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解决问题——例3教学内容人教版小学数学教材六年级上册第69-70页内容及相关练习教学目标1. 在解决问题的过程中会叙说并归纳求阴影部分面积的多种方法及能巧妙的选择合适的方法解决问题。
2.在解决问题的过程中渗透转化的数学思想,培养数学的应用意识,提高运用所学知识解决生活中实际问题的能力。
3.在运用数学知识解决问题的过程中认识数学的价值,养成乐于思考勇于质疑的习惯。
教学重点掌握求阴影部分面积的计算方法。
教学难点理解计算求阴影部分面积的多种方法及选择合适方法的技巧。
教学过程：一、情境引入师：在我们的生活中处处都有方与圆，亲爱的同学们你留意过吗？让我们一起通过一段小视频来看一看吧！用小微课为学生介绍方与圆的历史——天圆地方。
（在古代，人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，认为大地是“方”的，天空是“圆”的，认为大地承载天空，虽然这种说法现在来看是错误的，但其本意是天圆地方，天地合一，再加上人，就是“泰”，美好的意思，这种思想对中国建筑产生了深远的影响，所以很多建筑上都有方与圆。
比如，天坛，北圆南方的坛墙寓意着传统的“天圆”。
赣南客家大观园整体设计外方内圆，现代的鸟巢和水立方——方圆辉映。
以及常见的精美的雕窗。
这些都是方与圆的结合，寓意着“天地合一”）师：视频我们看完了，画面定格在了这扇具有中国特色的雕窗上，请同学们欣赏这扇雕窗，你能找那些基本几何图形？生：正方形、圆师：方与圆是数学中最常见的几何图形，很多数学问题都涉及方与圆。
今天我们就一起来学习常见的方圆问题。
（板书：解决问题）二、新知探索1.认识外方内圆师：这个组合图形中，正方形和圆的位置关系是什么？生：外面是正方形，里面是圆，圆是正方形内的最大圆师：你说的清楚流畅。
我们把像这样的组合图形叫外方内圆。
师：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？要解决这个问题，你需要什么条件？生：正方形边长或者圆的半径（适时发问：有不同意见吗？直到有学生说有正方形边长或者已知圆的半径即可）师：只知道半径就行了，为什么？生：圆的正方形内的最大圆。
无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ²小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。
九年义务教育人教版六年级数学上册第五单元生活中的圆——外方内圆教学设计单元教材简析一、单元教材内容说明:本单元主要内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积和扇形。
教材是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。
从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
教材先安排了圆的认识，通过认识圆心、半径和直径以及半径、直径长度间的关系等，使学生认识圆的基本特征。
在此基础上，使学生掌握用圆规画圆的方法，进一步加深对圆的认识。
教材还联系以前学过的轴对称图形和对称轴，说明圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。
直径即对称轴。
圆的周长和面积计算公式的教学，教材在编排上加强了启发性和探索性，注重让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。
对于圆的周长，教材是先让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再引导学生通过填表格，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念，利用圆周率知识的学习，知道祖冲之，渗透爱国主义教育。
编排圆的面积时，教材启发学生寻找解决问题的思路和方法，回忆以前用过的转化方法，从而把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来计算。
二、三、学情分析:在之前的学习中，学生已经学习过长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，也直观的认识过圆。
在此基础上，本单元开始正式学习圆的有关知识，这也是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。
长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。
从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一种跨越。
因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的。
因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还不要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和问题解决的能力。
无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ² 小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。
圆形和正方形的关系《园林中的圆与方》圆形和正方形是几何学中两个重要的基本形状，它们在自然界和人类活动中无处不在。
圆形和正方形具有各自独特的特点和功能，同时它们之间也存在着一些共同之处和相互关系。
圆形是一种完美的形状，它有一个中心点，到中心点距离相等的各个点形成圆周。
圆形有无限多个直径，而直径的两个端点又是圆周上的两个点。
正方形则是一个有四条相等边和四个直角的四边形。
正方形的四条边相等且相互垂直，对角线相等且相互垂直。
圆形和正方形都有一定的自对称性，即它们可以绕自身中心点旋转180度而不改变形状。
尽管圆形和正方形在形状上有所不同，但它们在许多方面具有相似的特点。
首先，它们都是规则图形，易于构造和绘制。
其次，圆形和正方形都可以用来进行面积和周长的计算，是计算几何中重要的基本形状。
第三，圆形和正方形在设计领域中被广泛应用。
圆形常常被用于设计艺术品或建筑物的外形，给人一种柔和、中庸的感觉。
而正方形则常常被用于建筑物的构造或家具的设计，给人一种稳定、坚固的感觉。
此外，圆形和正方形还可以相互衍生、共同出现，形成更为丰富的几何结构和装饰效果。
在园林设计中，圆形和正方形常常结合在一起，相互交错。
圆形的花坛、喷泉常常被安置在方形的园子或广场之间，形成了一种既有对比又有和谐的景观效果。
圆形和正方形的结合，既展示了自然与人文的和谐之美，又凸显了园林设计的独特韵味。
总之，圆形和正方形是几何学中重要的基本形状。
它们有各自独特的特点和功能，同时又具有一些相似之处。
在自然界和园林设计中，圆形和正方形经常相互出现，共同构建了美丽而富有韵味的景观。
以圆与方的关系为灵感，我们可以在日常生活中更加关注和欣赏这两种形状所呈现出的美妙之处。
五完美的图形——圆一、圆的定义感知圆的特征:以前学过长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等,都是由线段围成的平面图形,而圆是由曲线围成的一种平面图形。
二、圆的各部分名称1.圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心,通常用字母O表示。
2.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫作半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
三、圆的主要特征1.在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
所有的半径都相等,所有的直径都相等。
2.在同圆或等圆内,直径的长度是半径圆与其他平面图形不同的,圆是曲线图形,其他图形是线段图形。
直径和半径的关系只能在同圆和等圆中。
用字母表示:d=2r不能说直径是圆的对称轴。
因为对称轴是一条直线。
3.14×49=153.863.14×64=200.96 3.14×81=254.34六、圆的面积公式把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的大小并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积。
圆的面积推导:圆可以切拼成近似的长方形,长方形的面积与圆的面积相等(即S长方形=S圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=C÷2=πr)。
S长方形=a×bS圆=πr×r=πr2所以,S圆=πr2。
七、圆环的意义及面积的计算1.圆环的意义:以同一点为圆心,半径不相等的两个圆组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。
2.圆环中半径较大的圆叫作外圆,半径较小的圆叫作内圆。
外圆半径与内圆半径的差叫作环宽,两圆中间的部分的大小叫作圆环的面积。
3.外圆的半径=内圆半径+1个环宽;外圆的直径=内圆直径+2个环宽。
4.求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积,还可以利用乘法分配律进行简便计算。
S圆环=S外圆-S内圆=πR2-πr2=π(R2-r2)。
【本讲教育信息】一. 教学内容：圆的面积环形面积的计算二. 教学重点和教学难点：圆的面积教学重点：1、利用分割、拼摆将图形转化成已学过的图形的思路，推导出圆面积公式，并且会用面积公式解题。
2、渗透极限思想，并培养学生动手操作的能力和逻辑判断推理的能力。
3、进行初步的辨证唯物主义观点的启蒙教育。
教学难点：1、利用转化思想推导公式。
2、推导后公式的化简。
环形面积教学重点：1、运用教具的演示和学生的操作，使学生了解圆环的形成，掌握环形面积的计算方法。
2、理解环的意义以及环宽与内外半径的关系。
3、培养学生思维的灵活性和深刻性。
教学难点：环形的认识和面积计算。
根据不同的条件解决环形面积。
三. 知识简要介绍：圆面积的研究方法同我们以前学习过的图形的面积研究方法相同，都是把新的图形通过割补拼接成原有的图形，在通过找新旧图形之间的关系时，找到计算的方法，这种方法是数学研究中经常用到的一种方法。
圆的面积＝半径×半径×圆周率（S＝πr2）圆环的面积＝外圆面积－小圆面积S＝π（R2 －r2）圆环面积的计算要注意的是条件的变换，可以用图形的形式把题目中的条件标出，帮助进行理解。
研究了圆的面积与周长的计算之后，要注意对这两个概念进行区分，可以从以下的几点区分：（1）圆的面积是指圆所围平面部分的大小，而圆的周长是指圆一周的长度。
（2）求圆面积的公式是S＝πr2，求圆周长的公式是C＝πd或C＝2πr。
（3）计算圆的面积用面积单位，计算圆的周长用长度单位。
［知识教学］一、圆的面积（一）复习引入1、思考：以前我们研究过哪些平面图形的面积？长方形的面积＝长×宽 平行四边形的面积＝底×高三角形的面积＝底×高÷2 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 2、以前研究用到的方法 通过分割、拼摆可以把一个新的图形转化成以前学过的图形，然后根据两个图形条件之间的联系，推导出新图形的面积。
第6 课时用百分数知识解决有关变化幅度的问题（教案）教学内容教材第88～89 页例5。
教学目标 1. 掌握用假设法解决“已知一个数量的两次增减变化情况，求最终变化幅度”的百分数问题。
2. 经历解决问题的全过程，培养学生的问题意识和探究意识。
教学重点掌握用假设法解决“已知一个数量的两次增减变化情况，求最终变化幅度”的百分数问题。
教学难点能够准确找到对应分率的单位“1”。
教学方法自主、合作、探究。
教学准备多媒体课件。
教学过程一、谈话导入课件出示：小惠跟妈妈逛商场，妈妈想买一双之前看好的鞋子。
恰逢商场搞促销活动，附近有两个商场，A 商场和 B 商场都卖这种鞋子。
她们发现A 商场的促销活动是“比原价降低了20%”，B 商场的促销活动是“昨天降低10%，今天在昨天的基础上再次降低10%”。
小惠认为这两家商场降低的一样多，都是20%，所以去哪家都可以。
可妈妈对小惠说，我们去 A 商场买吧。
师：你知道为什么吗？今天我们就来研究这个内容。
（板书课题：用百分数知识解决有关变化幅度的问题）设计意图由A、B 两个商场搞促销活动引入新课，激发了学生的求知欲，学生会迫不及待地想学习新课。
二、探究新知探究点用假设法解决百分数问题1. 阅读与理解。
课件出示例5 ：某种商品4 月份的价格比3 月份降了20%，5 月份的价格比4 月份又涨了 20%。
5 月份的价格和3 月份相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？师：读一读题，你都得到了哪些信息？预设 1 ：得到的信息：某种商品 4 月份的价格比 3 月份降了20%，5 月份的价格比 4 月份又涨了20%。
所求的问题：5 月份的价格和3 月份相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？预设 2 ：我发现有两个单位“1”，第一个是 3 月份的价格是单位“1”，第二个是4 月份的价格是单位“1”。
预设 3 ：根据“某种商品4 月份的价格比3 月份降了20%”可知3 月份的价格是单位“1”，4 月份价格=3 月份价格×（1-20%）。
