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直线与椭圆的位置关系1. 求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，转化为利用判别式判断一元二次方程是否有解，应特别注意数形结合思想的应用.2. 注意根与系数的关系的应用.（1）弦长公式:斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦若A 、两点的坐标分别是A （x ,y ），B （x ,y ）1122则|AB =\:'(X i _x 2)2+(y 1_y 2)2=v1+k 23. 有关中点弦问题.（1）已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用根与系数的关系.（2）有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“点差法”可简化运算.4. 圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决.（1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决.（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、均值不等式等）求最值.二、题型梳理1. 直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x （或尹）的一元二次方程的判断式/的符号来确定：当/>0时，直线和椭圆相交；当/=0时，直线和椭圆相切；当/<0时，直线和椭圆相离.2. 直线和椭圆相交的弦长公式|AB |=\：1+k 2[齐+七2—4X ]X 2]或|AB 戶\「（1+£|[儿+歹22—帅」3. 直线与椭圆相交时的常见处理方法 =鶯(1+k 2)[(x i +x )2一4xx ]212 =<1+k 2 l a l当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．本次授课内容授课标题直线与椭圆的位置关系学习目标1•直线与椭圆位置关系的判断2.直线和椭圆相交的弦长公式3.直线与椭圆相交时的常见处理方法重点难点直线与椭圆相交时的常见处理方法考点1点差法与中点弦例1⑴椭圆16+寻=1的弦被点P（2'1）所平分’求此弦所在直线的方程.(2)已知椭圆C：養+^2=l(a>b>0)过点P(T，T)，c为椭圆的半焦距，且c=⑵•过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线11的斜率为一1,求口尸肋的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.考点2直线与圆锥曲线的位置关系例2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆斗+y2二1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.规律方法(1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；(2)直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴(抛物线)或平行于渐近线(双曲线)；(3)联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对A进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论•考点3与弦长有关的问题x2□例3已知椭圆：古+y2二1,过左焦点尸作倾斜角为匚的直线/交椭圆于A、B两点，求96弦AB的长.考点4直线与椭圆综合x2y2例5如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆一+厂二1(a>b>0)(a>b>0)的离心a2b2率为#，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；考点5椭圆中的定点、定值问题例6椭圆C：a2+b2=l(a>b>0)的离心率为拿，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；⑵设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,点P是直线x=l上的动点，直线PA与椭圆的另交点为直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点.x2y2例7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A,B,C是椭圆石+乞=1(°>&>°)上不同的三点，A(3\迂,爭)，B(-3,—3),C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上.(1)求椭圆的标准方程；(2)求点C的坐标；(3)设动点P在椭圆上(异于点A,B,C),且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点，证明：OM・ON为定值，并求出该定值.探究提高(1)求定值问题常见的方法有两种：□从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关•□直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (2)如果要解决的问题是一个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法.考点6圆锥曲线中的最值、范围问题例8已知圆C：(x+1)2+y2二&定点A(1,O),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP,NP-AM=0,点N的轨迹为曲线E.(I)求曲线E的方程；(II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足FG=X FH，求九的取值范围.x2y21•已知直线尸-x+1与椭圆一+［二1(a>b>0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在a2b2直线l：x-2y=0上，求此椭圆的离心率.x2y22•已知椭圆C的方程丁+y=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同两点关于该直线对称.3.已知椭圆C：匸+「二1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e二二，椭圆C上的点到Fa2b22的距离的最大值为、迈+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的方程；3,''2(2)若IAB1=十，求直线l的方程.4•已知椭圆—+二=1(a>b>0)的离心率为冷―，短轴的一个端点到右焦点的距离为詣a2b23直线l:y二kx+m交椭圆于不同的两点A,B.(I)求椭圆的方程；(II)若坐标原点O到直线/的距离为£,求A AOB面积的最大值.5•已知椭圆C：02+诗=l(a>b>0)过点P(—1，—1),C为椭圆的半焦距，且c=-j3b.过点P 作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M,N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线11的斜率为一1,求D PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程.6•已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．（口）求椭圆C的标准方程；（口）若直线l:y二kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.37•已知，椭圆C以过点A（1，2），两个焦点为（一1，0）（1，0）•（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.本次课课后练习1•椭圆36+才=1的一条弦被A(4,2)平分’那么这条弦所在的直线方程是一X2(11、2•已知椭圆〒+y2二1，求过点P-，-且被P平分的弦所在的直线方程.2\22丿x23•已知椭圆q：}+严=1,椭圆C2以q的长轴为短轴，且与q有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A,B分别在椭圆C1和C2上,OB=204,求直线AB的方程.x2y24•如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆石+右=1(。
《直线与椭圆的位置关系》教学设计思考：已知条件中的2AOB π∠=还可以用什么形式来表达？教师提出问题，学生思考并回答通过探究一及思考问题实现点在圆上、直角及向量点积等于零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养変式已知椭圆C ：2214x y +=，直线:l 2y kx =+与椭圆交于AB 两点，且O 为坐标原点，若(,)2AOB ππ∠∈，求k 的取值范围思考：（1）将条件改为(0,)2AOB π∠∈呢？（2）(,)2AOB ππ∠∈，(0,)2AOB π∠∈还可以用什么形式来表达？拍照展示学生解题成果，其他学生纠错，教师点评，在求范围时注意判别式教师提出问题，学生思考并回答通过学生纠错发现问题，提出问题，分析问题并解决问题。
加强“四基”、 “四能”的培养。
激发学生的求知欲望.通过変式训练及思考问题实现点在圆内或外、钝角或锐角及向量点积小于或大于零的转化反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.探 究 二设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，点M 的坐标为（2，0），设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.思考：（1）此题还可以改为证明什么结论呢？（2）若增加条件MA ，MB 与y 轴分别交于C ，D 两点，试判断MCD ∆的形状学生展台展示并讲解，对出现的问题其他学生纠错，教师点评。
教师提出问题学生思考并回答探究二及思考问题实现角相等、角平分、角互补、等腰三角形、斜率之和为零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.変式训练変式1：已知椭圆为C：2214xy+=，过点M （4，0）作关于x轴对称的两条不同的直线12,,l l若直线1l交椭圆C于一点11(,)A x y，直线2l交椭圆C于一点22(,)B x y,12x x≠，证明：直线AB恒过定点。
学生讲解，其他学生补充其他方法，教师点评多种方法解题，发散学生思维能力，再与探究二做对比，总结归纳変式2：已知椭圆为C：22143x y+=，过左焦点F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点，点A在第二象限，且满足||||AM AF AN AFAM AN=,问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
第7讲 抛物线 ,)1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0， x ∈R开口方向 向右向左向上 向下 焦半径|PF |＝|PF |＝|PF |＝|PF |＝(其中P (x 0， y 0))x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p21．辨明两个易误点(1)抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．(2)对于抛物线标准方程中参数p ，易忽视只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．2．与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．1.教材习题改编 抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，－132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132C 由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－132，故选C.2.教材习题改编 以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4xD 由准线x ＝1知，抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，所以方程为y 2＝－4x ，故选D.3．M 是抛物线y 2＝2px (p >0)位于第一象限的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |＝52p ，则直线MF 的斜率为( )A ．43B ．53C ．54D ．52A 设M (x 0，y 0)，由|MF |＝52p ，得x 0＋p 2＝5p2，所以x 0＝2p .所以y 20＝2px 0＝4p 2，取正根得y 0＝2p . 即M 的坐标为(2p ，2p )， 又F 的坐标为(p2，0)，所以k MF ＝2p －02p －p 2＝43，故选A.4．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .y 2＝4x5.教材习题改编 抛物线x 2＝2py (p >0)上的点P (m ，2)到焦点F 的距离为3，则该抛物线的方程为________． 依据抛物线定义可知2＋p2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的方程为x 2＝4y .x 2＝4y抛物线的定义及其应用(1)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为( )A ．22B ．24C ．12D ．14(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 (1)由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 (1)B (2)4若本例(2)中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．由于|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应机敏地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)留意机敏运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.1．(2021·云南省统一检测)设经过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B 设圆心为M ，过点A 、B 、M 作准线l 的垂线，垂足分别为A 1、B 1、M 1， 则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|， 所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线的距离等于圆的半径， 故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．2．(2021·长春调研)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355B ．2C ．115D ．3B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.抛物线的标准方程及性质(高频考点)抛物线的标准方程及性质是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式消灭，个别高考题有肯定难度． 高考对抛物线的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线方程； (2)由已知求参数p ； (3)抛物线方程的实际应用．(1)(2022·高考全国卷乙)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)若抛物线的焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为________．【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3，令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y ；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . 所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 【答案】 (1)B (2)x 2＝－12y 或y 2＝16x(1)求抛物线的标准方程的方法①求抛物线的标准方程常用待定系数法，由于未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可． ②由于抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． (2)确定及应用抛物线性质的技巧①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．②要结合图形分析，机敏运用平面几何的性质以图助解．角度一 求抛物线方程1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( ) A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8xD 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由抛物线的定义知1＋p2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y2＝8x .角度二 由已知求参数p2．(2021·襄阳调研测试)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 由于△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切，所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由于圆面积为9π，所以圆的半径为3，又由于圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，所以p 2＋p4＝3，所以p ＝4.角度三 抛物线方程的实际应用3．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由于点(2，－2)在抛物线上，所以p ＝1， 即抛物线方程为x 2＝－2y . 当y ＝－3时，x ＝± 6.所以水位下降1米后，水面宽为26米． 2 6直线与抛物线的位置关系(2022·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝ptx ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系接受“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)，设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.,)——忽视焦点位置而致误已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解】 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ， 则|MA |＝|AN |，且|AN |＝ 5. 由于|ON |＝3，所以|OA |＝32－（5）2＝2，所以N (5，±2)．由于N 点在抛物线上，所以5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58，准线方程为y ＝－58.抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58.(1)解决本题易忽视焦点位置可在y 轴的正半轴也可在负半轴上两种状况，误认为a >0，从而导致漏解．(2)对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线方程有如下特点： ①当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y 2＝ax (a ≠0)； ②当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x 2＝ay (a ≠0)．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的焦点重合，则抛物线的准线方程为________．由椭圆x 29＋y 25＝1，得c 2＝9－5＝4，即c ＝2，故椭圆的焦点坐标为(±2，0)． 即抛物线的焦点坐标为(±2，0)．所以当p >0时，抛物线的准线方程为x ＝－2；当p <0时，抛物线的准线方程为x ＝2. x ＝2或x ＝－2,)1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0B M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.2．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±1 A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±22. 3．(2022·高考全国卷甲)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A ．12 B ．1C ．32D ．2D 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝6xD ．y 2＝－4xB 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义可得|x 1|＋|x 2|＋p ＝8，又AB 的中点到y 轴的距离为2，即|x 1|＋|x 2|＝4，所以p ＝4，所以y 2＝－8x .故选B.6．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，依据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1.7．(2021·资阳模拟)顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点P (－4，－2)的抛物线方程是________． 设抛物线方程为x 2＝my ，将点P (－4，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－8. 所以抛物线方程是x 2＝－8y . x 2＝－8y8．(2021·云南省第一次统一检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，○· M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，假如抛物线C 的准线与○·M 相切，那么p 的值为________．将○·M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r ＝2，又由于抛物线的准线方程为x ＝－p2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－p 2＝2，p ＝12或4.12或49．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，假如A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1＝________．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F . 又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ， 故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1， 所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.π210．(2021·豫东、豫北十校联考)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2＝20的两条渐近线围成的三角形的面积为45，则抛物线方程为________．由双曲线方程5x 2－y 2＝20知其渐近线方程为y ＝±5x ，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，故其准线方程为x ＝－p 2，设准线与双曲线的两条渐近线的交点为A ，B ，则不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，52p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－52p ，故S △ABO ＝12×5p ×p 2＝54p 2＝45，解得p 2＝16，又由于p >0，所以p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .y 2＝8x11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)由于点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又由于F (1，0)，所以k FA ＝43，由于MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.所以FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.12．(2021·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( ) A ．13B ．23 C.34 D.43A 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点． (1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．(1)由已知得抛物线的焦点为F (1，0)．由于线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝m 2＋1·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝m 2＋1·（4m ）2－4×（－4） ＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.14．已知圆C 过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，且与直线x ＝14相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ∈R )相交于A ，B 两点．(1)求曲线E 的方程；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．(1)由题意，点C 到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0和直线x ＝14的距离相等， 故点C 的轨迹E 的方程为y 2＝－x .(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k （x ＋1），消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1.设直线l 与x 轴交于点N ，则N (－1，0)． 所以S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|， ＝12|ON ||y 1－y 2| ＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10， 解得k ＝±16.。
第7讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解l 与C 1的交点 a ＝0b ＝0 无解(含l 是双曲线的渐近线)无公共点 b ≠0有一解(含l 与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a ≠0Δ＞0 两个不相等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ＜0无实数解无交点曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2|y 1－y 2| ＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 3．与抛物线焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B ．13C.14D ．4解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.(2018·舟山市普陀三中高三期中)已知直线y ＝x －2，则直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长是( ) A.25B ．225C.425D. 2解析：选C.设直线与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2x 2＋4y 2＝4，化简得5x 2－16x ＋12＝0，所以x 1＋x 2＝165，x 1x 2＝125.所以|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1652－4×125＝425.过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( ) A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx－1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B.过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．解析：过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. 答案：2 6在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c ，以O 为圆心、a 为半径作⊙O .若过P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作⊙O 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为________．解析：如图，设切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22.答案：22直线与椭圆的位置关系[典例引领](2018·浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过椭圆C 上一点P 的直线l ：y ＝－24x ＋322与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 的横坐标为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若AB 是椭圆的一条动弦，且|AB |＝52，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值．【解】 (1)因为P (2，2)在椭圆上，故4a 2＋2b2＝1，同时联立⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2y ＝－24x ＋322， 得b 2x 2＋a 2⎝⎛⎭⎫－24x ＋3222＝a 2b 2，化简得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－32a 2x ＋92a 2－a 2b 2＝0， 由Δ＝0，可得a 2＝12，b 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 212＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当直线AB 斜率存在时， 直线AB 方程为y ＝kx ＋b 1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝12y ＝kx ＋b 1得(4k 2＋1)x 2＋8kb 1x ＋4(b 21－3)＝0，故x 1＋x 2＝－8kb 11＋4k 2，x 1x 2＝4（b 21－3）1＋4k 2， 由254＝|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， 得b 21＝3(1＋4k 2)－25（1＋4k 2）264（1＋k 2），故原点O 到直线AB 的距离d ＝|b 1|1＋k 2， 所以S ＝54·|b 1|1＋k 2，令u ＝1＋4k 21＋k 2，则S 2＝－6251 024⎝⎛⎭⎫u 2－19225u ＝－6251 024⎝⎛⎭⎫u －96252＋9. 又因为u ＝1＋4k 21＋k 2＝4－31＋k 2∈[1，4)，当u ＝9625时，S 2max ＝9， 当斜率不存在时，△AOB 的面积为5238，综上所述可得△AOB 面积的最大值为3.判断直线与椭圆位置关系的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x (或y )的一元二次方程；(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2018·舟山市普陀三中高三期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e＝63，它的一个顶点在抛物线x 2＝42y 的准线上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C 上两点，已知m ＝⎝⎛⎭⎫x 1a ，y 1b ，n ＝⎝⎛⎭⎫x 2a ，y 2b ，且m ·n ＝0. ①求OA →·OB →的取值范围；②判断△OAB 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 解：(1)因为抛物线x 2＝42y 的准线为y ＝－2， 所以b ＝ 2.由e ＝63⇒a 2－b 2a 2＝23⇒a ＝ 6.所以椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)①由m ·n ＝0得x 1x 2＝－3y 1y 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)所在直线为l ，当l 斜率不存在时， 则A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，所以x 21＝3y 21，又x 216＋y 212＝1，所以y 21＝1. 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2y 21＝2.当l 斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＋3y 2＝6得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0， 所以Δ＝36k 2m 2－12(3k 2＋1)(m 2－2) ＝12(6k 2－m 2＋2)＞0，(ⅰ) 且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－63k 2＋1.由x 1x 2＝－3y 1y 2＝－3(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ⇒(1＋3k 2)x 1x 2＋3km (x 1＋x 2)＋3m 2＝0， 整理得1＋3k 2＝m 2.(ⅱ)所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝23x 1x 2＝2m 2－41＋3k 2＝2m 2－4m 2＝2－4m2， 由(ⅰ)，(ⅱ)得m 2＝1＋3k 2≥1，所以0＜4m 2≤4， 所以－2≤OA →·OB →＜2. 综上可得－2≤OA →·OB →≤2.②由①知，l 斜率不存在时，S △OAB ＝|x 1y 1|＝3y 21＝3， l 斜率存在时，S △OAB ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x1－x 2|·|m |1＋k 2＝3|m |2＋6k 2－m 21＋3k 2， 将m 2＝1＋3k 2代入整理得S △OAB ＝3， 所以△OAB 的面积为定值 3.直线与抛物线的位置关系[典例引领](2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .【解】 (1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2，所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p (x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎫pk ，－p2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， 四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2·⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2，解得k 2＝3或k 2＝13， 即k ＝±3或k ＝±33.解决直线与抛物线位置关系的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝|x 1|＋|x 2|＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2018·嘉兴市高三上学期期末)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，抛物线的焦点到直线l ：y ＝2x ＋2的距离为455.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点R (x 0，2)在抛物线C 上，过点Q (1，1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线l 于M ，N 两点，求|MN |最小时直线AB 的方程． 解：(1)抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，d ＝|p ＋2|5＝455，得p ＝2或－6(舍去)， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)因为点R (x 0，2)在抛物线C 上， 所以x 0＝1，得R (1，2)．设直线AB 为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m （y －1）＋1y 2＝4x 得y 2－4my ＋4m －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4m －4，直线AR 方程为y －2＝y 1－214y 21－1(x －1)＝4y 1＋2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝4y 1＋2（x －1）y ＝2x ＋2，得x M ＝－2y 1，同理x N ＝－2y 2，所以|MN |＝5|x M －x N |＝25⎪⎪⎪⎪1y 2－1y 1 ＝2 5 m 2－m ＋1|m －1|＝2 51＋mm 2－2m ＋1＝251＋1m －2＋1m，所以当m ＝－1时，|MN |min ＝15，此时直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.弦长问题[典例引领](2016·高考浙江卷)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点， 求椭圆离心率的取值范围． 【解】 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2a 2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋ a 2(a 2－2)＞1， 所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为0＜e ≤22.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． [提醒] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2.又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.中点弦问题[典例引领]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1.于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 218＋y 214＝1，① x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12.又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0， 所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.处理中点弦问题常用的求解方法[提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[通关练习]1．若椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率是( )A ．2B ．－2 C.13D ．－12解析：选D.设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝36，x 22＋4y 22＝36，整理得x 21－x 22＝－4(y 21－y 22)，所以此弦的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－4（y 1＋y 2）＝－12，则此弦所在直线的斜率为－12.2．(2018·杭州学军中学高考模拟)已知抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx ＋m (m >0)交于两点A 、B ，当OA →·OB →＝2时，直线l 过定点________；当m ＝________时，以AB 为直径的圆与直线y＝－14相切．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx ＋m ，整理得：x 2－kx －m ＝0，则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－m ，y 1y 2＝(x 1x 2)2＝m 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k 2＋2m ，由OA →·OB →＝2，则x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m ＝2，即m 2－m －2＝0，解得：m ＝－1或m ＝2， 由m >0，则m ＝2， 直线l ：y ＝kx ＋2， 所以直线l 过定点(0，2)，设以AB 为直径的圆的圆心M (x ，y )，圆M 与y ＝－14相切于P ，由x ＝x 1＋x 22＝k 2，则P ⎝⎛⎭⎫k 2，－14， 由题意可知：P A →·PB →＝0，即⎝⎛⎭⎫x 1－k 2，y 1＋14·⎝⎛⎭⎫x 2－k 2，y 2＋14＝0， 整理得：x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 24＋y 1y 2＋14(y 1＋y 2)＋116＝0，代入整理得：m 2－m 2＋116＝0，解得：m ＝14，所以当m ＝14时，以AB 为直径的圆与直线y ＝－14相切．答案：(0，2) 14“点差法”求解弦中点问题的步骤 (1)设点—设出弦的两端点坐标. (2)代入—代入圆锥曲线方程.(3)作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开. (4)整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解. 易错防范直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．[学生用书P323(单独成册)])1．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．2．(2017·河南重点中学联考)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) ①y ＝2x －3; ②y ＝2x ＋1； ③y ＝－2x －3; ④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7. 3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( ) A ．有且只有一条 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B.若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝±2.所以这样的直线有两条．4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( ) A ．－3 B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.5．(2018·杭州严州中学模拟)过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于点C ，若|AF |＝6，BC →＝λFB →，则λ的值为( )A.34 B ．32C. 3D ．3解析：选D.设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)，C (－2，y 3)，则x 1＋2＝6， 解得x 1＝4，y 1＝42，直线AB 的方程为y ＝22(x －2)，令x ＝－2，y ＝－82即C (－2，－82)，联立方程⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝22（x －2），解得B (1，－22)，所以|BF |＝1＋2＝3，|BC |＝9，所以λ＝3. 6．已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝38，椭圆C ：x 23＋y 2＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条D ．6条解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， 两式相减，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2，则k AB ＝－x 03y 0，k MP ＝y 0x 0－1，k MP ·k AB＝－1， k MP ·k AB ＝－x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝32，由32<3，可得P 在椭圆内部， 则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l 有4条．故选C.7．(2018·温州市普通高中模考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，交直线l ：x ＝－1于点P ，若P A →＝λAF →，PB →＝μBF →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 解析：直线x ＝－1是抛物线的准线，如图，设A ，B 在直线l 上的射影分别是M ，N ，|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |，|P A ||AF |＝|P A ||AM |，|PB ||BF |＝|PB ||BN |，因为AM ∥BN ，所以|P A ||AF |＝|PB ||BF |，|λ|＝|μ|，又λ＜0，μ＞0，所以λ＋μ＝0.答案：08．(2018·浙江省名校协作体高三联考)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（x －1），x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋22）⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553.答案：5539．(2018·温州市高三模拟)已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于x 轴上方的不同两点A ，B ，记直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围是________． 解析：设直线l ：x ＝2y ＋t ，联立抛物线方程得y 2＝2p (2y ＋t )⇒y 2－4py －2pt ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝16p 2＋8pt ＞0⇒t ＞－2p ，所以y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝－2pt ＞0⇒t ＜0，即－2p ＜t ＜0，x 1x 2＝(2y 1＋t )(2y 2＋t )＝4y 1y 2＋2t (y 1＋y 2)＋t 2＝4·(－2pt )＋2t ·4p ＋t 2＝t 2， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝（2y 2＋t ）y 1＋（2y 1＋t ）y 2x 1x 2＝t （y 1＋y 2）＋4y 1y 2x 1x 2＝4pt －8pt t 2＝－4pt， 因为－2p ＜t ＜0，所以－4pt ＞2，即k 1＋k 2的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)10．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.因为y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以－b 2a 2＝－12，所以a 2＝2b 2.又因为b 2＝a 2－c 2， 所以a 2＝2(a 2－c 2)， 所以a 2＝2c 2，所以c a ＝22.答案：2211．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B .若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB 的方程及弦AB 的长．解：由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18， 所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1）y ＝2x 2，消去y ， 得2x 2－kx ＋k ＋6＝0，Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0， 解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝⎛⎭⎫14，－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝⎛⎭⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．(2018·宁波市余姚中学高三期中)已知椭圆E 经过点A (2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为椭圆E 经过点A (2，3)，离心率e ＝12，所以⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝124a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝16，b 2＝12，所以椭圆E 方程为x 216＋y 212＝1.(2)F 1(－2，0)，F 2(2，0)，因为A (2，3)，所以AF 1方程为3x －4y ＋6＝0，AF 2方程为x ＝2， 设角平分线上任意一点为P (x ，y )，则|3x －4y ＋6|5＝|x －2|.得2x －y －1＝0或x ＋2y －8＝0，因为斜率为正，所以直线l 的方程为2x －y －1＝0.(3)假设存在B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)两点关于直线l 对称，所以k BC ＝－12，所以直线BC 方程为y ＝－12x ＋m 代入x 216＋y 212＝1得x 2－mx ＋m 2－12＝0，所以BC 中点为⎝⎛⎭⎫m 2，3m 4， 代入直线2x －y －1＝0，得m ＝4.所以BC 中点为(2，3)与A 重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．1.(2018·温州模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且P A ⊥PB ，求b 的值． 解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)， 可得(m ＋n )x 2－6nx ＋9n －1＝0，由题意可得Δ＝36n 2－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ， 又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1， 解方程可得m ＝16，n ＝13，即有椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2－4bx ＋2b 2－6＝0，判别式Δ＝16b 2－12(2b 2－6)>0， x 1＋x 2＝4b3，x 1x 2＝2b 2－63，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b 3，y 1y 2＝(b －x 1)(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－63，由P A ⊥PB ，即为P A →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2－63－2b 3＋5＝0，解得b ＝3或13，代入判别式，知b ＝13成立．故b 为13.2.(2018·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝12x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N 两点．若△MNP 是斜边长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝12x ＋mx24＋y 2＝1消去y ，得12x 2＋mx ＋m 2－1＝0，则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2， |MN |＝52|x 1－x 2|＝10－5m 2. ①当MN 为斜边时， 10－5m 2＝10，解得m ＝0，满足Δ>0，此时以MN 为直径的圆方程为x 2＋y 2＝52.点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝12x ，满足题意． ②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离d ＝255|m －1|，所以d 2＋|MN |2＝45|m －1|2＋(10－5m 2)＝10，即21m 2＋8m －4＝0， 解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27.过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝⎛⎭⎫－127，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27，符合题意．综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27.3．(2018·丽水市高考数学模拟)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，线段AB 与它的中垂线l 2交于点G (a ，1)(a ≠0)．(1)求证：直线l 2过定点，并求出该定点坐标；(2)设l 2分别交x 轴，y 轴于点M ，N ，是否存在实数a ，使得A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝4y 1x 22＝4y 2，两式相减可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)， 可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝2a 4＝12a ，由两直线垂直的条件可得直线l 2的斜率为－2a ；即有直线l 2：y ＝－2a (x －a )＋1，可得l 2：y ＝－2a x ＋3过定点(0，3)．(2)l 2：y ＝－2ax ＋3过M ⎝⎛⎭⎫3a 2，0，N (0，3)， 假设存在实数a ，使得A ，M ，B ，N 四点在同一个圆上， 由中垂线的性质可得∠MAN ＝∠MBN ， 可得∠MAN ＝90°，即有|AG |2＝|MG ||NG |， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 2（x －a ）＋1x 2＝4y， 可得x 2－2ax ＋2a 2－4＝0，x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝2a 2－4， 由弦长公式可得|AB |＝1＋a 244a 2－4（2a 2－4）＝1＋a 2416－4a 2，即有|MG ||NG |＝1＋a 244＋a 2＝⎝⎛⎭⎫|AB |22＝⎝⎛⎭⎫1＋a24(4－a 2)， 所以⎝⎛⎭⎫1＋a 24(4－a 2)＝12(a 2＋4)，所以a2＝2，解得a＝±2.故存在这样的实数a，且为±2.。
