《正方形和圆的位置关系》六年级

【单元提高讲义】2019—2020学年北师大版六年级上册第一单元《圆》专项复习（提高版）知识点一、圆一、圆的相关概念1、定义：圆是平面上的一种曲线图形。

2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，圆心一般用字母O表示，圆心决定圆的位置。

3、半径和直径半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，半径一般用字母r表示直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，直径一般用字母d表示半径与直径的关系：在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半用字母表示为：，用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2注意：（1）在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等（2）在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径（3）半径（直径）决定圆的大小4、用圆规画圆（步骤）：第一步：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（定半径）；第二步：把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上（定圆心）；第三步：把装有铅笔芯的一只脚旋转一周，就画出一个圆二、正方形、长方形与圆的关系1、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

2、在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

【精准突破】圆的周长1.圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长，直径的长短决定圆周长的大小。

2.圆周率的意义：圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

π≈3.141596535……，计算时通常取π≈3.14.3.圆的周长计算公式：如果用C表示周长，那么或，后面跟长度单位：米，厘米等。

4.圆的周长计算公式的应用（1）已知圆的半径，求圆的周长：（2）已知圆的直径，求圆的周长：（3）已知圆的周长，求圆的半径：（4）已知圆的周长，求圆的直径：5.半圆的周长等于圆周长的一半加上直径的长，即：，圆的面积1. 圆的面积：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。

小学数学6年级上册《圆与正方形关系》试题部分1.已知下图中正方形的面积是5平方厘米，图中圆的面积是_______平方厘米．2.图中圆的面积是25.12cm²，那么阴影部分的面积是_______ cm²。

（π取3.14）3图中圆的面积是正方形面积的_______倍。

.4.边长是10m的正方形中放置一个最大的圆，这个圆的半径是_______m，直径是_______m。

5.如图，正方形的面积是8，那么圆的面积是________。

（π取3.14）6.如图所示，在正方形中分别画了一个最大的圆和最大的四分之一圆，阴影部分面积为64.5平方厘米，这个正方形的面积是_______平方厘米。

7.如图，等腰直角三角形的面积为5平方厘米，则圆的面积为_______平方厘米。

8.如图所示，如果圆的直径是6厘米，那么正方形的面积是_______平方厘米。

9.如图，已知正方形的面积是20平方厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米。

10.从完全相同的甲、乙两块正方形铁皮上分别剪出如图的圆形，比较它们剩下的废料面积是（）。

A.甲多B.乙多C.同样多D.不能确定11.在一个边长为4厘米正方形纸片，剪一个面积最大的圆，这个圆的面积是______平方厘米。

12.从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积_______平方厘米。

小学数学6年级上册《圆与正方形关系》答案详解部分1.已知下图中正方形的面积是5平方厘米，图中圆的面积是_______平方厘米．【答案】15.7【详解】正方形的边长就是圆的半径．正方形的面积为r ²=5，则S=πr²=3.14×5=15.7（平方厘米），也就是圆的面积是15.7平方厘米．2. 图中圆的面积是25.12cm ²，那么阴影部分的面积是_______ cm ²。

（π取3.14）【答案】1.72【详解】正方形的边长就是圆的半径，通过圆的面积可以求出半径的平方。

无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ² 小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。

人教版小学数学六年级下册第五单元《圆与正方形关系》说课稿学生在数学研究中存在着不同的认知和研究能力，需要教师在教学中采用多样化的方法，满足不同学生的需求。

同时，学生在研究中也需要发挥自主性和合作性，通过交流和合作来促进自身的发展。

三、教学目标的制定1、知识目标：①掌握圆的面积公式；②掌握正方形的面积公式；③理解圆与正方形的面积关系；④能够通过画图、计算等方式探究圆与正方形的面积关系。

2、能力目标：①发展学生的自主研究能力；②发展学生的合作交流能力；③发展学生的思维能力和创造性思维能力。

3、情感目标：①培养学生对数学研究的兴趣和热爱；②培养学生的自信心和合作精神。

四、教学过程的实施本节课采用“导入-探究-分享-归纳”四个环节的教学模式。

1、导入环节：通过介绍中国建筑中常见的“外圆内方”和“外方内圆”设计，引出圆与正方形面积间的问题。

2、探究环节：学生通过画图、计算等方式自主探究圆与正方形的面积关系，教师在其中起到引导和帮助的作用。

3、分享环节：学生分组分享自己的探究结果和思考过程，通过交流和合作促进自身的发展。

4、归纳环节：教师引导学生通过分享和讨论，总结出圆与正方形的面积关系，并帮助学生理解掌握相关的知识和技能。

五、教学评价教学评价主要从以下三个方面进行：1、学生的自主研究能力和合作交流能力；2、学生对圆与正方形面积关系的理解和掌握程度；3、学生在探究过程中的创造性思维能力和解决问题的能力。

六、本节课的教学特色本节课的教学特色主要体现在以下几个方面：1、采用学生自主研究和小组合作分享的方式，激发学生的兴趣和主动性；2、通过中国建筑中的实例引出圆与正方形面积关系，增强学生的研究体验和感受；3、注重学生思维能力和创造性思维能力的培养，促进学生的全面发展。

培养学生的自主研究能力和解决问题的能力，引导学生通过自主探究和合作研究的方式，提高学生的思维能力和语言表达能力。

3、情感态度目标：培养学生对于数学研究的兴趣和积极性，让学生感受到数学研究的乐趣和意义，增强学生对于数学研究的信心和自信心。

《圆与正方形》教学设计南海区丹灶镇中心小学冯赛弟教学背景：南海区小学数学骨干班的老师到杭州上城区挂职培训期间，到时代小学蹲点学习，在学习期间，接受时代小学数学老师的教学新理念，并结合南海区教学的方向与时代小学学生的实际情况，上了一节《圆与正方形》的研究课。

（这一节课的内容，在人教版没有，但是可以在互联网上搜索“浙教版”六年级上册教材（新思维），即可找到相关的教学内容。

在教学这一课时中，老师可以上网收索不同的教材进行对比，例如：网上比较容易收索的版本有北师大版、人教版、浙教版与青岛版。

上课老师可以把不同版本的教材进行对比，根据自己所教学生的实际情况，调整教材，提高课堂的教学效率。

教学课题：《圆与正方形》教学内容：浙教版p71-72页教学目标：知识目标：1、让学生能在正方形内画一个最大的圆与在圆内画一个最大的正方形。

2、通过探究，知道正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积比是∏：4；圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的比是∏：2。

能力目标：1、通过让学生在正方形内画一个最大的圆与在圆内画一个最大的正方形，培养学生的作图能力与分析能力。

2、通过探究，使学生发现正方形的内切圆与外切圆与正方形的面积关系，培养了学生的探究意识与能力。

情感态度与价值观目标：通过合作探究，让学生经历探究的整个过程，体会探究数学知识的乐趣，体会获取成功的喜悦。

教学重、难点：通过探究，知道正方形内画一个最大的圆，圆的面积与正方形的面积比是∏：4；圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的比是∏：2。

教材分析：《圆与正方形》这一课时是浙教版六年级上册第三单元p71-72页的一节思维训练课。

（这一节课的内容，在人教版没有，但是可以在互联网上搜索“浙教版”六年级上册教材（新思维），即可找到相关的教学内容。

在圆这一单元中的一节思维训练课，知识点难度较大。

第一个难点就是作图：先作正方形内接圆，然后通过已知圆画出圆的外切正方形；还有一个就是画出圆的内接正方形。

六年级下册：圆与正方形的关系(方中圆)题型分类(教师版带答案)无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图所示，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图所示，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ²小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图所示，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图所示，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图所示，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。

《圆》教材解析一、教材介绍本单元的内容是在学生已经学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，直观的认识圆的基础上进行教学的，是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。

圆这个平面图形与以往学习的平面图形有显著的不同，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。

由此，教学将从对直线图形的研究过渡到对曲线图形的研究，这对学生而言是一种跨越与挑战。

因为无论是研究曲线图形的思想还是方法，与直线图形相比，都有显著的变化和提升。

因此，通过对圆的研究教学，不仅要让学生掌握圆的一些基础知识，还要让学生感受与体悟“化曲为直”“等积变换”“极限”等数学思想方法，以促进与发展学生的数学思想方法和问题解决的能力。

本单元的内容主要有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形的认识等。

二、课标解读《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出“探索一些图形的形状、大小和位置关系，了解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图形运动后的图形，了解确定物体位置的一些基本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第一学段”中提出“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”；又在“第二学段”中指出“通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆”“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题”“通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案”。

圆与方一、教学目标：1.学生学会画圆的外切正方形和内接正方形，培养学生的作图能力。

2.在解决有关“外圆内方”和“外方内圆”的实际问题的过程中，发现正方形和圆面积之间的关系。

积累关于面积计算的数学活动经验。

培养学生的探究意识。

3.感受数学之美，了解数学文化，体会数学与生活的密切联系。

二、教学重点：会解决“外方内圆”和“外圆内方”的问题。

三、教学难点：理解图形中正方形与圆的关系。

二、教学过程：（一）复习旧知，引入课题。

前面我们研究过平面图形圆和正方形？谁还记得这两个图形有哪些特征？怎样求这两个图形的面积呢？今天我们继续来研究有关圆和正方形的知识。

(板书)今天既然研究圆和正方形，肯定这两个图形是今天的主角。

（二）动手画图，感悟图形之间的关系。

1.画圆的内接正方形。

老师先给个圆，如果想画一个和它有联系的正方形，你觉得可以怎么画？（里面画个最大的正方形、紧贴着圆在外面画一个正方形、角上画一个正方形……）你们的想法还挺多，下面我们先选择一个同学说的画一画，刚才有个同学说想在圆里画一个最大的正方形，你们能画吗？你们每个人手里都有两个圆，下面就请你在左面那个圆里画一画。

（每个学生手里有两个画好圆心的圆，圆的半径有2厘米，3厘米，5厘米，10厘米四种不同的大小）（1）学生独立画图。

（3-4分钟）（2）全班交流。

（注意是生生之间的交流）A.找画图有困难的说说你为什么还没有画出来。

B.找画的不准确的说说画法？（指出画图中的问题）C.谁觉得我画的最准确，展示一下，并说说你的画法。

小结：要想画出圆内最大的正方形，一定要找到两条相互垂直直径的四个端点，连线后就能画出圆内最大的正方形。

（课件演示画法）想一想这时的圆与长方形有什么关系？（圆的直径是正方形的对角线）出示另一种画法，追问：这样画行吗？为什么可以这样画？没画对的同学修改一下你的图。

2.画圆的外切正方形。

紧贴着圆在外面画一个正方形，这话怎么理解？（就是让你画出的正方形里有一个最大的圆），请你在右边的圆上试着画一画。