分析】由已知可得4x+y＝（4x+y）（）×，利用基本不等式可求其最值，然后由4x+y＞7m﹣m2恒成立，可知（4x+y）min＞7m﹣m2，可求【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+＝2，∴4x+y＝（4x+y）（）×＝＝12，当且仅当且即x＝，y＝6时取得最小值12，∵4x+y＞7m﹣m2恒成立，∴12＞7m﹣m2，解可得m＞4或m＜3，则m的取值范围为（4，+∞）∪（﹣∞，3），故答案为：（4，+∞）∪（﹣∞，3）．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，一元二次不等式的解法，恒成立问题与最值问题的转化是求解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＝c sin A．（1）求C；（2）若c＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin A≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tan C＝，结合范围C∈（0，π），可求C＝．（2）由已知利用三角形面积公式可求ab＝4，进而根据余弦定理可得a+b＝，即可求得三角形的周长．【解答】解：（1）∵a cos C＝c sin A，∴由正弦定理可得： sin A cos C＝sin C sin A，∵sin A≠0，∴cos C＝sin C，可得：tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵c＝3，C＝，△ABC的面积为＝ab sin C＝ab，∴可得：ab＝4，∵由余弦定理可得：18＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣12，∴解得：a+b＝，∴△ABC的周长a+b+c＝+3．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）在等差数列{a n}中，a5＝7，a2+a6＝12．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列，{b n}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；（2）求得b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a5＝7，a2+a6＝12，可得a1+4d＝7，2a1+6d＝12，解得a1＝3，d＝1，可得a n＝a1+（n﹣1）d＝3+n﹣1＝n+2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（+﹣﹣）＝﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．19．（12分）在△PCD中，∠PCD＝，A，B分别为PD，PC的中点，现将△PAB沿AB折起，使△PBC为正三角形，且CD＝BC＝4．（1）证明：AB⊥平面PBC（2）求直线DP与平面PAC所成角的余弦值．【分析】（1）推导出AB⊥PB，AB⊥BC，由此能证明AB⊥平面PBC．（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DP与平面PAC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵在△PCD中，∠PCD＝，A，B分别为PD，PC的中点，将△PAB沿AB折起，使△PBC为正三角形，且CD＝BC＝4．∴PA＝＝＝2，AB＝2，∴AB2+PB2＝PA2，∴AB⊥PB，∵AB⊥BC，PB∩BC＝B，∴AB⊥平面PBC．（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，D（4，4，0），P（0，0，4），A（2，0，0），C（0，4，0），＝（4，4，﹣4），＝（2，0，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面PAC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，1，1），设直线DP与平面PAC所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴cosθ＝＝．∴直线DP与平面PAC所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，SA⊥BC，SC⊥AC，SC＝6，M，N分别为线段AB，BC上的点，且CM＝MN＝2，BC＝3BN＝6．（1）证明：MN⊥SM；（2）求二面角A﹣SM﹣N的余弦值．【分析】（1）由AC⊥BC，SA⊥BC，得BC⊥SC，又SC⊥AC，得SC⊥平面ABC，SC⊥MN．再求出CM⊥MN．从而MN⊥平面SCM，由此能证明MN⊥SM．（2）过M作MG垂直CN于G，以C为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣SM﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）由AC⊥BC，SA⊥BC，且SA∩AC＝A，则BC⊥平面SAC，SC⊂平面SAC，故BC⊥SC，又SC⊥AC，BC∩AC＝C，则SC⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，故SC⊥MN．因为NC＝4，，所以CN2＝CM2+NM2，故CM⊥MN．又因为CM∩SC＝C，所以MN⊥平面SCM，又SM⊂平面SCM，则MN⊥SM解：（2）由（1）知，△CMN为等腰直角三角形，过M作MG垂直CN于G，由题意知，CG＝GN＝MG＝2，又BC＝3BN，故BG＝4由AC⊥BC，MG⊥CN，得AC∥GM，故AC＝3以C为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C ﹣xyz，如图所示，则C（0，0，0），A（0，3，0），S（0，0，6），M（2，2，0），N（4，0，0），，，．设平面SAM的法向量为，则，令x1＝1，得设平面SMN的法向量为则，令x2＝3，则y2＝3，z2＝2，故，，由图可知二面角A﹣SM﹣N为钝角，故二面角A﹣SM﹣N的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．【分析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l1：x＝﹣2相切，所以点C的轨迹是以F为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x＝﹣2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2＝8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12﹣y22＝8（x1﹣x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k＝4，则直线l的方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，与y2＝8x联立得16x2﹣32x+9＝0，得，．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题22．（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，转化求解K，即可得到直线方程．【解答】解：（1）直线的一般方程为bx+ay﹣ab＝0．依题意，解得，故椭圆C的方程式为．（2）假若存在这样的直线l，当斜率不存在时，以|AB|为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点，所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+2．由，得（3+5k2）x2+20kx+5＝0．由△＝400k2﹣20（3+5k2）＞0，得．记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，而y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4．要使以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，则，即＝＝0，所以＝0，整理解得或，所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为或．【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21。

2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。

高一数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1。

下列命题正确的是（ ）A. 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B. 一条直线与一个平面可能有无数个公共点C. 经过空间任意三点可以确定一个平面D. 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中， 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面,所以不正确;对于B 中， 当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点,所以是正确的；对于C 中， 经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D 中, 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行或相交,所以不正确,故选B ．【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系,其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 2。

已知集合{}|132A x x =-<-≤，{}|36B x x =≤<，则AB =(）A 。

()2,6 B. (]2,5 C 。

[]3,5 D 。

[)3,6【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合{}|25A x x =<≤，结合集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意,集合{}{}|132|25A x x x x =-<-≤=<≤，{}|36B x x =≤<， 所以[]3,5AB =.故选:C 。

【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知函数2()1x f x a -+=+，若(1)9-=f ，则a =（）A 。

2 B. 2- C. 8D.8-【答案】A 【解析】 【分析】直接将1-代入函数的解析式，根据指数的运算即可得结果。

甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}10123A =-，，，，，{}02|B x x =<≤，则A B =（ ）A. {}12，B. {}1012-，，，C. {}123，， D. {}10123，，，，- 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集定义,即可求解.【详解】集合{}10123A =-，，，，,{}02|B x x =<≤ 由交集运算可得{}{}{}10123012|=2A B x x ⋂=-⋂<≤，，，，， 故选:A【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题. 2.若角α的终边经过点()1,2P --，则sin α=（ ）A.B.【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案. 【详解】因为点()1,2P --在角α终边上，所以sin 5y rα===-. 故选：B【点睛】本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值.3.已知过点)A的直线l的倾斜角为60︒，则直线l的方程为（）40y+-=20y--=40y++=D.20y-+=【答案】B【解析】【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解．【详解】∵直线l的倾斜角为60︒，∵直线l的斜率k=又直线过点)A，由直线方程的点斜式可得直线l的方程为1y x-=20y--=．故选B．【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4.某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（）A. 20B. 25C. 30D. 35【答案】B【解析】【分析】通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案.【详解】抽取比例为751300040=，高一年级有3000(8001200)1000-+=人，所以高一年级应被抽取的人数为110002540⨯=.【点睛】本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小.5.已知向量(2,0)a =，||1b =，1a b⋅=-，则a与b的夹角为（）A.6πB.4πC.3πD.23π【答案】D【分析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可. 【详解】因为cos ,a b a b a b<>=，所以a 与b 的夹角为23π. 故选：D.【点睛】本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模. 6.要得到函数1cos 312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象（ ）A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 由11cos cos 31234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移4π个单位长度.【详解】解：因为11cos cos 31234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数1cos 312y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移4π个单位长度. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题. 7.已知π7cos 2625α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π02α<<，则πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.35 B.35C.45D. 45-【答案】B【分析】由二倍角公式可得2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合π02α<<，可求出πcos 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3cos 125α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，又因为π02α<<，所以3cos 125πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.8.边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ） A.125B.85C.35D.25【答案】B 【解析】 【分析】依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果. 【详解】设阴影区域的面积为S ，由题意可得8022200S =⨯，则85S =. 故选：B.【点睛】本题考查随机模拟实验，根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式. 9.已知2()sin ,N 36f x x x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭，则()f x 的值域为（ ）A. 11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B. 11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C. 1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D. 1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】由已知条件，先求出函数的周期，由于N x ∈，即可求出值域. 【详解】因为2()sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以3T =，又因为x ∈N ，所以当0x =时，1(0)2f =； 当1x =时，1(1)2f =；当2x =时，(2)1f =-， 所以()f x 的值域为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.10.某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A. 4?i <B. 5?i <C. 6?i <D. 7?i <【答案】B 【解析】 【分析】分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案.【详解】由程序框图可知，第一次循环后，1a =，1s =，2i =；第二次循环后，3a =，4s =，3i =；第三次循环后，5a =，9s =，4i =；第四次循环后，7a =，16s =，5i =；第五次循环后，9a =，25s =，此时25s =，则图中空白处应填的是5?i < 点睛】本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.11.已知ABC 的三个顶点都在一个球面上，22,4AB BC AC ===，且该球的球心到平面ABC 的距离为2，则该球的表面积为（ ） A. 80π B.1605πC. 32πD.642π【答案】C 【解析】 【分析】先算出ABC ∆的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可得到本题答案. 【详解】设点O 为球心，因为22,4AB BC AC ===，所以ABC ∆的外接圆的圆心为AC 的中点M ，且半径2r ，又因为该球的球心到平面C AB 的距离为2，即2OM =，在Rt OAM ∆中，222222OA =+=，所以该球的半径为=22R ，则该球的表面积为24=32R ππ.故选：C【点睛】本题主要考查球的表面积的相关问题.12.已知函数()5(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间(,2]ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A. 10,6⎛⎫⎪⎝⎭B. 1120,,633⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C. 1120,,633⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题得2333x πππωπωωπ-<-≤-，再由题分析得到()3213k k πωπππωππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩，解不等式分析即得解.【详解】因为2x ππ<≤，0>ω， 所以2333x πππωπωωπ-<-≤-．因为()f x 在区间(,2]ππ内没有零点，所以()3213k k πωπππωππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-<+⎪⎩，k Z ∈，解得12323k k ω+≤<+，k Z ∈．因为123232023k k k ⎧+<+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，所以4233k -<<．因为k Z ∈，所以1k =-或0k =． 当1k =-时，106ω<<；当0k =时，1233ω≤<． 故选B【点睛】本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数2sin ,0()61,0x x f x x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则((1))f f -=__________．【答案】2【解析】【分析】根据分段函数的解析式先求()1f -，再求()()1ff -即可.【详解】因为()()21112f -=-+=，所以()()()12sin 3ff f π-===. 【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.14.一组数据2，4，5，x ，7，9的众数是7，则这组数据的中位数是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题得x=7，再利用中位数的公式求这组数据的中位数. 【详解】因为数据2，4，5，x ，7，9的众数是7， 所以7x =， 则这组数据的中位数是5762+=． 故答案为6【点睛】本题主要考查众数的概念和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.313sin cos cos sin 412412ππππ+=__________. 【答案】12【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可. 【详解】313sincos cos sin sin cos cos sin 412412412412ππππππππ+=- 1sin sin 41262πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故答案为12【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.16.已知点P 是ABC 所在平面内的一点，若1142AP AB AC =+，则APC APB S S =△△__________．【答案】12【解析】 【分析】设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点，由1142AP AB AC =+得到PF PC =-，再进一步分析即得解.【详解】如图，设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点， 因为1142AP AB AC =+， 所以可得()()1142AP AP PB AP PC =+++， 整理得20PA PB PC ++=.又2PA PB PF +=， 所以PF PC =-，所以APC APF S S =△△， 又12APF APB S S =△△，所以12APC APBS S =△△． 故答案为12【点睛】本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知53sin cos cos(3)22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）化简()fθ；（2）若3sin 5θ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值．【答案】（1）()cos f θθ=-；（2）4()5f θ=. 【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即得()fθ；（2）利用同角的平方关系求出4cos 5θ=-的值，即得解. 【详解】解：（1）53sin cos cos(3)22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos (sin )(cos )(sin )cos θθθθθ--=-cos θ=-．（2）因为3sin 5θ=，且,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5θ=-，所以4()5f θ=． 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.18.某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了 50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在[]50,100内），按成绩分为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）用分层抽样的方法从月考成绩在[]80,100内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在[)80,90和[]90,100内的学生多少人；（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在[]90,100内至少有1名学生被抽到的概率.【答案】（1）[)80,90有4人，[]90,100有2人；（2）35【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，求出成绩在[)80,90和[]90,100内的频率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在[]90,100内的不同取法，再求解即可. 【详解】解：（1）因为()0.0080.0240.0440.008101a ++++⨯=，所以0.016a =， 则月考成绩在[)80,90内的学生有500.016108⨯⨯=人； 月考成绩在[]90,100内的学生有500.008104⨯⨯=人， 则成绩在[)80,90和[]90,100内的频率的比值为2:1，故用分层抽样的方法从月考成绩在[)80,90内的学生中抽取4人， 从月考成绩在[]90,100内的学生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在[)80,90内，分别记为a ，b ，c ，d ；有2人的月考成绩在[]90,100内，分别记为A ，B .则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，共15种；被抽到的学生至少有1名月考成绩在[]90,100内的情况为(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，共9种.故月考成绩[]90,100内至少有1名学生被抽到的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题.19.已知函数()12cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）134,466k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）54,462k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈【解析】 【分析】（1）由余弦函数单调区间的求法，解不等式122212k x k ππππ-≤+≤即可得解； （2）解三角不等式11cos 2122x π⎛⎫+>⎪⎝⎭即可得解.【详解】解：解：（1）令122212k x k ππππ-≤+≤，k Z ∈， 解得134466k x k ππππ-≤≤-，k Z ∈， 故()f x 的单调递增区间为134,466k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为()1f x >，所以12cos 1212x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即11cos 2122x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以12232123k x k πππππ-<+<+，k Z ∈， 解得54462k x k ππππ-<<+，k Z ∈. 故不等式()1f x >的解集为54,462k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈. 【点睛】本题考查了余弦函数单调区间的求法，重点考查了三角不等式的解法，属基础题. 20.在直角坐标系xOy 中，已知以点M 为圆心的22:(5)(7)25M x y -+-=及其上一点(1,4)A .（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线5x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且||BC =l 的方程.【答案】（1）22(5)(1)1x y -+-=；（2）44y x =+或430y x =-【解析】 【分析】（1）由圆M 的方程求得圆心坐标和半径，依题意可设圆N 的方程为222(5)()(0)x y b b b -+-=>，由圆N 与圆M 外切可知圆心距等于两圆半径的和，由此列式可求得b ，即可得出圆N 的标准方程；（2）求出OA 所在直线的斜率4OA k =，设直线l 的方程为4y x m =+，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求得m ，则直线方程即可求出. 【详解】（1）因圆M 为22(5)(7)25x y -+-=，所以圆心M 的坐标为(5,7)，半径=5r .根据题意，设圆N 的方程为222(5)()(0)x y b b b -+-=>.又因为圆N 与圆M 5b =+，解得1b =， 所以圆N 的标准方程为22(5)(1)1x y -+-=.（2）由题意可知4OA k =，所以可设直线l 的方程为4y x m =+.又||BC =(5,7)M 到直线l 的距离d ===4m =或30m =-，所以直线l 的方程为44y x =+或430y x =-.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，其中运用了两圆外切时，圆心距等于两圆的半径之和，还涉及到圆的方程、直线的方程和点到直线的距离公式.21.已知函数()()()()2cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）若13f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求当()2f x =时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）π；（2）12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭ 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，再求周期即可；（2）由13f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可. 【详解】解：（1）()()()()223sin cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()3sin 2cos21x x ϕϕ=++++2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2T ππω==.（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212k k Z ππϕ=-∈. 因为02πϕ<<，所以12πϕ=.因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则2236x k πππ+=+或()52236x k k Z πππ+=+∈， 解得12x k ππ=-+或()4x k k Z ππ=+∈.故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题. 22.已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，()f x 的部分图像如图所示，点()0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭都在()f x 的图象上.（1）求()f x 的解析式； （2）当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3f x m ≤-≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()22sin 33x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[]1,0- 【解析】 【分析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32m m +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩.【详解】解：（1）由()f x 的图象可知34424T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T ππω==，0>ω，所以23ω=，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=.因为点(N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin 3f t π==，解得2t =， 故()22sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）因为,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,3333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以2sin 33x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦，则()2f x ≤≤. 因为()33f x m -≤-≤，所以()3m f x m ≤+，所以32m m +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得10m -≤≤.故m 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.。

甘肃省白银市靖远县2019-2020学年 高一上学期期末考试联考试题一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|10B x x =-<，则()AB =R（ ）A. {}|12x x <<B. {}|12x x <≤C.{}|12x x ≤<D.{}|12x x ≤≤【答案】C 【解析】因为集合{}{}|10|1B x x x x =-<=<，所以{}|1C B x x =≥R ，所以(){}|12AC B x x =≤<R .故选：C. 2.函数()()lg 2f x x =+的定义域是（ ）A.(]2,5- B.()2,5-C.(]2,5 D.()2,5【答案】A【解析】由()()lg 2f x x +，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-. 故选：A. 3.若直线220x y 与()3510x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A. 1B. -1C. 132D. 132-【答案】B【解析】因为直线220x y 与()3510x a y +-+=平行，所以351122a -=≠-，解得1a =-.故选：B.4.函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( )A()1,2B.()2,3C.()3,4D.()0,1【答案】A【解析】()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2故选：A. 5.已知()3,0A ,()0,2B ,()2,6C ,则ABC ∆的BC 边上的中线所在的直线方程为( )A. 260x y ++=B. 260x y +-=C. 260x y --=D. 210x y --=【答案】B【解析】BC 的中点为()1,4D ,2AD k =-,∴BC 边上的中线所在的直线方程为()23y x =--,即260x y +-=.故选：B.6.若直线20x y ++=被圆224x y +=截得的弦长为则m =( )A.B. 5C. 10D. 25【答案】B【解析】圆的圆心坐标为()0,0,半径2r,直线被圆截得的弦长为1=,则5m =.故选：B. 7.若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】B【解析】因为对数函数0.2log y x=是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<.故选：B.8.已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A. 16π B. 20π C. 40π D. 40π3【答案】C【解析】因为圆柱的底面圆的面积为9π，所以圆柱的底面圆的半径为3r =，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径R ==则该球的表面积为24π40πR =. 故选：C. 9.函数()()32ln f x x x x=+的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ； 当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D.故选：C .【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 115πB. 140πC. 165πD. 215π【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成， 且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示：由三视图可知，半球半径为5，所以半球的表面积为21×4π×5=50π2， 圆锥的底面圆半径为5，母线长为13，所以圆锥的侧面积为π51365π⨯⨯=， 所以该几何体的表面积65π50π115πS =+=.故选：A. 11.已知()2,0A -,()2,0B ,点P 是圆C :()(2231x y -+=上的动点,则22AP BP+的最小值为( ) A. 9B. 14C. 18D. 26【答案】D的【解析】设O 为坐标原点,(),P x y ,则()()22222222AP BP x y x y +=+++-+()2222828x y PO =++=+,又()()222min 419PO OC r =-=-=,所以()22min18826AP BP+=+=.故选：D.12.设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x +=,e ln 4x x =+的实根,则( ) A.123x x x <+ B.213x x x << C.231x x x << D.321x x x <<【答案】C 【解析】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x=与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x +=由()3log 2y x =+与y =,如图所示,可得210x -<<；对于e ln 4xx =+,由e 4xy =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈，故231x x x <<二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______. 【答案】()()22125x y -+-=【解析】因为圆心的坐标为()1,2，()()22231125R =-+-=，所以该圆的标准方程为()()22125x y -+-=.故答案为：()()22125x y -+-=．14.已知函数()()25f x x αα=-是幂函数，则()f α=______.【答案】27 【解析】因为()()25f x x αα=-是幂函数，所以251α-=，解得3α=，即()3f x x =，所以()()327f f α==.故答案为：27.15.已知圆1C ：()()222110x y -+-=与圆2C ：2260x y x y +--=，则两圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】250x y --= 【解析】将圆1C ：()()222110x y -+-=化为224250x y x y +---=， 联立两圆方程2222425060x y x y x y x y ⎧+---=⎨+--=⎩两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为250x y --=. 故答案为：250x y --=.16.如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.【答案】【解析】易知DE BD ⊥，1DE A D⊥，1BDA D D=，所以DE ⊥平面1A BD，因为160A DB ∠=︒，12A D BD ==，所以12A B =.又//BC DE ，所以BC ⊥平面1A BD，所以1BC A B⊥，从而1AC ==.故答案为：三､解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}33|log log 5B x y x x ==+-.(1)当1a =时,求A B ;(2)若AB B =,求实数a 的取值范围.【解】(1)因为050x x >⎧⎨->⎩,所以05x <<,即{}|05B x x =<<,当1a =时,{|1A x x =≤-或}4x >,所以{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >.(2)因为AB B =,所以B A ⊆, {}|05B x x =<<,则30a +≤或25a -≥,即3a ≤-或7a ≥, 所以实数a 的取值范围为(][),37,-∞-+∞.18.已知直线l 的方程为43120x y +-=，1l与l 垂直且过点()1,3--.（1）求直线1l的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l的方程. 【解】（1）由1l 与l 垂直，则可设1l：340x y m -+=， ∵1l过()1,3--，∴()()31430m ⨯--⨯-+=，解得9m =-，∴1l：3490x y --=. （2）联立1l 与l ，可得1l与l 的交点坐标为()3,0，又2l 垂直于x 轴，则直线2l的方程为3x =.19.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a=++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-，所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩.（2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上.（1）求圆C 的方程； （2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.【解】（1）设圆心(),0C a ，则圆C 的方程可设为()222x a y a -+=.因为点()2,4P 在圆C 上，所以()22224a a -+=，解得5a =.故圆C 的方程为()22525x y -+=.（2）由（1）可知圆C 的圆心()5,0C ，半径=5r .因为8AB =，所以圆心C 到直线l 的距离3d ===，即231070m m ++=，解得1m =-或73m =-.21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥. （2）求三棱锥P ADE -的体积.【解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥. 又AB BC ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AD ⊥， 又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， 所以AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥.又DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，所以PC ⊥平面ADE . 因为AE ⊂平面ADE ，所以AE PC ⊥.（2）解：由（1）知PE 是三棱锥P ADE -的高，所以13P ADE ADE V S PE-∆=⋅.由已知5AC PA ==，又AB AP AD BP ⋅==122AE PE PC ===，由（1）知AD ⊥平面PBC ，则AD DE ⊥，所以DE ==，所以1122ADE S AD DE ∆=⋅==所以1112533234P ADE ADE V S PE -∆=⋅==. 22.已知函数2e 2e ()3x xf x -+=，其中e 为自然对数的底数.(1)证明:()f x 在(0,)+∞上单调递增；(2)函数25()3g x x =-，如果总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x f x g x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围. 【解】（1）设120x x <<，则11221222()()()()33x x x x f x f x e e e e ---=+-+1212211[()()]3x x x x e e e e =-+-1212122()(1)x x x x x x e e e e e e --=，∵120x x <<，∴12x x e e <，121xx e e>，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x (0,)+∞上单调递增；（2）总存1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x f x g x ∈R 都成立，即maxmax()()f x g x ≥，25()3g x x =-的最大值为max 5()3g x =， 22()3x xe ef x -+=是偶函数，在(0,)+∞是增函数，∴当[,]x a a ∈-时，max 22()()3a a e e f x f a -+==， ∴22533a a e e -+≥，整理得22520a a e e -+≥，(2)(21)0a a e e --≥， ∵0a >，∴1a e >，即210a e ->，∴20a e -≥，∴ln 2a ≥．即a 的取值范围是[ln 2,)+∞．。

甘肃省白银市会宁县2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3 5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．61.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是()A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：1+22×2×2=6．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图的应用，考查计算能力．2.已知a=log32，b=log95，c=30.1，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. b<c<a 【答案】A【解析】解：log95=log35log39=log352=log3√5>log32，log3√5<log33=1,30.1>30=1；∴a<b<c．故选：A．容易得出log95=log3√5>log32，log3√5<1,30.1>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对数的换底公式．3.已知直线l：x−√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|=()A. 2√3B. 4C. 4√3D. 6【答案】B【解析】解：圆心(0,0)到直线l的距离d=62=3，圆的半径r=2√3，∴|AB|=2√r2−d2=2√3，设直线l的倾斜角为α，则tanα=√33，∴α=30∘，过C作l的平行线交BD于E，则∠ECD=30∘，CE=AB=2√3，∴CD=CEcos∠ECD =2√3cos30∘=4．故选：B．利用垂径定理计算弦长|AB|，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．4. 关于x 的方程|lg|x −1||=a(a >0)的所有实数解的和为( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：方程|lg|x −1||=a(a >0)， 可得lg|x −1|=a 或−a ， 即有|x −1|=10a 或10−a ， 可得x =1±10a 或1±10−a ，则关于x 的方程|lg|x −1||=a(a >0)的所有实数解的和为4． 故选：B ．由绝对值的意义和对数的运算性质解方程即可得到所求和．本题考查方程的解的和的求法，注意绝对值的定义和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．5. 在四棱锥P −ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PC =2，点E 是PB 的中点，异面直线PC 与AE 所成的角为60∘，则该四棱锥的体积为( )A. 85B. 3√55C. 2D. 3【答案】A【解析】解：在四棱锥P −ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PC =2，点E 是PB 的中点，异面直线PC 与AE 所成的角为60∘， 作EF ⊥BC ，垂足为F ，连结AF ， 则F 是BC 的中点，EF ⊥平面ABCD ， EF =1，∠AEF =60∘，∴AF =√3， 设AB =a ，则a 2+a 24=3，解得a 2=125，∴该四棱锥的体积V =13a 2×2=85． 故选：A ．作EF ⊥BC ，垂足为F ，连结AF ，则F 是BC 的中点，EF ⊥平面ABCD ，EF =1，∠AEF =60∘，AF =√3，设AB =a ，则a 2+a 24=3，解得a 2=125，由此能求出该四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6. 已知函数f(x)={−ax 2+2ax −a +3,x <1a x +a,x≥1(a >0且a ≠1)，若函数f(x)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (0,23]B. (1,32]C. [2,+∞)D. [3,+∞)【答案】B【解析】解：函数f(x)={−ax2+2ax−a+3,x<1a x+a,x≥1(a>0且a≠1)，当0<a<1时，当x≥1时，有a<f(x)=a x+a≤2a，而二次函数y=−a(x−1)2+3开口向下，此时函数f(x)的值域不可能为R；当a>1时，当x≥1时，f(x)≥2a，当x<1时，f(x)<3，若f(x)的值域为R，只需2a≤3，可得1<a≤32．综上可得a的取值范围是(1,32].故选：B．对a讨论，分0<a<1和a>1，结合指数函数的单调性和值域，以及二次函数的值域求法，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的单调性和值域，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）7.已知点A(3,2，1)，点B(−1,4，3)，线段AB中点为M，O为坐标原点，则|OM|=______．【答案】√14【解析】解：∵点A(3,2，1)，点B(−1,4，3)，线段AB中点为M，O为坐标原点，∴M(1,3，2)，∴|OM|=√12+32+22=√14．故答案为：√14．利用线段中点坐标公式求出M(1,3，2)，再由两点间距离公式能求出|OM|的值．本题考查线段长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8.若xlog32=1，则4x−2−x=______．【答案】263【解析】解：xlog32=1，则log32x=1，∴2x=3，∴2−x=13，∴4x−2−x=9−13=263，故答案为：263．先求出2x=3，即可求出答案．本题考查了指数幂和对数的运算，属于基础题．9. 一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为V 1，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为V 2，则V1V 2=______．【答案】√22【解析】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为V 1， 绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为V 2， 设斜边长为2，则直角边长为√2， ∴V 1=2×13×π×12×1=2π3，V 2=13×(√2)2×√2=2√2π3， ∴V 1V 2=2π32√2π3=√22． 答案为：√22．设斜边长为2，则直角边长为√2，从而V 1=2×13×π×12×1=2π3，V 2=13×(√2)2×√2=2√2π3，由此能求出V 1V 2．本题考查两个旋转体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10. 定义域为[−2,2]的减函数f(x)是奇函数，若f(−2)=1，则t 2−at +2a +1≤f(x)对所有的−1≤t ≤1，及−2≤x ≤2都成立的实数a 的取值范围为______． 【答案】(−∞,−3]【解析】解：根据题意，f(x)为定义域为[−2,2]的奇函数，则f(2)=−f(−2)=−1， 则有−1≤f(x)≤1，当−1≤t ≤1时，t 2−at +2a +1≤−1即≤t 2−at +2a +2≤0恒成立， 令g(t)=t 2−at +2a +2， 必有{g(1)=a +3≤0g(−1)=3a+3≤0， 解可得：a ≤−3，则a 的取值范围为(−∞,−3]； 故答案为：(−∞,−3]．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得−1≤f(x)≤1，进而可得当−1≤t ≤1时，t 2−at +2a +1≤−1即≤t 2−at +2a +2≤0恒成立，令g(t)=t 2−at +2a +2，分析可得{g(1)=a +3≤0g(−1)=3a+3≤0，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）11.已知函数f(x)=ax2−2bx，f(1)=1，f(2)=5．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[−1,−12]上的值域．【答案】解：(1)∵f(1)=1，f(2)=5；∴{a−2b=14a−22b=5；解得a=3，b=1；f(x)=3x2−2x；(2)f(x)=3x−2x 在[−1,−12]上单调递增；f(−1)=−1,f(−12)=52；∴f(x)在[−1,−12]上的值域为[−1,52]．【解析】(1)根据f(1)=1，f(2)=5即可求出a=3，b=1，从而得出f(x)=3x2−2x；(2)容易判断f(x)=3x−2x 在[−1,−12]上是增函数，从而求出f(−1),f(−12)即可得出f(x)在[−1,−12]上的值域．考查函数值域的概念及求法，一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥AC，AE⊥PC，垂足为E．(1)证明：PC⊥平面ABE；(2)若PC=3PE，PD=3，M是BC中点，点N在PD上，MN//平面ABE，求线段PN的长．【答案】证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，∵AB⊥AC，PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，AB⊥PC，AE⊥PC，AB∩AE=A，∴PC⊥平面ABE．解：(2)∵MN//平面ABE，∴设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则MF//BE，MG//AB，又ABCD是平行四边形，CD//AB，∴MG//CD，∴CD//平面MFNG，∴CD//FN，∵M是BC中点，∴F是CE中点，∵PC =3PE ，∴PF =23PC ， ∴PN =23PD =2．【解析】(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，从而AB ⊥平面PAC ，由此能证明PC ⊥平面ABE ． (2)设过MN 与平面ABM 平行的平面与PC 交于点F ，与AD 交于点G ，则MF//BE ，MG//AB ，CD//AB ，MG//CD ，从而CD//平面MFNG ，进而CD//FN ，由此能求出PN ． 本题考查线面垂直的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13. 已知函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1)，f(x)在[13,2]上的最大值为1．(1)求a 的值；(2)当函数f(x)在定义域内是增函数时，令g(x)=f(12+x)+f(12−x)，判断函数g(x)的奇偶性，并求函数g(x)的值域．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1)，f(x)在[13,2]上的最大值为1，若a >1，则f(x)=log a x 为增函数，则有f(2)=1，解可得a =2； 若0<a <1，则f(x)=log a x 为减函数，则有f(13)=1，解可得a =13； 故a 的值为2或13；(2)根据题意，若函数f(x)为增函数，则a >1，g(x)=f(12+x)+f(12−x)=log a (12+x)+log a (12−x)；有{12+x >012−x >0，解可得−12<x <12，即函数的定义域为(−12,12)；又由g(−x)=log a (12−x)+log a (12+x)=g(x)，则函数g(x)为偶函数； 又由g(x)=log a (12+x)+log a (12−x)=log a (14−x 2)， 设t =14−x 2，x ∈(−12,12)，则y =log a t ， 又由t =14−x 2，则0<t ≤14， 则g(x)≤−2，故g(x)的值域为(−∞,−2]．【解析】(1)根据题意，结合对数函数的最大值，分a >1与0<a <1两种情况讨论，求出a 的值，即可得答案；(2)根据题意，求出g(x)的解析式，分析可得g(−x)与g(x)的关系，可得g(x)为偶函数，设t =14−x 2，x ∈(−12,12)，则y =log a t ，分析t 的取值范围，由对数函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与值域，(2)中注意结合函数的单调性分析a的值．14.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=5，AB=6，BB1=6，BC1∩B1C=O，D是线段AB的中点．(1)证明：AC1//平面B1CD；(2)求三棱锥A1−OCD的体积．【答案】解：(1)证明：在△ABC1中，∵O，D为中点，∴OD//AC1，∵OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1//平面B1CD；(2)∵O为CB1中点，∴V A1−OCD =12V B1−A1CD=12V C−A1B1D，易得：S△A1B1D =12A1B1×BB1=12×6×6=18，在等腰三角形CAB中，CD⊥AB，∴CD⊥平面A1B1D，且CD=4，∴V C−A1B1D =13×18×4=24，∴V A1−OCD=12．故三棱锥A1−OCD的体积为：12．【解析】(1)利用中位线易得线线平行，进而得线面平行；(2)利用底或高的关系，把所求体积转化为三棱锥C−A1B1D体积的一半，得解．此题考查了线面平行，转化法求体积等，难度适中．15.已知f(log2x)=2x−1x．(1)判断f(x)的单调性，并用定义法加以证明；(2)若实数t满足不等式f(3t−1)−f(−t+5)>0，求t的取值范围．【答案】解：(1)令t=log2x，(t∈R)，则x=2t，f(t)=2t+1−2−t∴f(x)=2×2x−2−x，任取x1，x2∈R，且x1<x2，∵f(x1)−f(x2)=2×2x1−2−x1−2×2x2+2−x2=2(2x1−2x2)+2x1−2x2 2x1+x2=(2x1−2x2)(2+12x1+x2)，∵x1<x2，∴2x1<2x2，∴f(x1)−f(x2)<0即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是增函数(2)不等式化为f(3t −1)>f(−t +5) ∵f(x)在R 上是增函数，∴3t −1>−t +5，∴t >32∴t 的取值范围是(32,+∞)【解析】(1)先用换元法求出函数f(x)的解析式f(x)=2×2x −2−x ，再用复合函数单调性判断方法得到单调性，最后用定义证明即可； (2)根据函数f(x)的单调性可解得．本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．16. 已知圆M 过点(−72,√32)且与圆N ：x 2+8x +y 2−1=0为同圆心，圆N 与y 轴负半轴交于点C ．(1)若直线y =√33x +m 被圆M 截得的弦长为√3，求m 的值；(2)设直线：y =kx +3与圆M 交于点A ，B ，记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，若x 1x 2+(y 1+1)(y 2+1)=12，求k 的值．【答案】解：(1)圆N 的圆心为(−4,0)，故可设圆M 的方程为(x +4)2+y 2=r 2， 则(−72+4)2+(√32)2=r 2=1，∴圆M 的标准方程为(x +4)2+y 2=r 2， ∵直线y =√33x +m 被圆M 截得的弦长为√3，∴M 到直线y =√33x +m 的距离d =|−4√33+m|√1+13=(√32)=12，∴m =√3或m =5√33(2)联立方程{y =kx +3(x+4)2+y 2=1，消y 可得(1+k 2)x 2+(6k +8)x +24=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6k+81+k 2，x 1x 2=241+k 2， △=(6k +8)2−96(1+k 2)>0，(∗)，∴x 1x 2+(y 1+1)(y 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+16=24−4k(6k+8)1+k 2+16=12，解得k =1或k =7， 但k =7不满足(∗)，∴k =1【解析】(1)根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出，(2)联立方程{y =kx +3(x+4)2+y 2=1，消y 可得(1+k 2)x 2+(6k +8)x +24=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，整理后代入根与系数关系求解实数k 的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．。

甘肃省白银市靖远县2018-2019学年高一上学期期末考试英语试题本试卷共120分。

考试时间100分钟。

第一部分阅读理解(共两节，满分40分)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项。

AVacation Packages in Los AngelesA Disney in Los Angeles Vacation packageEnjoy a fantastic and magical adventure in the Los Angeles area with a Disney Vacation in Los Angeles, which includes four nights of stay and a 1-day Disneyland Park Hopper (通票) with transport which will help you set up a perfect experience to Disney.Details:4 Nights stay in your choice of over 85 hotelsDisneyland 1-day Park Hopper with transportDescription:People of all ages love Disneyland, and you will have the park’s all kinds of rides and attractions. If you would prefer to look for excitement on exciting rides like Space Mountain, you are sure to find something new and exciting at Disneyland!Experience of the Hollywood Stars Vacation packageWith Experience of the Hollywood Stars, you can get a two-night stay at a hotel and the chance to see some of the most popular stars of Los Angeles!Details:2 Nights’ stay in your choice of over 85 hotelsStars’ Homes and Rodeo Drive Shopping TourDescription:The package includes the Stars Homes and Rodeo Drive Shopping Tour, so you are sure to have a fantastic time in having a look at the houses of your favorite stars and having a fantastic time in shopping as well.Places of Interest in Los Angeles Vacation packageThe fantastic city of Los Angeles has much to offer, and you can take full advantage of it with the Places of Interest in Los Angeles Vacation, offering three nights of stay at your choice of hotels.Details:3 Nights’ stay in your choice of over 85 hotelsHalf Day Hollywood and Beverly Hills TourDescription:Visit the most beautiful sights in the area and come back to your freshly-made bed for all three nights of your stay. You’ll be able to enjoy every moment of your vacation whether in your room or out on the town.1. What can you do in the Experience of the Hollywood Stars Vacation package?A. Enjoy all kinds of rides and shows.B. Visit the most wonderful sights.C. Have great fun in shopping.D. Meet your favourite stars in their homes.2. Which activity can you enjoy in the Vacation Packages in Los Angeles?A. Watching Disneyland cartoons.B. Having dinner with stars.C. Riding bikes around Los Angeles.D. Seeing the houses of stars.3. In which part of newspaper can you read the text?A. Travelling.B. Art.C. Fashion.D. Sport.这是一篇广告布告类阅读。

2018-2019学年高一上学期期末数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.2.若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为A. 1B.C.D. 23.函数的定义域为A. B. C. D. ，4.已知直线与直线垂直，则a的值为A. 0B.C. 1D.5.若幂函数的图象过点，则函数的零点为A. 1B. 2C. 3D. 46.设，表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 88.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.9.已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则A. B. 4 C. D. 610.关于x的方程的所有实数解的和为A. 2B. 4C. 6D. 811.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，则该四棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 312.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，则______．14.若，则______．15.一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，则______．16.定义域为的减函数是奇函数，若，则对所有的，及都成立的实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，，．求函数的解析式；求函数在上的值域．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，垂足为E．证明：平面ABE；若，，M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．19.已知函数且，在上的最大值为1．求a的值；当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域．20.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，，D是线段AB的中点．证明：平面；求三棱锥的体积．21.已知．判断的单调性，并用定义法加以证明；若实数t满足不等式，求t的取值范围．22.已知圆M过点且与圆N：为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C．若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；设直线：与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值．【解析卷】会宁县2018-2019学年高一上学期期末数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，，则．故选：A．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则，又，由解得，，高．故选：C．设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，列方程组求得r、l和h的值．本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：由，解得．函数的定义域为．故选：B．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.已知直线与直线垂直，则a的值为A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：时，两条直线不垂直．，由，解得：．综上可得：．故选：C．对a分类讨论L利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了直线垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若幂函数的图象过点，则函数的零点为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设幂函数为常数．幂函数的图象过点，，解得．，令，即，解得：，，故选：D．求出幂函数的解析式，解方程求出函数的零点即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，考查方程问题，是一道常规题．6.设，表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】解：A中缺少的情况；B中，也可能相交；C中缺少的情况；故选：D．前三个选项都漏掉了一种情况，最后一项有定理作保证，故选D．此题考查了直线，平面之间的位置关系，难度不大．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图的应用，考查计算能力．8.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，；．故选：A．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对数的换底公式．9.已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则A. B. 4 C. D. 6【答案】B【解析】解：圆心到直线l的距离，圆的半径，，设直线l的倾斜角为，则，，过C作l的平行线交BD于E，则，，．故选：B．利用垂径定理计算弦长，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．10.关于x的方程的所有实数解的和为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：方程，可得或，即有或，可得或，则关于x的方程的所有实数解的和为4．故选：B．由绝对值的意义和对数的运算性质解方程即可得到所求和．本题考查方程的解的和的求法，注意绝对值的定义和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．11.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，则该四棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】解：在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，该四棱锥的体积．故选：A．作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，由此能求出该四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数且，当时，当时，有，而二次函数开口向下，此时函数的值域不可能为R；当时，当时，，当时，，若的值域为R，只需，可得．综上可得a的取值范围是故选：B．对a讨论，分和，结合指数函数的单调性和值域，以及二次函数的值域求法，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的单调性和值域，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，则______．【答案】【解析】解：点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，3，，．故答案为：．利用线段中点坐标公式求出3，，再由两点间距离公式能求出的值．本题考查线段长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.若，则______．【答案】【解析】解：，则，，，，故答案为：．先求出，即可求出答案．本题考查了指数幂和对数的运算，属于基础题．15.一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，则______．【答案】【解析】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，设斜边长为2，则直角边长为，，，．答案为：．设斜边长为2，则直角边长为，从而，，由此能求出．本题考查两个旋转体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.定义域为的减函数是奇函数，若，则对所有的，及都成立的实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，为定义域为的奇函数，则，则有，当时，即恒成立，令，必有，解可得：，则a的取值范围为；故答案为：．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得，进而可得当时，即恒成立，令，分析可得，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，，．求函数的解析式；求函数在上的值域．【答案】解：，；；解得，；；在上单调递增；；在上的值域为．【解析】根据，即可求出，，从而得出；容易判断在上是增函数，从而求出即可得出在上的值域．考查函数值域的概念及求法，一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，垂足为E．证明：平面ABE；若，，M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．【答案】证明：底面ABCD，，，，平面PAC，平面PAC，，，，平面ABE．解：平面ABE，设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，又ABCD是平行四边形，，，平面MFNG，，是BC中点，是CE中点，，，．【解析】推导出，，从而平面PAC，由此能证明平面ABE．设过MN与平面ABM平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，，，从而平面MFNG，进而，由此能求出PN．本题考查线面垂直的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知函数且，在上的最大值为1．求a的值；当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域．【答案】解：根据题意，函数且，在上的最大值为1，若，则为增函数，则有，解可得；若，则为减函数，则有，解可得；故a的值为2或；根据题意，若函数为增函数，则，；有，解可得，即函数的定义域为；又由，则函数为偶函数；又由，设，，则，又由，则，则，故的值域为．【解析】根据题意，结合对数函数的最大值，分与两种情况讨论，求出a的值，即可得答案；根据题意，求出的解析式，分析可得与的关系，可得为偶函数，设，，则，分析t的取值范围，由对数函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与值域，中注意结合函数的单调性分析a的值．20.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，，D是线段AB的中点．证明：平面；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在中，，D为中点，，平面，平面，平面；为中点，，易得：，在等腰三角形CAB中，，平面，且，，．故三棱锥的体积为：12．【解析】利用中位线易得线线平行，进而得线面平行；利用底或高的关系，把所求体积转化为三棱锥体积的一半，得解．此题考查了线面平行，转化法求体积等，难度适中．21.已知．判断的单调性，并用定义法加以证明；若实数t满足不等式，求t的取值范围．【答案】解：令x，，则，，任取，，且，，，，即，在R上是增函数不等式化为在R上是增函数，，的取值范围是【解析】先用换元法求出函数的解析式，再用复合函数单调性判断方法得到单调性，最后用定义证明即可；根据函数的单调性可解得．本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．22.已知圆M过点且与圆N：为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C．若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；设直线：与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值．【答案】解：圆N的圆心为，故可设圆M的方程为，则，圆M的标准方程为，直线被圆M截得的弦长为，到直线的距离，或联立方程，消y可得，设，，则，，，，，解得或，但不满足，【解析】根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出，联立方程，消y可得，设，，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．。

2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题p：∀x∈R，|x|＞x，则￢p为（）A．∃x0∈R，|x0|＜x0B．∀x∈R，|x|＜xC．∀x∈R，|x|≤x D．∃x0∈R，|x0|≤x02．（5分）若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝5，c＝9，则sin C ＝（）A．B．C．D．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣1B．0C．D．16．（5分）曲线y＝e﹣x在点A（0，1）处切线斜率为（）A．1B．﹣1C．e D．7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线x2＝16y的焦点重合，且点（0，b）到该双曲线的渐近线的距离大于2，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（）8．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1，则a5＝（）A．16B．17C．31D．329．（5分）“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1，，a2成等差数列，则q＝（）A．B．C．D．或11．（5分）过焦点为F的抛物线y2＝12x上一点M向其准线作垂线，垂足为N，若直线NF 的斜率为﹣，则|MF|＝（）A．2B．2C．4D．412．（5分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），定点M（，0），若椭圆C上存在点N，使得|FM|＝|FN|，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（）C．[）D．[）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是命题．（填“真”或“假”）14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B+c sin C＝a sin A，则A ＝．15．（5分）函数在（0，e2]上的最大值是．16．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝2，若4x+y＞7m﹣m2恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，且经过点（0，1）和（3，0）；（2）离心率为，短轴长为8．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＝c sin A．（1）求C；（2）若c＝3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）在等差数列{a n}中，a5＝7，a2+a6＝12．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列，{b n}的前n项和S n．20．（12分）设函数f（x）＝（x+1）2+axe x．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．21．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．22．（12分）已知函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，求a，b的值；（2）若a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定￢p：∃x0∈R，|x0|≤x0，故选：D．2．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．3．【解答】解：双曲线的离心率，且其虚轴长为8，由，得．可得．故选：B．4．【解答】解：∵a＝6，b＝5，c＝9，∴cos C＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴sin C＝＝．故选：D．5．【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z越小作直线L：y＝2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z最小，由可得A（，），此时z＝．故选：C．6．【解答】解：曲线y＝e﹣x，可得y′＝﹣e﹣x，曲线y＝e﹣x在点A（0，1）处切线斜率为：﹣1．故选：B．7．【解答】解：设双曲线的焦距为2c（c＞0），抛物线的焦点坐标为（4，0），所以，c＝4，双曲线的渐近线方程为，即ax±by＝0，所以，点（0，b）到该双曲线的渐近线的距离为，则b2＞8，则，所以，，所以，，因此，该双曲线的离心率为取值范围为．故选：D．8．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1，则a2＝a1+20＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+22＝4+4＝8，a5＝a4+23＝8+8＝16．故选：A．9．【解答】解：“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，解得：m∈（2，4）∪（4，6），设集合A＝（2，4）∪（4，6），集合B＝（2，6），因为A⊊B，所以“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m＜6”的充分不必要条件，故选：A．10．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，且q＞0，由a1，，a2成等差数列，可得a3＝a1+a2，即有a1q2+a1+a1q，即有q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，故选：C．11．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标（3，0），则DF＝6，直线NF的斜率为﹣，可得DN＝2，则抛物线y2＝12x可得：12＝12x，解得x＝1，所以M（1，2），|MF|＝3+1＝4．故选：C．12．【解答】解：∵N为椭圆C：＝1（a＞b＞0）上的点，F（c，0）为椭圆的右焦点，则a﹣c≤|FN|≤a+c，又M（，0），∴|FM|＝，由题意，得a﹣c＜≤a+c，解得：．又0＜e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是“若x≤1，则x≤0”，可判断为假命题．14．【解答】解：∵b sin B+c sin C＝a sin A，∴由正弦定理，化简已知的等式得：b2+c2＝a2，∴A＝．故答案为：．15．【解答】解：函数，，令f′（x）＝0，解得x＝e．因为0＜e＜e2，函数f（x）在x∈（0，e]上单调递增，在x∈[e，e2]单调递减；x＝e时，f（x）取得最大值，f（e）＝．故答案为：．16．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+＝2，∴4x+y＝（4x+y）（）×＝＝12，当且仅当且即x＝，y＝6时取得最小值12，∵4x+y＞7m﹣m2恒成立，∴12＞7m﹣m2，解可得m＞4或m＜3，则m的取值范围为（4，+∞）∪（﹣∞，3），故答案为：（4，+∞）∪（﹣∞，3）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．由于椭圆经过点（0，1）和（3，0），则，故所求椭圆的方程为．（2）由，得，若椭圆焦点在x轴上，则方程为；若椭圆焦点在y轴上，则方程为．18．【解答】解：（1）∵a cos C＝c sin A，∴由正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，∵sin A≠0，∴cos C＝sin C，可得：tan C＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）∵c＝3，C＝，△ABC的面积为＝ab sin C＝ab，∴可得：ab＝4，∵由余弦定理可得：18＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣12，∴解得：a+b＝，∴△ABC的周长a+b+c＝+3．19．【解答】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a5＝7，a2+a6＝12，可得a1+4d＝7，2a1+6d＝12，解得a1＝3，d＝1，可得a n＝a1+（n﹣1）d＝3+n﹣1＝n+2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（+﹣﹣）＝﹣．20．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（x+1）2+xe x，f′（x）＝（x+1）（e x+2），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（﹣1）＝﹣，无极大值；（2）证明：a＝﹣1时，f（x）＝（x+1）2﹣xe x，f′（x）＝（x+1）（2﹣e x），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝ln2＞0，故x∈（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（﹣1，ln2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，ln2）递增，在（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）递减．21．【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x＝﹣2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2＝8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12﹣y22＝8（x1﹣x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k＝4，则直线l的方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，与y2＝8x联立得16x2﹣32x+9＝0，得，．22．【解答】解：（1）函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx的导数为f′（x）＝2（a﹣b）x﹣1﹣（1+lnx）＝2（a﹣b）x﹣2﹣lnx，在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，可得2（a﹣b）﹣2＝0，且a﹣b﹣1＝a，解得a＝0，b＝﹣1；（2）a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即为（1﹣b）x2﹣x﹣xlnx≥0对x＞0恒成立，可得b≤（1﹣﹣）min，设g（x）＝1﹣﹣，g′（x）＝﹣＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有g（x）在x＝1处取得最小值，且为0，可得b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．。

2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）设命题p ：∀x ∈R ，|x |＞x ，则￢p 为（ ） A ．∃x 0∈R ，|x 0|＜x 0 B ．∀x ∈R ，|x |＜x C ．∀x ∈R ，|x |≤x D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤x 02．（5分）椭圆点＝1的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，l ⊄α，则使l ∥α成立的是（ ） A ．＝（1，﹣1，2），＝（﹣1，1，﹣2） B ．＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，1，1）C ．＝（1，1，0），＝（2，﹣1，0）D ．＝（1，﹣2，1），＝（1，1，2）5．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z ＝2x ﹣y 的最小值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．D ．16．（5分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若＝，＝，＝，则＝（ ）A ． +B ．C ．D ．7．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +2n ﹣1，则a 5＝（ ） A ．16 B ．17C ．31D ．328．（5分）“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m ＜6”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（5分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1，，a 2成等差数列，则q ＝（ ）A ．B ．C ．D ．或10．（5分）过焦点为F 的抛物线y 2＝12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为﹣，则|MF |＝（ ）A ．2B ．2C ．4D ．411．（5分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．﹣D ．12．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c ＝2，且2a sin C cos B ＝a sin A ﹣b sin B +b sin C ，点O 满足＝，cos ∠CAO ＝，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．3C ．5D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上 13．（5分）命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是 命题．（填“真”或“假”） 14．（5分）双曲线x 2﹣2y 2＝2的渐近线方程为 ．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b sin B ﹣c sin C ＝3c sin A ，且a ＝2c ，则B ＝ ．16．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且+＝2，若4x +y ＞7m ﹣m 2恒成立，则m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＝c sin A ．（1）求C ；（2）若c ＝3，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．18．（12分）在等差数列{a n }中，a 5＝7，a 2+a 6＝12． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n＝，求数列，{b n}的前n项和S n．19．（12分）在△PCD中，∠PCD＝，A，B分别为PD，PC的中点，现将△PAB沿AB折起，使△PBC为正三角形，且CD＝BC＝4．（1）证明：AB⊥平面PBC（2）求直线DP与平面PAC所成角的余弦值．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，SA⊥BC，SC⊥AC，SC＝6，M，N分别为线段AB，BC上的点，且CM＝MN＝2，BC＝3BN＝6．（1）证明：MN⊥SM；（2）求二面角A﹣SM﹣N的余弦值．21．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．22．（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知定点P（0，2），是否存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点，且以|AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）设命题p ：∀x ∈R ，|x |＞x ，则￢p 为（ ） A ．∃x 0∈R ，|x 0|＜x 0 B ．∀x ∈R ，|x |＜x C ．∀x ∈R ，|x |≤xD ．∃x 0∈R ，|x 0|≤x 0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【解答】解：命题是全称命题， 则命题的否定￢p ：∃x 0∈R ，|x 0|≤x 0， 故选：D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．2．（5分）椭圆点＝1的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．【解答】解：椭圆点＝1，可得a ＝，b ＝，c ＝，可得e ＝＝＝．故选：A ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（5分）已知双曲线的离心率，且其虚轴长为8，则双曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用双曲线的离心率以及虚轴长，列出方程组，然后求解双曲线方程即可．【解答】解：双曲线的离心率，且其虚轴长为8，由，得．可得．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．4．（5分）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，则使l∥α成立的是（）A．＝（1，﹣1，2），＝（﹣1，1，﹣2）B．＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，1，1）C．＝（1，1，0），＝（2，﹣1，0）D．＝（1，﹣2，1），＝（1，1，2）【分析】由直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，使l∥α成立，得到＝0，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为，l⊄α，使l∥α成立，∴＝0，在A中，＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，故A错误；在B中，＝﹣2﹣1+3＝0，故B成立；在C中，＝2﹣1＝1，故C错误；在D中，＝1﹣2+2＝1，故D错误．故选：B．【点评】本题考查线面平行的判断与求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．5．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．1【分析】作出满足不等式组的可行域，由z＝2x﹣y可得y＝2x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可求z的最大值【解答】解：作出x ，y 满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z ＝2x ﹣y 可得y ＝2x ﹣z ，则﹣z 表示目标函数在y 轴上的截距，截距越大，z 越小 作直线L ：y ＝2x ，然后把直线l 向平域平移，由题意可得，直线平移到A 时，z 最小，由可得A （，），此时z ＝．故选：C ．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．6．（5分）在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若＝，＝，＝，则＝（ ）A ． +B ．C ．D ．【分析】利用＝﹣＝﹣即可得出．【解答】解：＝﹣＝﹣＝﹣﹣．故选：B ．【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（5分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +2n ﹣1，则a 5＝（ ） A ．16B ．17C ．31D ．32【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +2n ﹣1，则a 2＝a 1+20＝2，a 3＝a 2+2＝4， a 4＝a 3+22＝4+4＝8， a 5＝a 4+23＝8+8＝16．故选：A ．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．8．（5分）“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m ＜6”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先求“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件，为“m ∈（2，4）∪（4，6）”，再由集合A ＝（2，4）∪（4，6），集合B ＝（2，6）的包含关系得解．【解答】解：“方程＝1表示的曲线为椭圆”的充要条件为，解得：m ∈（2，4）∪（4，6），设集合A ＝（2，4）∪（4，6），集合B ＝（2，6）， 因为A ⊊B ，所以“方程＝1表示的曲线为椭圆”是“2＜m ＜6”的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的性质及充分、必要条件，及集合的包含关系，属简单题．9．（5分）已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1，，a 2成等差数列，则q ＝（ ）A ．B ．C ．D ．或【分析】由题意可得q ＞0，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求q 的值．【解答】解：等比数列{a n }的各项均为正数，且q ＞0，由a 1，，a 2成等差数列，可得a 3＝a 1+a 2， 即有a 1q 2+a 1+a 1q ， 即有q 2﹣q ﹣1＝0，解得q ＝，故选：C ．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．（5分）过焦点为F 的抛物线y 2＝12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为﹣，则|MF |＝（）A．2 B．2C．4 D．4【分析】利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标（3，0），则DF＝6，直线NF的斜率为﹣，可得DN＝2，则抛物线y2＝12x可得：12＝12x，解得x＝1，所以M（1，2），|MF|＝3+1＝4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．﹣D．【分析】取AC的中点O，连结OP，OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与PD所成角的余弦值．【解答】解：取AC的中点O，连结OP，OB，∵PA＝PC，∴AC⊥OP，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴OP⊥平面ABC，又∵AB＝BC，∴AC⊥OB，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵△PAC是等腰直角三角形，PA＝PC＝4，△ABC为直角三角形，∴A（2，0，0），C（﹣2，0，0），P（0，0，2），D（，，0），∴＝（﹣4，0，0），＝（，，﹣2），∴cos＜，＞＝．∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知c＝2，且2a sin C cos B＝a sin A﹣b sin B+b sin C，点O满足＝，cos∠CAO＝，则△ABC的面积为（）A．B．3C．5D．【分析】求出b的值，根据余弦定理求出||＝，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：∵2a sin C cos B＝a sin A﹣b sin B+b sin C，∴2ac•＝a2﹣b2+bc，即c＝b，又c＝2，故b＝4，∵＝，∴O是△ABC的重心，∴+＝3，故＝3﹣，两边平方得：＝9﹣6||||cos∠CAO+，∵cos∠CAO＝，故＝9﹣6||||×+，于是9﹣9||﹣4＝0，故||＝，△AOC的面积S＝×||×||×sin∠CAO＝，故S＝，△ABC故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用以及三角形的面积以及转化思想，是一道常规题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上13．（5分）命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是假命题．（填“真”或“假”）【分析】根据否命题的定义写出并判断命题的真假．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是“若x≤1，则x≤0”，可判断为假命题．【点评】本题考查四种命题的关系以及判断命题的真假，否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键．14．（5分）双曲线x2﹣2y2＝2的渐近线方程为y＝±x．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为y＝±x，即可得到所求．【解答】解：双曲线x2﹣2y2＝2即为：﹣y2＝1，即有a＝，b＝1，则渐近线方程为y＝±x，即有y＝±x．故答案为：y＝±x．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin B﹣c sin C＝3c sin A，且a＝2c，则B＝．【分析】由已知利用正弦定理可得b2﹣c2＝3ca，又a＝2c，利用余弦定理可求cos B＝﹣，结合范围B∈（0，π），可求B的值．【解答】解：∵b sin B﹣c sin C＝3c sin A，∴b2﹣c2＝3ca，又∵a＝2c，∴cos B＝＝＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，且+＝2，若4x+y＞7m﹣m2恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，3）∪（4，+∞）．【分析】由已知可得4x+y＝（4x+y）（）×，利用基本不等式可求其最值，然后由4x+y＞7m﹣m2恒成立，可知（4x+y）min＞7m﹣m2，可求【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+＝2，∴4x+y＝（4x+y）（）×＝＝12，当且仅当且即x＝，y＝6时取得最小值12，∵4x+y＞7m﹣m2恒成立，∴12＞7m﹣m2，解可得m＞4或m＜3，则m的取值范围为（4，+∞）∪（﹣∞，3），故答案为：（4，+∞）∪（﹣∞，3）．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，一元二次不等式的解法，恒成立问题与最值问题的转化是求解本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＝c sin A．（1）求C；（2）若c ＝3，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin A ≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tan C ＝，结合范围C ∈（0，π），可求C ＝．（2）由已知利用三角形面积公式可求ab ＝4，进而根据余弦定理可得a +b ＝，即可求得三角形的周长．【解答】解：（1）∵a cos C ＝c sin A ，∴由正弦定理可得： sin A cos C ＝sin C sin A ，∵sin A ≠0，∴cos C ＝sin C ，可得：tan C ＝，∵C ∈（0，π），∴C ＝．（2）∵c ＝3，C ＝，△ABC 的面积为＝ab sin C ＝ab ，∴可得：ab ＝4，∵由余弦定理可得：18＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝（a +b ）2﹣12，∴解得：a +b ＝，∴△ABC 的周长a +b +c ＝+3．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（12分）在等差数列{a n }中，a 5＝7，a 2+a 6＝12． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n ＝，求数列，{b n }的前n 项和S n ．【分析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；（2）求得b n ＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，a 5＝7，a 2+a 6＝12， 可得a 1+4d ＝7，2a 1+6d ＝12， 解得a 1＝3，d ＝1，可得a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3+n ﹣1＝n +2；（2）b n ＝＝＝（﹣），可得前n 项和S n ＝（﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（+﹣﹣）＝﹣．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．19．（12分）在△PCD中，∠PCD＝，A，B分别为PD，PC的中点，现将△PAB沿AB折起，使△PBC为正三角形，且CD＝BC＝4．（1）证明：AB⊥平面PBC（2）求直线DP与平面PAC所成角的余弦值．【分析】（1）推导出AB⊥PB，AB⊥BC，由此能证明AB⊥平面PBC．（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DP与平面PAC 所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵在△PCD中，∠PCD＝，A，B分别为PD，PC的中点，将△PAB沿AB折起，使△PBC为正三角形，且CD＝BC＝4．∴PA＝＝＝2，AB＝2，∴AB2+PB2＝PA2，∴AB⊥PB，∵AB⊥BC，PB∩BC＝B，∴AB⊥平面PBC．（2）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，D（4，4，0），P（0，0，4），A（2，0，0），C（0，4，0），＝（4，4，﹣4），＝（2，0，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面PAC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，1，1），设直线DP与平面PAC所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴cosθ＝＝．∴直线DP与平面PAC所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，AC⊥BC，SA⊥BC，SC⊥AC，SC＝6，M，N分别为线段AB，BC上的点，且CM＝MN＝2，BC＝3BN＝6．（1）证明：MN⊥SM；（2）求二面角A﹣SM﹣N的余弦值．【分析】（1）由AC⊥BC，SA⊥BC，得BC⊥SC，又SC⊥AC，得SC⊥平面ABC，SC⊥MN．再求出CM⊥MN．从而MN⊥平面SCM，由此能证明MN⊥SM．（2）过M作MG垂直CN于G，以C为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣SM﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）由AC⊥BC，SA⊥BC，且SA∩AC＝A，则BC ⊥平面SAC ，SC ⊂平面SAC ，故BC ⊥SC ， 又SC ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，则SC ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，故SC ⊥MN ．因为NC ＝4，，所以CN 2＝CM 2+NM 2，故CM ⊥MN ． 又因为CM ∩SC ＝C ，所以MN ⊥平面SCM ， 又SM ⊂平面SCM ，则MN ⊥SM解：（2）由（1）知，△CMN 为等腰直角三角形， 过M 作MG 垂直CN 于G ，由题意知，CG ＝GN ＝MG ＝2，又BC ＝3BN ，故BG ＝4由AC ⊥BC ，MG ⊥CN ，得AC ∥GM ，故AC ＝3以C 为坐标原点，分别以为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C ﹣xyz ，如图所示，则C （0，0，0），A （0，3，0），S （0，0，6），M （2，2，0），N （4，0，0），，，．设平面SAM 的法向量为，则，令x 1＝1，得设平面SMN 的法向量为则，令x 2＝3，则y 2＝3，z 2＝2，故，，由图可知二面角A ﹣SM ﹣N 为钝角，故二面角A ﹣SM ﹣N 的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知动圆C 过定点F （2，0），且与直线x ＝﹣2相切，圆心C 的轨迹为E ， （1）求E 的轨迹方程；（2）若直线l 交E 与P ，Q 两点，且线段PQ 的中心点坐标（1，1），求|PQ |．【分析】（1）利用动圆C 过定点F （2，0），且与直线l 1：x ＝﹣2相切，所以点C 的轨迹是以F 为焦点x ＝﹣2为基准线的抛物线，即可求动点C 的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ |． 【解答】解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线x ＝﹣2的距离， 所以点C 的轨迹是以F 为焦点x ＝﹣2为基准线的抛物线， 所以所求E 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）由题意已知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有，两式作差得y 12﹣y 22＝8（x 1﹣x 2）即得，因为线段PQ 的中点的坐标为（1，1），所以k ＝4， 则直线l 的方程为y ﹣1＝4（x ﹣1），即y ＝4x ﹣3， 与y 2＝8x 联立得16x 2﹣32x +9＝0，得，．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题22．（12分）已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点P （0，2），是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以|AB |为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，使以|AB |为直径的圆过椭圆C 的左顶点，则，转化求解K ，即可得到直线方程．【解答】解：（1）直线的一般方程为bx +ay ﹣ab ＝0．依题意，解得，故椭圆C 的方程式为．（2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以|AB |为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx +2．由，得（3+5k 2）x 2+20kx +5＝0．由△＝400k 2﹣20（3+5k 2）＞0，得．记A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，，而y 1y 2＝（kx 1+2）（kx 2+2）＝k 2x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4．要使以|AB |为直径的圆过椭圆C 的左顶点，则，即＝＝0，所以＝0，整理解得或，所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以|AB |为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为或．【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。