2019-2020学年浙江省高考数学模拟试题(有答案)

浙江省嘉兴市重点中学2019-2020学年高考数学全真模拟密押卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若设0sin a xdx π=⎰，则6a x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的展开式中的常数项是（ ）A ．160-B ．160C ．20-D ．202．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．143．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为1()2a a c +（c 为弦长，a 为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长6c =，1a =，质点M 随机投入此圆中，则质点M 落在该弓形内的概率为（ ）A ．730 B ．175 C ．7150 D ．3504．设0.40.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线，交抛物线于A ，B 两点，M 为准线上的一点，记MBF α∠=，MAF β∠=，且90αβ+=︒，则MFO ∠与αβ-的大小关系是（ ）A ．MFO αβ∠=- B ．MFO αβ∠>- C ．MFO αβ∠<- D ．不确定6．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A．1 B．2C．22 D．127．函数1()sin cos212f x x x=+-()x R∈的最小值是（）A．14-B．12-C．52-D．72-8．如图，在矩形ABCD中的曲线是siny x=，cosy x=的一部分，点,02Bπ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)D，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．4(31)π-B．4(21)π-C．4(31)π-. D．4(21)π-9．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，20，则输出的a=（）A．14 B．4 C．2 D．010．若函数()423x xf x m m=-⋅++有两个不同的零点12,x x，且1(0,1)x∈，2(2,)x∈+∞,则实数m的取值范围为( )A ．(,2)-∞-B ．(,2)(6,)-∞-⋃+∞C ．(7,)+∞D ．(,3)-∞-11．已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为−40，则a 的值为 A ．2 B ．−2C ．±2D ．412．设G 是ABC ∆的重心，且(sin )(sin )(sin )0A GA B GB C GC ++=u u u v u u u v u u u v v，则B 的大小为（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．30° D ．15︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省杭州市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知 当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题. 2．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．3π B ．3πC ．3πD ．243π【答案】D【解析】 【分析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD V 中，OD R =，343HD BC ==，133R OH OA ==， 由勾股定理：2224333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为246π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为211362434433⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，2AB =u u u v，1AC =u u u v ，AO AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =uu u v （ ） A ．73B．2C ．7D【答案】D 【解析】 【分析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r 计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r可知，点O 为ABC ∆外心，则2122AB AO AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，21122AC AO AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，又AO AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ①因为42λμ-=，②联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-u u ur u u u r ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即BC =u u u r故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力. 4．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+ 【答案】A 【解析】 【分析】根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ，()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=.ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.5．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ==，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） AB．C．5D．5【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴111cos DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 6．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ． 故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．7．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】=4==的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法. 【详解】最底层正方体的棱长为8，=4=，=，2=，=1=，2=， ∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.8．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．9．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

2019年浙江省普通高中高三新高考统一模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1,2}A =，{1,0,1}B =-，则()UA B =A ．{1}-B ．{0,1}C ．{1,2,3}-D ．{1,0,1,3}- 2．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A ．2B ．1 C．2 D ．2 3．若实数,x y 满足约束条件340,340,0,+x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则32z x y =+的最大值是A. 1-B. 1C. 10D. 12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不V Sh =柱体，其容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A. 158B.162C. 182D. 324 5．设0,0a b >>，则“4a b +≤”则“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log ()2ay x =+(01)a a >≠，且的图象可能是（第4题图）俯视图侧视图正视图663342A. B. C. D.7．设01a <<．随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A. βγ<，αγ<B. βα<，βγ<C. βα<，γα<D. αβ<，γβ<9．设,R a b ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．1a <-，0b <B ． 1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ． 1a >-，0b >10．已知,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，n ∈*N ，则 A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >非选择题部分（共110分）。

浙江省杭州市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B．)+∞C．(,-∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +)(0)t >，将其代入双曲线方程得：22(1))1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立，2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤， [][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴Q 函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B. 3．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案. 【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.4．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点 D ．抛物线，但要去掉两个点【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上. 【详解】PB α⊥Q ,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBCAC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上， 又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.5．设函数()()ln 1f x x =-的定义域为D ，命题p ：x D ∀∈，()f x x ≤的否定是（ ） A ．x D ∀∈，()f x x > B ．0x D ∃∈，()00f x x ≤ C ．x D ∀∉，()f x x > D ．0x D ∃∈，()00f x x >【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为p ：x D ∀∈，()f x x ≤是全称命题， 所以其否定是特称命题，即0x D ∃∈，()00f x x >. 故选：D 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫-⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr rrr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 8．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；第五次循环：5n =，151566S =⨯=；第六次循环：6n =，161677S =⨯=；第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题. 9．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-， 因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.10．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =+；且满足2100yx =+， 故解得塔高()()100220021480y x =+=+≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.11．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．2 C 3D 23【答案】A 【解析】 【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以sin AOADO AD∠==，可得AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，sin3CE CAE AE ∠===， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省温州市2019-2020学年高三数学一模试卷含解析一、单选题（共10题；共20分）1.已知全集U={1,2,3,4}，A={1,3}，C U B={2,3}，则A∩B=（）A. {1}B. {3}C. {4}D. {1,3,4}2.设实数x，y满足不等式组{x≥0 y≥03x+4y−12≤0，则z=x+2y的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 63.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）A. 16cm3 B. 13cm3 C. 12cm3 D. 23cm34.已知双曲线x2a2- y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则双曲线的渐近线方程为( )A. y=± √22x B. y=± √2x C. y=±2x D. y=± 12x5.已知a，b是实数，则“ a>1且b>1”是“ ab+1>a+b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=1x+1−2x−1的图象可能是（）A. B.C. D.7.在四面体ABCD 中， ΔBCD 为等边三角形， ∠ADB =π2 ，二面角 B −AD −C 的大小为 α ，则 α 的取值范围是（ ）A. (0,π6]B. (0,π4]C. (0,π3]D. (0,π2]8.已知随机变量 ξ 满足 P(ξ=0)=1−p ， P(ξ=1)=p ，其中 0<p <1 .令随机变量 η=|ξ−E(ξ)| ，则（ ）A. E(η)>E(ξ)B. E(η)<E(ξ)C. D(η)>D(ξ)D. D(η)<D(ξ) 9.如图，P 为椭圆 E 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上的一动点，过点P 作椭圆 E 2:x 2a2+y 2b 2=λ(0<λ<1) 的两条切线PA ，PB ，斜率分别为 k 1 ， k 2 .若 k 1⋅k 2 为定值，则 λ= （ ）A. 14B. √24C. 12 D. √2210.已知数列 {x n } 满足 x 1=2 ， x n+1=√2x n −1(n ∈N ∗) .给出以下两个命题：命题 p: 对任意 n ∈N ∗ ，都有 1<x n+1<x n ；命题 q: 存在 r ∈(0,1) ，使得对任意 n ∈N ∗ ，都有 x n ≤r n−1+1 .则（ ） A. p 真，q 真 B. p 真，q 假 C. p 假，q 真 D. p 假，q 假二、填空题（共7题；共7分）11.若复数z满足(2−i)z=(1+2i)2，其中i为虚数单位，则z=________，|z|=________．12.直线x4+y2=1与x轴、y轴分别交于点A，B，则|AB|=________；以线段AB为直径的圆的方程为________．13.若对x∈R，恒有x7+a=(1+x)(a0+a1x+⋯+a5x5+a6x6)，其中a，a0，a1，…，a5，a6∈R，则a=________，a5=________.14.如图所示，四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=5√314，则ΔABC的面积为________，BD=________.15.学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买.甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有________种.16.已知平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√3，a⃗⋅b⃗⃗=0，c⃗−a⃗与c⃗−b⃗⃗的夹角为π6，则c⃗⋅(b⃗⃗−a⃗)的最大值为________．17.设函数f(x)=|x3−|x+a|+3|.若f(x)在[−1,1]上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.三、解答题（共5题；共50分）18.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=3，sinA+asinB=2√3．（1）求角A的值；（2）求函数f(x)=cos2(x−A)−cos2x（x∈[0,π2]）的值域．19.如图，已知四棱锥P−ABCD，BC//AD，平面PAD⊥平面PBA，且DP=DB，AB=BP=PA= AD=2BC．（1）证明：AD⊥平面PBA；（2）求直线AB与平面CDP所成角的正弦值．20.已知等差数列{a n}的首项a1=1，数列{2a n}的前n项和为S n，且S1+2，S2+2，S3+2成等比数列．（1）求通项公式a n；（2）求证：1n (√a na1+√a na2+⋯+√a na n)<1+√nn+1（n∈N∗）；21.如图，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，其中y1>0，y1y2=−4．过点A作y轴的垂线交抛物线的准线于点H，直线HF交抛物线于点P，Q．（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值．22.已知实数a≠0，设函数f(x)=e ax−ax．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当a>12时，若对任意的x∈[−1,+∞)，均有f(x)≥a2(x2+1)，求a的取值范围．注：e=2.71828⋯为自然对数的底数．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】因为U={1,2,3,4}, C U B={2,3}所以由补集定义与运算可得B={1,4}又因为A={1,3}根据交集运算可得A∩B={1,3}∩{1,4}={1}故答案为：A【分析】根据补集的定义与运算,可求得集合B.结合交集运算即可求得A∩B.2.【答案】D【解析】【解答】实数x,y满足不等式组{x≥0 y≥03x+4y−12≤0,其表示出平面区域如下图所示:将函数y=−12x平移,可知当经过点A(0,3)时, y=−12x+z2的截距最大此时z=0+2×3=6所以z=x+2y的最大值为6故答案为：D【分析】根据不等式组画出可行域,将目标函数平移后,即可求得最大值.3.【答案】B【解析】【解答】由三视图,还原空间几何体如下图所示:根据题中线段长度可知, AE=EC=AE=PE=1, AB=BC=√2且AB⊥BC,PE⊥AC则V P−ABC=13SΔABC⋅PE=13×12×√2×√2×1=13cm2故答案为:B【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可由题中给出的线段长求得体积.4.【答案】A【解析】【解答】由e= ca ，得e2= c2a2= a2+b2a2=1+ b2a2=3,∴b2a2=2,∴ba= √2,双曲线渐近线方程为y=± abx,即y=± √22x，故答案为：A.【分析】利用双曲线的离心率公式结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出ba= √2,进而求出双曲线的渐近线方程。

2019年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，∁U A＝{1，3，5}，则A＝（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，3，5}C．{2，4}D．∅2．（4分）以下关于双曲线M：x2﹣y2＝8的判断正确的是（）A．M的离心率为2B．M的实轴长为2C．M的焦距为16D．M的渐近线方程为y＝±x3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1D．4．（4分）复数i（i﹣1）的虚部为（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i5．（4分）函数y＝x﹣2sin x的图象大致是（）A．B．C．D．6．（4分）“m＝﹣3”是“直线（m+1）x+y+1＝0与直线2x+（m+2）y+2＝0互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数为Y，则（）A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（YC．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）D．E（X）＝E（Y），D（X）＝D（Y）8．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB ﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 9．（4分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A．1B．1C．2D．210．（4分）定义函数的“拐点”如下：设f′（x）是函数f（x）的导数，f′（x）是函数f （x）的导函数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，已知任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心：若f（x）＝x3﹣9x2+20x﹣4，数列{a n}为等差数列，a5＝3，则f（a1）+f（a2）+…+f（a9）＝（）A．44B．36C．27D．18二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）若关于x的方程3|x﹣2|+k cos（2﹣x）＝0只有一个实数解，则实数k的值为．12．（6分）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是．13．（6分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a，a cos B+b sin A＝c，则△ABC的面积的最大值为．14．（4分）二项式（）8的展开式的常数项是．15．（6分）已知λ∈R，函数f（x），，＜，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．16．（4分）两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有种．17．（4分）已知点P（0，1），椭圆y2＝m（m＞1）上两点A，B满足2，则当m＝时，点B横坐标的绝对值最大．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）如图，锐角α，β的终边与单位圆的交点分别为A（，）B（，）．（I）求tanα；（II）求cos（α﹣β）．19．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠CBE＝90°，BC ＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC，M为AE的中点．（1）求证：BD⊥平面AEC；（2）求直线MB与平面AEC所成角的正弦值．20．（15分）已知等差数列{a n}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+1≤a3．a2+3≥a4，数列{b n}满足b n，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S1，S2，S m（m∈N*）成等比数列，求m的值．。

浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R ，集合A={x|x ≥0}，B={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，则（∁U A ）∩B=（ ） A ．{x|﹣3＜x ＜0}B ．{x|﹣1＜x ＜0}C ．{x|0＜0＜1}D ．{x|0＜x ＜3} 2．在△ABC 中，“sinA＞”是“A＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知△ABC 的面积为3，若动点P 满足=2λ+（1﹣λ）（λ∈R ），则点P 的轨迹与直线AB ，AC 所围成封闭区域的面积是（ ） A ．3B ．4C ．6D ．124．如图，α⊥β，α∩β=l，A ∈α，B ∈β，A 、B 到l 的距离分别是a 和b ．AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是m 和n ．若a ＞b ，则（ ）A ．θ＞φ，m ＞nB ．θ＞φ，m ＜nC ．θ＜φ，m ＜nD ．θ＜φ，m ＞n5．已知x ＞0，y ＞0，且4x++y+=17，则函数F （x ，y ）=4x+y 的最大值与最小值的差为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．已知F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．B ．（，+∞） C ．（1，2） D ．（2，+∞）7．已知函数f （x ）=，则函数y=f （2x 2+x ）﹣a （a ＞2）的零点个数不可能（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx （|b|≤2|a|），定义f 1（x ）=max{f （t ）|﹣1≤t ≤x ≤1}，f 2（x ）=min{f （t ）|﹣1≤t ≤x ≤1}，其中max{a ，b}表示a ，b 中的较大者，min{a ，b}表示a ，b 中的较小者，则下列命题正确的是（ ）A ．若f 1（﹣1）=f 1（1），则f （﹣1）＞f （1）B ．若f 2（﹣1）=f 2（1），则f （﹣1）＞f （1）C ．若f （﹣1）=f （1），则f 2（﹣1）＞f 2（1）D ．若f 2（1）=f 1（﹣1），则f 1（﹣1）＜f 1（1）二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9．如果函数f （x ）=x 2sinx+a 的图象过点（π，1）且f （t ）=2．那么a= ；f （﹣t ）= ． 10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 ，四个面的面积中最大的是 ．11．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=，a n +b n =1，b n+1=，n ∈N *，则a n = ，b 2016= ．12．已知点P （x ，y ），其中x ，y 满足，则z 1=的取值范围 ，z=的最大值是 ．13．若圆x 2+y 2=R 2（R ＞0）与曲线||x|﹣|y||=1的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则R= ．14．已知P 为抛物线C ：y 2=4x 上的一点，F 为抛物线C 的焦点，其准线与x 轴交于点N ，直线NP 与抛物线交于另一点Q ，且|PF|=3|QF|，则点P 坐标为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，则的最大值是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f （x ）=Asin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f （x ）的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （x ）在x ∈[4，12]上的最大值为c ，且C=．求△ABC 的面积的最大值．17．如图，四边形ABCD 中，△BCD 为正三角形，AD=AB=2，，AC 与BD 交于O 点．将△ACD 沿边AC折起，使D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在△ACD 内． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若已知二面角A ﹣PB ﹣D 的余弦值为，求θ的大小．18．{a n }前n 项和为S n ，2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列 （1）求a 1的值； （2）求{a n }通项公式； （3）证明++…+＜．19．已知椭圆+y 2=1（a ＞1），（1）若A （0，1）到焦点的距离为，求椭圆的离心率．（2）Rt △ABC 以A （0，1）为直角顶点，边AB 、AC 与椭圆交于两点B 、C ．若△ABC 面积的最大值为，求a 的值．20．已知函数f （x ）=ax 2+x|x ﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f （x ）≥﹣2x ﹣1恒成立．求实数a 的最小值；（Ⅱ）若a ＜0，且对任意b ∈[1，2]，总存在实数m ，使得方程|f （x ）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围．浙江省金华市东阳市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A）∩B=（）1．设全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则（∁UA．{x|﹣3＜x＜0} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜0＜1} D．{x|0＜x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A的补集．把集合B化简，然后取交集．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，A）∩B={x|x＜0}∩{x|﹣1＜x＜3}={x|﹣1＜x＜0}．∴（CU故选B．2．在△ABC中，“sinA＞”是“A＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先看由sinA能否得到：A时，根据y=sinx在上的单调性即可得到，而A时显然满足A；然后看能否得到sinA，这个可通过y=sinx在（0，π）上的图象判断出得不到sinA，并可举反例比如A=．综合这两个方面便可得到“sinA＞”是“A＞”的充分不必要条件．【解答】解：△ABC中，若A∈（0，]， =sin，所以sinA得到A；若A，显然得到；即sinA能得到A；而，得不到sinA，比如，A=，；∴“sinA”是“A”的充分不必要条件．故选A．3．已知△ABC的面积为3，若动点P满足=2λ+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB，AC所围成封闭区域的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用△ABC的面积为3，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：延长AB至D，使得AD=2AB，连结CD，则∵=2λ+（1﹣λ）=λ+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．∵△ABC的面积为3，∴S△ACD =2S△ABC=6．故选：C．4．如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（）A．θ＞φ，m＞n B．θ＞φ，m＜n C．θ＜φ，m＜n D．θ＜φ，m＞n【考点】平面与平面垂直的性质；三垂线定理．【分析】在图象中作出射影，在直角三角形中利用勾股定理与三角函数的定义建立相关等式，运算即可．【解答】解：由题意可得，即有，故选D ．5．已知x ＞0，y ＞0，且4x++y+=17，则函数F （x ，y ）=4x+y 的最大值与最小值的差为（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】设4x+y=t ，代入条件可得4xy=，（0＜t ＜17），将4x ，y 可看作二次方程m 2﹣tm+=0的两根，由△≥0，运用二次不等式的解法即可得到所求最值，进而得到它们的差． 【解答】解：设4x+y=t ， 4x++y+=17，即为（4x+y ）+=17，即有t+=17，可得xy=，即4xy=，（0＜t ＜17），即有4x ，y 可看作二次方程m 2﹣tm+=0的两根， 由△≥0，可得t 2﹣≥0，化为t 2﹣17t+16≤0， 解得1≤t ≤16，当x=，y=时，函数F （x ，y ）取得最小值1； 当x=2，y=8时，函数F （x ，y ）取得最大值16． 可得函数F （x ，y ）=4x+y 的最大值与最小值的差为15． 故选：B ．6．已知F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M ，若∠F 1MF 2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．B ．（，+∞） C ．（1，2） D ．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】可得M ，F 1，F 2的坐标，进而可得，的坐标，由＞0，结合abc 的关系可得关于ac 的不等式，结合离心率的定义可得范围．【解答】解：联立，解得，∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（，），=（，），由题意可得＞0，即＞0，化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e=＞2故选D7．已知函数f（x）=，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数不可能（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中函数的解析式，我们画出函数y=f（2x2+x）的图象，结合图象观察y=f（2x2+x）与y=a 的交点情况，即可得函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数所有的情况，进而得到答案．【解答】解：∵函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数即函数y=f（2x2+x）和y=a的交点个数，先画出函数y=f（2x2+x）的图象，如图所示．（1）当2＜a＜3时，函数y=f（2x2+x）和y=a的图象有4个交点，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数是4，（2）当a=3时，函数y=f（2x2+x）和y=a的图象有5个交点，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数是5，（3）当a＞3时，函数y=f（2x2+x）和y=a的图象的交点个数都不小于4，则函数y=f（2x2+x）﹣a（a＞2）的零点个数不小于4，故选A．8．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx （|b|≤2|a|），定义f 1（x ）=max{f （t ）|﹣1≤t ≤x ≤1}，f 2（x ）=min{f （t ）|﹣1≤t ≤x ≤1}，其中max{a ，b}表示a ，b 中的较大者，min{a ，b}表示a ，b 中的较小者，则下列命题正确的是（ ）A ．若f 1（﹣1）=f 1（1），则f （﹣1）＞f （1）B ．若f 2（﹣1）=f 2（1），则f （﹣1）＞f （1）C ．若f （﹣1）=f （1），则f 2（﹣1）＞f 2（1）D ．若f 2（1）=f 1（﹣1），则f 1（﹣1）＜f 1（1） 【考点】二次函数的性质．【分析】由新定义可知f 1（﹣1）=f 2（﹣1）=f （﹣1），f （x ）在[﹣1，1]上的最大值为f 1（1），最小值为f 2（1）．【解答】解：（1）若f 1（﹣1）=f 1（1），则f （﹣1）为f （x ）在[﹣1，1]上的最大值， ∴f （﹣1）＞f （1）或f （﹣1）=f （1）．故A 错误；（2）若f 2（﹣1）=f 2（1），则f （﹣1）是f （x ）在[﹣1，1]上的最小值， ∴f （﹣1）＜f （1）或f （﹣1）=f （1），故B 错误． （3）若f （﹣1）=f （1），则f （x ）关于y 轴对称，∴当a ＞0时，f 2（1）=f （0）≠f （﹣1）=f 2（﹣1），故C 错误．（4）若f 2（1）=f 1（﹣1），则f （﹣1）为f （x ）在[﹣1，1]上的最小值， 而f 1（﹣1）=f （﹣1），f 1（1）表示f （x ）在[﹣1，1]上的最大值， ∴f 1（﹣1）＜f 1（1）．故D 正确． 故选：D ．二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.9．如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= 1 ；f（﹣t）= 0 ．【考点】函数的值．【分析】由函数性质列出方程组，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 1 ，四个面的面积中最大的是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出三棱锥P﹣ABC的直观图，并做出辅助线，由三视图求出棱长、判断出线面位置关系，由椎体的体积公式求出该三棱锥体积；由勾股定理求出其它棱长，判断该三棱锥的四个面中最大的面，由三角形的面积公式求出答案．【解答】解：根据三视图画出三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示：过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD，由三视图可知，PA⊥平面ABC，且BD=AD=1，CD=PA=2，①该三棱锥体积V===1；②BC=3，PD==，同理可求AC=，AB=，PB=，PC=3，∴△PBC是该三棱锥的四个面中最大的面积，∴△PBC的面积S===．故答案为：1；．11．已知数列{a n }，{b n }满足a 1=，a n +b n =1，b n+1=，n ∈N *，则a n =，b 2016=．【考点】数列递推式． 【分析】a n +b n =1，b n+1=，n ∈N *，可得b 1=1﹣a 1=．又b n+1==，可得b 2，b 3，…，猜想：b n =，利用数学归纳法证明即可．进而得出a n =1﹣b n ． 【解答】解：∵a n +b n =1，b n+1=，n ∈N *，∴b 1=1﹣a 1=．b n+1==，∴b 2=，b 3=，…，猜想：b n =，下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，b 1=成立．②假设当n=k ≥1（k ∈N *）时成立，即b k =．∴b k+1==，因此n=k+1时成立． 综上可得：∀n ∈N *，b n =，∴b 2016=．经过验证可知：bn=成立．∴an =1﹣bn==．故答案分别为：；．12．已知点P（x，y），其中x，y满足，则z1=的取值范围[1，3] ，z=的最大值是9 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，由z1=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，通过图象即可得出．作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z1=表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得，即A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z1==3，直线过（2，2）时，z1==1，故答案为：[1，3]．解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥2，要使z=最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，则z的最大值是z==9，故答案为：[1，3]；9．13．若圆x2+y2=R2（R＞0）与曲线||x|﹣|y||=1的全体公共点恰好是一个正多边形的顶点，则R= ．【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，可得正多边形为正八边形，然后由已知通过解三角形求得答案．【解答】解：由||x|﹣|y||=1，得|x|﹣|y|=±1，即，作出图象如图，正多边形为正八边形，在△AOB中，∠AOB=45°，AB=，∴AB2=OA2+OB2﹣2OA•OB•cos45°，即2=2R2﹣，∴，则R=．故答案为：．14．已知P为抛物线C：y2=4x上的一点，F为抛物线C的焦点，其准线与x轴交于点N，直线NP与抛物线交于另一点Q，且|PF|=3|QF|，则点P坐标为（3，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出抛物线对应的图象，根据抛物线的定义建立条件关系，利用三点共线即可得到结论．【解答】解：∵y2=4x，∴焦点坐标F（1，0），准线方程x=﹣1．过P，Q分别作准线的射影分别为A，B，则由抛物线的定义可知：|PA|=|PF|，|QF|=|BQ|，∵|PF|=3|QF|，∴|AP|=3|QB|，即|BN|=3|AN|，∴P，Q的纵坐标满足yP =3yQ，设P（），y≠0，则Q（），则N（﹣1，0），∵N，Q，P三点共线，∴，解得y2=12，∴y=，此时，即点P坐标为（3，），故答案为：（3，）15．已知a＞0，b＞0，c＞0，则的最大值是．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】a2+b2+4c2=（a2+a2）+（b2+b2）+（c2+3c2），调整，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设a2+b2+4c2=（a2+a2）+（b2+b2）+（c2+3c2）=（a2+b2）+（a2+c2）+（b2+3c2）≥ab+ac+3bc∴ab+2ac+3bc≤（a2+b2+4c2），∴≤当且仅当a=，b=2c=时，等号成立．∴的最大值是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c，且C=．求△ABC的面积的最大值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数y=f （x）的解析式．（Ⅱ）在△ABC中，由条件求出c，再利用余弦定理求得ab的最大值为1，可得△ABC的面积为ab•sinC 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的图象可得A=， ==6+2，∴ω=．再根据五点法作图可得﹣2×+φ=0，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）在△ABC中，f（x）=sin（x+）在x∈[4，12]上的最大值为c=1（此时，x=4）．由C=，利用余弦定理可得c2=1=a2+b2﹣2ab•cosC≥2ab﹣ab=ab，当且仅当a=b时，取等号，故ab的最大值为1．则△ABC的面积为ab•sinC=×ab×≤，故△ABC的面积的最大值为．17．如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC 折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求θ的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，可求θ的大小．【解答】（Ⅰ）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：以OB为x轴，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（），P（，），则，平面PBD的法向量为设平面ABP的法向量为则由得，，令x=1，则∴cos＜＞===∴=3，即，又θ∈，∴．18．{a n }前n 项和为S n ，2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列 （1）求a 1的值； （2）求{a n }通项公式； （3）证明++…+＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *，分别取n=1，2时，可得a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13．利用a 1，a 2+5，a 3成等差数列，即可得出；（2）当n ≥2时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1，化为，变形，利用等比数列的通项公式即可得出； （3）由≥3n ﹣1．可得，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）解：∵2S n =a n+1﹣2n+1+1，n ∈N *， ∴n=1，2时，2a 1=a 2﹣3，2a 1+2a 2=a 3﹣7， ∴a 2=2a 1+3，a 3=6a 1+13． ∵a 1，a 2+5，a 3成等差数列， ∴2（a 2+5）=a 1+a 3， ∴2（2a 1+8）=a 1+6a 1+13， 解得a 1=1．（2）解：当n ≥2时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=，化为，∴，a 1+2=3．∴数列是等比数列， ∴， ∴．（3）证明：∵≥3n ﹣1．∴，∴++…++…+==．19．已知椭圆+y2=1（a＞1），（1）若A（0，1）到焦点的距离为，求椭圆的离心率．（2）Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、AC与椭圆交于两点B、C．若△ABC面积的最大值为，求a的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由A（0，1）到焦点的距离为，可得a=，c=，即可得出e=．（2）不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=．分别与椭圆方程联立可得：，，|AB|==，|AC|=．S=|AB||AC|=2a4×，令=t≥2，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵A（0，1）到焦点的距离为，∴a=，c==，e===．（2）不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=．由，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0，解得，同理，|AB|==，同理可得：|AC|=．S=|AB||AC|=2a4×=2a4×，令=t≥2，则S=2a4×=≤，当且仅当t=≥2，即a时取等号．由，解得a=3，或a=（舍去）．1＜a＜1+时无解．∴a=3．20．已知函数f（x）=ax2+x|x﹣b|．（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立．求实数a的最小值；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程|f（x）﹣m|=在[﹣3，3]上有6个互不相同的解，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1恒成立，讨论x=0，x≠0时，运用参数分离，求得右边函数的最大值即可；（Ⅱ）对a讨论，（1）当a＜﹣1时，（2）当a=﹣1时，（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，运用二次函数的单调性和最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，解不等式，求交集即可．【解答】解：（Ⅰ）当b=﹣1时，若不等式f（x）≥﹣2x﹣1恒成立，即为ax2≥﹣x|x+1|﹣2x﹣1，当x=0时，0＞﹣1成立；当x≠0时，a≥，令g（x）=，即有g（x）=，当x≥﹣1，x≠0时，x=﹣时，g（x）取得最大值；当x＜﹣1时，x=﹣2时，g（x）取得最大值．则有g（x）的最大值为．即有a≥，则a的最小值为；（Ⅱ）若a＜0，且对任意b∈[1，2]，总存在实数m，使得方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．而f（x）=，（1）当a＜﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减．方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（2）当a=﹣1时，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，方程f（x）=m±在[﹣3，3]上不可能有6个互不相同的解；（3）﹣1＜a＜0时，①当＜b，即﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，b）递减，在（b，+∞）递增．又1≤b≤2，﹣，2[]﹣b＞﹣3，要使方程f（x）=m±在[﹣3，3]上有6个互不相同的解．则f（）﹣f（b）＞，∀b∈[1，2]，都有a（9﹣b2）＞3b﹣，b2[﹣a]＞．当a（9﹣b2）＞3b﹣，即a＞，令6b﹣17=t∈[﹣11，﹣5]，g（b）==，当t=﹣5即b=2时，g（x）=﹣，即有a＞﹣，max当b2[﹣a]＞．则4a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞（舍去）或a＜．即有﹣＜a＜；②当＞b，即﹣1＜a＜﹣，f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．∀b∈[1，2]，＜3，f（3）﹣f（）=9（a+1）﹣3b+＞，当＜3，∀b∈[1，2]恒成立，解得a＞﹣，当9（a+1）﹣3b+＞，∀b∈[1，2]恒成立，取b=2代入得a＞﹣或a＜﹣．所以无解．综上可得，a的取值范围为（﹣，）．。

2019届浙江省高三新高考仿真演练卷（二）数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2},{|}A B x y x A =--==∈，则A B =ð（ ）A ．{1,0,1}-B ．{2,2}-C ．{2,1,0,1}--D ．{2}【答案】A【解析】列出不等式220x -≥，结合x A ∈，可得集合B ，根据补集的定义即可得结果. 【详解】由220x -≥，得x ≤x ≥又x A ∈，所以{2,2},{1,0,1}A B B =-=-ð， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的运算、函数的定义域及二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数13iz i-=则(1)i z -=（ ） A ．42i -+ B ．42i --C ．42i +D ．42i -【答案】A【解析】根据复数的乘除法求解即可. 【详解】1324(24)(1)(1)1i i i i i z i i i ------=-⋅===-42421ii -=-+-. 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题.3．已知双曲线222:13x y C a -=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B ．13y x =±C ．y =D ．3y x =±【解析】由题意双曲线的离心率2，求得1a =，得出双曲线的标准方程，进而可求得渐近线的方程，得到答案. 【详解】由题意,双曲线222:13x y C a -=的离心率2，即232ca e a a+===，解得1a =， 即双曲线的方程为2213y x -=，可得1,3a b ==，所以双曲线的渐近线方程为3by x x a=±=±. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．1687π+ B ．16873π+ C ．8716π+D ．1687π+【答案】C【解析】由三视图可知，得到该几何体是由圆柱与正四棱锥组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为27，结合体积公式，即可求解. 【详解】由三视图可知，该几何体是由圆柱与正四棱锥组合而成的一个组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为27， 故该几何体的体积2218724(22)71633V ππ=⨯⨯+⨯=+.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 5．下列命题错误的是A ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行B ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面C ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直D ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交 【答案】D【解析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A. 若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行，正确； B. 若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面，正确；C. 若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直，正确，可能异面垂直；D. 若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交，错误，l 平行于平面α，l 与平面α 没有公共点. 故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题． 6．已知函数(),()f x g x 的图象如图所示，则函数()1()f x yg x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数图象，分别从定义域，特殊值角度分析，可快速鉴别出正确答案. 【详解】由函数()g x 的图象可知0x ≠，值域{|0}y y ≠， 所以函数()1()f x yg x =+的定义域为{|0}x x ≠，观察图象可排除B ，C ； 因为(2)(2)0f g >>，所以(2)12(2)f g +>，排除D . 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质，有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为选择题，可以利用特殊值法（特殊点）特性法（奇偶性、单调性、最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍，属于中档题.7．已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数为X ；若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数为Y ，则（ ）A ．()(),()()E X E Y D X D Y ==B ．()(),()()E X E Y D X D Y =≠C ．()(),()()E X E YD X D Y ≠= D ．()(),()()E X E Y D X D Y ≠≠【答案】B【解析】由题意随机变量X 的可能取值为1,3，随机变量Y 的可能取值为0,2,4，由古典概型求出其概率，计算期望、方差即可求解. 【详解】由题意得X 的可能取值为1，3，且11(1),(3)22P X P X ====， 则11()132E X =⨯+⨯=，2211()(12)(32)1D X =-⨯+-⨯=，Y 的可能取值为0，2，4，且1(0)6P Y ==，21(2),(4)36P Y P Y ====，则12()0263E Y =⨯+⨯+1426⨯=，2221214()(02)(22)(42)6363D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，所以()(),()()E X E Y D X D Y =≠， 故选：B 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8．如图，已知四边形ABCD 是底角为60o 的等腰梯形，且2AB CD =，沿直线AC 将ADC V 翻折成AD C 'V ，所成二面角D AC B '--的平面角为θ，则（ ）A ．D AB θ'∠≥ B ．D AB θ'∠≤C ．D CB θ'∠≥ D ．D CB θ'∠≤【答案】B【解析】作出图形，设2CD a =，作出二面角D AC B '--的平面角，由余弦定理求出D AB '∠、θ、D CB '∠的余弦值，结合余弦函数的单调性可得出D AB '∠、θ、D CB '∠的大小关系. 【详解】设AB 的中点为点F ，连接DF 交AC 于点E ，在底面ABCD 内，过点D 、N 分别作DM AB ⊥、CN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，设2CD a =，由四边形ABCD 为底角为60o 的等腰梯形，且2AB CD =，可得2AB CDAM BN a -===，2AD BC a ∴==，//AB CD Q ，F 为AB 的中点，则//AF CD 且AF CD =，∴四边形AFCD 为菱形，所以，DF 为线段AC 的垂直平分线，则AC DF ⊥，AC D E '⊥，DF D E E '=I ，AC ∴⊥平面DD F '， 在翻折的过程中，点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段DF 上， 所以，D EF '∠为二面角D AC B '--的平面角，即D EF θ'=∠， 当点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段DE 上时，90D EF '∠≥o ， 而60D AB DAB '∠≤∠=o ，所以此时D AB θ'>∠；当点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段EF 上时，则D E DE EF a '===，2D A DA AF a '===，2D F a ⎡⎤'∈⎣⎦，则在D EF 'V 中，由余弦定理得22222cos 12||2D E EF D F D FD EF DE EF a '''+-'∠==-'⋅， 在D AF 'V 中，由余弦定理得22222cos 128D A AF D F D F D AF D A AF a '''+-'∠==-'⋅， 则cos cos D EF D AF ''∠≤∠，当且仅当0D F '=时，等号成立， 所以此时D EF D AF D AB θ'''=∠≥∠=∠． 综上所述，D AB θ'≥∠. 故选：B ． 【点睛】本题考查二面角、余弦定理，正确作出二面角的平面角是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．正ABC ∆边长为2，点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足32BP =，若AP AB ACλμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+的最小值是（ ）A ．12B ．5 C ．2D ．23【答案】A【解析】以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴，将向量都坐标化，由AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 可得：1333x y λμλμ-=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，故31y λμ+=-+，进而得到最值. 【详解】如图：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴则(3A ，，()00B ，，()20C ， 设()P x y ，，3BP =Q 则P 点轨迹为2234x y +=由AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 可得：1333x y λμλμ-=-+⎧⎪⎨=⎪⎩故31y λμ+=+ 当32y =时，()12min λμ+=故选A 【点睛】有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10．定义：若向量列123,,,,n a a a a r r r rL ，满足条件：从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量），即1n n a a d -=+r r u r（2n …，且*n N ∈，d u r为常向量），则称这个向量列{}n a r 为等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，且向量列{}n a r 的前n 项和为n S ．已知等差向量列{}n a r满足124(1,1),(6,10)a a a =+=r r r，则向量列{}n a r 的前n 项和n S =（ ）A ．22,2n n n ⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．22,(1)2n n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭C ．22,(1)2n n n ⎛⎫++⎪⎝⎭D ．22(1)(1),(1)2n n n ⎛⎫++++⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意分析等差数列的性质对于等差向量列也适合，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可类比出等差向量列的通项公式和前n 项和公式，求解即可． 【详解】由题易知等差数列的性质对于等差向量列也适合，类比等差数列的性质得3242(6,10)a a a =+=r r r ，解得3(3,5)a =r，所以等差向量列{}n a r 的公差为31(1,2)2a a d -==r r u r ．类比等差数列的通项公式，得等差向量列{}n a r 的通项公式为n a =r 1(1)(1,1)(1)(1,2)(1,1)(1,22)(11,122)(,21)a n d n n n n n n n +-=+-=+--=+-+-=-r u r．进而再类比等差数列的前n 项和公式，可以得到等差向量列{}n a r的前n 项和公式为()12nn n a a S +==r r 22,2n n n ⎛⎫+⎪⎝⎭．【点睛】本题考查向量的坐标运算、等差数列的性质及前n 项和公式，考查学生类比推理的应用．二、双空题11．已知a ，b R ∈，2()4a bi i +=（i 是虚数单位），则||a bi +=______，ab =_______.【答案】2 2【解析】由复数运算法则求出a 、b 的值再代入|i |a b +和ab 计算即可. 【详解】解：因为222()24a bi a b abi i +=-+=， 所以220a b -=且2ab =， 所以2a b ==或2a b ==-，则||2a bi +=，2ab =. 故答案为：2；2. 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和复数的模长计算，属于基础题.12．若变量,x y 满足约束条件30,240,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪⎩…则x z y =的最小值为______，最大值为______．【答案】272【解析】根据题意，作出不等式组表示的可行域，利用00y y u x x -==-，即点(),x y 与原点()0,0连线的斜率的最值，再取倒数即可得到结论. 【详解】由题意，不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界）所示，欲求x z y =的最小（大）值，只需求yu x=的最大（小）值，即在可行域内找一点，使得该点与原点连线所在直线的斜率取得最大（小）值．由30240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得2373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以27,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由302x y x +-=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以()2,1C ．当直线x z y =经过点27,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最小值27；当直线xz y=经过()2,1C 时，z 取得最大值2． 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．线性规划的目标函数主要有三种形式：①截距式：即z ax by =+，主要根据目标函数在y 轴上的截距判断最值；②斜率式：即y bz x a-=-，主要根据可行域内的点与定点(,)a b连线所在直线的斜率判断最值；③距离式：即z =据可行域内的点与定点(,)a b 的距离判断最值． 13．在ABC ∆中，3B π=，设,,A B C 所对的三边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且6ac =，则ABC S ∆=_____，b =______．【解析】直接根据三角形面积公式，再利用余弦定理得等式解得即可. 【详解】 由题意得ABC S =V 11sin 6sin 223ac B π=⨯⨯=因为,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，在ABC ∆中，由余弦定理得22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac+-+--==，即22(2)26cos 326b b π-⨯-=⨯，即2318b =，解得b =．. 【点睛】本题考查等差数列的概念、三角形的面积公式、余弦定理，熟记三角形的面积公式是解题的关键．14．若等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，关于x 的不等式21022d d x a x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[]0,10，则c =_____，使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是_____．【答案】0 5【解析】根据题意列方程组解得数列{}n a 为首项为正的递减数列，再由560,022d da a =->=<，可得数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数5n =. 【详解】因为关于x 的一元二次不等式21022d d x a x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[]0,10， 所以212102000221010022dd d a c d d a c ⎧<⎪⎪⎪⎛⎫⨯+-⨯+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⨯+-⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得100902d c a d ⎧⎪<⎪=⎨⎪⎪=->⎩则数列{}n a 为首项为正的递减数列，且560,022d da a =->=<， 所以使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数5n =． 故答案为：0，5. 【点睛】本题考查等差数列的性质、一元二次不等式的解法，根据一元二次不等式的解集得到数列{}n a 的首项和公差的关系是解题的关键．三、填空题15．设20292100129012101010(12)(1)(1)x b b x b x b x a a x a x a x x x +++++=+++++++L L ，则10a =______．【答案】202【解析】将原等式变形，再利用左右边的系数，建立方程，即可得到结论. 【详解】 由题意，()()()()201021029012100129121x a a x a x a x x b b x b x b x +=++++++++++L L ，所以，等式左边20x 的系数为202，等式右边20x 的系数为1010101010a x C x ⋅⋅⋅， 所以20102a =．故答案为：202. 【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的突破点在于利用等式左、右边20x 的系数相等，建立方程．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则当[2,6]x ∈-时，方程1()2f x =-的所有根之和为_____． 【答案】4【解析】根据题意，得函数关于直线1x =对称，进而得()f x 是以4为周期的函数，再得其单调性，再分段探究方程的根的情况，即可得到结论. 【详解】由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)()f x f x +=-，又因为()f x 是奇函数，则有(2)()f x f x +=-=()f x -，从而有(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的函数，由周期性知，函数()f x 的图象关于直线21()x k k Z =+∈对称．由题意，()f x 在[0,1]上单调递增，其值域为[0,1]，此时方程1()2f x =-无解， 由对称性知()f x 在[1,2]上单调递减，其值域为[0,1]，此时方程1()2f x =-也无解， 由函数()f x 的图象关于原点成中心对称知，方程1()2f x =-在[2,1]--和[1,0]-上各有一根，由对称性知两根之和为2-． 由周期性知方程1()2f x =-在[2,3]和[3,4]上各有一根，由对称性知两根之和为6．在区间[4,6]上无解．所以()f x 在[2,6]-上共有4个根，其和为4． 故答案为：4. 【点睛】本题考查函数性质的应用、函数的零点．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：①函数单调性与奇偶性结合，注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；②周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；③周期性、奇偶性与单调性结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.17．有一堆大小和形状完全相同的红球、蓝球，从中选7个球排成一列，要求相邻两个球不都为红球，共有_____种不同的排列方法．（用数字作答） 【答案】34【解析】根据题意，可得红球的个数可能为0，1，2，3，4，再分类讨论，利用插空法即可. 【详解】由题意，得红球的个数可能为0，1，2，3，4， 当红球个数为0时，有1种排列方法； 当红球个数为1时，有71C 种排列方法； 当红球个数为2时，有26C 种排列方法； 当红球个数为3时，有35C 种排列方法； 当红球个数为4时，有1种排列方法.综上所述，不同的排列方法共有1237651134C C C ++++=． 故答案为：34. 【点睛】本题考查计数原理，根据题意合理分类是解题的关键．四、解答题18．已知函数()2sin cos 6f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1()2c f C ==．若sin 2sin B A =，求边,a b 的值．【答案】（Ⅰ）最大值为12，最小正周期为π（Ⅱ）2,4a b ==． 【解析】（Ⅰ）用二倍角公式、差角的正弦公式把()f x 化为()()sin f x A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的图象与性质求解；（Ⅱ）根据已知条件求角C ，再利用正弦定理、余弦定理列出关于,a b 的方程组，解方程组即可． 【详解】解：（Ⅰ）21cos 21()cos cos 2sin 22262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭Q ()f x ∴的最大值为12，最小正周期为π （Ⅱ）由（1）知11()sin 2622f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 110,022,2666C C C πππππ<<∴<<∴-<-<Q ， 2,623C C πππ∴-=∴=．sin 2sin ,2B A b a =∴=Q ，①由余弦定理得2222cos3ca b ab π=+-，即2212a b ab +-=，②由①②解得2,4a b ==． 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理．利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，其试题为基础题，考查有以下三个命题角度：①由已知求边和角；②解三角形与三角函数性质结合；③解三角形与三角恒等变换结合． 19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且直线PA ABCD ⊥平面，又棱2PA AB ==，E 为CD 的中点，60.ABC ∠=︒ (Ⅰ) 求证：直线AE PAB ⊥平面； (Ⅱ) 求直线AE 与平面PCD 的正切值.【答案】（1）见解析（2）33【解析】试题分析：（1）由线面垂直的判定定理证明，EA ⊥AB ，EA ⊥P A ，得EA ⊥平面P AB ；（2）∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成角，所以23tan 3PA AEP AE ∠===． 试题解析：解：（1）证明：∵∠ADE =∠ABC =60°，ED =1，AD =2 ∴△AED 是以∠AED 为直角的Rt △ 又∵AB ∥CD , ∴EA ⊥AB 又P A ⊥平面ABCD ，∴EA ⊥P A , ∴EA ⊥平面P AB , （2）如图所示，连结PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点∵CD ⊥EA , CD ⊥P A∴CD ⊥平面P AE ,∴AH ⊥CD ，又AH ⊥PE ∴AH ⊥平面PCD∴∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成角 在Rt △P AE 中，∵P A =2，AE 3∴23tan 3PA AEP AE ∠===20．已知数列{}n a ，12a =，26a =，且满足1121n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈）（1）求证：{}1n n a a +-为等差数列； （2）令()10112n n n b a +=-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求{}2n n S S -的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）42296S S --. 【解析】(1)将式子变形得到()()112n n n n a a a a +----=，故得到数列{}1n n a a +-是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到()1n a n n =+，代入表达式得到n b ，设2n n n M S S =-，()()110121222n n M M n n +-=-++，将此式和0比即可得到最大项. 【详解】（1）1122n n n a a a +-+=+，则()()112n n n n a a a a +----=. 所以{}1n n a a +-是公差为2的等差数列. （2）()()()()121112242212n n n n n n a a a a a a n n n L L ，-+≥=-++-+=+++=⋅=+.当11,2n a ==满足. 则()1n a n n =+.()()1011101!22n n b n n n +=-=-+ ∴1110122n n S n ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭L ， ∴211111210121222n n S n n n n ⎛⎫=+++++++-⎪++⎝⎭L L ， 设2111101222n n n n M S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭L ， ∴121111111023221222n n n n M S S n n n n n ++⎛⎫=-=+++++-⎪++++⎝⎭L ， ∴()()1111111110110102122122122221222n n M M n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭，∴当1n =时，11010342n n M M +-=->⨯， 即12M M <，当2n ≥时，10n n M M +-<， 即234M M M >>>L ，∴()2max 1129101346n M M ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭，则{}2n n S S -的最大值为42296S S -- 【点睛】数列最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列{}n a 的最大值，可通过解不等式组11{n n n n a a a a +-≥≥ ()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；求数列{}n a 的最小值，可通过解不等式组11{n n n n a a a a +-≤≤ ()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式n a 对应函数()y f x =的特点，借助函数()y f x =的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．21．已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且||||AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 【答案】（1）32M y =.（2）3m =. 【解析】试题分析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线定义求得AB 中点M 到x 的距离；（2）设:AB l y kx n =+，联立方程组，得到122x x k +=，即2(,)M k k n +，进而求得2221k n m ++=，根据垂直，即可求解实数m 的值.试题解析：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立222202y kx nx kx n x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， 所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（）， 又212MCk n k k k+-=-⇒211k n k =-⇒=-， 代入（）式，得：3m =.22．已知函数()()()2f x x 1aln 2x 1blnx =-+-+，a,b 为常数（Ⅰ）若a 0=时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若b 2a =-，已知[)x 1,∞∈+，()f x 0≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）12b <（2）1a ≤ 【解析】⑴将0a =代入，求出()f x 的表达式，求导，然后综合只有一个极值点即可求出结果；⑵法一：将2b a =-代入，求导后利用单调性来求解；法二：整体思想，采用放缩法进行求 【详解】（Ⅰ）当0a =时，()()21ln f x x b x =-+，()()22221b x x bf x x x x='-+=-+，12x > 因为()f x 在定义域内有且只有一个极值点， 所以2220x x b -+=在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有且仅有一根，则有图知0∆>， 所以12b <（Ⅱ）2b a =-，()()()21ln 212ln f x x a x a x =-+-- 法1：()()()()()()()21222121211212121a x a a af x x x x x x x x x x ⎡⎤-=-+-=-+=--⎢⎥---⎢⎣⎦'⎥ ()()222121x x a x x x ⎡⎤--=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因()10f =，[)1,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，则[)1,x ∈+∞内，先必须递增，即()f x '先必须0≥，即()22h x x x a =--先必须0≥，因其对称轴14x =，有图知()10h ≥（此时在[)1,x ∈+∞ ()0f x '≥），所以1a ≤ 法2： 因()0f x ≥，所以()221ln 212ln 0x x a x a x -++--≥，所以()()22ln 21ln 21x a x x a x -≥---，令()ln g x x a x =-，因()1,x ∈+∞， 221x x >-， 所以()g x 递增，()0g x '≥，所以10ax-≥，1a ≤ 【点睛】本题考查了含有参量的导数极值问题和恒成立问题，在解答此类题目时将参数代入，然后根据题意进行转化，结合导数的单调性进行证明，本题有一定难度.。

A .{2, 4} B . {0, 2} C. 2. （4分）设i 是虚数单位,{0, 2, 4} D . {x|x=2n , n € N}若.-■■■.■] , x , y € R ,则复数x+yi 的共轭复数A .2 - i B.— 2 - i C. 2+i D .- 2+i 3. A .4.（4分）双曲线x 2- y 2=1的焦点到其渐近线的距离为（ 2D .华 2b € R ,贝U “阳| >b| b| ”是 “A b”的（1 B.匚 C. （4分）已知a , A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 浙江省高考全真模拟数学试卷（一）一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1. (4 分)已知集合 A={x| - x 2+4x >0} , 丁 一 . ： . -，C={x| x=2n, n €81N}，贝U( A U B )n C=( 既不充分也不必要条件C. 充要条件D. 项的乘积是（)A- 2 B.- 3 C2 D.7. （4分）如图，矩形ADFE矩形CDFG正方形ABCD两两垂直，且AB=2,若线段DE上存在点P使得GP丄BP,则边CG长度的最小值为（）A . 4 B.〔「C. 2 D . 「8. (4 分)设函数 f(x) =1-77^4，g (X )=ln (ax 2 - 2x+1),若对任意的 x i € R , 都存在实数X 2,使得f （x i ） =g （X 2）成立，则实数a 的取值范围为（ ）A . （0, 1]B . [0, 1] C. （0, 2] D . （-X, 1] 9.（4分）某班有'的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那4么其中数学成绩优秀的学生数 幼服从二项分布一「，则E （- a 的值为（） 4 A . - B.C.匚 D . 4 4 4410. （4 分）已知非零向量 |, b 满足| i| =2|,若函数 f （x ） =..x 3+ | J x 2+"x+1在R 上存在极值，则「I 和〔夹角的取值范围是（ ） A .B 「」C ；丁・—1D .—.-、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. （6分）某几何体的三视图如图所示，贝U 该几何体的体积为12. （6分）在〉「： 「的展开式中，各项系数之和为 64,则n= ________ ;展开A_______ ，表面积为 ______<__I —►1 1侧视图正视團式中的常数项为________ •13. __________________________________________________ (6分)某人有4把钥匙，其中2把能打开门•现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是___________________________________ •如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________ .14. (6分)设函数f (x) J〜，，[4(7(5), x>l①若a=1，则f (x)的最小值为 ________ ;②若f (x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_________ .x+2y-4<015. (4分)当实数x，y满足' 时，ax+y w4恒成立，则实数a的取值范围是_______ .16. (4分)设数列｛a n｝满足，且对任意的n € N*，满足. 「…，.I ...-…，则a2017= ____________ .17. (4分)已知函数f (x) =ax2 +2x+1，若对任意x€ R, f[ f (x) ] >0恒成立，则实数a的取值范围是________ .三、解答题：本大题共5小题，共74分■解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18•已知函数f (x) = _ …一二1，x€ R.(I)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；(II)在^ ABC中，A，B，C的对边分别为a, b，c，已知c=二,f(C) =1, sinB=2sinA, 求a, b的值.19.如图，在四面体ABCD中，已知/ ABD=Z CBD=60, AB=BC=2 CE!BD于E(I)求证：BD丄AC;(U)若平面ABD丄平面CBD且BD=，求二面角C- AD —B的余弦值.2(I)当a=2,求函数f (x)的图象在点(1, f (1))处的切线方程；(U)当a>0时，求函数f (x)的单调区间.21. 已知曲线C: y2=4x, M : (x- 1) 2+y2=4 (x> 1),直线I与曲线C相交于A, B两点，0为坐标原点.(I)若」 -二，求证：直线I恒过定点，并求出定点坐标；(n)若直线I与曲线M相切，求" -'if.的取值范围.22. 数列｛a n｝满足a1=1，a2='.+.二，…，a n=\+.-+・ +「(n€ N)(1)求a2，a3，34，a5 的值；(2)求a n与a n-1之间的关系式(n€ N*，n》2);(3)求证：(1+ 一 ) (1+ 一) ••- (1+ 一 )< 3 (n€ N*)a l a2 a n2018年浙江省高考全真模拟数学试卷（一）参考答案与试题解析一、单选题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1. (4 分)已知集合 A={x| - x 2+4x >0} ,, C={x| x=2n, n €81N}，贝U( A U B )n C=()A . {2，4}B . {0，2} C. {0，2，4} D . {x|x=2n , n € N} 【解答】 解：A={x| - X +4x > 0} ={x| 0< x < 4}，一丄 盲 1"={x|3-4v 3x v 33}={x| - 4V x v 3}， ol则 A U B={x| - 4v x <4}， C={x| x=2n, n € N}， 可得(A U B )n C={0, 2, 4}, 故选C .2. （4分）设i 是虚数单位，若i —, x , y € R ,则复数x+yi 的共轭复数z _i 是（ ）A . 2 - i B.- 2 - i C. 2+i D .- 2+i得 x+yij .=2+i ，•••复数x+yi 的共轭复数是2 -i . 故选：A .3. （4分）双曲线x 2-y 2=1的焦点到其渐近线的距离为（ ）A . 1 B. 「C. 2 D.—2【解答】解：由■. [- i -.,5!5! 5i (1-21)【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2- y2=1,其焦点坐标为（± 血，0）,其渐近线方程为y=±x,即x±y=0, 则其焦点到渐近线的距离d= :=1；V1+1故选：A.4. （4分）已知a, b€ R,贝U “阳| >b|b| ”是“A b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：设f （x）=x| x| ='」A '',［-忆x<0由二次函数的单调性可得函数f （x）为增函数，则若a>b,则f (a)>f (b),即a| a| >b| b|，反之也成立,即“|a| >b|b|”是“>b”的充要条件,故选：C.5. （4分）函数y=2x：- e l x l在［-2, 2］的图象大致为（）••• f'（x）=4x- e x=0有解，故函数y=2«-M在［0, 2］不是单调的，故排除C, 故选：D1.+ 0.6. （4分）若数列{a n }满足®}=2, ®+i } _空（n € N *），则该数列的前2017 -J 项的乘积是（ ）A .-2 B--3C2 D .【解答】解：•••数列 「石〒--：： 1+ Qi -1 •选=.=-3，同理可得：a 3=；，2 --0i +4=a n ，a 1Q 233a 4=1 .•该数列的前2017项的乘积=1504x a 1=2. 故选：C.7. （4分）如图，矩形ADFE 矩形CDFG 正方形ABCD 两两垂直，且AB=2,若 线段DE 上存在点P 使得GP 丄BP,则边CG 长度的最小值为 （ ）A . 4 B. ： =C. 2 D . 乙【解答】解：以DA, DC, DF 为坐标轴建立空间坐标系，如图所示: 设 CG=a P (x , 0, z ),则曽二，即 z 欝.2 a 2 又 B (2, 2, 0), G (0, 2, a ),• PB = (2-x , 2,-乎),PG = (- x , 2, a (1 -专)), • W (x -2) x+4+=0,a 4」，a 5=2，….J 1_al显然X M0且X M 2,2 1 '…a= 一，••• x€( 0, 2),二2X-X2€( 0, 1],•••当2X-X2=1时，a2取得最小值12,••• a的最小值为2 _；.故选D.8. (4分)设函数f，g(x)=ln(ax2-2x+1)，若对任意的X I€ R,都存在实数X2,使得f (X I) =g (X2)成立，则实数a的取值范围为( ) A. (0, 1] B. [0, 1] C. (0, 2] D. (-X, 1]【解答】解：设g ( X) =ln (ax2- 2X+1 )的值域为A,••• f (X) =1 - 「| 在R上的值域为(-X,0],•(-X, 0]? A,又h (0) =1,•实数a需要满足a< 0 或£• h ( X) =a«- 2X+1至少要取遍(0, 1]中的每一个数,解得a< 1.•实数a的范围是(-X,1],故选：D.9. (4分)某班有-的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数幼服从二项分布b'：r.u丄]，则E(- a的值为( )A .B. C.匚 D . 4 4 4 4【解答】解：T 幼服从二项分布D ,4 ••• E ( e =5x 1』,4 4••• E (- e =-E ( e =-「. 4故选D .T T __ 1 Q "1 r\10. （4分）已知非零向量1,：满足「|=2|：・|，若函数f （x ） = *+打1&+1，x+1 I . ■ - 1;即.1 I UZ- .： .1 匚-：.-..,1'； •••「—…亠-—一 4 | b | 41 b | 2•••与「夹角的取值范围为—..W故选B .二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. （6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ______ ，表面积为 7+二_.在R 上存在极值，则1和•夹角的取值范围是（_B. ： C - 解：：「：厂• ： ：‘ I •;在R 上存在极值；=0有两个不同实数根；A . 一【解答】 ••• f (x) •••「( x )【解答】解：由三视图还原原几何体如图:该几何体为组合体，左右两边都是棱长为 1的正方体截去一个角,则该几何体的体积为.;■■ ； 表面积为；i- . ：i- ||.4 . . ■ :：i- '■- 十 二.故答案为：「； 二.■J 12. （6分）在工]:的展开式中，各项系数之和为 64,则n= 6 ;展开式A中的常数项为 15 .【解答】解：令x=1，则在 工-:的展开式中，各项系数之和为2n =64,=*1解得n=6，6-3 r则其通项公式为C 6r x，令 6 -3r=0,解得 r=2， 则展开式中的常数项为C 62=15故答案为：6，1513. （6分）某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开 门，侧视團 1 1正视團不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是—.[—•如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是 1 •—纟—【解答】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为 4 3 3如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为 上X — J ,4 4 4故答案为：1； • 3 4 14. (6 分)设函数 f (x )=::、 4(x-a) (i-2a), ① 若a=1，则f (x )的最小值为 -1 ; ② 若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是—'a < 1或2当 X V 1 时，f (x ) =2x- 1 为增函数，f (x )>- 1，当 x > 1 时，f (x ) =4 (x - 1) (x - 2) =4 (x 2 - 3x+2) =4 (x -色)2- 1， 2当1VXV ：；时，函数单调递减，当x > 时，函数单调递增， 2 2故当 x=时，f (x ) min =f () =- 1，厶 £ ② 设 h (x ) =2 - a ，g (x ) =4 (x- a ) (x - 2a )若在x v 1时，h (x ) =与 x 轴有一个交点,所以 a >0，并且当 x=1 时，h (1) =2 - a >0，所以 0v a v 2，而函数g (x ) =4 (x - a ) (x - 2a )有一个交点，所以2a > 1，且a v 1， 所以1 < a v 1，2若函数h (x ) =2x - a 在x v 1时，与x 轴没有交点，则函数g (x ) =4 (x - a ) (x - 2a )有两个交点，当a < 0时，h (x )与x 轴无交点，g (x )无交点，所以不满足题意(舍去)，当h (1) =2- a < 0时，即a >2时，g (x )的两个交点满足 *=a , x2=2a ，都是 满足题【解答】 解：①当a=1时, (x )=心 44(x-l) (K -2),意的，综上所述a的取值范围是一三a v 1，或a> 2.2x+2y _4<015. （4分）当实数x, y满足' s-y-l<0时，ax+y w4恒成立，则实数a的取值范围是（-X, ].1—【解答】解：由约束条件作可行域如图联立，解得C （1,色）.x+2y-4=0 2联立，解得 B （2，1）.b+2y-4=0在x-y- 1=0 中取y=0得 A （1，0）.由ax+y< 4 得y w- ax+4要使ax+y w 4恒成立，则平面区域在直线y=- ax+4的下方，若a=0,则不等式等价为y w 4,此时满足条件，若-a>0,即a v 0，平面区域满足条件，若-a v0,即a>0时，要使平面区域在直线y=-ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+1w4,得0v a w g2综上a w2•••实数a的取值范围是（-X,'].2故答案为：（-X,].16. (4分)设数列｛a n｝满足'亠，且对任意的n € N*，满足，一•「.』，201T9孤乂—0>5XF，则她恠—飞——.【解答】解：对任意的n€ N*，满足a n+2 - a n< 2n, a n+4- a n>5X 2n,n+2--a n+4 —a n+2 W 2 ，--5 X 2“ W a n+4 —a n+2+a n+2 —a W 2“ 2+2“=5X 2“，--a n+4 —a n=5x 2 ，a20i7= (a20i7 —a20i3)+ (a20i3 —a2009)+••+ (a5 —a i) +a i=5X( 22013+22009+・・+2)丄2_5X2X (1^04百丄2=2如T,T :: ，n20L7故答案为：-3i7. (4分)已知函数f (x) =ax2 +2x+i，若对任意x€ R, f[f (x) ] >0恒成立, 则实数a的取值范围是a》丄1•.2 —【解答】解：当a=0时，函数 f (x) =2x+i，f[f (x) ] =4x+3，不满足对任意x€ R, f[f (x) ] >0恒成立，当a>0 时，f (x)》2一；=i—丄4a af[f (x)]》f (i-丄)=a (i-丄)2+2 (i -丄)+i= a-丄+i,a a a a解a-1 +i》0 得：a w • ：' I,或a》_「，a 2 2故a》亠,2当a v 0 时，f (x)w - =1 -丄4a a不满足对任意x€ R, f[f (x) ] >0恒成立，综上可得：a>^'2故答案为：a>—2三、解答题：本大题共5小题，共74分■解答应写出文字说明、证明过程或演算过程18•已知函数f (x)二一—讣…「-x- 1 , x€ R.(I)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；(II)在^ ABC中，A, B, C的对边分别为a, b, c,已知c=「, f(C) =1, sinB=2sinA 求a, b的值.【解答】解：由..■,,・::，:-■- ,…(2分)(1)周期为T=n,…(3分)因为；，"」：•：：■'■：：- '■ ! ■..,…(4分)所以——Ik.' -6 3•••函数的单减区间为—1■ 弓bk 兀k€Z ;…(6分)(2)因为< ----：,所以」丄；7 分)所以：:: , a2+b2-ab=3,…(9 分)又因为sinB=2sinA 所以b=2a, ••- (10分)解得：a=1 , b=2 ,••• a , b 的值1 , 2.…(12 分)19.如图,在四面体ABCD中 ,已知/ ABD=Z CBD=60 , AB=BC=2 CE!BD于E(I) 求证：BD丄AC;(U)若平面ABD丄平面CBD且BD总，求二面角C- AD- B的余弦值.2【解答】(I)证明：连接AE,••• AB=BC / ABD=Z CBD, BE是公共边，•••△ABE^A CBE•••/ AEBN CEBv CEL BD , A AE丄BD,又AE?平面ACE CE?平面ACE AE G CE=EA BD丄平面ACE,又AC?平面ACEA BD丄AC.A AD= .i「一HI-.',(2)解：过E作EF L AD于F,连接CF,v平面ABD丄平面BCD, CE?平面BCD 平面ABD A平面BCD二BD CE! BD, A CEL 平面ABD ,又AD?平面ABD ,A CEL AD ,又AD L EF,A AD丄平面CEFA Z CFE为二面角C- AD- B的平面角,v AB=BC=2 Z ABD=Z CBD=60 , AE L BD , CEL BD ,A BE=1, AE二CE=「, DE=：,CF 10面角C- AD- B的余弦值为..20•已知函数.:,.(I)当a=2,求函数f (x)的图象在点(1, f (1))处的切线方程；(U)当a>0时，求函数f (x)的单调区间.【解答】解：(I)根据题意，当a=2时，：心：厂:::，-■.,£f (1) =°;•••函教f (X)的图象在点(1, f (1))处的切线方程为：.-—2(n )由题知，函数 f ( x )的定义域为(o , + %), “、a-1 x -ax+ (a~l) (x-1) (x+l-a):.■：-■： -i I - - ,X X X令 f (x) =0,解得X1=1, X2=a- 1 ,①当a>2时，所以a- 1 > 1,在区间(0, 1)和(a- 1, +x)上f (x)>0；在区间(1, a-1) 上f (x)v0,故函数f (x)的单调递增区间是(0, 1 )和(a- 1, +x),单调递减区间是(1, a- 1).②当a=2时，f (x)> =0恒成立，故函数f (x)的单调递增区间是(0, +x).③当1v a v2 时，a- 1v 1,在区间(0, a- 1),和(1, +^) 上f (x)>0；在(a- 1, 1 )上f (x)v 0,故函数f (x)的单调递增区间是(0, a- 1), (1, +x),单调递减区间是(a-1, 1)④当a=1 时，f (x) =x- 1, x> 1 时f (x)> 0, x v 1 时f (x)v 0, 函数f (x)的单调递增区间是(1, +x),单调递减区间是(0, 1)⑤当0v a v 1时，a- 1 v 0,函数f (x)的单调递增区间是(1, +^ 单调递减区间是(0, 1), 综上，①a>2时函数f (x)的单调递增区间是(0, 1)和(a- 1, +^),单调递减区间是(1, a- 1);②a=2时，函数f (x)的单调递增区间是(0, +x)；③当0v a v2时，函数f (x)的单调递增区间是(0, a- 1), (1, +^),单调递减区间是(a- 1, 1);④当0v a< 1时，函数f (x)的单调递增区间是(1, +^),单调递减区间是(0,1)21. 已知曲线C: y2=4x, M : (x- 1) 2+/=4 (x> 1),直线I与曲线C相交于A, B两点，O为坐标原点.(I)若门二£二二，求证：直线I恒过定点，并求出定点坐标；(n)若直线I与曲线M相切，求”；的取值范围.【解答】解：(I)由已知，可设I: x=my+ n, A (X1, y。

2019-2020学年浙江省杭州市西湖高中高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A B=A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1}参考答案：答案：B2. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为( )A．B．2 C．D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．3. 已知非零向量、满足|+|=|﹣|=||，则+与﹣的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°参考答案：B【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】欲求（+）与（﹣）的夹角，根据公式cos＜，＞=，需表示（+）（﹣）及|+|?|﹣|；由于|+|?|﹣|易于用||表示，所以考虑把（+）（﹣）也用||表示，这需要把已知等式都平方整理即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|=||∴（+）2=（﹣）2=2整理得?=0， 2=2．设（+）与（﹣）的夹角为α，则（+）（﹣）=|+|?|﹣|cosα=2cosα，且（+）（﹣）=2﹣2=2．∴cosα=，解得α=60°．故选B．4. 已知，则，，的大小关系是A． B．C． D．参考答案：A5. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．参考答案：C略6. 已知平面向量，满足（）=5，且||=2，||=1，则向量与夹角的正切值为（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义，即可求出向量、的夹角θ以及θ的正切值．【解答】解：设、的夹角为θ，则θ∈[0，π]，又（）=5，||=2，||=1，∴+?=22+2×1×cosθ=5，解得cosθ=，∴θ=，∴tanθ=，即向量与夹角的正切值为．故选：B．7. 函数的图象大致是参考答案：C8. 设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（?U A）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．?参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合C U A，再计算（C U A）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．9. 在等差数列中，若，则此数列的前13项的和等于A．8 B．13 C．16 D．26参考答案：B10. 某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：A．90% B．95% C．99% D．99.9%附：参考公式和临界值表：参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，，若，则实数k= ．参考答案：－812. 已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝__________.参考答案：略13. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元（用数字作答）．参考答案：【答案解析】解析：因为高峰电费为50×0.568＋150×0.598=118.1元，低谷电费为50×0.288＋50×0.318=30.3元，所以该家庭本月应付的电费为118.1＋30.3=148.4元.【思路点拨】准确把握电费的分段计费特点，分别计算高峰电费及低谷电费，再求和即可.14. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为______________．参考答案：略15. 在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0．若a1+a2≤60，a2+a3≤100，则5a1+a5的最大值为．参考答案：200【考点】等差数列的通项公式．【分析】易得2a1+d≤60，2a1+3d≤100，待定系数可得5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d），由不等式的性质可得．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，又a1+a2≤60，a2+a3≤100，∴2a1+d≤60，2a1+3d≤100，∴5a1+a5=6a1+4d=x（2a1+d）+y（2a1+3d）=（2x+2y）a1+（x+3y）d，∴2x+2y=6，x+3y=4，解得x=，y=，∴5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d）≤=200故答案为：20016. 已知，则函数的零点的个数为_______个.参考答案：517.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

浙江省2019年高考全真模拟卷（一）数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选A.2.若复数满足，在复数的虚部为（）A. B. 1 C. -1 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得，从而可求出z的共轭复数，即可得出结果.【详解】由题意可知，，故，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.3.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.4.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：圆C:(x−1)2+y2=r2(r>0).圆心(1,0)到直线的距离.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x−y+3=0的距离为1，则0<r<3.则p是q的充要条件。

高考模拟试卷数学卷双向细目表题型题号分值考查内容（难易程度）选择题401 4 集合的基本运算（★）2 4 复数的基本运算（★）3 4 简单的二元一次线性规划（★★）4 4 立体几何线面平行、面垂直的性质定理（★★）5 4 斐波那契数列的简单推理（★★）6 4 函数的图像与性质（★★★）7 4 排列组合（★★★）8 4 向量的应用（★★★★）9 4 求曲线的离心率（★★★★）10 4 用函数数形结合（★★★★）填空题36 11 6 抛物线的标准方程（★）12 6 随机变量的期望和方差计算（★★）13 6 三视图求表面积体积（★★）14 6 二项式定理（★★）15 4 考查正弦定理以及切化弦的应用（★★★）16 4 含参绝对值函数恒成立问题（★★★★）17 4 基本不等式与导数综合应用（★★★★★）解答题74 18 14 三角恒等变形及正余弦定理的运用（★★★）19 15 立体几何线面平行的证明及线面角二面角的求解（★★★）20 15 等比数列及数列求和（★★★）21 15 直线与圆锥曲线的综合应用（★★★★★）22 15 函数与导数综合应用（★★★★★）绝密★考试结束前高考模拟试卷数学卷考生须知：1. 本卷满分150分，考试时间120分钟；2. 答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

3. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卷。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立,那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 ()()10,1,2),,(k k n k n n P k C p p k n -==⋯－ 球的表面积公式台体的体积公式 24S R =π11221()3V S S S S h =++ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，343V R =πh 表示为台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

综合检测二(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |x (x －1)≥0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0≤x <1} C ．{x |0<x <1} D ．{x |－1<x <0}答案 C解析 ∵B ＝{x |x (x －1)≥0}＝{x |x ≥1或x ≤0}， ∴∁R B ＝{x |0<x <1}， 又A ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}，故选C.2．已知m ＋3ii ＝n ＋i(m ，n ∈R )，其中i 为虚数单位，则m ＋n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案 A解析 方法一 由已知得m ＋3i ＝i(n ＋i)＝－1＋n i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3，所以m ＋n ＝2，故选A.方法二 m ＋3i i ＝3＋mi ＝3－m i ，则由已知可得3－m i ＝n ＋i.由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3，所以m ＋n ＝2，故选A.3．已知l 1，l 2，l 3是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，若α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，则“l 3⊥l 1，l 3⊥l 2”是“l 3⊥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若l 3⊥l 1，l 3⊥l 2，当l 1∥l 2时，不能得出l 3⊥α；当l 3⊥α时，因为α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，所以l 1⊂α，l 2⊂α，所以l 3⊥l 1，l 3⊥l 2.所以“l 3⊥l 1，l 3⊥l 2”是“l 3⊥α”的必要不充分条件．故选B.4．某学校社团准备从A ，B ，C ，D ，E 5个不同的节目中选3个分别去3个敬老院慰问演出，在每个敬老院表演1个节目，其中A 节目是必选节目，则不同的分配方法共有( ) A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．64种 答案 B解析 从B ，C ，D ，E 4个节目中选2个，有C 24种选法，将选出的2个节目与A 节目全排列，共有A 33种情况，又C 24A 33＝36，所以不同的分配方法共有36种．5．函数f (x )＝1x ＋|ln x |－1的大致图象为( )答案 C解析 设函数g (x )＝x ＋|ln x |－1(x >0，x ≠1)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ln x －1，x >1，x －ln x －1，0<x <1，得g ′(x )＝⎩⎨⎧1＋1x ，x >1，1－1x ，0<x <1，故当x >1时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，f (x )单调递减，且f (x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，f (x )单调递增，故选C.6．已知⎝⎛⎫1＋x210＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 1－2a 2＋…＋9a 9－10a 10等于( ) A.⎝⎛⎭⎫3210B.⎝⎛⎭⎫1210C ．10×⎝⎛⎭⎫129D ．5×⎝⎛⎭⎫129答案 D解析 方法一 由题意，得a 1＝C 110·12，a 2＝C 210·⎝⎛⎭⎫122，…，a 10＝C 1010·⎝⎛⎭⎫1210， 则a 1－2a 2＋…＋9a 9－10a 10＝C 110·12－2C 210·⎝⎛⎭⎫122＋…＋9C 910·⎝⎛⎭⎫129－10C 1010·⎝⎛⎭⎫1210＝10C 09·12－10C 19·⎝⎛⎭⎫122＋…＋10C 89·⎝⎛⎭⎫129－10C 99·⎝⎛⎭⎫1210＝5×⎝⎛⎭⎫1－129.故选D. 方法二 对等式⎝⎛⎭⎫1＋x 210＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10两边求导，得5⎝⎛⎭⎫1＋x 29＝a 1＋2a 2x ＋…＋9a 9x 8＋10a 10x 9，令x ＝－1，则a 1－2a 2＋…＋9a 9－10a 10＝5×⎝⎛⎭⎫129，故选D. 7．已知随机变量X ，Y 的分布列如下(其中x ≠y )，则( )A ．E (X )＝E (Y )，D (X )＝D (Y )B ．E (X )≠E (Y )，D (X )≠D (Y )C ．E (X )·E (Y )>D (X )＋D (Y ) D ．E (X )＋E (Y )<D (X )·D (Y ) 答案 C解析 E (X )＝x 2＋2y 2＝1＋y 2， E (Y )＝2x 2＋y 2＝1＋x 2，D (X )＝x 2(1－y 2－1)2＋y 2(2－1－y 2)2＝x 2y 4＋y 2(y 2－1)2＝x 2y 2， 同理得D (Y )＝x 2y 2，∵x 2＋y 2＝1，∴x 2＋y 2≥2x 2y 2，∴x 2y 2≤14，∴E (X )·E (Y )＝(1＋y 2)(1＋x 2)＝2＋x 2y 2>2x 2y 2＝D (X )＋D (Y )， E (X )＋E (Y )＝3>116≥(x 2y 2)2＝D (X )·D (Y )，故选C.8．已知向量a ，b 满足|2a ＋b |＝3，且a ·(a －b )＝3，则|a －b |的最小值为( ) A.33＋52 B.33－52 C.35＋32 D.35－32答案 D解析 方法一 由a ·(a －b )＝3， 得[(2a ＋b )＋(a －b )]·(a －b )＝9， 即(2a ＋b )·(a －b )＋|a －b |2＝9， 设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则(2a ＋b )·(a －b )＝|2a ＋b |·|a －b |·cos θ∈[－3|a －b |,3|a －b |]， 所以－3|a －b |≤9－|a －b |2≤3|a －b |，解得35－32≤|a －b |≤35＋32，所以|a －b |的最小值为35－32.方法二 如图，设a ＝MA →，b ＝MB →，由|2a ＋b |＝3， 得⎪⎪⎪⎪23a ＋13b ＝1， 取靠近A 的AB 的三等分点C ， 则MC →＝23a ＋13b ，所以|MC →|＝1.由a ·(a －b )＝3，得MA →·CA →＝1.以MC 所在直线为x 轴，线段MC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则M ⎝⎛⎭⎫－12，0，C ⎝⎛⎭⎫12，0， 设A (x ，y )，则由MA →·CA →＝1，得x 2＋y 2＝54，所以点A 的轨迹是以O (0,0)为圆心，52为半径的圆， 易知点C 在该圆内，所以|AC |的最小值为5－12， 所以|AB |的最小值为35－32，即|a －b |的最小值为35－32.9．已知P 为双曲线x 24－y 25＝1上一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝14及其关于y 轴对称的圆上的两点，则|PM |－|PN |的取值范围为( ) A ．[－5,5] B ．[－5，－3]∪[3,5] C ．(－3,3) D ．[－3,3]答案 B解析 由题意知，点M 在圆(x ＋3)2＋y 2＝14上，点N 在圆(x －3)2＋y 2＝14上，设双曲线x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，则F 1(－3,0)，F 2(3,0)，易知F 1，F 2分别为两个圆的圆心，连接PF 1，MF 1，PF 2，NF 2，则|PF 1|－|MF 1|≤|PM |≤|PF 1|＋|MF 1|，|PF 2|－|NF 2|≤|PN |≤|PF 2|＋|NF 2|，所以|PF 1|－|PF 2|－1≤|PM |－|PN |≤|PF 1|－|PF 2|＋1，而|PF 1|－|PF 2|＝±4，所以－5≤|PM |－|PN |≤－3或3≤|PM |－|PN |≤5.10．如图1，已知正三角形ABC 的边长为6，O 是底边BC 的中点，D 是AB 边上一点，且AD ＝2，将△AOC 绕着直线AO 旋转，在旋转过程中，若DC 的长度在[19，22]内变化，如图2，则点C 所形成的轨迹的长度为( )A.π2B.3π4 C ．π D.3π2 答案 A解析 方法一 ∵△ABC 为正三角形，O 为BC 的中点， ∴AO ⊥OB ，AO ⊥OC ，∴∠BOC 是二面角B －AO －C 的平面角，记∠BOC ＝θ.如图，过点D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，连接CE ，则DE ∥AO ，OE ＝1，OC ＝3，DE ＝23AO＝23，则DC →＝DE →＋EO →＋OC →，其中〈OE →·OC →〉＝θ，即〈EO →，OC →〉＝π－θ，∴DC →2＝(DE →＋EO →＋OC →)2＝DE →2＋EO →2＋OC →2＋2EO →·OC →＝(23)2＋12＋32＋2×1×3×cos 〈EO →，OC →〉＝22－6cos θ，则DC →2＝22－6cos θ∈[19,22]，即cos θ∈⎣⎡⎦⎤0，12， 即点C 转过的角度为π2－π3＝π6.点C 的轨迹为以O 为圆心，以OC 为半径的一段圆弧，弧长为3×π6＝π2.方法二 ∵△ABC 为正三角形，O 为BC 的中点， ∴AO ⊥OB ，AO ⊥OC ，∴∠BOC 是二面角B －AO －C 的平面角，记∠BOC ＝θ.如图，过点D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，连接CE ，则DE ∥AO ，OE ＝1，OC ＝3，DE ＝23AO＝23，则EC 2＝OC 2＋OE 2－2OC ·OE ·cos θ＝10－6cos θ，在Rt △DCE 中，DC 2＝DE 2＋EC 2＝(23)2＋10－6cos θ＝22－6cos θ，则DC 2＝22－ 6cos θ∈[19,22]，即cos θ∈⎣⎡⎦⎤0，12，即点C 转过的角度为π2－π3＝π6. 点C 的轨迹为以O 为圆心，以OC 为半径的一段圆弧，弧长为3×π6＝π2.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早一千年．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．已知某“鳖臑”的三视图(单位：cm)如图所示，则该“鳖臑”的体积是________ cm 3.答案 10解析 由三视图结合“鳖臑”的定义易得该几何体为一个底面为直角边长分别为3,4，高为5，且顶点在底面的射影为直角三角形中最小的角的顶点，则其体积为13×12×3×4×5＝10cm 3.12．已知等比数列{a n }的公比q >0，前n 项和为S n .若2(a 5－a 3－a 4)＝a 4，且a 2a 4a 6＝64，则q ＝________，S n ＝________. 答案 2 2n －12解析 ∵2(a 5－a 3－a 4)＝a 4，∴2a 5＝2a 3＋3a 4⇒2q 4＝2q 2＋3q 3⇒2q 2－3q －2＝0， 得q ＝－12(舍去)或q ＝2.∵a 2a 4a 6＝64，∴a 34＝64⇒a 4＝4， ∴a 1＝12，S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －12.13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，则约束条件表示的可行域的面积为________，目标函数z ＝x －y ＋3的取值范围为________． 答案 34[2,3]解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则A (0,1)，B (2,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，12， 易知AC ⊥BC ， 则可行域的面积 S ＝12·|AC |·|BC |＝34. 因为z ＝x －y ＋3，所以y ＝x －z ＋3，数形结合知，当直线y ＝x －z ＋3与直线BC 重合时，z 取得最大值3，当直线y ＝x －z ＋3经过点A 时，z 取得最小值2，所以z ∈[2,3]．14．已知函数f (x )＝|2x －1|，g (x )＝|2x ＋a |(a ∈R )，则不等式f (x )≤3的解集为________；若不等式f (x )＋g (x )≥6对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________________________．答案 [－1,2] (－∞，－7]∪[5，＋∞)解析 f (x )≤3，即|2x －1|≤3，即－3≤2x －1≤3， 解得－1≤x ≤2，所以不等式f (x )≤3的解集为[－1,2]． 因为f (x )＋g (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a | ≥|2x －1－2x －a |＝|a ＋1|，所以要使不等式f (x )＋g (x )≥6对任意的x ∈R 恒成立，则|a ＋1|≥6，解得a ≤－7或a ≥5.15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝2B ，则sin B ＝________，c ＝________. 答案74 52解析 ∵a ＝3，b ＝2，A ＝2B ， ∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 得，3sin 2B ＝2sin B ，即32sin B cos B ＝2sin B， ∵B 为△ABC 的一个内角，∴sin B >0，∴cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74. 由二倍角公式知，sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×74×34＝378， cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝18.方法一 ∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝916，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝254，∴c ＝52.方法二 ∵sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5716，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得3378＝c 5716，∴c ＝52.16．已知x ，y ，z 均为正实数，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则xy ＋2yz 的最大值为________． 答案52解析 由已知条件x 2＋y 2＋z 2＝1， 可设1＝x 2＋λy 2＋(1－λ)y 2＋z 2,0<λ<1， 即得1≥2λxy ＋2(1－λ)yz ， 令2λ1＝21－λ2，解得λ＝15，所以255xy ＋455yz ≤1，即xy ＋2yz ≤52，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝15y 2，45y 2＝z 2，x 2＋y 2＋z 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010，y ＝22，z ＝105时等号成立．17．已知函数f (x )＝x ＋1x ，若对于任意的m ∈R ，方程|f (m ＋x )|＋|f (m －x )|＝a 均有解，则a的取值范围是________． 答案 [4，＋∞)解析 令g (x )＝|f (m ＋x )|＋|f (m －x )|， ∴g (－x )＝|f (m －x )|＋|f (m ＋x )|＝g (x )， ∴g (x )是偶函数，设x >0， ①若m >0，当x <m 时，g (x )＝(x ＋m )＋1x ＋m ＋(m －x )＋1m －x ＝2m ＋1m ＋x ＋1m －x ＝2m ＋2mm 2－x 2>2⎝⎛⎭⎫m ＋1m ≥4；当x >m 时，g (x )＝(x ＋m )＋1x ＋m ＋(x －m )＋1x －m ＝2x ＋1x ＋m ＋1x －m ＝2x ＋2x x 2－m 2>2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4.②若m <0，则－m >0，当x <－m 时，g (x )＝－(x ＋m )－1x ＋m －(m －x )－1m －x＝－2m －⎝⎛⎭⎫1m ＋x ＋1m －x ＝－2m －2mm 2－x 2>2⎣⎡⎦⎤(－m )＋1(－m )≥4；当x >－m 时，g (x )＝(x ＋m )＋1x ＋m ＋(x －m )＋1x －m ＝2x ＋1x ＋m ＋1x －m ＝2x ＋2x x 2－m 2>2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4.③若m ＝0，g (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4. 又g (x )是偶函数，∴当x <0时，g (x )＝g (－x )≥4. 综上，g (x )≥4.∴要使方程g (x )＝a 有解，只需a ≥4即可， ∴所求a 的取值范围是[4，＋∞)．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)(2019·台州模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－23sin x cos x (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g (x )的图象，试求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－23sin x cos x ＝32sin 2x ＋12cos 2x －3sin 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π3＝－32. (2)g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 所以当2x ＋π6＝π，即x ＝5π12时，g (x )取最小值，此时g (x )min ＝－1.19．(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，DB ⊥平面P AB ，∠ABP ＝120°，AB ∥CD ，CD ＝BD ＝AB ＝BP ＝2，E 为AP 的中点． (1)求证：PC ∥平面BDE ；(2)求直线DE 与平面PCD 所成角的正弦值．(1)证明方法一连接AC交BD于点F，连接EF，则EF为△ACP的中位线，所以EF∥PC，又EF⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE.方法二因为AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC且AD＝BC，故可将四棱锥P－ABCD补形成三棱柱P AB－KDC，如图，取DK的中点Q，连接QC，PQ，EQ.易知DQ∥EP，DQ＝EP，所以四边形PEDQ为平行四边形，所以DE∥PQ，又DE⊂平面BDE，PQ⊄平面BDE，所以PQ∥平面BDE.又DQ∥AE，DQ＝AE，所以四边形ADQE为平行四边形，所以AD∥EQ，AD＝EQ，又AD∥BC，AD＝BC，∴EQ∥BC，EQ＝BC，所以四边形BEQC为平行四边形，所以BE∥QC，又BE⊂平面BDE，QC⊄平面BDE，所以QC∥平面BDE.又PQ∩QC＝Q，所以平面PQC∥平面BDE.又PC⊂平面PQC，所以PC∥BDE.(2)解方法一由(1)中方法二可知DE∥PQ，所以直线DE与平面PCD所成的角就是直线PQ与平面PCD所成的角，设直线PQ与平面PCD所成的角为θ，点Q到平面PCD的距离为h.连接AC交BD于点F，连接EF，易知EF＝2，PC＝22，PQ＝5，在△CDP中，DP＝22＝PC，CD＝2，所以S△CDP＝12×2×7＝7，易知S △CDQ ＝12×1×3＝32， 因为V P －CDQ ＝V Q －CDP ， 所以13×S △CDQ ×BD ＝13×S △CDP ×h ， 所以h ＝217.所以sin θ＝h PQ ＝2175＝10535， 所以直线DE 与平面PCD 所成角的正弦值为10535. 方法二 在△BAP 中，AB ＝BP ＝2，E 为AP 的中点，∠ABP ＝120°，所以BE ⊥AP ，以E 为坐标原点，EB →，EA →的方向分别为x ，y 轴的正方向，过点E 且平行于DB 的直线为z轴，且BD →的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则E (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0，3，0)，P (0，－3，0)，D (1,0,2)， 所以PD →＝(1，3，2)，DC →＝AB →＝(1，－3，0)，ED →＝(1,0,2)，设直线DE 与平面PCD 所成的角为θ，平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，PD →·n ＝0，得⎩⎨⎧x －3y ＝0，x ＋3y ＋2z ＝0，取y ＝1，得x ＝3，z ＝－3，所以n ＝(3，1，－3)为平面PCD 的一个法向量，所以sin θ＝|n ·ED →||n ||ED →|＝|3＋0－23|7×5＝10535， 所以直线DE 与平面PCD 所成角的正弦值为10535. 20．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＝2a n ＋3，S 3＝3，数列{b n }为等比数列，b 1＋b 3＝10a 3，b 2＋b 4＝10a 6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝b n (b n －1＋1)(b n ＋1)(b n ＋1＋1)，求数列{c n }的前n 项和T n ，并求使得T n <λ2－116λ恒成立的实数λ的取值范围．解 (1)由{a n }为等差数列可得，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝3，故a 2＝1.由a 2n ＝2a n ＋3可得a 2＝2a 1＋3，故1＝2a 1＋3，解得a 1＝－1.所以数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝1－(－1)＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1＋2(n －1)＝2n －3.故a 3＝2×3－3＝3，a 6＝2×6－3＝9.设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知可得b 1＋b 3＝10a 3＝30，b 2＋b 4＝10a 6＝90.所以q ＝b 2＋b 4b 1＋b 3＝9030＝3， 故b 1＋b 3＝b 1＋b 1×32＝30，解得b 1＝3.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3×3n －1＝3n . (2)由(1)可知，c n ＝3n(3n －1＋1)(3n ＋1)(3n ＋1＋1)＝13n ＋1×3n(3n －1＋1)(3n ＋1＋1)＝13n＋1×38⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1＋1 ＝38⎣⎡⎦⎤1(3n －1＋1)(3n ＋1)－1(3n ＋1)(3n ＋1＋1). 所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝38⎝⎛⎭⎫12×4－14×10＋38⎝⎛⎭⎫14×10－110×28＋…＋ 38⎣⎡⎦⎤1(3n －1＋1)(3n ＋1)－1(3n ＋1)(3n ＋1＋1) ＝38⎣⎡12×4－14×10＋14×10－110×28＋…＋ ⎦⎤1(3n －1＋1)(3n ＋1)－1(3n ＋1)(3n ＋1＋1) ＝38⎣⎡⎦⎤12×4－1(3n ＋1)(3n ＋1＋1) ＝38⎣⎡⎦⎤18－1(3n ＋1)(3n ＋1＋1). 因为1(3n ＋1)(3n ＋1＋1)>0，所以T n <38×18＝364. 故由T n <λ2－116λ恒成立可得λ2－116λ≥364， 即64λ2－4λ－3≥0，也就是(4λ－1)(16λ＋3)≥0，解得λ≤－316或λ≥14. 21.(15分)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 是椭圆C ：4x 23＋y 2＝1的一个焦点．(1)求抛物线E 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，抛物线E 在点P 处的切线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，直线y ＝－43与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ，OM 与直线l 交于点D . ①求证：直线OM 平分线段AB ；②若直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，是否存在点P ，使得S 1S 2取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (1)解 根据题意，F ⎝⎛⎭⎫0，12， 所以抛物线E 的方程为x 2＝2y .(2)①证明 设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y 可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )，即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝mx －m 22，4x 23＋y 2＝1，得(3m 2＋4)x 2－3m 3x ＋3m 44－3＝0， 所以x 1＋x 2＝3m 33m 2＋4. 又M ⎝⎛⎭⎫m ，－43，所以OM 的方程为y ＝－43mx ， 由⎩⎨⎧ y ＝－43m x ，y ＝mx －m 22，得直线OM 与l 的交点的横坐标为x D ＝3m 36m 2＋8，故x D ＝x 1＋x 22，所以直线OM 平分线段AB .②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22(m >0)， 所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22，所以P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 36m 2＋8，－2m 23m 2＋4，M ⎝⎛⎭⎫m ，－43， 所以S 1＝12|GF |m ＝14m (m 2＋1)， S 2＝12|PM |·|m －x D |＝m (3m 2＋8)224(3m 2＋4)， 所以S 1S 2＝6(3m 2＋4)(m 2＋1)(3m 2＋8)2. 令t ＝3m 2＋8，则S 1S 2＝2(t －4)(t －5)t 2＝40⎝⎛⎭⎫1t －9402－140， 又对于(3m 2＋4)x 2－3m 3x ＋3m 44－3＝0，Δ>0， 即(－3m 3)2－4(3m 2＋4)⎝⎛⎭⎫3m 44－3>0， 所以0<m 2<4，所以t ＝3m 2＋8，1t ∈⎝⎛⎭⎫120，18， 故S 1S 2不存在最小值，即不存在点P ，使得S 1S 2取得最小值． 22．(15分)已知函数f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2.(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若a <－17，求证：当x ≥0时，f (x )<0. (1)解 因为f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2，所以f ′(x )＝(ax 2＋4ax ＋2a ＋1)e x ，令u (x )＝ax 2＋4ax ＋2a ＋1，①当a ＝0时，u (x )>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a >0时，Δ＝(4a )2－4a (2a ＋1)＝4a (2a －1)，(i)当a >12时，Δ>0，令u (x )＝0，得 x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a，且x 1<x 2， 所以当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)时，u (x )>0，f ′(x )>0，当x ∈(x 1，x 2)时，u (x )<0，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a －2a 2－a a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a . (ii)当0<a ≤12时，Δ≤0，所以u (x )≥0，f ′(x )≥0， 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．③当a <0时，Δ>0，令u (x )＝0，得x 1＝－2a －2a 2－a a ，x 2＝－2a ＋2a 2－a a，且x 2<x 1， 所以当x ∈(x 2，x 1)时，u (x )>0，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，x 2)∪(x 1，＋∞)时，u (x )<0，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a ＋2a 2－a a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，＋∞. 综上，当a >12时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a －2a 2－a a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，－2a ＋2a 2－a a ； 当0≤a ≤12时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋2a 2－a a ，－2a －2a 2－a a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a ＋2a 2－a a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －2a 2－a a ，＋∞. (2)证明 方法一 由(1)得，x 1＝－2a －2a 2－a a， x 2＝－2a ＋2a 2－a a. ①当a ≤－12时，由(1)知f (x )在(x 1，＋∞)上单调递减， 因为x 1＝－2a －2a 2－a a＝－2＋ 2－1a≤0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当x ≥0时，f (x )≤f (0)＝－1<0.②当－12<a <－17时，由(1)知f (x )在(x 2，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，因为x 1＝－2a －2a 2－a a＝－2＋ 2－1a ∈(0,1)， x 2＝－2a ＋2a 2－a a ＝－2－ 2－1a<0， 所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以当x ≥0时，f (x )max ＝f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)1xe －2， 因为ax 21＋4ax 1＋2a ＋1＝0，所以ax 21＝－4ax 1－2a －1，且a ＝－1x 21＋4x 1＋2， 所以f (x 1)＝(ax 21＋2ax 1＋1)1x e －2＝－2a (x 1＋1)1x e －2＝2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋2·1x e －2. 所以要证f (x )<0，只需证2(x 1＋1)x 21＋4x 1＋21x e －2<0， 即证(x 1＋1)1xe －x 21－4x 1－2<0.设g (x )＝(x ＋1)e x －x 2－4x －2，x ∈(0,1)，则g ′(x )＝(x ＋2)e x －2x －4＝(x ＋2)(e x －2)，所以当x ∈(0，ln 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，ln 2)上单调递减，当x ∈(ln 2,1)时，g ′(x )>0，g (x )在(ln 2,1)上单调递增，因为g (0)＝－1<0，g (1)＝2e －7<0，所以当x ∈(0,1)时，恒有g (x )<0.又x 1∈(0,1)，所以g (x 1)<0，即f (x 1)<0，从而当x ≥0时，f (x )≤f (x 1)<0.综上，若a <－17，当x ≥0时，f (x )<0. 方法二 f (x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x －2＝a e x (x 2＋2x )＋e x －2，令φ(a )＝a e x (x 2＋2x )＋e x －2，显然当x ≥0时，e x (x 2＋2x )≥0，所以当a <－17时，φ(a )<φ⎝⎛⎭⎫－17＝－e x (x 2＋2x )7＋e x －2. 所以要证当x ≥0时，f (x )<0，只需证当x ≥0时，－e x (x 2＋2x )7＋e x －2≤0， 即证当x ≥0时，e x (x 2＋2x －7)＋14≥0.令g (x )＝e x (x 2＋2x －7)＋14，则g ′(x )＝e x (x 2＋4x －5)＝(x －1)(x ＋5)e x ，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x≥0时，g(x)≥g(1)＝14－4e>0，从而当x≥0时，f(x)<0.。