八年级下学期5月份月考数学试题

2024年教科新版八年级数学下册月考试卷633考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、以下列条件构成的三角形中，不属于直角三角形的是（）A. ∠A=∠B=45°B. ∠A=∠B+∠CC. AB=5，BC=12，AC=13D. ∠A=2∠B=3∠C2、【题文】要使二次根式有意义，字母的取值范围必须满足的条件是（）A.B.C.D.3、正方形的网格中；每个小正方形的边长为1，则网格中三角形ABC中，边长是无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34、如图；在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，AB=BD，DE⊥BC，交AC于E，则图中的等腰三角形的个数有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个5、下列计算正确的是( )A. 5−3=2B. 8+2=4C. 27=33D. (1+2)(1−2)=16、已知△ABC≌△DEF，点A、B的对应点分别是点D、E，若∠A=40°，∠E=60°，则∠C的度数是（）A. 100°B. 80°C. 60°D. 40°7、给出下列长度的四组线段：①1，2，2；②5，12，13；③6，7，8；④3m，4m，5m（m＞0）.其中能组成直角三角形的有（）A. ①②B. ②④C. ②③D. ③④评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、某药品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同，每瓶零售价由150元降为96元，那么下降的百分率是____．9、如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为________________．10、已知关于x的方程2x+mx−2=3的解是非负数，则m的取值范围为 ______ ．11、在下面的六幅图中，（2）（3）（4）（5）（6）中的图案_________可以通过平移图案（1）得到的.12、（2015•玉林）某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是____．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)13、由2a＞3，得；____．14、正数的平方根有两个，它们是互为相反数____15、－52的平方根为－5.（）16、等腰梯形、直角梯形是特殊梯形．（判断对错）17、有意义的x的取值范围是x＞．____（判断对错）18、判断：两组邻边分别相等的四边形是菱形.（）19、判断：×===6（）20、线段是中心对称图形，对称中心是它的中点。

苏科八年级苏科初二数学下学期5月月考数学试题一、解答题1．如图，将▱ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ，连接AC 、BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形；（2）若∠AFC =2∠ADC ，求证：四边形ABEC 是矩形．2．如图，在▱ABCD 中，BE=DF ．求证：AE=CF ．3．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表:调查结果统计表 组别A BCDE分组（元） 030x ≤＜ 3060x ≤＜频数调查结果频数分布直方图 调查结果扇形统计图请根据以上图表，解答下列问题：（1）填空：这次调查的样本容量是 ，a = ,m = ； （2）补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中扇形B 的圆心角度数；（4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x 在3090x ≤＜范围的人数. 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ．（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若四边形CDEF 的周长是16cm ，AC 的长为8cm ，求线段AB 的长度．5．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,AB // OC,点B,C 的坐标分别为（15,8）,（21,0）,动点M 从点A 沿A→B 以每秒1个单位的速度运动;动点N 从点C 沿C→O 以每秒2个单位的速度运动．M,N 同时出发,设运动时间为t 秒． （1）在t ＝3时,M 点坐标 ,N 点坐标 ; （2）当t 为何值时,四边形OAMN 是矩形？（3）运动过程中,四边形MNCB 能否为菱形？若能,求出t 的值;若不能,说明理由．6．已知23x =+，23y =-。

求22x xy y ++的值。

7．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．8．计算：242933x x x x x -----9．解方程：224124x x x +-=-- 10．如图，在ABC 中，∠BAC ＝90°，DE 是ABC 的中位线，AF 是ABC 的中线．求证DE ＝AF ．证法1：∵DE 是ABC 的中位线，∴DE＝．∵AF是ABC的中线，∠BAC＝90°，∴AF＝，∴DE＝AF．请把证法1补充完整，连接EF，DF，试用不同的方法证明DE＝AF证法2：11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO 上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．12．如图，已知一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B两点，且与反比例函数y＝mx的图象在第一象限交于点C，CD⊥x轴于点D，且OA＝OD．（1）求点A的坐标和m的值；（2）点P是反比例函数y＝mx在第一象限的图象上的动点，若S△CDP＝2，求点P的坐标．13．（发现）（1）如图1，在▱ABCD中，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：△AOE≌△COF；（探究）（2）如图2，在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝4，BD＝8，求四边形ABFE的面积．（应用）（3）如图3，边长都为1的5个正方形如图摆放，试利用无刻度的直尺，画一条直线平分这5个正方形组成的图形的面积．（要求：保留画图痕迹）14．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB ，A ，B 均为格点，按要求完成下列问题．（1）以AB 为对角线画一个面积最小的菱形AEBF ，且E ，F 为格点； （2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 ；（3）以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E ，F 为格点，则可画 个菱形．15．已知ABC ∆是边长为8cm 的等边三角形，动点,P Q 同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，他们的运动时间为()t s ．()1如图1，若P 点由A 向B 运动，Q 点由C 向A 运动，他们的速度都是1/cm s ，连接PQ ．则AP =__，AQ = ，（用含t 式子表示）；()2在(1)的条件下，是否存在某一时刻，使得APQ ∆为直角三角形？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由；()3如图2，若P 点由A 出发，沿射线AB 方向运动，Q 点由C 出发，沿射线AC 方向运动，P 的速度为3/,cm s Q 的速度为．/acm s 是否存在某个a 的值，使得在运动过程中BPO ∆恒为以BP 为底的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB//EC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形；（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D．又∵∠AFC=2∠ADC，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形．【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．2．证明见解析．【解析】试题分析：由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，证出∠ADE=∠CBF ，再由BE=DF ，得出DE=BF ，证明△ADE ≌△CBF ，即可得出结论． 试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC ， ∴∠ADE=∠CBF ， ∵BE=DF ， ∴DE=BF ，在△ADE 和△CBF 中，{AD CBADE CBF DE BF=∠=∠=， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）， ∴AE=CF ．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．3．（1）50，16，8；（2）补全图形见解析；（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数为115.2°；（4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人． 【解析】分析：（1）根据C 组的频数是20，对应的百分比是40%，据此求得调查的总人数，然后求得a 的值，m 的值；（2）根据a 的值补全频数分布直方图； （3）利用360°乘以对应的比例即可求解；（4）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．详解：（1）调查的总人数是20÷40%=50（人），则a =50﹣4﹣20﹣8﹣2=16，A 组所占的百分比是450=8%，则m =8． 故答案为50，16，8；（2）补全频数分布直方图如图：（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数是360°×1650=115.2°； （4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数是1000×162050+=720（人）． 答：每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人．点睛：本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．4．（1）详见解析；（2）10cm【分析】（1）由三角形中位线定理推知BD∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝16﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．【详解】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥BC．BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，∵四边形DCFE的周长为16cm，AC的长8cm，∴BC＝16﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（16﹣AB）2+82，解得：AB＝10cm，【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．（1）（3,8）;（15,0）;（2）t＝7;（3）能,t＝5．【分析】（1）根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC,然后根据路程＝速度×时间求出AM、CN,再求出ON,然后写出点M、N的坐标即可;（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,当AM＝ON时,四边形OAMN是矩形,然后列出方程求解即可;（3）先求出四边形MNCB是平行四边形的t值,并求出CN的长度,然后过点B作BC⊥OC于D,得到四边形OABD是矩形,根据矩形的对边相等可得OD＝AB,BD＝OA,然后求出CD,再利用勾股定理列式求出BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．【详解】解：（1）∵B（15,8）,C（21,0）,∴AB ＝15,OA ＝8, OC ＝21,当t ＝3时,AM ＝1×3＝3, CN ＝2×3＝6,∴ON ＝OC-CN ＝21﹣6＝15, ∴点M （3,8）,N （15,0）; 故答案为：（3,8）;（15,0）;（2）当四边形OAMN 是矩形时,AM ＝ON, ∴t ＝21-2t, 解得t ＝7秒,故t ＝7秒时,四边形OAMN 是矩形;（3）存在t ＝5秒时,四边形MNCB 能否为菱形． 理由如下：四边形MNCB 是平行四边形时,BM ＝CN, ∴15-t ＝2t, 解得：t ＝5秒, 此时CN ＝5×2＝10,过点B 作BD ⊥OC 于D,则四边形OABD 是矩形, ∴OD ＝AB ＝15,BD ＝OA ＝8, CD ＝OC-OD ＝21-15＝6,在Rt △BCD 中,BC ＝22BD CD + ＝10, ∴BC ＝CN,∴平行四边形MNCB 是菱形,故,存在t ＝5秒时,四边形MNCB 为菱形．【点睛】本题主要考查了四边形综合以及矩形的性质,平行四边形与菱形的关系,梯形的问题、勾股定理等知识,根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解题的关键． 6．15 【解析】 【分析】先根据完全平方公式对代数式22x xy y ++进行变形可得:()2x y xy +-,再根据23x =+23y =-可分别计算出4x y +=,1xy =,代入变形后的代数式即可. 【详解】因为2x =+2y =,所以4x y +=,1xy =, 所以()22224115x xy y x y xy ++=+-=-=. 【点睛】本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是要熟练根据完全平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则. 7．(1)k ＝1；(2)证明见解析. 【分析】（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值； （2）求出根的判别式是非负数即可. 【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0， 1﹣k ﹣3+3k ＝0 解得k ＝1； (2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+= 24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.8．3x -【分析】先把分式进行合并，再进行因式分解，然后约分，即可得到答案． 【详解】解：原式22242969(3)3333x x x x x x x x x x --+-+-====----；【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 9．-1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】去分母得：(x+2)2-4=x 2-4， 解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．10．2BC ，2BC，证明见解析 【分析】证法1：根据三角形中位线定理得到DE=12BC ，根据直角三角形的性质得到AF=12BC ，等量代换证明结论；证法2：连接DF 、EF ，根据三角形中位线定理得到DF ∥AC ，EF ∥AB ，证明四边形ADFE 是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可． 【详解】证法1：∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=12BC ， ∵AF 是△ABC 的中线，∠BAC=90°， ∴AF=12BC ， ∴DE=AF ，证法2：连接DF 、EF ，∵DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线， ∴DF 、EF 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥AC ，EF ∥AB ， ∴四边形ADFE 是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∴四边形ADFE 是矩形， ∴DE=AF ． 故答案为：12BC ；12BC ． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 11．见解析 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的判定即可得到结论．【详解】证明：∵BE ∥DF ，∴∠BEO ＝∠DFO ，在△BEO 与△DFO 中，BEO DFO BO DO BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEO ≌△DFO （ASA ），∴EO ＝FO ，∵AE ＝CF ，∴AE +EO ＝CF +FO ，即AO ＝CO ，∵BO ＝DO ，∴四边形ABCD 为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．12．（1）（-2,0）；8 （2）（1，8）或（3，83） 【分析】（1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式；（2）1||2CDP P C S CD x x =⨯⨯-△，即可求解． 【详解】解：（1）对于一次函数2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-， 故点A 、B 的坐标分别为(2,0)-、(0,2)， OA OD =，故点(2,0)D ，则点C 的横坐标为2，当2x =时，24y x =+=，故点(2,4)C ，将点C 的坐标代入反比例函数表达式得：42m =， 解得：8m =，故点A 的坐标为(2,0)-，8m =；（2）1142222CDP P C P S CD x x x =⨯⨯-=⨯⨯-=， 解得：3P x =或1，故点P 的坐标为(1,8)或8(3,)3．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．13．（1）见解析 （2）8 （3）见解析【分析】（1）根据ASA 证明三角形全等即可．（2）证明S 四边形ABFE ＝S △ABC 可得结论．（3）利用中心对称图形的性质以及数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．【详解】（1）【发现】证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）．（2）【探究】解：如图2中，由（1）可知△AOE ≌△COF ，∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 四边形ABFE ＝S △ABC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴S △ABC ＝12S菱形ABCD ， ∵S 菱形ABCD ＝12•AC •BD ＝12×4×8＝16， ∴S 四边形ABFE ＝12×16＝8． （3）【应用】①找出上面小正方形的对角线交点，以及下面四个小正方形组成的矩形的对角线交点，连接即可；②连接下面左边数第二个小正方形右上角和左下角的顶点；③分别找出第二列两个小正方形的对角线交点，并连接，与最上面的小正方形最上面的边交于一点，把这个点与图形底边中点连接即可．如图3中，直线l 即为所求（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定、菱形的性质以及中心对称图形的性质，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．14．（1）见解析；（2）10，6；（3）3【分析】（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．（3）画出满足条件的菱形即可判断．【详解】解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．（2）AE ＝223+1=10，菱形AEBF 的面积＝12×6×2＝6， 故答案为10，6．（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，故答案为3．【点睛】本题主要考查了格点作图和菱形的性质应用，涉及了勾股定理等，正确理解，准确利用网格的特点是解题的关键．15．（1）(),6AP tcm AQ t cm ==-；（2）存在，8163t s s=或；（3）存在， 3/a cm s =．【分析】（1）根据路程=时间×速度，即可表示出来（2）要讨论PA AB ⊥，PQ AC ⊥两种情况，即可求出对应的时间（3）根据BPQ ∆以BP 为底的等腰三角形，作QM BP ⊥于M ，用a ，t 的代数式表示出AP ，CQ ，AQ ，BP 等边长，再根据ABC ∆是等边三角形，求出30AQM ︒∠＝，从而得出2AQ AM ＝，讨论P 在线段AB 内运动和P 在AB 外运动两种情况，即可求出结果．【详解】解：()1由题意可知：(),,6AP tcm CQ tcm AQ t cm ===-()2存在8163t s s =或时，使得APQ ∆为直角三角形，理由是 ①当PA AB ⊥时，由题意有28t t =-，解得83t s = ②当PQ AC ⊥时，由题意有()8,2t t =-解得163t s = ∴综上所述，存在8163t s s =或时，使得APQ ∆为直角三角形 ()3存在3/a cm s =时，BPQ ∆恒为以BP 为底的等腰三角形，理由是：作QM BP ⊥于M ，如图2所示由题意得：3,AP t CQ at ==，则8,83AQ at BP t =+=-,PQ BQ QM BP =⊥12PM BM BP ∴== ABC ∆是等边三角形，60A ︒∴∠＝30AQM ︒∴∠＝2AQ AM ∴＝，①当83t ≤时，由题意有832382t t at -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得3/a cm s =， ②当83t ≥时，由题意有382382t t at -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得3/a cm s =，∴综上所述，存在3/a cm s =时，BPQ ∆恒为以BP 为底的等腰三角形．【点睛】本题主要考察了直角三角形，等腰三角形，动点等知识点，记住它们的常用性质和把动点问题转换成代数式求解问题是解题关键．。

一．选择题（共12小题）1．下列数中最大的数是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣πD．﹣42．下列图形中是轴对称的是（）A．B．C．D．3．下列调查适合用全面调查的是（）A．对重庆市园博游客满意程度的调查B．对新研发的战斗机的零部件进行检查C．对2019年重庆市居民每户月均用水量的调查D．对西大附中全体学生的视力情况进行调查4．使得函数y＝有意义的自变量的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≠0D．x＞﹣25．下列计算正确的是（）A．m2+m3＝m5B．m2•（﹣m）3＝﹣m5C．（﹣m2n）3＝﹣m5n3D．（2mn）2•3m3n＝12m5n2 6．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四7．估算2+3的范围是下列哪两个数之间（）A．11﹣12B．12﹣13C．13﹣14D．14﹣158．下列图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中黑色圆点的个数为（）A．66B．91C．120D．1359．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（）A．B．C．D．10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．2011．如图，双曲线y＝与一次函数y＝﹣x+4在第一象限内交于A，B两点，且△AOB的面积为2，则k的值为（）A．2B．C．D．412．已知二次函数y＝（a+2）x2+2ax+a﹣1的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程+1＝的解为整数，则所有满足条件的整数a之和为（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．3二．填空题（共6小题）13．计算：（）﹣2+（﹣1）2019+|2﹣π|+＝．14．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数不大于4的概率为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．16．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是．17．已知，甲地到乙地的路程为450千米，一辆大货车从甲地前往乙地运送物资，行驶1小时在途中某地出现故障，立即通知技术人员乘小汽车从甲地赶来维修（通知时间忽略不计），小汽车到达该地后经过半小时修好大货年后以原速原路返甲地，小汽车在返程途中当走到一半路程时发现有重要物品落在大货车上，于是立即掉头以原速追赶大货车，追上大货车取下物品（取物品时间忽略不计）后以原速原路返回甲地，大货车修好后以原速前往乙地，如图是两车距甲地的路程y（千米）与大货车所用时间x（小时）之间的函数图象，则当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地千米．18．端午节是中华民族的传统节日，节日期间大家都有吃粽子的习惯．某超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量比为3：5：2．根据市场调查，超市决定今年在去年销售量的基础上进货，肉粽增加20%、豆沙粽减少10%、蛋黄粽不变．为促进销售，将全部粽子包装成三种礼盒，礼盒A有2个蛋黄粽、4个肉粽、2个豆沙粽，礼盒B有3个蛋黄粽、3个肉粽、2个豆沙粽，礼盒C有2个蛋黄粽、5个肉粽、1个豆沙粽，其中礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒．每个蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的售价分别为6元、5元、4元，且A、B、C三种礼盒的包装费分别为10元、12元、9元（礼盒售价为粽子价格加上包装费）．若这些礼盒全部售出，则销售额为元．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）（a﹣b）（a﹣4b）﹣（a﹣2b）2（2）÷（﹣m﹣2）20．如图，在△ABD中，C为BD上一点，使得CA＝CD，过点C 作CE∥AD交AB于点E，过点D作DF⊥AD交AC的处长线于点F．（1）若CD＝3，求AF的长；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝40°，求证：AC＝EC．21．2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图体育成绩频数分布表组别成绩（x分）频数频率A 35＜x≤38 1B 38＜x≤41 0.05C 41＜x≤44D 44＜x≤47 6E 47＜x≤50（1）在这次考察中，共调查了名学生；并请补全频数分布直方图；（2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？（3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下：李杰成绩170 175 180 190 195（个/分）次数l 1 3 2 3165 180 190 195 200陈亮成绩（个/分）次数 2 2 3 2 1则李杰10次成绩的中位数是；陈亮10次成绩的众数是，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．22．如图，一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝图象相交于A，B两点，已知点B的坐标为（3，﹣1）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式kx﹣≤﹣2的解集；（3）点C为x轴上一动点，当S△ABC＝3时，求点C的坐标．23．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B 种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a．24．如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE 于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2GH+EG．25．“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：①先画一个矩形，把它分成p×q个方格（p，q分别为两乘数的位数）在方格上边、右边分别写下两个因数；②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；④最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．比如：（1）图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝，x9×784＝（2）图2是用“铺地锦”计算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．26．如图，y轴上有一点A（0，1），点B是x轴上一点，∠ABO＝60°，抛物线y＝﹣x2++3与x轴交于C、D两点（点C 在点D的左侧）．（1）将点C向右平移个单位得到点E，过点E作直线l⊥x 轴，点P为y轴上一动点，过点P作PQ⊥y轴交直线l于点Q，点K为抛物线上第一象限内的一个动点，当△ABK面积最大时，求KQ+QP+PE的最小值，及此时点P的坐标；（2）在（1）的条件下，将线段PE绕点P逆时针旋转90°后得线段PE′，问：在第一象限内是否存在点S，使得△SPE'是有一个角为60°，且以线段PE′为斜边的直角三角形，若存在请直接写出所有满足条件的点S，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列数中最大的数是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣πD．﹣4【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．【解答】解：∵﹣4＜﹣π＜﹣3＜﹣2，∴最大的数是﹣2，故选：A．2．下列图形中是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．3．下列调查适合用全面调查的是（）A．对重庆市园博游客满意程度的调查B．对新研发的战斗机的零部件进行检查C．对2019年重庆市居民每户月均用水量的调查D．对西大附中全体学生的视力情况进行调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断．【解答】解：A、对重庆市园博游客满意程度的调查适合用抽样调查；B、对新研发的战斗机的零部件进行检查适合用全面调查；C、对2019年重庆市居民每户月均用水量的调查适合用抽样调查；D、对西大附中全体学生的视力情况进行调查适合用抽样调查；故选：B．4．使得函数y＝有意义的自变量的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≠0D．x＞﹣2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得x+2＞0，解得x＞﹣2．故选：D．5．下列计算正确的是（）A．m2+m3＝m5B．m2•（﹣m）3＝﹣m5C．（﹣m2n）3＝﹣m5n3D．（2mn）2•3m3n＝12m5n2【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法、以及积的乘方和单项式乘单项式的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、m2和m3不是同类项不能合并，故本选项错误；B、m2•（﹣m）3＝﹣m5，故本选项正确；C、（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故本选项错误；D、（2mn）2•3m3n＝4m2n2•3m3n＝12m5n3，故本选项错误．故选：B．6．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【分析】利用一次函数的性质得到k＜0，b＞0，则判断△＞0得到抛物线与x轴有两个交点，然后确定抛物线的对称轴的位置，从而得到抛物线顶点所在的象限．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∵△＝b2﹣4k（﹣k）＝b2+4k2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∵k、b异号，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第一象限．故选：A．7．估算2+3的范围是下列哪两个数之间（）A．11﹣12B．12﹣13C．13﹣14D．14﹣15【分析】直接利用特殊值法得出、的取值范围即可．【解答】解：2＝，3＝，∵4＜＜4.5，7＜＜7.5，∴11＜+＜12，∴2+3的大小应在11与12之间．故选：A．8．下列图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中黑色圆点的个数为（）A．66B．91C．120D．135【分析】观察图形特点，从中找出规律，黑色圆点的个数分别是1+3+1×2，1+3+5+2×3，1+3+5+7+3×4，1+3+5+7+9+4×5，…，总结出第n个图形中的黑色圆点的个数为1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1），根据规律求解．【解答】解：通过观察，得到：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+1×2＝6，第②个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+2×3＝15，第③个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+7+3×4＝28，…，所以第n个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1），当n＝7时，1+3+5+7+9+11+13+15+7×8＝120，故选：C．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（）A．B．C．D．【分析】连接DM，由勾股定理得出∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD 底边AD上的高为AB，由勾股定理得出AM＝＝，再由△ADM的面积即可得出答案．【解答】解：连接DM，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，AM＝＝＝，∵△ADM的面积＝AM×DN＝AD×AB，∴DN＝＝＝；故选：D．10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20【分析】作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，根据正切的定义用EF表示出CF、BF，根据题意列式求出EF，结合图形计算，得到答案．【解答】解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．11．如图，双曲线y＝与一次函数y＝﹣x+4在第一象限内交于A，B两点，且△AOB的面积为2，则k的值为（）A．2B．C．D．4【分析】设一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点C，把x＝0代入y＝﹣x+4，求出点C坐标，设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，根据S△AOB＝S△OBC﹣S△OAC＝2，找到x1和x2之间的关键，联立，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，解之即可．【解答】解：设一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点C，如下图所示：，把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，即点C的坐标为：（0，4），线段OC的长度为4，设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，S△AOB＝S△OBC﹣S△OAC＝﹣＝2x2﹣2x1＝2，即x2﹣x1＝1，整理得：﹣4x1x2＝1，联立，整理得：x2﹣4x+k＝0，则x1+x2＝4，x1x2＝k，把x1+x2＝4，x1x2＝k代入﹣4x1x2＝1得：16﹣4k＝1，解得：k＝，故选：B．12．已知二次函数y＝（a+2）x2+2ax+a﹣1的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程+1＝的解为整数，则所有满足条件的整数a之和为（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．3【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，则a≤2且a≠﹣2，再解分式方程得到x＝且x≠﹣1，利用分式方程的解为整数可求出解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，加上a的范围可确定满足条件的a的值，然后计算它们的和．【解答】解：根据题意得a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，解得a≤2且a≠﹣2，去分母得ax+x+1＝7，解得x＝且x≠﹣1，因为分式方程的解为整数，所以a+1＝±1，±2，±3，±6，且a≠﹣7，解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，所以满足条件的a的值为﹣4，﹣3，0，2，1．所以所有满足条件的整数a之和为﹣4+（﹣3）+0+2+1＝﹣4．故选：A．二．填空题（共6小题）13．计算：（）﹣2+（﹣1）2019+|2﹣π|+＝6+π﹣2．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣1+π﹣2+3＝6+π﹣2．故答案为：6+π﹣2．14．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数不大于4的概率为．【分析】点数不大于4的有1种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数不大于4的概率．【解答】解：∵共有6种情况，点数不大于4的有4种，∴P（点数不大于4）＝＝．故答案为：．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF 的长为．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．16．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是k＝1或k＜﹣8 ．【分析】求出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1交点坐标（4，﹣8），然后利用函数图象求出直线y＝k与函数图象有两个交点时k的范围即可．【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），y＝﹣（x ﹣7）2+1的顶点坐标为（7，1），解方程﹣（x﹣1）2+1＝﹣（x﹣1）2+1得x＝4，则抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1相交于点（4，﹣8），如图，直线y＝﹣8与函数图象有三个交点，当k＜﹣8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜﹣8．故答案为k＝1或k＜﹣8．17．已知，甲地到乙地的路程为450千米，一辆大货车从甲地前往乙地运送物资，行驶1小时在途中某地出现故障，立即通知技术人员乘小汽车从甲地赶来维修（通知时间忽略不计），小汽车到达该地后经过半小时修好大货年后以原速原路返甲地，小汽车在返程途中当走到一半路程时发现有重要物品落在大货车上，于是立即掉头以原速追赶大货车，追上大货车取下物品（取物品时间忽略不计）后以原速原路返回甲地，大货车修好后以原速前往乙地，如图是两车距甲地的路程y（千米）与大货车所用时间x（小时）之间的函数图象，则当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地90 千米．【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得大货车和小轿车的速度，从而可以计算出当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地的距离．【解答】解：由图可得，大货车的速度为：90÷1＝90（千米/小时），设小汽车从甲地到大货车出现故障的地方所用的时间为a，则a+0.5+0.5a＝，得a＝，故小汽车的速度为：90÷＝120（千米/小时），设小汽车第二次追上大货车的时间b小时，45+（b﹣）×120＝90+（b﹣1﹣）×90，解得，b＝，故则当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地：450﹣[90+（﹣1﹣）×90]＝90（千米），故答案为：90．18．端午节是中华民族的传统节日，节日期间大家都有吃粽子的习惯．某超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量比为3：5：2．根据市场调查，超市决定今年在去年销售量的基础上进货，肉粽增加20%、豆沙粽减少10%、蛋黄粽不变．为促进销售，将全部粽子包装成三种礼盒，礼盒A有2个蛋黄粽、4个肉粽、2个豆沙粽，礼盒B有3个蛋黄粽、3个肉粽、2个豆沙粽，礼盒C有2个蛋黄粽、5个肉粽、1个豆沙粽，其中礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒．每个蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的售价分别为6元、5元、4元，且A、B、C三种礼盒的包装费分别为10元、12元、9元（礼盒售价为粽子价格加上包装费）．若这些礼盒全部售出，则销售额为12312 元．【分析】设超市去年销售蛋黄粽的数量销售分别为3x个，设销售了A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，根据题意列出方程组，用x表示a、b、c，再根据“礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再根据礼盒数与粽子数量为整数，求得x的值，进而便可求得结果．【解答】解：设超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量销售分别为3x个，5x个，2x个，则今年该超市销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量销售分别为3x个，（1+20%）×5x＝6x个，（1﹣10%）×2x＝1.8x个，设销售了A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，根据题意得，，解得，，∵礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒，∴，∴，∵a＝0.15x、b＝0.3x、c＝0.9x、1.8x都为整数，∴x必为20的倍数，∴x＝180，∴a＝27，b＝54，c＝162，∴这些礼盒全部售出的销售额为：（2×6+4×5+2×4+10）a+（3×6+3×5+2×4+12）b+（2×6+5×5+1×4）c＝50a+53b+50c＝50×27+53×54+50×162＝12312，故答案为：12312．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）（a﹣b）（a﹣4b）﹣（a﹣2b）2（2）÷（﹣m﹣2）【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则化简可得；（2）利用分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）＝a2﹣4ab﹣ab+4b2﹣a2+4ab﹣4b2＝﹣ab；（2）原式＝÷（﹣）＝•＝﹣．20．如图，在△ABD中，C为BD上一点，使得CA＝CD，过点C 作CE∥AD交AB于点E，过点D作DF⊥AD交AC的处长线于点F．（1）若CD＝3，求AF的长；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝40°，求证：AC＝EC．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠CDA，由余角的性质可得∠F＝∠CDF，可得CD＝CF＝3，即可求解；（2）由三角形内角和定理可求∠CAB＝70°，由平行线的性质和外角的性质可求∠AEC＝∠CAB＝70°，即可求解．【解答】解：（1）∵CA＝CD＝3，∴∠CAD＝∠CDA，∵AD⊥DF，∴∠ADF＝90°，∴∠F+∠FAD＝90°，∠ADC+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF＝3，∴AF＝AC+CF＝6；（2）∵∠B＝30°，∠ADC＝∠CAD＝40°，∴∠CAB＝180°﹣30°﹣40°﹣40°＝70°，∵CE∥AD，∴∠BCE＝∠ADC＝40°，∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°，∴∠AEC＝∠CAB，∴AC＝CE．21．2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图体育成绩频数分布表组别成绩（x分）频数频率A 35＜x≤38 1B 38＜x≤41 0.05C 41＜x≤44D 44＜x≤47 6E 47＜x≤50（1）在这次考察中，共调查了60 名学生；并请补全频数分布直方图；（2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？（3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下：李杰成绩170 175 180 190 195（个/分）次数l 1 3 2 3165 180 190 195 200陈亮成绩（个/分）次数 2 2 3 2 1则李杰10次成绩的中位数是185 ；陈亮10次成绩的众数是190 ，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．【分析】（1）根据38＜x≤41的频数和频率求出总人数，再用总人数减去其他段的人数求出41＜x≤44的人数，从而补全统计图；（2）用总人数乘以体考成绩满分的人数所占的百分比即可；（3）根据中位数、众数、平均数以及方差的计算公式分别进行计算，然后再进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）共调查的学生数是：3÷0.05＝60（名），41＜x≤44的人数有：60﹣1﹣3﹣6﹣45＝5（名），补图如下：（2）根据题意得：1100×＝550（名），答：估计该年级体考成绩满分的总人数约有550名；（3）李杰10次成绩的中位数是＝185；陈亮10次成绩的众数是190；李杰10次成绩的平均成绩是：＝185，李杰10次成绩的方差是：[（170﹣185）2+（175﹣185）2+3（180﹣185）2+2（190﹣185）2+3（195﹣185）2]＝55；陈亮10次成绩的平均成绩是：＝185，陈亮10次成绩的方差是：[2（165﹣185）2+2（180﹣185）2+3（190﹣185）2+2（195﹣185）2+（200﹣185）2]＝135；两位同学的平均成绩一样，但李杰的方差小于陈亮的方差，所以应派李杰参赛；故答案为：185，190．22．如图，一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝图象相交于A，B两点，已知点B的坐标为（3，﹣1）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式kx﹣≤﹣2的解集；（3）点C为x轴上一动点，当S△ABC＝3时，求点C的坐标．【分析】（1）将B的坐标（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝中，可求出k、m的值，进而确定函数关系式，（2）求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，根据图象得出不等式的解集，（3）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据S△ABC＝3，可以求出CM的长，分两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）把B（3，﹣1）分别代入y1＝kx+2和y2＝得．﹣1＝3k+2，m＝3×（﹣1），∴k＝﹣1，m＝﹣3，∴一次函数和反比例函数的解析式分别为y1＝﹣x+2，y2＝，（2）由题意得：，解得：，，∴A（﹣1，3）不等式kx﹣≤﹣2的解集，即kx+2≤的解集，由图象可得，﹣1≤x＜0或x≥3，答：不等式kx﹣≤﹣2的解集为﹣1≤x＜0或x≥3．（3）直线y＝﹣x+2与x轴的交点M（2，0），即OM＝2，∵S△ABC＝3，∴S△AMC+S△BMC＝3即：×CM×3+CM×1＝3，解得：CM＝，①当点C在M的左侧时，OC1＝2﹣＝，∴点C的坐标为（，0），②当点C在M的右侧时，OC2＝2+＝，∴点C的坐标为（，0），答：点C的坐标为（，0）或（，0）．23．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B 种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a．【分析】（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套，由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392，即可求解；（2）设x＝a%，由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16，即可求解．【解答】解：（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套，由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392，解得：x≤24，则最大购买A材料24（购买B材料26套）；（2）设x＝a%，由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16，化简得：58x2﹣37x+4＝0，解得：x＝或（不合题意舍去），即＝x＝a%，解得：a＝50．24．如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE 于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2GH+EG．【分析】（1）由勾股定理得出BD＝＝8，由HL证得Rt △ADE≌Rt△BEC，得出BE＝AD，则CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD ＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接CF，易证AF＝CE，AD∥CE，得出四边形AECF是平行四边形，则AE＝CF，AE∥CF，得出∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由Rt△ADE≌Rt△BEC，得出∠CBE＝∠EAD，推出∠CBE＝∠CFD，证得△BCF是等腰直角三角形，则BF＝BC＝CF＝AE，∠FBC ＝∠BFC＝45°，推出∠AGF＝45°，∠AGH＝60°，∠GAH＝30°，则AG＝2GH，得出BF＝AE＝（AG+EG），即可得出结论．【解答】（1）解：∵BD⊥AD，∴BD＝＝＝8，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝∠EDA＝90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），∴BE＝AD，∴CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD＝8﹣6＝2，∴CD＝CE＝2；（2）解：连接CF，如图2所示：∵AF＝DE，DE＝CE，∴AF＝CE，∵BD⊥AD，CE⊥BD，∴AD∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AE∥CF，∴∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由（1）得：Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠CBE＝∠EAD，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠FBD+∠BFC+∠CFD＝90°，∴∠FBD+∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠BCF＝90°，∵AE＝BC，∴BC＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝CF＝AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，∴∠AGF＝45°，∵∠BGH＝75°，∴∠AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵GH⊥AB，∴∠GAH＝30°，∴AG＝2GH，∴BF＝AE＝（AG+EG），∴BF＝2GH+EG．25．“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：①先画一个矩形，把它分成p×q个方格（p，q分别为两乘数的位数）在方格上边、右边分别写下两个因数；②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；④最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．比如：（1）图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝ 2 ，x9×784＝30576。

一、选择题 1．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；A ．25B ．26C ．32D ．52．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤22PD ＝EC ．其中有正确有( )个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，且AE EF FA ==，有下列结论：①ABE ADF ∆≅∆；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④BE DF EF +=；⑤A ABE DF CEF S S S ∆∆∆+=；其中正确的有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在ABC 中，BD ，CE 是ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F G ，分别是，BO CO 的中点，连接AO ，若要使得四边形DEFG 是正方形，则需要满足条件（ ）A ．AO BC =B ．AB AC ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥D ．AO BC =且AO BC ⊥5．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：①CE BG =；②EC BG ⊥③22222FG BF BD BC +=+④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④6．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．57．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）A ．2B ．53C ．54D ．38．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )A ．233B ．334C ．536D ．310．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．12．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．13．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．14．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．15．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．16．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，17．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC=，EC m BC=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．18．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．22．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．23．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.24．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．25．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．26．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；（2）求证：CP AE =；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．27．如图，等腰直角三角形OAB 的三个定点分别为(0,0)O 、(0,3)A 、(3,0)B -，过A 作y 轴的垂线1l .点C 在x 3D 在1l 上以每秒3322+的速度同时从点A 出发向右运动，当四边形ABCD 为平行四边形时C 、D 同时停止运动，设运动时间为t .当C 、D 停止运动时，将△OAB 沿y 轴向右翻折得到△1OAB ，1AB与CD相交于点E，P为x轴上另一动点.(1)求直线AB的解析式，并求出t的值.(2)当PE+PD取得最小值时，求222PD PE PD PE++⋅的值.(3)设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表示△PAE的面积.28．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm。

一、选择题1．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④2．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；A ．25B ．26C ．32D ．53．如图，在菱形ABCD 中，AB =5cm ，∠ADC =120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB ．CB 方向向点B 匀速移动(到点B 为止)，点E 的速度为1c m/s ，点F 的速度为2c m/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为( )A ．34B ．43C ．32D ．534．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分∠DCH ；③线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4；④当点H 与点A 重合时，EF=5A ．①②③④B ．①④C ．①②④D ．①③④5．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（ ）A ．53+B ．35+C ．452-D ．231+6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ）①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥7．正方形ABCD ，CEFG 按如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA PF =，且APF 90∠=︒，连接AF 交CD 于点M ，有下列结论：EC BP =①；BAP GFP ∠∠=②；2221AB CE AF 2+=③；APFABCD CEFG S S 2S +=正方形正方形④．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④8．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PD ＝2，下列结论：①EB ⊥ED ；②∠AEB ＝135°；③S 正方形ABCD ＝5+22；④PB ＝2；其中正确结论的序号是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③9．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（ ）A ．62B ．122C ．6D ．1210．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=︒，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；②EOB CMB △≌△；③四边形EBFD 是菱形；④23MB =．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．12．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)16．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.17．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②S△ABG＝32S△FGH；③△DEF∽△ABG；④AG+DF＝FG．其中正确的是_____．（把所有正确结论的序号都选上）18．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝2CD；其中正确的是_____（填序号）19．如图所示，已知AB＝6，点C，D在线段AB上，AC ＝DB ＝1，P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D落在AB边的点F处，得折痕AE，再折叠，使点C落在AE边的点G处，此时折痕恰好经过点B，如果AD=a，那么AB长是多少？”常明说；“简单，我会. AB应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B，而是经过了AB边上的M点，如果AD=a，测得EC=3BM，那么AB长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．22．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为32cm 2； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．23．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE ＝，求证：CE CF ＝；拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．24．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.25．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD，(1)如图1，求证：△AMC≌△AND；(2)如图1，若DF=3，求AE的长；(3)如图2,将△CDF绕点D顺时针旋转α（090α<<）,点C,F的对应点分别为1C、1F，连接1AF、1BC，点G是1BC的中点,连接AG，试探索1AGAF是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.26．如图，ABCD中，60ABC∠=︒，连结BD，E是BC边上一点，连结AE交BD 于点F．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD AG +=．27．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=30 ，CD=10，F 是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A 向 D 运动，到D 点后停止运动；Q 沿着A B C D →→→ 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D 点后停止运动．已知动点 P ，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动． 设运动时间为 t 秒，问：（1）经过几秒，以 A ，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形（2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P 为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD 面积的一半？28．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．29．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

2022-2023学年第二学期月考试题 （八年级）（数学 科目）考试时间：120分钟 分值：150分 第I 卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 在函数y = x +4x 中，自变量x 的取值范围是( ) A. x >0B. x ≥−4C. x ≥−4，且x ≠0D. x >0，且x ≠−1 2. 下列曲线中，表示y 是x 的函数的是( ) A. B. C. D. 3. 已知点(−2,y 1)，(−1,y 2)，(1,y 3)都在直线y =−x +7上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A. y 1>y 2>y 3 B. y 1<y 2<y 3 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3<y 1<y 2 4. 某工程队承建一条长30km 的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度y (km )与施工时间x (天)之间的关系式为( ) A. y =30−14x B. y =30+14x C. y =30−4x D. y =14x5. 根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是8，则输出y 的值是−3，若输入x 的值是−8，则输出y 的值是( )A. 10B. 14C. 18D. 22学校：姓名：班级：考号： 密封线6. 函数y=(m−n+1)x|n−1|+n−2是正比例函数，则m，n应满足的条件是( )A. m≠−1，且n=0B. m≠1，且n=0C. m≠−1，且n=2D. m≠1，且n=27. 对于函数y=−k2x(k是常数，k≠0)，下列说法不正确的是( )A. 图象是一条直线B. 图象过点(1k,−k)C. 图象经过第一、三象限或第二、四象限D. y随着x的增大而减小8. 正比例函数y=1−2m x的图象经过点A x1,y1，B x2,y2，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是( )A. m=12B. m≥12C. m>12D. m<129. 如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形EFGD，动点P从点A出发，沿A→E→F→G→C→B的路线，绕多边形的边匀速运动到点B时停止，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )A. B. C. D.10. 如图，已知直线l1：y=k1x与直线l2：y=k2x+b在同一直角坐标系中的图象，则关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为( )A. x>−1B. x<−1C. x<−2D. 无法确定11. 在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P3,n，则关于x，y的方程组x+y−4=0,2x−y+m=0的解为( )A. x=−1y=5 B.x=1y=3 C.x=3y=1 D.x=9y=−512. 在2021年端午节举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是( )A. 这次比赛的全程是1000米B. 乙队先到达终点C. 比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快D. 乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点(1,1)，则平移后的函数解析式是．14. 已知一次函数y=2x+a，y=−x+b的图象都经过点A(−2,0)，且与y轴分别相交于B，C两点，则△ABC的面积为．15. 汽车由A地驶往相距120kmm的B地，它的平均速度是30km/ℎ，则汽车距B地路程s(km)与行驶时间t(ℎ)的函数关系式及自变量t的取值范围是____________．16. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s(km)与时间t(ℎ)的关系如图所示，那么乙的速度是______km/ℎ．17. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−2,3)，且与x轴的交点B到坐标原点的距离为1，则这个一次函数的表达式为·18. 一个空水池，现需注满水，水池深4.9 m，现以均匀的流量注水，水的深度和注水时间如下表所示．由上表提供的信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是ℎ.三、解答题（本大题共7小题，共78分。

一、选择题1．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，AE ＝1，若点P 为对角线BD 上的一个动点，则△PAE 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ，若四边形DCFE 的周长为18cm ，AC 的长6cm ，则AD 的长为（ ）A ．13cmB ．12cmC ．5cmD ．8cm4．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A ．B ．C ．D ．5．正方形ABCD ，正方形CEFG 如图放置，点B 、C 、E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM：③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝12AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④⑤D．①③④⑤6．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=28.8．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．17．如图，在正方形ABCD中，4AB=，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为（）A2B51C．2 D．422-8．如图的△ABC中，AB>AC>BC,且D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误乙正确9．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）A ．3B ．6C ．37 D ．17 10．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为 ．13．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．14．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．15．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由． （2）设()01ABm m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AEn AD=，用等式表示m n ，的关系． 22．综合与实践． 问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCDS=，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．23．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）求证：四边形ECFG 是菱形；（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？（3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长． 24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒． ①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形． ②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．25．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、， ①求证：四边形AFEP 是平行四边形； ②求PE 的长．26．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE ＝2，求CE 的长．27．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．（1）求证：AF ∥CH ；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CPPQ的值． 28．在正方形ABCD 中，点E 是CD 边上任意一点，连接,AE 过点B 作BF AE ⊥于F ，交AD 于H .()1如图1，过点D 作DG AE ⊥于G .求证:BF DG FG -=；()2如图2，点E 为CD 的中点，连接DF ，试判断,,DF FH EF 存在什么数量关系并说明理由；()3如图3，1AB =，连接EH ，点Р为EH 的中点，在点E 从点D 运动到点C 的过程中，点Р随之运动，请直接写出点Р运动的路径长.29．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE． （1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．30．如图，ABCD 中，60ABC ∠=︒，连结BD ，E 是BC 边上一点，连结AE 交BD 于点F ．（1）如图1，连结AC ，若6AB AE ==，:5:2BC CE =，求ACE △的面积； （2）如图2，延长AE 至点G ，连结AG 、DG ，点H 在BD 上，且BF DH =，AF AH =，过A 作AM DG ⊥于点M ．若180ABG ADG ∠+∠=︒，求证：3BG GD +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图，设DE 交AP 于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题； 【详解】解：如图，设DE 交AP 于O.∵四边形ABCD是菱形∴DA=DC=AB∵A.P关于DE对称，∴DE⊥AP，OA=OP∴DA=DP∴DP=CD，故①正确∵AE=EB，AO=OP∴OE//PB，∴PB⊥PA∴∠APB=90°∴2222PA PB AB CD+==，故②正确若∠DCP=75°，则∠CDP=30°∵LADC=60°∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；∵∠ADC=60°，DA=DP=DC∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确.故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.2．D解析：D【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，∴AP＝CP，即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，所以此时△PAE周长的值最小，∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，由勾股定理得：CE＝5，∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型. 3．C解析：C【分析】由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．【详解】∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，∴BC＝18﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，解得：AB＝10cm，∴AD＝5cm，故选C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.【详解】由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即一个阴影部分的面积为如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，∴n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．5．D解析：D【分析】①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．【详解】①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，∴∠EPF=∠BAP．在△EPF和△BAP中，有EPF BAPFEP PBA PA PF∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EPF≌△BAP（AAS），∴EF=BP，∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF=BP，即①成立；②无法证出AP=AM；③∵FG∥EC，∴∠GFP=∠EPF，又∵∠EPF=∠BAP，∴∠BAP=∠GFP，即③成立；④由①可知EC=BP，在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∵PA=PF，且∠APF=90°，∴△APF为等腰直角三角形，∴AF2=AP2+EP2=2AP2，∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=12AF2，即④成立；⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．故成立的结论有①③④⑤．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．6．B解析：B【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；设BG=FG=x，则CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正确；由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正确；通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果．【详解】①正确．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折叠的性质得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG中，AG AGAB AF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由如下：由题意得：EF=DE=13CD=4，设BG=FG=x，则CG=12﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；③正确．理由如下：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GC F=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由如下：∵S△GCE=12GC•CE=12×6×8=24．∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=35×24=725≠28.8．故④不正确，∴正确的有①②③．故选B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．7．A解析：A【分析】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，再根据正方形及勾股定理求出OE，即可得到GH 的长．【详解】取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，∵AD=AB=4,∴AO=12AB=2在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4解得OE=2∴GH的最小值为2故选A．【点睛】本题考查了正方形的性质,根据题意确定E点的位置是解题关键．8．A解析：A【分析】如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据"SSS"可判断APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ 为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ，则根据"SSS"可判断△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.【详解】解：如图1，∵PQ垂直平分AD，∴PA= PD,，QA= QD，∵PQ= PQ，∴△APQ≌△DPQ (SSS)，所以甲正确；如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，∴四边形APDQ为平行四达形，∴PA=DQ,，PD=AQ，∵PQ=QP，∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；故选：A.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.9．C解析：C【分析】连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH＝1，AF2237AH FH ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP＝RQ，则点R与点M +=重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．【详解】解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：则四边形ABEH是矩形，∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，∵四边形CEFG是矩形，∴FG∥CE，EF＝CG＝2，∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝22226137 +=+=AH FH，在△RFP和△RCQ中，RFP RCQ PF CQRPF RQC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，∴点R与点M重合，∵点N是AC的中点，∴MN是△CAF的中位线，∴MN＝11373722=⨯=AF，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．10．B解析：B【分析】关键结合图形证明△CHG≌△EGD，即可逐项判断求解【详解】解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∠DFB=∠GBC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE ，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF ），=180°-（∠BGD+∠BGC ），=180°-（180°-∠DCG ）÷2，=180°-（180°-45°）÷2，=112.5°，∴∠GHC=∠DGE ，∴△CHG ≌△EGD ，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF ，∴∠GDH=90°-∠EDG ，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB ，∴∠GDH=∠GHD故②正确；∴∠GDH=∠GHD又∠EFB=22.5°,∴∠DHG=∠GDH=67.5°∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,∴DG=GF,∴HG=DG=GF∴HF=2HG,显然CE≠HF=2HG,故①正确；∵△CHG ≌△EGD ，∴CHG EGD S S ∆∆=∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，即CDG DHGE S S △四边形＝而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，故CDG DHF S S ≠△△故④不正确；结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；故正确的有①②，有2个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO,∴122HE BO，2【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上．12．5【详解】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DE ，交AC 于点P ，那PE+PB 的值最小．在Rt △CDE 中，由勾股定理先计算出DE 的长度，即为PE+PB 的最小值．连接DE ，交AC 于点P ，连接BD ．∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值，∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．13．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，3BE x =， 在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．14．201812【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12 发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812 故答案为：201812．【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．15．①②④【分析】①根据折叠得△ABE ≌△AFE ，证明△EFC 是等腰三角形，得到∠EFC=∠ECF ，根据∠BEF=∠EFC+∠FEC ，得出∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，即可证明AE ∥FC ，故①正确；②根据四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，得出∠FAG=∠GAD ，根据∠BAF+∠FAD=90°，推出∠EAF+∠FAG=45°，可得∠EAG=45°，根据全等得：BE=FE ，DG=FG ，即可得BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③先求出S △ECG ，根据EF ：FG=2a ：3a =3：2，得出S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ，再根据S ABCD =a 2，得出S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误；④设正方形的边长为a ，根据勾股定理得2a ，设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ，EG=2a +x ，再根据勾股定理求出x ，即可得出结论，故④正确．【详解】解：①由折叠可得△ABE ≌△AFE ，∴∠BEA=∠AEF ，BE=EF ，∵E 是BC 中点，∴BE=CE=EF ，∴△EFC 是等腰三角形，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠BEF=∠EFC+∠FEC ，∴∠BEA=∠AEF=∠EFC=∠ECF ，∴AE ∥FC ，故①正确；②∵四边形ABCD 是正方形，且△ABE ≌△AFE ，∴AB=AF=AD ，∠B=∠D=∠AFG ，∴△AFG 和△ADG 是直角三角形，∴在Rt △AFG 和Rt △ADG 中 AF AD AG AG ==⎧⎨⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴∠FAG=∠GAD ，又∵∠BAF+∠FAD=90°，∴2∠EAF+2∠FAG=90°，即∠EAF+∠FAG=45°，∴∠EAG=45°，由全等得：BE=FE ，DG=FG ，∴BE+DG=EF+GF=EG ，故②正确；③对于Rt △ECG ，S △ECG =12×EC ×CG=12×2a ×23a =216a ， ∵EF ：FG=2a ：3a =3：2， 则S △EFC ：S △FCG =3：2，即S △EFC =2110a ， 又∵S ABCD =a 2，则S △CEF ：S △ABCD =2110a ：2a ，即S △CEF =110S ABCD ，故③错误； ④设正方形的边长为a ，∴AB=AD=AF=a ，BE=EF=2a =EC ，由勾股定理得， 设DG=x ，则CG=a-x ，FG=x ， EG=2a +x ， ∴EG 2=EC 2+CG 2，即（2a +x ）2=（2a ）2+（a-x ）2， 解得x=3a ，CG=23a ， 即AD=3DG 成立，故④正确．【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．16．83或4 【分析】连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC 交BD 于O ，∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE=BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，22224223AB AO --= ∴BD=3AC=4， 同理可求3BE ，即3， 若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=434，∴BE'4343433==-； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''23=，DG''=2HG''43=∴BG''=BD-DG''=33-=， ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或43-． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．5【分析】先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC =即可． 【详解】∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，∴四边形BCEF 是矩形，∵1PE =，∴3CE =，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．19．【分析】作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．【详解】解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．在Rt △ABC 中，AB 22AC BC +2286+10，∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CM ＝12AB ＝5． ∵E 是BD 的中点，M 是AB 的中点， ∴ME ＝12AD ＝2． ∴5﹣2≤CE ≤5+2，即3≤CE ≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．202a 321a - 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ， ∵2AE 22a a == ∴AB 2a =．（2）结合（1）可知，AE AM 2a ==， ∴FM 2a a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM = ∴2BM a a -= ∴2321AB 222a a a a -=+=． 2a ；3212a ． 【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．22．（1）矩形；（2）菱形；（3）4）见解析【分析】（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据AE BC ⊥，得到90AEE '∠=︒即可得到结论；（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=︒，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；（3）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求出F A '；（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【详解】(1)四边形AEE D '是矩形，在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =，由平移可知：BE CE ''=，∴BC EE '=，∴AD EE '=，∴四边形AEE D '是平行四边形，∵AE BC ⊥，∴90AEE '∠=︒，∴四边形AEE D '是矩形；(2)四边形AFF D '是菱形，在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=，由平移可知：EF E F =''，∴EE FF ''=，∴AD FF '=，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵AE EF ⊥，∴90AEE '∠=︒，在Rt AEF ，5AF ===，∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；(3)连接F A ',在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=+=+=，15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，∴·30F A FD '=，∴310F A '=；(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.23．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）132【分析】（1）平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE ，根据等角对等边可得CE=CF ，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG ，再判断出AB=BE ，进而得出BE=CD ，即可判断出△BEG ≌△DCG （SAS ），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG 是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明△BME ≌△DMC 可得DM=BM ，∠DMC=∠BME ，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF=∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF=∠CEF ，∠BAF=∠CFE ，∴∠CEF=∠CFE ，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠BCD=60°，∠BCF=120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE=GE，∠BCG=12∠BCF=60°，∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，∴∠BEG=120°=∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，∴∠BGD=∠CGE，∵CG=GE=CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE=60°，∴∠BGD=60°，∵BG=DG，∴△BDG是等边三角形；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG 为正方形．∵∠BAF=∠DAF ，∴BE=AB=DC ，∵M 为EF 中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME 和△DMC 中，∵BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BME ≌△DMC （SAS ），∴MB=MD ，∠DMC=∠BME ．∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，∴△BMD 是等腰直角三角形．∵AB=10，AD=24，∴BD=22221024AB AD +=+=26，∴2132DM BD ==． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．24．（1）①证明见详解；②45PAQ ∠=︒，见解析；（2）5．【分析】（1）①只要证明//PB AC 即可解决问题；②如图2中，连接QC ，作DT DQ ⊥交QC 的延长线于T ，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）如图3中，延长EH 交BC 于点G ，设AE=x ，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x ，然后可得CG=2x ，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）①证明：四边形ABCD 是正方形，∴//B DP C ，45DAC ∠=︒，∴135PAC ∠=︒。

2019-2020年八年级下学期5月月考数学试卷无法确定，则于交，中，、如图，正方形、如图，在正方形）的周长是（，则菱形若的中点，分别是中，点、如图，菱形）的长为（则于点交边平分中，已知、如图，在平行四边形或）（，则此三角形的周长为和边长分别是、已知直角三角形的两对角线平分一组对角对角线相等对角线互相平分对角线互相垂直）一定具有的性质是（、正方形具有而菱形不）形的是（这个三角形是直角三角边长度如下，能够判断、已知一个三角形的三）的值为（是同类二次根式，则与、若最简二次根式）、下列计算正确的是（）二次根式的是（、下列根式中属于最简分）分，共一、选择题（每题 o o o o o o o.60.30.45.)(1020..)(924.20.16.12.3,,84.3.2.1.,AE 3,AB 5,AD ABCD 77712.77.12.436....52,1,1.9,7,6.643.32142.2.3.3.2423632.48.3)3(.532.227.6.21.8.13032D C B A BEF F BC DE AB AE ABCD C A ABCD D C B A ABCD EF AC AB F E ABCD D C B A EC E BC BAD C B A D C B A D C ,，B 、、A.a D a C a B a A a a D C B A D C B A =∠==∠==++-==-==-=⨯=-=-=+B.___________2,1;3,1;21116.________6815.___________3,20,50,014______110,,13.__________8612._____________2112442016332232222112111112===⊥==⊥==⊥==∠=∠+∠∆P OP o 2015S-△求依照此法继续作下去，可得且作又过可得且作再过定理得，根据勾股且作，过、如图，是，那么这个菱形的面积和线长为、已知菱形的两条对角的坐标是）。

一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．23 2．如图,矩形ABCD 中,AB=5,AD=4,M 是边CD 上一点,将△ADM 沿直线AM 对折,得△ANM ,连BN ,若DM=1,则△ABN 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )A ．25B ．23C ．22D ．44．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）A ．2B 5C ．352D 105．如图，在矩形ABCD 中，1,2AD AC AE =平分BAD ∠交CD 于点E ，给出以下结论：①ADE ∆为等腰直角三角形；②BOC ∆为等边三角形；③70DOE ︒∠=；④3;EOC EAC ∠=∠⑤OE 是ACD ∆的中位线．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ） ①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥7．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒ 8．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．435B ．75 C ．2 D ．52-9．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E 且AB ＝AE ，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF ．下列结论：①△ABC ≌△EAD ；②△ABE 是等边三角形；③BF ＝AD ；④S △BEF ＝S △ABC ；⑤S △CEF ＝S △ABE ；其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．2 二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．13．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．15．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．16．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.17．如图，矩形ABCD 的面积为36，BE 平分ABD ∠，交AD 于E ，沿BE 将ABE ∆折叠，点A 的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F 处．则ABE ∆的面积为________．18．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．19．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________20．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 22．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度；（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN CF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．23．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是 ，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．24．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC ∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1 图226．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．27．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．（1）求证：AE ＝CE ；（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．28．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．29．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．30．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分．在线段DE上任意．．取一点F，在线段BC上任意．．取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分；第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合；将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．图1 图2（1）当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解：在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D，E分别是直角边BC，AC的中点，∴122DE AB==，故选：D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.2．D解析：D【解析】【分析】延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．【详解】解：延长MN交AB延长线于点Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=42+x2，解得：x=7.5，∴NQ=7.5，AQ=8.5，∵AB=5，AQ=8.5，∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5=；故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．3．A解析：A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D=P'B ，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD+PE 最小，即为BE 的长度.∴直角△CBE 中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2， ∴224225BE =+=.故选：A.【点睛】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P 点位置是解题的关键 4．D解析：D【解析】【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN ，利用勾股定理即可求得．【详解】如图，EF 为剪痕，过点F 作FG EM ⊥于G .∵EF 将该图形分成了面积相等的两部分，∴EF 经过正方形ABCD 对角线的交点，∴,AF CN BF DN ==.易证PME PDN ∆∆≌，∴EM DN =，而AF MG =，∴1EG EM MG DN AF DN CN DC =+=+=+==.在Rt FGE ∆中， EF ==故选：D.【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 5．B解析：B【分析】由矩形的性质可得AO ＝CO ＝DO ＝BO ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠DCB ＝∠CDA ＝90°，AD ∥BC ，AB ∥CD ，由角平分线的性质和平行线的性质可判断①，由锐角三角函数可求∠ACD ＝30°，即可判断②，由三角形内角和定理可求∠DOE 的度数，即可判断③④，由直角三角形的性质可求CE 的长，即可判断⑤．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AO ＝CO ＝DO ＝BO ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠DCB ＝∠CDA ＝90°，AD ∥BC ，AB ∥CD ∵AE 平分∠BAD∴∠DAE ＝∠EAB ＝45°∵AB ∥CD∴∠DEA ＝∠EAB ＝45°∴∠DEA ＝∠DAE ＝45°∴AD ＝DE ，且∠ADE ＝90°∴△ADE 是等腰直角三角形故①正确∵AD ＝12AC ，∠ADC ＝90° ∴∠ACD ＝30°∴∠OCB ＝60°，且OB ＝OC ∴△OBC 是等边三角形故②正确∵△OBC 是等边三角形∴OB ＝OC ＝BC∴OD ＝OA ＝AD ＝OC ＝OB∴∠ODA ＝∠OAD ＝∠DOA ＝60°，∠OCD ＝∠ODC ＝30°，且OD ＝DE∴∠DOE ＝280013︒-︒=75° 故③错误∵∠EAC ＝∠OAD−∠DAE ＝15°，∠EOC ＝∠DOC−∠DOE ＝180°−∠DOA−75°＝120°−75°＝45° ∴∠EOC ＝3∠EAC故④正确∵∠ACD＝30°，∴AD=1 2AC，AC=2AD∴CD=()222AD AD-=3AD，且DE＝DO＝AD∴CE＝3AD−AD≠DE∴OE不是△ACD的中位线,故⑤错误故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ACD＝30°是本题的关键．6．D解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF，得出四边形BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF，即可判断⑥.【详解】①∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC，AB=DC,∴∠BAC=∠ADC,在△ABE和△DFC中BAC ADCABA FCEDC∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DFC（SAS）,∴BE=DF,故①正确.②∵△ABE≌△DFC,∴∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,故②正确.③根据已知的条件不能推AB=DE，故③错误.④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DO=BO，OA=OC,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是平行四边形,故④正确.⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,∴∠BNO=∠DMO=90°,在△BNO 和△DMO 中∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）∴BN=DM11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯∴△ADE △ABE S =S ,故⑤正确.⑥∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,故⑥正确.故答案是D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.7．D解析：D【分析】依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，∴△ABM 中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，△DCM 中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，2413 40θθθθ∴+--=︒；故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．8．C解析：C【分析】延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．【详解】解：如图，延长BG 交CH 于点E ，在△ABG 和△CDH 中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt△GHE中，=故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠BEA=∠EAD，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠BEA，即可证明∠EAD=∠ABE，利用SAS可证明△ABC≌△EAD；可得①正确；由角平分线的定义可得∠BAE=∠EAD，即可证明∠ABE=∠BEA=∠BAE，可得AB＝BE＝AE，得出②正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确；题中③和④不正确．综上即可得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠BEA=∠EAD，∵AB=AE，∴∠ABE=∠BEA，∴∠EAD=∠ABE，在△ABC和△EAD中，AB AEABE EAD BC AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE=∠BEA=∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE=AE，∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°，∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD＝S△ABC，∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确．若AD=BF，则BF＝BC，题中未限定这一条件，∴③不一定正确；如图，过点E作EH⊥AB于H，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABE是等边三角形，∴AG=EH，若S△BEF＝S△ABC，则BF=BC，题中未限定这一条件，∴④不一定正确；综上所述：正确的有①②⑤．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等底、等高的三角形面积相等的性质是解题关键．10．B解析：B【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD.∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB22AC BC5.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的长最小，此时，S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×4×3＝12×5·CD，解得CD＝2.4，∴EF＝2.4.故选B.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO,∴122HE BO，2【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE 线段长转移到线段BO 上．12．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴FN ∥AB ，∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC ＝2AC ＝∴FN ＝13AB ，CN ＝13BC∴BN ＝BC －CN ＝，BF ＝，∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴BE ＝BF ，∴PE ＋PF ＝∴点P 在BH 上时，PE ＋PF ＜∴在线段BC 上点H 的左右两边各有一个点P 使PE ＋PF ＝5，同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使PE ＋PF ＝5．即共有8个点P满足PE＋PF＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．13．45【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝12 x，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，连接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE ⊥AO∴∠BEM ＝45°，∴BM ＝EM ＝MC ＝x ，∴BM ＝FE ，易得△ENF ≌△MNB ，∴EN ＝MN ＝12x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即22215()2x x =+解得，x＝∴BC ＝2x＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．14．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH．∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．在△BEH和△HDF中，∵EBH OHDBE DHAEB HDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．15．42a -【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG11323222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-，233．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．16．9或9(31)+．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA交DC于点F，∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE，AF=CF=22AC=32∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF-=∴EC=EF+FC=则△ACE 的面积为：12EC×AF=11)2⨯⨯=．故答案为：9或1)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．17．6【分析】先证明△AEB ≌△FEB ≌△DEF ，从而可知S △ABE =13S △DAB ，即可求得△ABE 的面积． 【详解】解：由折叠的性质可知：△AEB ≌△FEB∴∠EFB=∠EAB=90°∵ABCD 为矩形∴DF=FB∴EF 垂直平分DB∴ED=EB在△DEF 和△BEF 中DF=BF EF=EF ED=EB∴△DEF ≌△BEF∴△AEB ≌△FEB ≌△DEF ∴13666AEB FEB DEF ABCD S S S S ∆∆∆====⨯=矩形． 故答案为6．【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证得△AEB ≌△FEB ≌△DEF 是解题的关键．18．2或14【分析】利用当AB=10cm,AD=6cm ，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE 平分∠BAD ，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE ，则DE=AD=6cm ；同理可得：CF=CB=6cm ，而EF=CF+DE-DC ，由此可以求出EF 长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm 时，可以求出EF 长【详解】解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm∵AE 平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE ，又∵AD ∥CB∴∠EAB=∠DEA ，∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如图2，当AD=10cm,AB=6cm,∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案为：2或14.图1 图2【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．19．22【分析】由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22．【详解】解：连接FD∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=，当P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，∴EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的轨迹为DF ，∵D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，∴DF 是△EAG 的中位线，∴DF ∥AG ，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，此时CF 最小，此时CF=12AG=故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．20．4【分析】过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．【详解】 过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，∴EM 是△AOD 的中位线，又∵ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x ，∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC 为等腰直角三角形，∴EF=FC ，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．三、解答题21．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE ∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．22．（1）3AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角△ECF 得到CE=CF ，再由正方形ABCD 进一步得到BE=DF ，最后证明△ABE ≌△ADF 即可求解；(2)MN 是△AEF 的中位线，得到AE=2MN ，又M 是直角三角形ADF 斜边上的中点，得到AF=2MD ，再由(1)中的AE=AF 即可得到MN=MD ；由∠DMF ＝∠DAF+∠ADM ，∠FMN ＝∠FAE ，∠DAF ＝∠BAE ，∠ADM ＝∠DAF ＝∠BAE ，由此得到∠DMN ＝∠BAD ＝90°；(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF＝2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE＝2MN，由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN，故答案为：相等，垂直；(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：连接AE，交MD于点G，如下图所示，。

一、选择题1．如图，锐角△ABC 中，AD 是高，E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,已知GF=1,AC= 6,△DEG 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）A ．27-32B ．28-32C ．28-42D ．29-522．如图，矩形ABCD 中，AB ＝23，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值是（ ）A ．43+3B ．221C ．23+6D ．453．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )A ．3B ．32C ．2或3D ．3或324．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）A ．23-B ．232-C ．31-D ．3 5．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．435B ．75 C ．2 D ．52-6．线段AB 上有一动点C （不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边向上作等边△ACM 和等边△BCN ，点D 是MN 的中点，连结AD ，BD ，在点C 的运动过程中，有下列结论：①△ABD 可能为直角三角形；②△ABD 可能为等腰三角形；③△CMN 可能为等边三角形；④若AB=6，则AD+BD 的最小值为37. 其中正确的是（ ）A ．②③B ．①②③④C ．①③④D ．②③④7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（ ）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法确定8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO.若∠COB ＝60°，FO ＝FC ，则下列结论：①FB ⊥OC ，OM ＝CM ；②△EOB ≌△CMB ；③四边形EBFD 是菱形；④MB ∶OE ＝3∶2.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）A ．30B ．15C ．40D ．2010．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE AF =，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE DF EF +=；③当15DAF ∠=︒时，AEF 为等边三角形；④当60EAF ∠=︒时，AEB AEF ∠=∠．其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．在平行四边形ABCD 中，30,3,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，对角线长为1cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是_____．15．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．16．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．17．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=3E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．18．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．19．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______20．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．23．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．24．综合与实践．问题情境：如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD S =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形AFF D '的形状；拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．25．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．26．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+27．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．28．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．29．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；()2①将CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；CE=，在图②的基础上将CED绕点C继续逆时针旋转一周的过②若25AB=，2程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由中点性质先得AF ＝3，再用勾股定理求出AG ＝DG ＝AG ＝，已知△DEG 的周长为10，所以求得EG+DE 的值，进一步证得AB=2DE,BD=2EG,从而求得△ABC 的周长.【详解】∵ E,F 分别是AB,AC 中点,EF 交AD 于G,∴EF ∥BC ，11AF AC 6322==⨯= ∵AD 是高∴∠ADC=∠AGF=90°在Rt △AGF 中AG ===∵EF ∥BC∴1AG AF DG FC== ∴FG 是△ADC 的中位线∴DC=2GF=2∴ ∵ △DEG 的周长为10，∴ 在Rt △ADB 中，点E 是AB 边的中点，点G 是AD 的中点，∴AB=2DE ，BD=2EG∴AB+BD=2（EG+DE ）∴△ABC 的周长为： 故答案为C【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线性质等知识点.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．2．B解析：B【解析】【分析】将△BPC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△EFC ，连接PF 、AE 、AC ，则AE 的长即为所求．【详解】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴tan∠ACB=ABBC=33，∴∠ACB=30°，AC=2AB=43∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴22(43)621故选B．【点睛】本题考查轴对称—最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．3．D解析：D【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=2243=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D ．【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．4．B解析：B【分析】连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ，说明EF 是DFC ∠，AEB ∠的平分线，得出,EG FH 的长度，进而求出EF 的长度．【详解】解：连接,,,FA FB ED ED ，延长FE 交CD 于点G ，延长EF 交AB 于点H ， ∵ABE ∆是等边三角形，∴60EAB EBA ∠=∠=︒，∴30DAE CBE ∠=∠=︒，在DAE ∆和CBE ∆中，∵AD BC DAE CBE AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DAE CBE ∆≅∆，∴ED EC =，在EDF ∆和ECF ∆中，∵FD FC EF EF ED EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴EDF ECF ∆≅∆，∴DFE CFE ∠=∠∴EF 是DFC ∠的平分线，∴FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG DC ⊥，∴GE GF EF =-，同理可证：EH AB ⊥，FH EH EF =-,∵,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，且边长都等于正方形的边长，∴GF EH =，∴GE FH =,∵FG DC ⊥,EH AB ⊥,∴,,,G E F H 四点共线，且GH AD =，∵正方形ABCD 的边长为2，DFC ∆是等边三角形，∴2DF =，∵FG 是等边DFC ∆的DFC ∠的平分线，∴FG 也是DC 边上的中线，即：1DG GC ==，∴在Rt DFG ∆中，由勾股定理得：222DF DG GF =+，即：2222=1GF +， ∴3GF =， ∴23FH =-，同理可得：23GE =-，∴()()222323232EF GE FH =--=----=-，故选：B ．【点睛】本题目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用,,,G E F H 四点共线是解决本题的关键．5．C解析：C【分析】延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．【详解】解：如图，延长BG 交CH 于点E ，在△ABG 和△CDH 中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt △GHE 中，GH=2222112GE EH +=+=，故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．6．D解析：D【分析】根据题意并结合图形，我们可以得出当C 为AB 的中点时，可判断所给结论正确与否．【详解】解：当C 为AB 中点时，有图如下，∵ACM 与BCN 为等边三角形，∵C 为AB 中点，∴AM=AC=MC=NC=BC=NB，MD=ND ，∵MCN 60∠=︒∴CMN CNM 60∠∠==︒∴CMN 为等边三角形，③正确；∵AMD BND 120∠∠==︒∴AMD BND ≅∴AD=BD，△ABD 此时为等腰三角形，②正确；当C 为AB 中点时，AD+BD 值最小，∵D 为MN 的中点，∴CD 为MN 的垂直平分线， ∴1MD 4AB =，∵AB=6，∴CD 2==∴AD ==∵AD=BD∴AD+BD=若△ABD 可能为直角三角形，则ADB 90∠=︒，∴CD 为AB 的垂直平分线∴ADC 45∠=︒∴A C=CD ，与所求结论不符，①错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理及性质，弄清题意，画出当C 为AB 中点时的图形是解题的关键． 7．B解析：B【分析】连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．【详解】解：连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，由题意可知：四边形BCED是正方形，四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∠ACB＝90°∴∠CEH＝∠ECK＝90° ,CE＝BC∵∠BKH＝90°,∴四边形CEHK是矩形，∴ CE＝HK又∠HBK＋∠ABC＝90°, ∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠HBK＝∠BAC∴△BHK≌△ABC（AAS）∴S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°∴∠CBJ＝∠KHL∴△BCJ≌△HKL（ASA）∴S△BCJ＝S△HKL，∴S1＝S△BHK＝S△ABC，∵四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°∴△ABC≌△AIG（SAS）∴S△ABC＝S△AIG＝S2，即S1＝S2故选：B【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．8．C解析：C【解析】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中，FO FC BF BF OB BC⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴33∵OE=OF ，∴MB ：OE=3：2，∴④正确；故选C ．点睛：本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识，会综合运用这些知识点解决问题是解题的关键.9．B解析：B【分析】由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，∴∠DAF=∠E ．在△ADF 与△ECF 中，DAF E AF EFAFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴ADF ECF S S =△△，∴300ABE ABCD S S ==．∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠DAF=∠E ，∴∠BAE=∠E ，∴BE=AB=25，∵AF=FE ，∴BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，∵∠D 为锐角，∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，∴AF ＜BF ，x ＜y ．则有22222520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键．10．A解析：A【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF=60°时，可证明△AEF 是等边三角形，从而可得∠AEF=60°，而△CEF 是等腰直角三角形，得∠CEF=45°，从而可求出∠AEB=75°，进而可得结论．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，∴AB ═AD ，∠B=∠D=90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．②设BC=a ，CE=y ，∴BE+DF=2（a-y ）EF=y ，∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（）a 时成立，（故②错误）．③当∠DAF=15°时，∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，∴∠DAF=∠BAE=15°，∴∠EAF=90°-2×15°=60°，又∵AE=AF∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．④当∠EAF=60°时，由①知AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°,又△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°∴∠AEB=180°-∠AEF-∠CEF=75°,∴∠AEB≠∠AEF，故④错误．综上所述，正确的有①③，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222-=-,BE AB AE543∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为AE=4，AB=5，AC=25 在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．43或23【分析】分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，在Rt ADE △中，30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，33AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，如图1，4AB ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ===，如图2，2AB =，∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =-，30A ∠=︒，33BE x =， 在Rt BDE △中，2BD =， 22232()(23)x x ∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），1BE ∴=，∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，如图4，当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，故答案为：323【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．13．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．14．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】解：如图：∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，∴△AEO ≌CFO ，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，∵对角线长为1cm ，∴S正方形ABCD＝1112⨯⨯＝12cm2，∴S△AOD＝18cm2，∴阴影部分的面积为18cm2．故答案为：18cm2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO≌CFO是关键．15．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．16．24【分析】由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝12BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．【详解】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，∵DH⊥AB，∴OH＝12BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO＝12∠DCB＝24°，故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解决本题的关键．17．42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG的面积的最小值为3423 233⨯=，故答案为：42a-23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．18．8或12【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.【详解】在ABCD中，AB∥CD，BC=AD=5，∴∠BAE=∠DEA，∠ABF=∠BFC，∵BAD∠的平分线交CD于点E，∴∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD=5，同理：CF=BC=5，∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，故答案为：8或12.【点睛】此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.19．120 13【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．【详解】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO2222135AC CO-=-12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13．所以此时MN最小值为2OH＝120 13．故答案为：120 13．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．20．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，n=1，∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE=BF；②结论：AG=BF+AE．理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，由（1）可知AE=BK，∵AH=AD，AK⊥HD，∴∠HAK=∠DAK，∵AD∥BC，∴∠DAK=∠AKG，∴∠HAK=∠AKG，∴AG=GK，∵GK=GB+BK=BF+AE，∴AG=BF+AE；（2）如图3中，设AB=a，AD=na，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +， 故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n+=⋅，∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）152，理由见解析； 【分析】（1）利用题中所给的关系式，列出CD ，DF ，AE 的式子，即可证明．（2）由题意知，四边形AEFD 是平行四边形，令AD=DF ，求解即可得出t 值．（3）由题意可知，当DE ∥BC 时，△DEF 为直角三角形，利用AD+CD=AC 的等量关系，代入式子求值即可．【详解】（1）由题意知：三角形CFD 是直角三角形∵∠B ＝90°，∠A ＝60°∴∠C=30°，CD=2DF ，又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，∴CD=2AE∴AE=DF ．（2）能，理由如下；由（1）知AE=DF又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°∴AE ∥DF∴四边形AEFD 是平行四边形．当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形∵AC ＝60cm ，DF=12CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，∴60-4t=2t∴t=10．（3）当t 为152时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE∴∠FDE=∠DEA=90°。