全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式=m , =n ,则=（）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n）2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）A.ACBB.CABC.CBAD.BCA3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）A.-8B.-2C.2D.84.已知A= ，B= ，P= ，Q= ，则B=（）A.PAB.APC.QAD.AQ5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误的是（）A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A 的秩（）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）A.ATB.A2C.A-1D.A*10.二次型f（x1,x2,x3）= 的正惯性指数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国 2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．已知 2 阶行列式a1a 2m ， b1 b2 n ，则 b 1 b 2（ B ）b 1 b 2c 1 c 2 a 1 c 1 a 2 c 2A ． m nB ． n mC ． m nD ． (m n)b 1b 2b 1 b 2 b 1 b 2m nn m ．a 1 c 1 a 2c 2 a 1a 2 c 1c 22．设 A , B , C 均为 n 阶方阵， AB BA ， AC CA ，则 ABC （ D）A ． ACBB ． CABC ． CBAD ．BCAABC ( AB)C(BA)C B( AC ) B(CA)BCA ．3．设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵，且 | A | 1 ， | B | 2 ，则行列式 || B | A |之值为（ A）A ． 8B ． 2C ． 2D ．8|| B | A | | 2A | ( 2) 3 | A |8 ．a11a12a 13 ，a 113a 12a13， 1 0 0，1 0 0，则 B （ B）4．A a 21 a 22a 2321 3a 22a 23B aP 0 3 0 Q 3 1 0a 31a32a33a313a 32a330 0 1 0 0 1A ． PAB ．APC ． QAD ．AQa 11 a 12 a 13 1 0 0a 11 3a 12 a 13 B ．AP a 21a 22 a 230 3 0 a 21 3a 22a 23a31a32a330 0 1a313a 32a335．已知 A 是一个 34 矩阵，下列命题中正确的是（C）A ．若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩 ( A )=2B ．若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩 ( A )=2C ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 3 阶子式都为 0D ．若秩 ( A )=2 ，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06．下列命题中错误的是（C）．．A．只含有 1 个零向量的向量组线性相关B．由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C．由 1 个非零向量组成的向量组线性相关D． 2 个成比例的向量组成的向量组线性相关线性无关，1 , 2 , 3 , 线性相关，则（D）7．已知向量组1,2 , 3A． 1 必能由 2 , 3 ,线性表出B．2必能由 1 , 3 ,线性表出C． 3 必能由 1 , 2,线性表出D．必能由 1 , 2 , 3 线性表出注： 1 ,2,3是 1 ,2,3,的一个极大无关组．8．设A为m n矩阵，m n，则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D）A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n 注：方程组 Ax=0有 n 个未知量．9．设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（A）A．A T B．A2C．A1D．A| E A T | | (E A)T| |E A |，所以A与 A T有相同的特征值．10．二次型 f ( x1, x2, x3)x12x22x322x1 x2的正惯性指数为（C）A． 0B．1C． 2D．3f (x1 , x2 , x3 )( x1x2 ) 2x32y12y22，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．行列式20072008的值为 _____________．200920102007200820002000782．200920102000200091012．设矩阵A1 1 3， B20，则 A T B_____________．2010112022A T B1220．01361 113 ．设(3,1,0,2) T，(3,1,1,4) T，若向量满足 2 3 ，则__________．32(9,3,3,12) T(6,2,0,4) T( 3,5,3,8)T．14．设A为n阶可逆矩阵，且| A |1，则 | | A1| _____________．n| A 1 |1n ．| A |15．设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0的解，则| A |_____________．n 个方程、 n 个未知量的Ax=0有非零解，则| A |0．16．齐次线性方程组_____________．x1x2x30的基础解系所含解向量的个数为2x1x23x30A 1 11 1 11，基础解系所含解向量的个数为213031n r 3 21．17．设n阶可逆矩阵A的一个特征值是 3 ，则矩阵1 A21必有一个特3征值为 _________．，则1A2有特征值1( 3) 2 3 ，1A21A 有特征值3有特征值1．333318．设矩阵A 1222x0 的特征值为 4,1, 2 ，则数 x _____________．200由 1 x 0 4 1 2 ，得 x 2．a 1 / 2019．已知A 1/ 2b0是正交矩阵，则 a b _____________．001由第 1、2 列正交，即它们的内积1( a b) 0 ，得 a b0．20．二次型 f ( x1, x2, x3)4x1x22x1 x36x2 x3的矩阵是_____________．02120 3 ．130三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21．计算行列式Da b ca2 b 2 c 2的值．a a3b b3c c3解： Da b c a b c111 a 2b2 c 2 a 2 b 2c2abc a b c a a 3 b b3 c c3 a 3 b 3c3 a 2b2 c 2abc( b a)( c a)11abc(b a)(c a)(c b) ．b ac a22．已知矩阵B(2,1,3)， C(1,2,3) ，求（1） A B T C ；（2） A2．解：（1）A B T C 22461 (1,2,3)123；33692（2）注意到CB T(1,2,3) 113 ，所以3246A2(B T C)( B T C)B T (CB T ) C13B T C 13A13123．36923．设向量组1(2,1,3,1) T , 2(1,2,0,1) T ,3( 1,1,3,0) T , 4 (1,1,1,1)T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．211111011101解： A ( 1, 2, 3121112110110, 4 )0313*******3110121110111 110111011011011001100110，向量组的秩为3，1,2,4000200010001000100000000是一个极大无关组，31 2．24．已知矩阵A 1231401 2 ，B25．（1）求A1；（ 2）解矩阵方程AX B．00113解：（1）( A, E )123100120103 012010010012 0010010010011001211210 1 0 0 12， A 10 12；001001001（2）X A1B 12114490 1 2 2 50 11．001131325．问a为何值时，线性方程组x12x23x342x2ax3 2 有惟一解？有无穷多2x12x23x36解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．123412341234解：( A, b)02 a 202a202a2．2236023200 a 3 012341204 a3时，r ( A, b)r ( A) 3 ，有惟一解，此时 ( A, b)02a202020010001010021002x1202020101， x2 1 ；00100010x3012 3 4 a 3 时， r ( A,b) r ( A)2 n ，有无穷多解，此时 ( A,b)02 3 20 0 01 0 02 1 0 0 2 x 12 230 2 3 2 0 1 3 / 2 1 ， x 2 1，通解为 1k 3 / 2 ，其中 k 为x 30 0 0 00 0 02 01x 3x 3任意常数．2 0 026．设矩阵 A 03 a 的三个特征值分别为1,2,5 ，求正的常数 a 的值及0 a 3可逆矩阵 P ，使 P 1 AP1 0 00 2 0 ．0 0 52 0 03 a解：由 | A |0 3 a 22 (9a 2) 1 2 5 ，得 a24 ， a2 ．a 3 0 a32 0E A0 3 2 ．23对于 11，解 ( E A) x 0 ：10 0 1 0 0 x 1 0 0E A0 2 2 0 1 1 ， x 2x 3 ，取 p 1 1 ；220 0 0x 3x 31对于 22 ，解 ( E A) x 0 ：0 0 0 1 0 x 1 x 1 1E A 012 0 0 1 ， x 20 ，取 p 2 0 ；210 0 0x 3 0对于 35 ，解 ( E A)x 0：30 0 1 0 0 x 1 00 E A0 2 2 0 1 1 ， x 2 x 3 ，取 p 31 ．220 0x 3 x 311 0，则 P 是可逆矩阵，使 P 1AP 1 0 0令 P ( p 1 , p 2 , p 3 )10 1 0 2 0 ． 10 10 0 5四、证明题（本题 6 分）27．设 A ，B ， AB 均为 n 阶正交矩阵，证明 ( AB) 1 A 1B 1 ．证：A ，B ，A B 均为 n 阶正交阵， 则 A T A 1 ，B TB 1 ，( A B)T( AB) 1 ，所以( A B) 1 ( A B) T A T B TA 1B 1．全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1．设 3 阶方阵 A( 1 ,2 ,3 )，其中i（ i 1,2,3 ）为 A 的列向量，若| B | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ，则 | A | （ C）| A | | ( 1 , 2 , 3 ) | | ( 12 2 , 2 ,3 ) | 6 ．A ． 12B ． 6C ．6D ． 123 0 2 02．计算行列式2 10 5（ A）0 0 2232 3A ． 180B ． 120C ． 120D ． 1803 0 2 0 3 0 22 10 5 03 0180 ．2 10 5 33 ( 2) 300 0 2 3( 2)100 022232 33．若 A 为 3 阶方阵且 | A 1 | 2 ，则 | 2A |（ C）A ．1B ．2C ． 4D ．82| A |1， | 2A | 23| A | 8 1 4 ．224．设 1 , 2 ,3 , 4都是 3 维向量，则必有（B）A ． 1, 2 ,3 ,4线性无关B ． 1 , 2 , 3 ,4 线性相关C ． 1 可由 2 , 3 ,4 线性表示D ． 1 不可由 2 , 3 ,4 线性表示 5．若 A 为 6 阶方阵，齐次方程组 Ax =0 基础解系中解向量的个数为 2，则 r (A) （C）A． 2B．3C． 4D．5由 6 r ( A) 2 ，得 r ( A) 4．6．设A、B为同阶方阵，且r ( A)r ( B) ，则（C）A．A与B相似B．| A | | B |C．A与B等价D．A与B合同注： A 与 B 有相同的等价标准形．7．设A为 3 阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则| A2E |（ D）A． 0B．2C． 3D．24A2E 的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24．8．若A、B相似，则下列说法错误的是（B）．．A．A与B等价B．A与B合同C．| A | | B |D．A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量(1,2,1) 与(2,3, t) 正交，则t（ D）A．2B．0C． 2D．4由内积 2 6t0，得 t4．10．设 3 阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0 ，则（B）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定对应的规范型 2z12z220z320 ，是半正定的．二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11．设A32211，则AB01， B______________．0102 4321653AB02110．1120022 4412．设A为 3 阶方阵，且| A | 3 ，则 | 3A 1 | ______________．| 3A 1 | 33 | A 1 | 33133 19 ．| A |313．三元方程x1x2x3 1 的通解是______________．x1 1 x2x3111x2x2，通解是 0k11k2 0 ．x3x300114．设( 1,2,2)，则与反方向的单位向量是 ______________．11( 1,2,2) ．||||315．设 A 为5阶方阵，且r ( A) 3 ，则线性空间W { x | Ax 0} 的维数是______________．W { x | Ax 0} 的维数等于 Ax0 基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 ．16．| 5A 1 | 53153125 ．| A | 2 (1/ 2)117．r ( AB) Ax 0若A、 B 为 5 阶方阵，且Ax0 只有零解，且 r ( B)3 ，则______________．只有零解，所以 A 可逆，从而r ( AB) r ( B) 3 ．21018．实对称矩阵101所对应的二次型 f (x1 , x2 , x3 ) ______________．011f (x1 , x2 , x3 ) 2 x12x322x1 x2 2x 2 x3．19．设 3 元非齐次线性方程组Ax11b 有解12，2 2 ，且 r ( A) 2 ，33则Ax b 的通解是______________．1( 11112 ) 0是 Ax 0 的基础解系， Ax b 的通解是 2k 0 ．203020．设12，则 A T的非零特征值是 ______________．31由T(1,2,3)2 14 ，可得 A2( T ) T14T14A，设A的非零特3征值是，则214，14 ．三、计算题（本大题共 6 小题，每小题9 分，共 54 分）2000121．计算 5 阶行列式D 02000 00200．00020 10002解：连续3次按第2行展开，2001201020021D402088324 ．202012102100220010014322．设矩阵X满足方程010 X 00120 1 ，求X．002010120解：记 A200100143010， B001 ， C20 1 ，则 AXB C ，0020101201 / 200100A 1010，B 100 1 ，001/ 201011431001134 402001420．2212001010223．求非齐次线性方程组x1x23x3 x4 1的通解．3x1x 23x34x44x15x29x38x 40113111*********解： ( A, b)31 3 440 4 6710467 1 1598004671000004 412 4 4 4 0 6 3510 3 / 2 3 / 45 / 40467 104 6 7101 3 / 27 / 4 1 / 4 ，000000000000000x153x33x4 5 / 4 3 / 2 3 / 4 424x2137x4，通解为 1 / 4k13 / 2k27 / 4，k1 ,k 2都是任意常数．4x342010x3x3001x4x424．求向量组1(1,2,1,4) ，2(9,100,10,4) ，3( 2,4,2,8) 的秩和一个极大无关组．192192192解：( 1T, 2T, 3T2100415020410)1021102019014481120801 92 1 02010010，向量组的秩为2，1,2是一个极大无关组．00000000000021225．已知A 5a3的一个特征向量(1,1, 1) T，求 a,b 及所对应的1b2特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．21211解：设是所对应的特征值，则 A，即 5a311，从1b211 1而 a 2，可得 a 3 ， b 0 ，1；b 1对于1，解齐次方程组 ( E A) x0：2 12 3 1 2 1 0 1 1 0 1 E A53 3 5 2 3 5 2 3 0 2 21 0210 13 120 1 11 0 1 x 1 x 310 1 1 ， x 2x 3 ，基础解系为 1 ，属于 1 的全部特征向量为0 0 0x 3x 311k1 ， k 为任意非零实数．126．设 A2 1 1 21 21 a ，试确定 a 使 r ( A)2 ．1 12 2解： A21 12 1 1 2 2 11 2 2 1 2 1 a2 11 20 3321 12 212 1a 03 3 a 21 12 20 3 3 2 ， a0 时 r (A) 2 ．0 00 a四、证明题（本大题共1 小题， 6 分）27．若 1 , 2 , 3 是 Axb （ b 0 ）的线性无关解，证明21 ,3 1是对应齐次线性方程组Ax 0 的线性无关解．证：因为 1 ,2 ,3是 Ax b 的解，所以21， 31是 Ax 0 的解；设 k 1 ( 21 )k 2 ( 31 )0，即 ( k 1k 2 ) 1k 1 2k2 30 ，由 1 , 2 ,3线性k 1 k 2 0无关，得 k 1，只有零解 k 1 k 20 ，所以21 ,31线性无关．k 2 0全国 2011 年 1 月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题课程代码： 04184说明：本卷中， A -1 表示方阵 A 的逆矩阵， r ( A ) 表示矩阵 A 的秩，（ , ）表示向量 与 的内积， E 表示单位矩阵， | A | 表示方阵 A 的行列式 .一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）a 11a12a13=4，则行列式2a112a122a131. 设行列式a21 a 22a23 a 21 a 22 a 23=（）a 31a32a333a313a323a332.设矩阵 A， B， C， X 为同阶方阵，且 A，B 可逆， AXB=C，则矩阵 X=（）3. 已知A2+A- E=0，则矩阵A-1 =（）+E+E4. 设 1 , 2 , 3 , 4 ,5 是四维向量，则（）A.1, 2 , 3 , 4 ,5 一定线性无关B. 1 , 2 , 3 , 4 ,5 一定线性相关2 ,C. 5一定可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示D.1一定可以3 ,4 , 5线性表出5. 设A是n阶方阵，若对任意的n 维向量 x 均满足 Ax=0,由则（）=0=E(A)= n<r( A)<(n)6. 设A为n阶方阵，r ( A)< n，下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是（）=0只有零解=0的基础解系含r ( A)个解向量=0的基础解系含n- r( A) 个解向量=0没有解7. 设 1 ,2 是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，则（）A. 1 2 是Ax=b的解B.1 2 是Ax=b的解C. 31 2 2是Ax=b的解D. 2 1 3 2是Ax=b的解8. 设1，2，3为矩阵 A=39004 5的三个特征值，则1 2 3 = 002（）9.设 P 为正交矩阵，向量,的内积为（,）=2，则（P , P）=（）A. 12C. 3210. 二次型 f ( x1, x2, x3)=x12x22x32 2 x1 x22x1x3 2 x2 x3的秩为（）二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．( )A．上三角B．下三角C．对角形D．即非上三角也非下三角正确答案：B解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B2．设A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜= ( )A．5n+1B．5n-1C．5-n-1D．5-n正确答案：C解析：因为｜A｜=5，所以答案为C3．设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1 ( ) A．A-1+B-1B．A+B.C．A(A+B)-1.BD．(A+B)-1正确答案：C解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B) (A+B)-1.B=B-1.B=I，所以(A-1+B-1)的解的个数为( )A．有惟一的零解B．有无穷多个解C．无解D．不确定正确答案：B解析：齐次线性方程系数矩阵A的秩为：r(A)=3＜4，故齐次线性方程组有无穷多个解．答案为B。
5．已知线性方程组则下列判断正确的是( )A．λ=2时,方程组有无穷多组解B．λ=一3时方程组无解C．λ=3时方程组有无穷多组解D．λ≠2时方程组有惟一解正确答案：B解析：对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若λ=一3，则矩阵最后一行前面4个数等于0，而最后一个数等于4，用方程式表示将得到0=4，这表明方程组无解，故应该选B。
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．行列式=__________.正确答案：4解析：7．若则D1==_______。
