2019-2020学年甘肃省白银市靖远县高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|10B x x =-<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}|12x x << B ．{}|12x x <≤C ．{}|12x x ≤<D ．{}|12x x ≤≤【答案】C【解析】确定集合B ，由集合运算的定义求解． 【详解】因为集合{}{}|10|1B x x x x =-<=<，所以{}|1R C B x x =≥，所以(){}|12R A C B x x =≤<I .故选：C. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2．函数()()lg 2f x x +的定义域是（ ） A ．(]2,5- B ．()2,5-C ．(]2,5D ．()2,5【答案】A【解析】使解析式有意义，因此必须有5x 0-≥且20x +>． 【详解】由()()lg 2f x x =+，得5020x x -≥⎧⎨+>⎩，即52x x ≤⎧⎨>-⎩，所以(]2,5x ∈-.故选：A. 【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围． 3．若直线220x y -+=与()3510x a y +-+=平行，则a 的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．132D ．132-【答案】B【解析】由两直线平行的充要条件计算．因为直线220x y -+=与()3510x a y +-+=平行，所以351122a -=≠-，解得1a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件．两直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=平行，12210A B A B -=是必要条件，不是充要条件，仅由12210A B A B -=求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．4．函数()542xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间是( )A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()0,1【答案】A【解析】根据函数单调递增和()10f <,()20f >得到答案. 【详解】()f x 是单调递增函数,且()3102f =-<,()9204f =>,所以()f x 的零点所在的区间为()1,2 故选：A 【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5．已知()3,0A ,()0,2B ,()2,6C ,则ABC ∆的BC 边上的中线所在的直线方程为( )A ．260x y ++=B ．260x y +-=C ．260x y --=D ．210x y --=【答案】B【解析】计算得到()1,4D ，2AD k =-，再计算直线方程得到答案. 【详解】BC 的中点为()1,4D ,2AD k =-,∴BC 边上的中线所在的直线方程为()23y x =--,即260x y +-=. 故选：B本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.6．若直线20x y +=被圆224x y +=截得的弦长为则m =( )A ．B ．5C ．10D ．25【答案】B【解析】圆的圆心坐标为()0,0,半径2r =1=，计算得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为()0,0,半径2r =,直线被圆截得的弦长为1=,则5m =. 故选：B 【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.7．若实数0.2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.3log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【解析】与中间值 0和1比较后可得． 【详解】因为对数函数0.2log y x =是单调递减的，所以0.20.2log 0.3log 0.21a =<=，同理，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，所以01a b <<<，而0.30.3log 2log 10c =<=，所以c a b <<.故选：B. 【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．8．已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ） A ．16π B ．20πC ．40πD ．403π【答案】C【解析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径． 【详解】因为圆柱的底面圆的面积为9π，所以圆柱的底面圆的半径为3r =，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径221310R =+=，则该球的表面积为2440R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．9．函数()()32ln f x x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除A 、B ，再根据函数值的正负情况，即可判断. 【详解】由题意，3()(2)ln ()f x x x x f x -=-+-=-，即()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x >，排除D 故选：C. 【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】根据三视图，得到原几何体，结合三视图中的线段长度，计算出每部分的表面积，从而得到答案. 【详解】由三视图可知,该几何体由一个半球与一个圆锥拼接而成， 且球的半径和圆锥底面圆半径相同，如图所示 由三视图可知，半球的半径为5， 所以半球的表面积为2145=502ππ⨯⨯， 圆锥的底面圆半径为5，母线长为13， 所以圆锥的侧面积为51365ππ⨯⨯=， 所以该几何体的表面积6550115S πππ=+=.故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，求球的表面积和圆锥侧面积，属于简单题. 11．已知()2,0A -,()2,0B ,点P 是圆C :()(22371x y -+=上的动点,则22AP BP +的最小值为( )A ．9B ．14C ．18D ．26【答案】D【解析】设O 为坐标原点，(),P x y ，化简得到22228AP BP PO +=+，再计算()22min 9PO OC r =-=得到答案.【详解】设O 为坐标原点,(),P x y ,则()()22222222AP BP x y x y +=+++-+()2222828x yPO=++=+,又()()222min 419PO OC r =-=-=,所以()22min18826AP BP+=+=.故选：D 【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换22228AP BP PO +=+是解题的关键. 12．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-ln 4x e x =+的实根,则( )A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<；对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x -<<；对于ln 4x e x =+,由4xy e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想二、填空题13．已知点()3,1A ，()1,3B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为______.【答案】()()22125x y -+-= 【解析】求出圆心坐标和半径可得． 【详解】因为圆心的坐标为()1,2，()()22231125R =-+-=，所以该圆的标准方程为()()22125x y -+-=.故答案为：()()22125x y -+-=． 【点睛】本题考查求圆的标准方程，属于基础题． 14．已知函数()()25f x x αα=-是幂函数，则()fα=______.【答案】27【解析】根据幂函数定义求出参数α． 【详解】因为()()25f x x αα=-是幂函数，所以251α-=，解得3α=，即()3f x x =，所以()()327ff α==.故答案为：27. 【点睛】本题考查幂函数的概念，属于基础题．15．已知圆1C ：()()222110x y -+-=与圆2C ：2260x y x y +--=，则两圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】250x y --=【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 【详解】将圆1C ：()()222110x y -+-=化为224250x y x y +---=，联立两圆方程2222425060x y x y x y x y ⎧+---=⎨+--=⎩两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为250x y --=. 故答案为：250x y --=. 【点睛】本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．16．如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =.现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C =______.【答案】2【解析】由于折叠过程中DE 与AD 和BD 的垂直关系保持不变，因此可得DE ⊥平面1A BD ，结合平行的性质可得1CB BA ⊥，然后在直角三角形中可求得1A C .【详解】易知DE BD ⊥，1DE A D ⊥，1BD A D D =I ，所以DE ⊥平面1A BD ，因为160A DB ∠=︒，12A D BD ==，所以12A B =.又//BC DE ，所以BC ⊥平面1A BD ，所以1BC A B ⊥，从而2212222AC =+=. 故答案为：22 【点睛】本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．三、解答题17．已知集合{|2A x x a =≤-或}3x a >+,(){}33|log log 5B x y x x ==+-. (1)当1a =时,求A B U ;(2)若A B B =I ,求实数a 的取值范围.【答案】(1){|1x x ≤-或}0x >;(2)(][),37,-∞-+∞U .【解析】（1）计算{}|05B x x =<<，{|1A x x =≤-或}4x >，再计算A B U 得到答案.（2）根据A B B =I 得到B A ⊆，故30a +≤或25a -≥，计算得到答案. 【详解】(1)因为050x x >⎧⎨->⎩,所以05x <<,即{}|05B x x =<<,当1a =时,{|1A x x =≤-或}4x >,所以{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >. (2)因为A B B =I ,所以B A ⊆, {}|05B x x =<<, 则30a +≤或25a -≥,即3a ≤-或7a ≥, 所以实数a 的取值范围为(][),37,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用. 18．已知直线l 的方程为43120x y +-=，1l 与l 垂直且过点()1,3--. （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程. 【答案】（1）3490x y --=；（2）3x =【解析】（1）由垂直求出直线1l 斜率，写出点斜式方程后化简即可． （2）求出直线1l 与l 的交点坐标可得2l 方程． 【详解】解：（1）由1l 与l 垂直，则可设1l ：340x y m -+=， ∵1l 过()1,3--，∴()()31430m ⨯--⨯-+=， 解得9m =-，∴1l ：3490x y --=.（2）联立1l 与l ，可得1l 与l 的交点坐标为()3,0， 又2l 垂直于x 轴，则直线2l 的方程为3x =. 【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题． 19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R 上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即0x >时要是增函数，且端点处函数值不小于0. 【详解】解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<，所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩. （2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得302a ≤≤， 故实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．20．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点()2,4P 在圆C 上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l ：()140m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且8AB =，求m 的值.【答案】（1）()22525x y -+=；（2）1m =-或73m =-【解析】（1）设出圆心坐标为(,0)a ，得圆标准方程()222x a y a -+=，利用P 在圆上求出参数a ；（2）求出圆心到直线的距离d ，然后通过勾股定理列式求得m ． 【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，则圆C 的方程可设为()222x a y a -+=.因为点()2,4P 在圆C 上，所以()22224a a -+=，解得5a =.故圆C 的方程为()22525x y -+=.（2）由（1）可知圆C 的圆心()5,0C ，半径=5r . 因为8AB =，所以圆心C 到直线l 的距离()()25142516311m m d m +++==-=++，即231070m m ++=，解得1m =-或73m =-. 【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长222l r d =-（d 为弦心距）．21．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE .（1）证明：AE PC ⊥. （2）求三棱锥P ADE -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）12534【解析】（1）由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，从而得BC ⊥平面PAB ，即得BC AD ⊥，于是有AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥，得出PC ⊥平面ADE .最后得证线线垂直；（2）由（1）得PE 是三棱锥P ADE -的高，求出高和底面面积即可得体积． 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥. 又AB BC ⊥，PA AB A =I ， 所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， 所以AD ⊥平面PBC ，从而AD PC ⊥. 又DE PC ⊥，AD DE D ⋂=， 所以PC ⊥平面ADE .因为AE ⊂平面ADE ，所以AE PC ⊥.（2）解：由（1）知PE 是三棱锥P ADE -的高，所以13P ADE ADE V S PE -∆=⋅. 由已知22345AC PA =+==， 又34AB AP AD BP ⋅== 15222AE PE PC ===， 由（1）知AD ⊥平面PBC ，则AD DE ⊥，所以2217DE AE AD =-=所以11223417172ADE S AD DE ∆=⋅== 所以115212533234172P ADE ADE V S PE -∆=⋅==. 【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．22．已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数.(1)证明:()f x 在(0,)+∞上单调递增； (2)函数25()3g x x =-，如果总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f x g x ∈…都成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[ln 2,)+∞ 【解析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出()f x 和()g x 的最大值，由()f x 的最大值不小于()g x 的最大值可得a 的范围． 【详解】（1）设120x x <<， 则11221222()()()()33x x x x f x f x e e e e ---=+-+1212211[()()]3x x x x e e e e=-+- 1212122()(1)x x x x x x e e e e e e--=， ∵120x x <<，∴12x x e e <，121x x e e >，∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）总存在1[,](0)x a a a ∈->，对任意()()212,x R f x g x ∈…都成立，即max max ()()f x g x ≥，25()3g x x =-的最大值为max 5()3g x =，22()3x xe ef x -+=是偶函数，在(0,)+∞是增函数，∴当[,]x a a ∈-时，max22()()3a ae ef x f a -+==， ∴22533a a e e -+≥，整理得22520a a e e -+≥，(2)(21)0a a e e --≥，∵0a >，∴1a e >，即210a e ->，∴20a e -≥，∴ln 2a ≥．即a 的取值范围是[ln 2,)+∞．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为max max ()()f x g x ≥，如果把量词改为：对任意1x ，总存在2x ，使得12()()f x g x ≥成立，则等价于min min ()()f x g x ≥，如果把量词改为：对任意1x ，任意2x ，使得12()()f x g x ≥恒成立，则等价于min max ()()f x g x ≥，如果把量词改为：存在1x ，存在2x ，使得12()()f x g x ≥成立，则等价于max min ()()f x g x ≥.（12,x x 的范围均由题设确定）．。
