计算结构力学课程讲义
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《结构⼒学》复习讲义第⼀讲平⾯体系的⼏何组成分析及静定结构受⼒分析【内容提要】平⾯体系的基本概念,⼏何不变体系的组成规律及其应⽤。
静定结构受⼒分析⽅法,反⼒、内⼒计算与内⼒图绘制,静定结构特性及其应⽤。
【重点、难点】静定结构受⼒分析⽅法,反⼒、内⼒计算与内⼒图绘制⼀、平⾯体系的⼏何组成分析(⼀)⼏何组成分析按机械运动和⼏何学的观点,对结构或体系的组成形式进⾏分析。
(⼆)刚⽚结构由杆(构)件组成,在⼏何分析时,不考虑杆件微⼩应变的影响,即每根杆件当做刚⽚。
(三)⼏何不变体系体系的形状(或构成结构各杆的相对位置)保持不变,称为⼏何不变体系,如图6-1-1 (四)⼏何可变体系体系的位置和形状可以改变的结构,如图6-1-2。
图6-1-1 图6-1-2(五)⾃由度确定体系位置所需的独⽴运动参数数⽬。
如⼀个刚⽚在平⾯内具有3个⾃由度。
(六)约束减少体系独⽴运动参数(⾃由度)的装置。
1.外部约束指体系与基础之间的约束,如链杆(或称活动铰),⽀座(固定铰、定向铰、固定⽀座)。
2.内部约束指体系内部各杆间的联系,如铰接点,刚接点,链杆。
规则⼀:⼀根链杆相当于⼀个约束。
规则⼆:⼀个单铰(只连接2个刚⽚)相当于两个约束。
推论:⼀个连接n 个刚⽚的铰(复铰)相当于(n- 1)个单铰。
规则三:⼀个单刚性结点相当于三个约束。
推论:⼀个连接个刚⽚的复刚性结点相当于( n- 1)个单刚性结点。
3.必要约束如果在体系中增加⼀个约束,体系减少⼀个⾃由度,则此约束为必要约束。
4.多余约束如果体系中增加⼀个约束,对体系的独⽴运动参数⽆影响,则此约束称为多余约束。
(七)等效作⽤1.虚铰两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为(单)虚铰,其作⽤与实铰相同。
平⾏链杆的交点在⽆限远处。
2.等效刚⽚⼀个内部⼏何不变的体系,可⽤⼀个刚⽚来代替。
3.等效链杆。
两端为铰的⾮直线形杆,可⽤⼀连接两铰的直线链杆代⼆、⼏何组成分析(⼀)⼏何不变体系组成的基本规则1.两刚⽚规则平⾯两刚⽚⽤不相交于⼀点的三根链杆连接成的体系,是内部⼏何不变且⽆多余约束的体系。
结构力学讲义第1章绪论§1-1 杆件结构力学的研究对象和任务结构的定义: 建筑物中支承荷载而起骨架作用的部分。
结构的几何分类:按结构的空间特征分类:空间结构和平面结构。
杆件结构力学的任务:(1)讨论结构组成规律与合理形式,以及结构计算简图的合理选择;(2)内力与变形的计算方法.进行结构的强度和刚度验算;(3)讨论结构稳定性及在动力荷载作用下的结构反应。
结构力学的内容(从解决工程实际问题的角度提出)(1) 将实际结构抽象为计算简图;(2) 各种计算简图的计算方法;(3) 将计算结果运用于设计和施工。
§1-2 杆件结构的计算简图1.结构体系的简化一般的构结都是空间结构。
但是,当空间结构在某一平面内的杆系结构承担该平面内的荷载时,可以把空间结构分解成几个平面结构进行计算。
本课程主要讨论平面结构的计算。
当然,也有一些结构具有明显的空间特征而不宜简化成平面结构。
2.杆件的简化铰支座(2) 滚轴支座(3) 固定支座4.(4)定向支座M5.材料性质的简化将结构材料视为连续、均匀、各向同性、理想弹性或理想弹塑性。
6.荷载的简化集中荷载与分布荷载§1-3 杆件结构的类型§1-4 荷载的分类2.4.刚架5.组合结构6.A B荷载可分为恒载和活载。
一、按作用时间的久暂荷载可分为集中荷载和分布荷载 荷载可分为静力荷载和动力荷载 荷载可分为固定荷载和移动荷载。
二、按荷载的作用范围三、按荷载作用的性质四、按荷载位置的变化• §2-1 几何组成分析的目的和概念几何构造分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变,或者如何保证它成为几何不变体系,只有几何不变体系才可以作为结构。
几何不变体系:不考虑材料应变条件下,体系的几何形状和位置保持不变的体系一、几何不变体系和几何可变体系几何可变体系:不考虑材料应变条件下,体系的几何形状和位置可以改变的体系。
二、自由度杆系结构是由结点和杆件构成的,我们可以抽象为点和线,分析一个体系的运动,必须先研究构成体系的点和线的运动。
第1章绪论1.1 课程内容(1) 研究内容本课程主要研究工程结构计算机分析(数值分析)的常用方法——有限单元法、加权残数(余量)法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。
(2) 参考书籍课程的主要参考书籍如下:唐锦春,孙炳楠,郭鼎康,计算结构力学,浙江大学出版社,1989丁皓江, 谢贻权, 何福保,弹性和塑性力学中的有限单元法,机械工业出版社,1989王勖成,有限单元法,清华大学出版社,2003王勖成,邵敏,有限单元法基本原理与数值方法,第二版,清华大学出版社,1997徐次达,固体力学加权残数法,同济大学出版社,1987孙炳楠,项玉寅,张永元,工程中边界单元法及其应用,浙江大学出版社,1991 Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996.Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001.Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978.Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002.1.2 结构分析方法概述一个工程技术问题总可由一组基本方程(通常是微分方程)加一组边界条件描述,即由下式给出:基本方程:L(u)-p=0,∈V(域内)边界条件:B(u)-g=0,∈S(边界)式中L、B为算子,p、g为已知函数。
工程技术问题的常用分析方法有:(1) 解析方法只适用于少数简单问题,即形状规则且外部作用(如外荷载)简单的结构分析问题。
第一章绪论§1.1 结构和结构的分类一、结构(structure)由建筑材料筑成,能承受、传递荷载而起骨架作用的构筑物称为工程结构。
如:梁柱结构、桥梁、涵洞、水坝、挡土墙等等。
二、结构的分类:按几何形状结构可分为:1、杆系结构(structure of bar system) :构件的横截面尺寸<<长度尺寸;2、板壳结构(plate and shell structure) :构件的厚度<<表面尺寸。
3、实体结构(massive structure) :结构的长、宽、厚三个尺寸相仿。
三、杆系结构的分类:按连接方法,杆系结构可分为:§1.2 结构力学的研究对象、任务和方法一、各力学课程的比较:二、结构力学的任务:1、研究荷载等因素在结构中所产生的内力(强度计算);2、计算荷载等因素所产生的变形(刚度计算);3、分析结构的稳定性(稳定性计算);4、探讨结构的组成规律及合理形式。
进行强度、稳定性计算的目的,在于保证结构满足安全和经济的要求。
计算刚度的目的,在于保证结构不至于发生过大的变形,以至于影响正常使用。
研究组成规律目的,在于保证结构各部分,不至于发生相对的刚体运动,而能承受荷载维持平衡。
探讨结构合理的形式,是为了有效地利用材料,使其性能得到充分发挥。
三、研究方法:在小变形、材料满足虎克定律的假设下综合考虑:1、静力平衡;2、几何连续;3、物理关系三方面的条件,建立各种计算方法。
§1.3 结构的计算简图(computing model of structure )一、选取结构的计算简图必要性、重要性:将实际结构作适当地简化,忽略次要因素,显示其基本的特点。
这种代替实际结构的简化图形,称为结构的计算简图。
合理地选取结构的计算简图是结构计算中的一项极其重要而又必须首先解决的问题。
二、选取结构的计算简图的原则:1、能反映结构的实际受力特点,使计算结果接近实际情况。
第三节 静定结构位移计算一、广义力和广义位移以各种不同方式作用在结构上的力,如集中力、集中力偶、分布力、分布力偶等都称为广义力,它可以是外力,也可以是内力。
与广义力对应的位移称为广义位移。
或能唯一地决定结构几何位置改变的彼此独立的量称为广义位移,如线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等。
本节主要介绍静定结构在广义力、温度变化、支座位移等因素作用下的广义位移计算。
二、变形体系的虚功原理变形体系的虚功原理可表述为:变形体系处于平衡的必要和充分条件是:在满足体系变形协调条件和位移边界条件的任意微小虚位移过程中,变形体系上所有外力所做虚功的总和(W 外),等于变形体系中各微段截面上的内力在其变形上所做虚功的总和(W 变),即W 外=W 变 (3—1)⎰⎰⎰∑+∑+∑=∑+∆∑ηθVd Md Nd RC P u (3—2)上式也称为变形体系的虚功方程。
式中P 为作虚功的广义力,Δ为与P 相应的广义 位移;C 是支座的线位移或角位移,R 是与C 相应的作虚功的支座反力或反力矩;M 、N 、V 分别表示作虚功的平衡力系中微段上的弯矩、轴向力、剪力;d θ、d u 、d η分别表示虚位移状态中同一微段的弯曲变形、轴向变形、平均剪切变形。
对变形体系虚功方程(3—2)应注意理解以下几点:(1)刚体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一种特殊情况,对刚体系来讲,W 变= 0,式(3—2)即成为刚体系虚功方程。
(2)式(3—2)是一个既可作为几何方程(变形协调方程),又可作为平衡方程的综合性方程。
例如当受力平衡状态为实际状态,位移状态为虚设状态时,变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚位移原理,可利用它来求解受力平衡状态中的未知力,这时的虚功方程,实质上代表平衡方程;当位移状态为实际状态,受力平衡状态为虚设状态时,变形体系的虚功原理就称为变形体系的虚力原理,可利用它来求解位移状态中的未知位移,此时的虚功方程,实质上代表几何方程。
结构力学教案第一章 绪论§1、结构力学的对象和任务 一、对象结构:承受并传递荷载的骨架部分结构分为:杆件结构,板壳结构和实体结构。
是由长度远大于其宽度和高度的杆件组成的结构。
二、任务(1)结构组成规则和合理形式。
(2)结构内力和位移计算。
(3)结构稳定性和结构反应。
§2、杆件结构的计算简图 一、简化内容(1)杆件的简化: 杆件的轴线 (2)体系简化:空间结构 平面结构 (3)荷载简化:集中力、集中力偶、分布荷载 (4)结点简化:⎪⎩⎪⎨⎧组合结点。
半铰结点:处产生相对转动。
所连接各杆不能在结点刚结点:动。
所连接各杆可以自由转铰结点:(5)支座简化:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧滑动支座或定向支座:固定支座固定铰支:活动铰支:;支座外形、受力和位移特点§3、杆件结构分类 (1) 梁:受弯构件(2) 拱:受力产生水平推力。
(3) 刚架:由直杆组成并具有刚结点。
(4) 桁架:由直杆组成且所有结点均为铰结点。
仅有轴力。
(5) 组合结构:由桁架和梁或刚架组合在一起的结构。
静定结构和超静定结构划分:第二章 平面体系几何构造分析考核要求:1、准确计算体系自由度2、运用三个简单组成规则进行几何构造分析§1、基本概念一、构造分析的基本假定:不考虑材料变形,即∞=EA二、几何不变和几何可变体系:刚体或刚片。
(形状可以任意代替)几何不变体系:在任意荷载作用下,几何形状及位置均保持不变的体系。
常变体系和瞬变体系。
§2、平面体系自由度一、自由度:确定体系位置所需的独立坐标数二、约束或联系:减少自由度的装置。
约束:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧复铰单铰铰链杆结论:(1)一根连杆为一个约束。
(2)一个单铰为两个约束。
(3)连接n 个刚片的复铰相当于n-1个单铰。
三、计算自由度 (1)一般平面体系)2(3r h m W +-=连杆个数单铰个数)刚片个数(不包括地基计算自由度----r h m W例题:图2-4。
《结构力学》复习讲义要点第一部分:力学基础1. 力学的基本概念:质点、力、力的性质、力的合成与分解、力的共线条件等。
2. 刚体力学:平动与转动、力矩、角动量、转动惯量、力矩的几何与代数相等条件等。
3. 静力学:平衡条件、力偶、杆条受力分析、平衡多边形等。
第二部分:截面力学1. 杆件截面特征:截面形状、截面形心、截面面积、截面宽度、截面模数等。
2. 拉压杆截面特征:杆轴力计算、细长杆的安全系数、压杆的稳定性、杆件受拉压状态分析等。
3. 扭转杆截面特征:杆件受扭力分析、圆形截面的极限扭矩、扭转角的计算等。
4. 弯曲杆截面特征:直线梁与弧形梁的受力分析、力的截面矩阵表示、梁截面的正向弯矩与反向弯矩、杨氏梁受力分析等。
第三部分:结构受力分析1. 杆系内力分析:截面法则、杆系的内力与外力关系、榀杆的变形与位移、杆系内力的计算等。
2. 杆系的受力分析:平衡条件的写法、平面结构与空间结构的受力分析、杆系的平面剪力图与弯矩图、受力分析的极端情况等。
3. 简支梁:梁的受力分析、悬臂梁的转角计算、剪力与弯矩图表、弹性线与弯矩-曲率关系等。
4. 悬链线与悬链线梁:悬链线形状方程、悬链线的性质与应用、悬链线梁的分析等。
第四部分:梁的变形1. 杆系的变形:位移分量的约束关系、虚功原理、单杆件的变形与位移、受约束的杆件变形计算等。
2. 弹性力学基本方程:胡克定律、弹性应变能、变形力、应变与变形的关系、应力分析与位移分析等。
3. 简支梁的本构关系:平衡微分方程、简支梁的自由振动、简支梁的拟静状态、简支梁的弹性力学与变形等。
第五部分:结构稳定性1. 稳定性基本概念:平衡与稳定的关系、平衡的稳定性判定、等效单轴刚度、曲线弯矩法等。
2. 简支梁的稳定性:轴力屈曲、弯曲屈曲与扭转屈曲、边界条件与截面要求等。
3. 大变形理论:弹性力学与大变形理论的区别、弹性线的切线方向、悬臂梁的大变形计算等。
总结:这份复习讲义总结了《结构力学》的核心要点,包含了力学基础、截面力学、结构受力分析、梁的变形和结构稳定性的内容。
结构力学讲稿第一篇:结构力学讲稿第一章绪论§1-1结构力学的研究对象和任务一、力:物体之间的相互作用;力学:理论力学,弹性力学,材料力学,结构力学,塑性力学,粘塑性力学,液体力学,断裂力学等结构:用建筑材料组成在建筑物中承担荷载并起骨架作用的部分,称为结构。
如梁、柱、楼板、桥梁、堤坝及码头等。
结构力学:研究杆件结构的组成形式及外因作用下的强度、刚度和稳定性问题。
构件:结构中的各个组成部分称为构件。
二、结构的类型:从结构型式划分:砖混结构、框架结构、框架剪力墙结构、框剪结构、筒体结构等;从建筑材料划分:砖石结构、混凝土结构、钢筋混凝土结构、钢结构、组合结构等;从空间角度划分:平面结构、空间结构等以上结构从几何角度来分,有:杆系结构:由杆件组成,杆件的长度远大于其横截面的宽度和高度,这是本课的研究内容。
板壳结构:厚度尺寸远小于长度和宽度,即薄壁结构;弹性力学实体结构:长、宽、高三个几何尺寸属于同一数量级;弹性力学结构力学研究对象:平面杆系结构注:结构力学:常指狭义的方面,即杆件结构力学。
三、任务:(土木工程项目建设过程)1)业主投资:可行性研究、报建立项、城建规划土地批文、招标投标2)设计:方案、(工艺)、建筑、结构、设备(水暖电火自控)[初步、技术、施工] 3)施工(承包人、材料供应、运输、保险、质检、定额、银行)、投入运行 4)全过程控制:监理5)结构设计:结构方案(合理布置)、竖向承重体系、水平承重体系、附属结构体系、施工图6)初步方案+尺寸+材料、外力(静动荷载+支座反力)、内力(应力)+位移(应变变形)、强度刚度稳定性设计动力响应、最后尺寸材料(钢、木、钢筋混凝土、组合)(修正或验证)四、为了使结构既能安全、正常地工作,又能符合经济的要求,就要对其进行强度、刚度和稳定性(三种破坏形式)的计算。
材料力学:研究单个杆件的强度、刚度及稳定性问题;结构力学:以杆件结构为研究对象;弹性力学:对杆件作更精确的分析,并以板、壳、块体等实体结构为研究对象。
第1章绪论1.1 课程内容(1) 研究内容本课程主要研究工程结构计算机分析(数值分析)的常用方法——有限单元法、加权残数(余量)法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。
(2) 参考书籍课程的主要参考书籍如下:唐锦春,孙炳楠,郭鼎康,计算结构力学,浙江大学出版社,1989丁皓江, 谢贻权, 何福保,弹性和塑性力学中的有限单元法,机械工业出版社,1989王勖成,有限单元法,清华大学出版社,2003王勖成,邵敏,有限单元法基本原理与数值方法,第二版,清华大学出版社,1997徐次达,固体力学加权残数法,同济大学出版社,1987孙炳楠,项玉寅,张永元,工程中边界单元法及其应用,浙江大学出版社,1991Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996.Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001.Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978.Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002.1.2 结构分析方法概述一个工程技术问题总可由一组基本方程(通常是微分方程)加一组边界条件描述,即由下式给出:基本方程:L(u)-p=0,∈V(域内)边界条件:B(u)-g=0,∈S(边界)式中L、B为算子,p、g为已知函数。
工程技术问题的常用分析方法有:(1) 解析方法只适用于少数简单问题,即形状规则且外部作用(如外荷载)简单的结构分析问题。
(2) 数值方法数值方法可分为区域型方法和边界型方法。
常用的区域型方法包括有限差分法、加权残数法、里兹(Ritz)法(变分法)和有限单元法等,其中有限差分法是直接对基本微分方程进行离散,再对离散后的代数方程进行求解;后几种方法则是先建立基本方程(一般是微分方程)的等效积分表达式,再进行离散求解。
边界型方法中最典型的是边界单元法。
它是先将基本微分方程变换为等效的边界积分方程,再在边界上对其进行离散求解。
例如,图1.1给出了一个受复杂横向荷载(分布荷载、集中力、集中力偶等)作用的两端固定变截面梁。
为求梁的挠度和内力,可列出梁的基本方程和边界条件如下:图1.1 变截面单跨梁受横向荷载作用基本方程:L(u )-p =0,∈V (域内)——EI (x )y ’’= -M (x ), 0≤x ≤l . 边界条件:B(u )-g =0, ∈S (边界)——(y )x =0或x =l =0,(y ’)x =0或x =l =0以下分别就采用加权残数法、里兹法(位移变分法)和有限单元法的基本原理进行讨论。
(1) 加权残数法为求近似解,设试探函数∑==mk k k u u 1α代入基本方程和边界条件,得残值:R L =L(u )-p (域内),R B =B(u )-g (边界)迫使残值在某种平均意义(加权积分)上等于零,则有0d d =⎰+⎰S Sj B V j L S W R V W R由此可得到关于待定系数αi 的代数方程组,解方程可求得待定系数及解答的近似表达式,其中的试函数可以选择多项式、三角函数、样条函数等。
(2) 里兹法(位移变分法)里兹法的理论依据是最小势能原理。
该原理可表述为:给定外力作用下,满足几何条件的各种可能位移中,真实的位移使总势能取极值,据此有δ(U +U R )=0假设满足位移边界条件的位移函数为:∑=ii i u A u将其代入方程得到关于待定系数A i 的代数方程,解方程可得A i 。
里兹法需要在整个计算区域上假设近似函数,很难适应形状(边界)较复杂或解答较难预测的问题。
(3) 有限单元法有限单元法的理论依据是最小势能原理或其他形式的变分原理。
该方法与里兹法的主要区别是不在整体计算区域上假设近似函数,而是先将连续的求解区域离散为一个由有限个单元组成并按一定方式相互连接的单元集合体,再以各单元连接结点处的场量(如位移量)作为基本未知量,在各单元内假设近似函数(通过结点未知量插值得到),从而将一个无限自由度问题简化为有限自由度问题。
图1.2 一维试函数的分段假设例如图1.2中的曲线是某个一维问题的目标函数曲线,若采用里兹法对整个区段假设一个近似的试函数,显然比较困难。
但如果现对整个区域进行分段(如图中短线为分段线),再对各个区段假设试函数,则要简单和准确得多,如可将各区段均假设为二次函数。
哟次可见,有限单元法可视为一种分片(或分块、分段)形式的变分法。
虽然有限单元法的理论依据和里兹法是一致的,但采用了分片(或分块、分段)假设试函数的处理方法以后,使得该方法的具体实施变得简便易行,具有了优越的可操作性和更为明确的物理意义,也使得该方法具有了其他方法(如里兹法)所不具备的优点:1) 概念简单、明确,易为工程人员接受;也可建立严格的数学分析和证明;2) 适用性十分广泛,适应于各类复杂边界和不同外部作用的问题;3) 求解过程程序化,易于编程和计算机实现。
1.3 课时安排课程的总体课时安排如下:有限单元法部分包括概论、进展;平面三角形、矩形、等参元;杆元、板元等,共约20个课时;加权残数法部分包括基本原理、方法分类,以及伽辽金(Galerkin)方法、最小二乘法的应用,共需约4~6个课时;边界单元法主要包括基本原理(以二维势问题为例);梁弯曲和板弯曲问题,共需约4~6个课时。
思考题1.1区域型分析法和边界型分析法在对问题的基本方程和边界条件的处理上有何不同和相同点?试分别举例说明。
1.2里兹法和有限单元法的理论依据、基本未知量的选取、试函数的假设等方面有何异同点?1.3与里兹法相比,有限单元法在解决复杂问题上的适应性更为广泛,你认为主要的原因在于那些方面?第2章有限单元法2.1 概述2.1.1 发展概况有限单元法的发展概况:1943年R. Courant尝试应用三角形区域上定义的分片连续函数和最小势能原理解决St. Venant扭转问题,是较早的有限元思想的体现:R. Courant, Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations, Bulletin of the American Mathematical Society, 49: 1-23, 19431956年M.J. Turner,R.W. Clough等将刚架矩阵位移法推广到弹性力学平面问题,开始了有限元的第一个成功尝试和应用;用直接刚度法建立单元刚度特性:M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin and L.T. Topp, Stiffness and deflection analysis of complex structures, J. Aeronaut. Sci., 25: 805-823, 19561960年Clough第一次提出“有限单元法(FEM)”的名称,沿用至今。
Zienkiewicz等——编写第一本有限元方面专著:O.C. Zienkiewicz and Y.K. Cheung, The Finite Element Method in Continuum and Structural Mechanics, McGraw-Hill, New York, 19651963-1964年发现该方法是基于变分原理的里兹法的另一种形式,确立其理论基础。
我国冯康在同一时期独立提出并证明了该方法:Melosh证明了位移法就是基于最小势能原理的Rayleigh-Ritz法冯康,基于变分原理的差分格式,应用数学和计算数学,1965,2(4): 238-2621960至今:实际工程应用:平面⇒空间⇒板壳;静力⇒动力、波动⇒稳定;弹性⇒塑性⇒粘弹性、复合材料;固体⇒流体、传热等连续介质力学;计算分析⇒优化设计、与CAD技术结合。
E.L. Wilson:编写了第一个公开的有限元软件SAP;通用有限元软件:SAP、ADINA、NASTRAN、ANSYS、ABAQUS、MIDAS等从半个多世纪以来有限单元法的萌芽、理论依据的证明和充实及其逐步的广泛应用可以看到,它的发展和计算机软硬件的发展基本上是同步的。
如果没有计算机的强大软硬件支撑,有限单元法只有其微不足道的一点理论上的意义,而没有更为重要的实际应用的意义。
2.1.2 有限单元法概念(1) 离散化离散化的过程是将连续体划分为有限数目、有限大小的单元的集合体。
单元与单元之间只在指定点(即结点)连接,其他位置则一般保持连续即可。
单元可以具有不同的形状,即单元外形可以不同;单元与单元之间可以有不同的连接方式,即单元的结点数目、位置可以不同。
图2.1 连续体离散为单元集合体示例(2) 单元分析对典型单元假设位移模式(由各结点位移插值),再分析单元的力学特性,建立单元的结点力与结点位移之间的关系,即单元刚度方程:{F}e=[k]{∆}e)并将各类荷载变换为作用在结点上的等效结点荷载。
(3) 整体分析将各单元刚度方程集成整体结构的整体刚度方程:{F}=[K]{∆}根据结点的平衡条件,得最终的有限元方程:[K]{∆}={R}求解该方程可得到未知的结点位移。
(4) 再次单元分析求出各单元的应变和应力。
2.2 弹性力学平面问题的矩阵描述2.2.1两类平面问题弹性力学的平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两类。
实际上,所有的弹性力学问题都是空间问题。
所谓平面问题,并不是说这个问题所分析的对象本身(如形状、荷载分布)是平面的,而是指该问题的形状、外部作用以及问题的解答(即由此产生的效应,如位移、应力等)只在平面内有变化,而沿着平面外就保持不变了。
因此可以肯定地说,所谓的平面问题就是一个特殊的空间问题。
那么,是不是一个问题的形状和外部作用(即已知的位移和应力边界条件)只在平面内发生变化,而沿着平面外保持不变了,这个问题就是平面问题呢?不是的,还必须附加其他条件,这一结论才能成立。
这个附加条件就是该问题沿平面外的尺寸与平面内尺寸相比要么非常小(如无限短),要么非常大(如无限长)。
如果符合前者条件,则弹性体内只存在平面内的应力,而平面外的应力均为零,故这类问题称为平面应力问题;如果符合后者条件,则弹性体内只存在平面内的位移或平面内的应变,而平面外的位移及应变均等于零,故这类问题称为平面应变问题。