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学会三种近似计算的算法

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有理数的整数次方根近似值的计算方法

有理数的整数次方根近似值的计算方法
|a4−a3| < 10− 6，
因此可取a3或a4为结果，保留至6位小数可得≈ 1.414214，误差不超过10− 6。
【例1.2】计算的近似值，精确到10− 6。
解：这里a= 3，ε0= 10− 6，根据迭代公式（1.7）可得
an=(2an− 1+)（n∈N+），
因为4.913 = 1.73< 5 < 1.83= 5.832，取初值a0= 1.7，代入迭代公式，为精确到10− 6，计算结果均保留至7位小数：
这就是（1.6）式，同理（1.7）式也可以用微分法导出。
【例2.1】计算的近似值，精确到10− 3。
解：根据（2.9）式，≈ 1 +（x→ 0），如果取x= 1，则有
=≈ 1 + 1/2 = 1.5，
这显然是不准确的，因为x取的过大，近似公式不再适用了。
正确的做法是，可取x0= 1.42= 1.96，则Δx= 2 −x0= 0.04，可得
【例2.4】计算e1.02的近似值，精确到0.001。
解：根据（2.13）式，设f(x) =ex，则f'(x) =ex，可得
ex+h≈ex+ ex∙h= ex∙(1 +h)（h→ 0）；
令x= 1，h= 0.02，取e≈2.7183，则有
e1.02= e1 + 0.02≈e1∙(1 + 0.02) = 1.02e≈1.02×2.7183≈2.7727≈2.773。
为了应用方便，有时也把（2.3）式或（2.4）式写成另一种简单形式，把x0简写为x，把自变量的增量记为Δx=h，于是上述公式可以简写为
f(x+h) ≈f(x) +f'(x)∙h（h→ 0）（2.13）

高考数学应试技巧之近似算法

高考数学应试技巧之近似算法

高考数学应试技巧之近似算法数学被誉为一门科学的基础学科，也被称作是最具有钻研性的学科之一。

在高中学习过程中，数学知识的学习和掌握对于每一个学生来说都至关重要。

在高考中，数学成绩的好坏可以决定一个学生的考取去向。

因此，在备考阶段掌握一些高考数学应试技巧是至关重要的。

本文将着重介绍一种高考数学中非常常见的近似算法。

一、近似算法的定义近似算法是一种利用简单的数学方法，将实际问题简化为可以计算的近似值，从而迅速得出高精度答案的方法。

在数学竞赛和高考中，很多问题都需要使用近似算法来解决，因为高次方程、三角函数的精确值都不易求解。

所以，掌握近似算法对于高考数学的学习是至关重要的。

二、近似算法的分类（一）上取整和下取整法当我们计算除法时，如果希望得到的结果更加精确，可以尝试使用上取整或者下取整法。

例如，当我们需要计算 $ \frac{7}{3} $ 的值时，近似算法可以选择上取整法将其转化为 $ \lceil\frac{7}{3} \rceil =3 $ 或下取整法将其转化为 $ \lfloor \frac{7}{3}\rfloor =2 $ 。

这样计算出来的结果是相对精确的。

但是，在应用这种算法时，需要注意一些特殊情况。

例如，当被除数为正数，而除数为负数时，需要使用下取整法。

（二）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高级的近似算法，可以用于求解各种方程的根。

比如，我们需要求解$x$的平方根的问题，可以使用如下的迭代公式：$ x_{n+1} = \frac{1}{2}( x_{n} + x_{0} / x_{n}), n\ge0 $ ，其中 $x_{0}$表示要求解的值。

当$n$足够大时，$x_{n}$则可以视作$x$的平方根。

三、近似算法的应用近似算法在高考数学中，常常被用于解决求解三角函数值、计算级数的问题。

例如，在计算三角函数的时候，我们可以使用泰勒公式来进行近似计算。

泰勒公式表达式如下：$ \sin x = x-\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ ，$ \cos x =1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$ 。

定积分的近似计算

定积分的近似计算
22
dblquad
∫ ∫
c
d
b
a
f ( x , y )dxdy
积分： 抛物线法计算二重积分： dblquad
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6 为计算精度，若不指定， f 可以是： 可以是： 字符串； 定义的内联函数； 字符串；inline 定义的内联函数；函数句柄 的积分区间， [a,b] 是 第一积分变量 的积分区间， [c,d] 是 第二积分变量 的积分区间
n x i −1 + x i x i −1 + x i f( )∆xi = h∑ f ( ) 2 2 i =1
矩形法举例
例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， ，
并比较这三种方法的相对误差。 并比较这三种方法的相对误差。
dx I=∫ 0 1 + x2
1
解：a=0, b=1, n=100
x4
相加即得： 相加即得：
∫
b a
f ( x )dx = ∑ ∫
i =1 n
n
x2 i x2 i − 2
f ( x )dx
b−a ( y2 i − 2 + 4 y2 i −1 + y2 i ) ≈∑ i =1 6 n
15
抛物线法
整理后可得： 整理后可得：
∫
b
a
b−a f ( x )dx ≈ [ y0 + y2 n + 4( y1 + y3 + ⋯ + y2 n−1 ) 6n + 2( y2 + y4 + ⋯ + y2 n− 2 )]
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点

matlab实验报告--定积分的近似计算

matlab实验报告--定积分的近似计算

abs((inum2-integrate)/integrate))
fprintf('the relative error between inum3 and real-value is about: %g\n\n',...
abs((inum3-integrate)/integrate)) 【调试结果】
○2 使用函数 quad()
quad('sin(x)./x',0,inf) 【调试结果】 ans =
NaN
○3 程序法
%矩阵法
format long
n=inf;a=0;b=inf;
syms x fx
fx=sin(x)./x;
i=1:n;
xj=a+(i-1)*(b-a)/n; xi=a+i*(b-a)/n;
实验目的：
本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定 积分的近似数值计算，Matlab 有专门函数可用。
实验原理与数学模型：
1． 矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计 算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
【调试结果】
inum =
0.78539816339745
the relative error between inum and real-value is about: 2.82716e-016
【情况记录】
1、梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用 for 循环函数和求和函数时
的不同 matlab 命令，避免混淆出错。使用函数 trapz()，quad()时要注意被积函数是数 值形式，应使用数组计算，应用点除即 ./ ，否则将出错，不能调试出结果。

数学的实用技能速算和近似计算

数学的实用技能速算和近似计算

数学的实用技能速算和近似计算数学的实用技能：速算和近似计算数学是一门广泛应用于日常生活中的学科，掌握一些实用的数学技能是非常有益的。

在实际应用中，速算和近似计算是一些非常实用而必要的技能。

本文将介绍数学中常用的速算和近似计算方法，以帮助读者更好地应对实际生活和工作中的计算问题。

一、速算技巧速算是指在不借助计算器或纸笔的情况下，快速有效地进行数学运算的技巧。

以下是几种常用的速算技巧：1. 快速乘法：快速乘法方法可以在短时间内计算大数相乘的结果。

一种常见的快速乘法方法是分步相乘法，即将乘数和被乘数分解成更小的数，然后相乘得到部分结果，再汇总得到最终结果。

2. 快速除法：快速除法是一种用近似值进行除法计算的方法。

它基于对被除数和除数进行适当的估算，然后进行近似计算得出结果。

3. 快速开方：对于一些平方数的开方计算，可以使用快速开方技巧。

其中一种方法是通过与已知平方数进行比较，逐渐逼近所需开方数。

二、近似计算方法在实际生活中，我们经常需要对数值进行近似计算，以便更好地理解和应用数学概念。

以下是一些常见的近似计算方法：1. 估算法：估算法是一种通过对数值进行适当的估算，得出近似结果的方法。

例如，在进行商品购买时，估算总价可以帮助我们快速判断是否付款能力足够。

2. 线性插值：线性插值是一种对数据进行近似计算的方法。

它基于给定的两个已知数据点，在这两个点之间进行线性推算，得出近似结果。

3. 四舍五入：四舍五入是一种常用的近似计算方法，常用于对小数进行近似值的取舍。

它基于一个简单的规则，即当小数部分大于等于5时，四舍五入到整数部分的下一个整数；小于5时，则直接舍去小数部分。

三、应用案例速算和近似计算技巧广泛应用于日常生活和工作中的各种计算问题。

以下是一些实际应用案例：1. 购物时的折扣计算：在购物时，我们常常需要计算打折后的价格。

通过灵活应用速算技巧，我们可以快速计算出折扣后的价格，帮助我们做出明智的购买决策。

四年级数学简便方法计算的几种类型

四年级数学简便方法计算的几种类型

在四年级数学中，有许多简便方法可以用来计算。

这些方法可以帮助学生提高计算速度和准确性。

以下是四年级数学中常见的几种简便方法：1.近似法：近似法是一种用来快速计算的方法。

它适合于处理较长的数字或复杂的计算。

近似法的关键是将数字约简为一个较容易计算的数字。

例如，要计算27+15，我们可以将27近似为30，将15近似为20，然后计算30+20=50。

2.快速加法：快速加法是一种通过分解数字来进行快速计算的方法。

例如，要计算38+27，我们可以将27分解为20+7，然后将38+20=58，再加上7得到653.快速减法：快速减法是一种通过分解数字来进行快速计算的方法。

例如，要计算72-28，我们可以将28分解为30-2，然后将72-30=42，再减去2得到40。

4.快速乘法：快速乘法是一种通过将数字拆分成更小的部分来进行快速计算的方法。

例如，要计算24×6，我们可以将24拆分为20+4，然后将20×6=120，再加上4×6=24，得到总和1445.快速除法：快速除法是一种通过将数字拆分为更小的部分来进行快速计算的方法。

例如，要计算72÷8，我们可以将72拆分为70+2，然后将70÷8=8，再加上2÷8=0.25，得到总和8.256.括号法则：括号法则是一种用来处理复杂计算的规则。

根据括号法则，我们首先计算括号中的内容，然后进行其他运算。

例如，要计算(12+8)×4，我们首先计算12+8=20，然后将20×4=80。

7.数表法：数表法是一种通过制作一个数表来找出解决方案的方法。

数表法适用于解决一系列相关问题。

例如，要计算2的倍数，我们可以制作一个数表，将2进行乘以1、2、3等，然后在数表中找到相应的答案。

8.计算规律法：计算规律法是一种通过观察数字之间的规律来进行计算的方法。

例如，要计算20+30，我们可以观察到20和30之间的差距为10，所以答案为50。

实验二：定积分的近似计算

并计算相对误差 1 dx
0 1 x2
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 )
==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi)
==>
1 dx 0 1 x2
h
y0 2
y1
yn1
yn 2
0.78539399673078
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)
函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
2021/4/21
22
二重积分的计算
抛物线法计算二重积分： dblquad
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
bd
a c f (x, y)dxdy
tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6
1
中点法：
0
1
dx x
2
n
h
i 1
f
(
xi1 2
xi
)
0.78540024673078
2021/4/21
6
矩形法举例
误差分析
理论值：
1 dx 0 1 x2
arctan x
1 0
π 4
左点法相对误差：0.78789399673078 / 4 0.003178 /4
右点法相对误差：0.78289399673078 / 4 0.003188 /4
i 1
x
2021/4/21
8
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似

计算结果的近似处理方法

计算结果的近似处理方法作者：于梦梅来源：《试题与研究·中考物理》2015年第03期在解答物理计算问题时，计算结果往往会出现非整数（小数点位数较多或除不尽）的情况，需对其作必要的近似处理。

由于物理计算是应用物理知识通过一定的计算研究物理量之间的关系，其计算结果不仅是数量关系的表述，而且具有一定的实际的物理意义，若近似处理不当，会使整个解题功亏一篑，因此，能否正确处理计算结果是解题成功与否的关键一步，掌握正确处理计算结果的方法，是运用物理知识分析解决相关问题的必备的技能之一。

对于具体问题，应在应用相关物理知识对计算结果进行分析的基础上，以符合有关的物理规律和实际情况为前提，确定正确、合理的处理方法。

常用的计算结果的近似处理方法有以下几种：一、四舍五入法一般情况下，可依数学上的“四舍五入法”来处理计算结果（计算结果用有限小数表示），即根据题意确定保留位数，之后的那一位数字若小于或等于4，则将它和后面的数字全部舍去；若大于或等于5，则在需保留的最后一位数字上加1，再舍去后面的数字。

1.根据题目要求“四舍五入”有些计算中，考题明确提出“保留×位小数”，只需按要求对计算结果“四舍五入”即可。

图1例1.有一种电子秤的原理图如图1所示，它主要由三部分构成：踏板和压力杠杆ABO，压力传感器R（电阻值会随所受压力大小发生变化的可变电阻），显示重力大小的仪表（实质是电流表），其中AO长20cm，BO长5cm，压力传感器R的阻值与所受压力的关系如下表所示。

踏板和杠杆组件的质量可以忽略不计，电源电压为6V。

（1）重300N的学生站在踏板上时，双脚与踏板的接触面积为0.07m2，此时对踏板的压强是多大？（2）当重300N的学生站在踏板上时，通过压力传感器R的电流为________________________________________A。

（保留两位小数）解析：（1）学生对踏板的压强p=FNS=GS=300N0.07m2≈4285.71428571Pa采用“四舍五入法”，因保留的两位小数后的那一位是“4”，应舍去“4”及其后面的所有数字，故学生对踏板的压强p≈4285.71Pa。

综合实验一 定积分的近似计算


a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( xi )xi = h ∑ f ( xi )
i =1 i =1
n
中点法:
b
a
f ( x )dx ≈ ∑
i =1
n
n xi 1 + xi xi 1 + xi f( )xi = h ∑ f ( ) 2 2 i =1
矩形法举例
数学实验
例:用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 ), 并比较这三种方法的相对误差.
解: a=0, b=1, n=100 ==> h =1/100=0.01, xi = i*h,
dx ≈ h f ( x ) = h 1 左点法:∫0 ∑ i1 ∑ 1 + x 2i1 1 + x2 i =1 i =1
1
1 n
dx ∫0 1 + x 2
1
n
n
(i = 0,1,2,...,100)
dx ≈ h ∑ f ( xi ) ≈ 0.78289399673078 右点法: ∫0 2 1+ x i =1
二重积分的计算
抛物线法计算二重积分: dblquad
数学实验
dblquad(f,a,b,c,d,tol)
∫∫
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
d
c
f ( x, y )dxdy
tol 为计算精度,若不指定,则缺省精度为 10-6 f(x,y) 可以由 inline 定义,或通过一个函数句柄传递 [a,b] 是第一积分变量的积分区间,[c,d] 是第二积分变量 的积分区间 按字母顺序,大写字母排在小写字母的前面
实验二, 实验二,定积分的近似计算
矩形法

第七讲-定积分的近似计算

将自变量看成是向量
quad 举例
例：用 quad 计算定积分：
dx 0 1 x 2
1
解：
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1)
>> quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10) 函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！
dblquad
i 1
n
通常我们取
x1 x2 xn
h ba n
点 i [ xi 1, xi ] 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 xi 1 ，右端点
xi 和中点 ( xi 1 xi ) / 2 。
中点法
左点法
右点法
左点法、右点法和中点法
步长
xi h (b a) / n xi a ih, i 1,2, n
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： y = x2 + x + = p1(x)
则在区间 [x0, x2] 上，有

x2
x0
f ( x)dx p1 ( x)dx x ( x2 x )dx
x2
0
x2
x0
x x x
3 2
x2
x2 x0 (y0 4y1 y2 ) 6 ba (y0 4 y1 y2 ) 6n
i 1 n
x2 i 2
f ( x )dx
ba ( y2i 2 4 y2i 1 y2i ) i 1 6n
抛物线法
整理后可得：

baຫໍສະໝຸດ b a f ( x)dx [ y0 y2n 4( y1 y3 y2n1 ) 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
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7.4082
4.结论及分析
经过试验得出结论实验无误。
三、实验小结
经过实验可以更熟练的掌握matlab的运行环境和编译程序。发现了matlab可以解决很多复杂的问题，一个实验可以拥有多种解法。通过实验让我获得很多。
函数的调用格式function (f,a,b,n)
【实验环境】
Matห้องสมุดไป่ตู้abR2010b
二、实验内容
分别用中点矩形法、梯形法、抛物线法计算 ，其中 的值分别为 .
1.分析问题
每种方法运用各自的思想，但要注意所编的函数只能保存不能运行，调用时要在工作区直接输对应调的函数名还有对应的变量值，切记不要在m文件里输并运行.
新乡学院
数学与信息科学系实验报告
实验名称定积分的近似计算
所属课程数学软件与实验
实验类型综合型实验
专业信息与计算科学
班级2011级1班
学号11111021022
姓名朱三杰
指导教师朱耀生
一、实验概述
【实验目的】
学会三种近似计算的算法：矩形法，梯形法，抛物线法。理解其各自的中心思想。
【实验原理】
将自变量区间平均分为n份
h=(b-a)/n;
y=[];
fori=1:n
x1=a+h*(i-1);
x2=a+i*h;
x3=(x1+x2)/2;
y=[y,feval(fun,x3)];
end
s=sum(y)*h
梯形法：
functionf=tixing(fun,a,b,n);
h=(b-a)/n;
y=[];
fori=1:n+1
x=(i-1)*h+a;
end
fori=2:2*n
ifmod(i,2)==0
y(i)=y(i)*4;
else
y(i)=2*y(i);
end
end
s=sum(y)*h/3
3.结果
p
0.1
0.5
0.9
中点矩形法s=
6.2989
6.6592
7.4082
梯形法s=
6.2989
6.6592
7.4082
抛物线法s=
6.2989
6.6592
y=[y,feval(fun,x)];
end
y(1)=y(1)/2;
y(n+1)=y(n+1)/2;
s=sum(y)*h
抛物线法：
functionf=paowuxian(fun,a,b,n);
h=(b-a)/(2*n);
x=a:h:b;
y=[];
fori=1:2*n+1
y=[y,feval(fun,x(i))];
2.问题求解
functionf=f1(x);
f=sqrt(1+0.01*(cos(x)^2));
functionf=f2(x);
f=sqrt(1+0.25*(cos(x)^2));
functionf=f3(x);
f=sqrt(1+0.81*(cos(x)^2))
矩形法：
functionf=juxing(fun,a,b,n)
矩形法：取每份的中点对应的函数值进行积分，也就是把这个区间看成矩形，高也就是中点对应的函数值。
梯形法:将每份积分区间看成梯形，上底就是该小区间的左点对应的函数值，下底就是该小区间的右点对应的函数值。利用最左和最右的点函数值加了一次，剩余的加两次，可以使过程简便点。
抛物线法：将每份积分区间看成抛物线，抛物线为一般的形式。按此思路积分，结果也就是辛普森公式，在算积分时就运用该公式大大简便解题。