2019东城区高三一模数学试卷及答案理科

北京市东城区 2018-2019 学年度第⼆学期高三综合练习（一）2019.4数学 （理科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项。

（1）已知集合{}220A x x x =+>，{}210B x x =+>， 则A B =I（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ） {}0x x > （D ）R（2）在复平⾯面内，若复数 (2)i z -对应的点在第⼆二象限，则z 可以为（A ） 2 （B ）1- （C ） i （D ）2+i（3）在平面直角坐标系XOY 中，角α 以OX 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m -≠ ，则下列各式的值一定为负的是(A) sin cos αα+ (B) sin cos αα- (C) sin cos αα (D)sin tan αα（4）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形（5）若,x y 满足01026x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则x y -的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点 C.若点F 是 的AC 中点，则线段BC 的长为 (A)83 (B)3 (C) 163(D)6 （7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则 积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所 截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平⾯面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的(A) 充分⽽而不不必要条件 (B) 必要⽽而不不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不不充分也不不必要条件（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，+11=(*)2n n na a n N a +∈，则下列关于{}n a 的判断正确的是（A ）0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥ 使得1n n a a +< （C ）0,*,a m N ∀>∃∈ 总有m n a a < （D ）0,*,a m N ∃>∃∈总有m n n a a +=第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2019北京市东城区高三一模数学（理）2019.4本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项．1．（5分）已知集合A＝{x|2x2+x＞0}，B＝{x|2x+1＞0}，则A∩B＝（）A．B．C．{x|x＞0}D．R2．（5分）在复平⼀面内，若复数（2﹣i）z对应的点在第⼀象限，则z可以为（）A．2B．﹣1C．i D．2+i3．（5分）在平面直角坐标系XOY中，角α以OX为始边，终边经过点P（﹣1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（）A．sinα+cosαB．sinα﹣cosαC．sinαcosαD．4．（5分）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形5．（5分）若x，y满足，则|x﹣y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．46．（5分）已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC 中点，则线段BC的长为（）A．B．3C．D．67．（5分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⼀面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝a，，则下列关于{a n}的判断正确的是（）A．∀a＞0，∃n≥2，使得B．∃a＞0，∃n≥2，使得a n＜a n+1C．∀a＞0，∃m∈N*，总有a m＜a nD．∃a＞0，∃m∈N*，总有a m+n＝a n二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x2的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，若b cos C+c sin B＝0，则∠C＝．11．（5分）若曲线（θ为参数）关于直线（t为参数）对称，则a＝；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为．12．（5分）已知向量＝，向量为单位向量，且•＝1，则2﹣与2夹角为．13．（5分）已知函数f（x）＝4x﹣x3，若∀x1，x2∈[a，b]，x1≠x2都有2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）成立，则满足条件的一个区间是．14．（5分）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝；②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为．三、解答题共6⼀小题，共80分．解答应写出⼀文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数，且．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上单调递增，求m的最大值．16．（13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求的值．18．（13分）设函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx的极小值点为x0．（Ⅰ）若x0＝1，求a的值f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x0＜1，在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明理由．19．（13分）已知椭圆与x轴交于两点A1，A2，与y轴的一个交点为B，△BA1A2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P．以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），求|PM|﹣|PN|的值．20．（14分）已知L∈N+，数列A：a1，a2，…a n中的项均为不大于L的正整数．c k表示a1，a2，…a n中k的个数（k＝1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：t（a1），t（a2），…t（a n）其中t（k）＝L •．（Ⅰ）若L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出c i（1≤i≤4）的值；（Ⅱ）已知对任意的k（k＝1，2，…，n），存在A中的项a m，使得a m＝k．求证：t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）；（Ⅲ）若l＝n，对于数列A：a1，a2，…a n，令T（T（A）：b1，b2，…b n，求证：b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．2019北京市东城区高三一模数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项．1．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：；∴A∩B＝{x|x＞0}．故选：C．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．【分析】分别取z为四个选项中的数逐一分析得答案．【解答】解：当z＝2时，（2﹣i）z＝4﹣2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z＝﹣1时，（2﹣i）z＝﹣2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z＝i时，（2﹣i）z＝1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z＝2+i时，（2﹣i）z＝5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解．【解答】解：由已知得r＝|OP|＝，则sinα＝，cos＜0，tanα＝﹣m．∴＜0．故一定为负值的是D．故选：D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题．4．【分析】根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形．【解答】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．【点评】本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．5．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可推出结果．【解答】解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点A时，z取得最小值，0，当直线z＝x﹣y过点，B时，z取得最大值，4，则|x﹣y|的最大值为：4．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．【分析】由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得A的坐标，得到直线AF的方程，与抛物线联立求得B的坐标，再由抛物线焦半径公式求解．【解答】解：如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，由抛物线y2＝8x，得焦点F（2，0），∵点F是的AC中点，∴AE＝2p＝8，则AF＝8，∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A（6，4），∴，则AF所在直线方程为y＝．联立，得3x2﹣20x+12＝0．∴6x B＝4，得，则BF＝BH＝．故BC＝CF﹣BF＝AF﹣BF＝8﹣＝．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．7．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．8．【分析】A．∀a1＝a＞0，，由a n＞0．利用基本不等式的性质即可得出a n+1≥，即可判断出正误．B．由A可得：n≥2时，a n，即a n+1＜a n，即可判断出正误．C．令f（x）＝+（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．D：由a1＝a＞0，，a2＝+，令+＝a，解得a，即可判断出正误．【解答】解：A．∀a1＝a＞0，，∴a n＞0．∴a n+1≥2＝，因此A不正确．B．∵＝，由A可得：n≥2时，a n，∴＜1，即a n+1＜a n，因此B不正确．C．令f（x）＝+（x），则f′（x）＝≥0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有a m＜a n，不正确．D：由a1＝a＞0，，a2＝+，令+＝a，解得a＝，则a n＝，因此结论成立．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••x r，令r＝2，求得x2的系数是•＝60，故答案为：60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．【解答】解：∵b cos C+c sin B＝0∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B＝0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C＝0，即tan C＝﹣1，∵0＜C＜π，∴C＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．【分析】把曲线C和直线l换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得a＝3，所求最大值等于原点O到圆心的距离加上半径1．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为（x﹣a）2+（y﹣2）2＝1，表示圆心为（a，2），半径为1 的圆，直线l 的直角坐标方程为：2x﹣y﹣4＝0，因为圆关于直线 2x﹣y﹣4＝0对称，所以圆心（a，2）在直线2x﹣y﹣4＝0上，即2a﹣2﹣4＝0，解得a＝3，此时圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，原点O到圆心（3，2）的距离为＝，所以原点O到圆C上的点的最大值为+1．故答案为：3，+1．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．12．【分析】由题意求出的坐标，再求出（2﹣）•2的值、2﹣和2的坐标，再利用两个向量的数量积的定义求得2﹣与2夹角．【解答】解：∵向量＝，向量为单位向量，且•＝1，设＝（cosθ，sinθ），∴•＝cosθ+sinθ＝2cos（θ﹣）＝1，∴可令θ＝，即＝（﹣，）．∵（2﹣）•2＝4﹣2•＝4﹣2＝2，2﹣＝（﹣2，0），2＝（﹣1，）设2﹣与2夹角为α，α∈[0°，60°]，则cosα＝＝＝，∴α＝60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．13．【分析】将不等式2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）转化为f（）＞，即函数f （x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，利用数形结合进行判断求解即可．【解答】解：由2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）得f（）＞，即函数f（x）满足在区间[2a，2b]上是凸函数即可，函数的f′（x）＝4﹣3x2，由f′（x）＞0得4﹣3x2＞0得﹣＜x＜，此时函数f（x）为增函数，由f′（x）＞0得4﹣3x2＜0得x＜﹣或x＞，此时函数f（x）为减函数，即当x＝﹣函数取得极小值，在x＝时，函数f（x）取得极大值，由f（x）＝4x﹣x3＝0得x（4﹣x2）＝0，得x＝0或x＝2或x＝﹣2，则函数f（x）对应的图象如图：则函数在[0，+∞）上为凸函数，∵x1，x2∈[a，b]，∴2x1，2x2∈[2a，2b]，则[2a，2b]⊆[0，+∞），则只要a≥0，即可，则当a＝0，b＝1时，满足条件，即满足条件的一个区间为（0，1）或[0，1]，故答案为：（0，1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．【分析】①由A⊆B．由x∉A时，m＝0，可得m（1﹣n）．x∈A时，必有x∈B，可得m＝n＝1．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．【解答】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．综上可得：m（1﹣n）＝0．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A＝∁R B．故答案为：0，A＝∁R B．【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6⼀小题，共80分．解答应写出⼀文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简结合三角函数的周期公式进行求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得a＝1.＝4cos x（sin x﹣cos x）＝2sin x cos x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，所以的最小正周期为π．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．当x∈[0，m]时，，若f（x）在区间[0，m]上单调递增，则有，即．所以m的最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，由此能求出所求的概率．（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故…（4分）（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以X的分布列为：X0123P故X的期望…（10分）（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大…（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（I）根据勾股定理即可证明OA＝OB，从而可得对角线相等，得出结论；（II）建立空间坐标系，求出平面A1ACC1的法向量，则线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设D点坐标为（0，y0，0），求出平面A1CD的法向量，令＝0求出y0即可得出的值．【解答】解：（Ⅰ）连结CO．∵C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，∴CO⊥平面A1ABB1．∴CO⊥OB，OC⊥OA，由已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均相等，所以AC＝BC，且A1ABB1为菱形．由勾股定理得OB＝，OA＝，∴OA＝OB，即AB1＝A1B．∴四边形A1ABB1为正方形．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面A1ABB1，CO⊥OA，CO⊥OA1．在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，．所以．设平面A1ACC1的法向量为＝（x，y，z），则，即令x＝1，则y＝1，z＝1，于是＝（1，1，1）．又因为，设直线EF与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．所以直线EF与平面A1AC所成角的正弦值为．（Ⅲ）直线EF与平面A1CD没有公共点，即EF∥平面A1CD．设D点坐标为（0，y0，0），D与O重合时不合题意，所以y0≠0．因为，．设＝（x1，y1，z1）为平面A1CD的法向量，则，即令x1＝1，则，z1＝1，于是＝（1，，1）．若EF∥平面A1CD，．又，所以，解得．此时EF⊄平面A1CD，所以，．所以．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由f'（1）＝0，得a＝1．当a＝1时，，由此能求出f（x）的单调区间和f'（x）的极小值点为1时a的值．（II）当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．由，根据a≤0，a＞0分类讨论，推导出当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上所有的点均位于x轴的上方．当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．【解答】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．所以a＝1时函数f（x）在x＝1处取得极小值．即f'（x）的极小值点为1时a的值为1…（6分）（II）当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：由（I）知，当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）单调递减，f（x）不存在极小值点；当a＞0时，令，得．当时，f'（x）＜0，f（x）在区间上单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）在区间上单调递增．所以是f（x）在（0，+∞）上的最小值．由已知，若0＜x0＜1，则有，即a＞1．当a＞1时，lna＞0，且，．所以．当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上所有的点均位于x轴的上方．故当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．…（13分）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的点是否的判断与求法，考查导数性质、函数极值、单调区间等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）由椭圆方程知：，从而，求出m＝1．由此能求出椭圆C的方程，从而能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，﹣y0）（x0＞0），A1（﹣2，0），A2（2，0），设，，由得从而．由A1（﹣2，0），B（0，1），求出点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，由此能求出|PM|﹣|PN|的值．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为m＞0，由椭圆方程知：，，所以m＝1．所以椭圆C的方程为．由a＝2，b＝1，a2＝b2+c2，得，所以椭圆C的离心率为．…（5分）（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，﹣y0）（x0＞0），不妨设A1（﹣2，0），A2（2，0），设，，由得即又，得，化简得．因为A1（﹣2，0），B（0，1），所以，即．所以点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，且|A1A2|＝4，所以|PM|﹣|PN|＝4．…（13分）【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆、双曲线的位置关系及转化思想，属于难题．20．【分析】（Ⅰ）由L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，能写出写出c i（1≤i≤4）的值．（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m＝k．所以c1，c2，…，c L均不为零．先证必要性，再证充分性，由此能证明t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）．（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．设，由L＝n，根据变换T得到T（T（A））：，，，由此能证明b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）∵L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，∴c1＝2，c2＝1，c3＝2，c4＝1．…（3分）证明：（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m＝k．所以c1，c2，…，c L均不为零．必要性：若t（a i）＝a i（1≤i≤n），由于，∴；；；…；．通过解此方程组，可得c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）成立．充分性：若c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）成立，不妨设h＝c i＝c j（i，j＝1，2，…，L），可以得到h•L＝n．∴；；；…；．∴t（a i）＝a i（1≤i≤n）成立．故t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）．…（9分）证明：（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．不妨设，其中；；…；．又∵L＝n，根据变换T有：；；…；；∴T（A）：，，，即T（A）：，，，∴T（T（A））：，，，∵r1＜r1+r2＜…＜r1+r2+…+r m，∴t（r1）＝r1，t（r1+r2）＝r1+r2，…，t（r1+r2+…+r m）＝L．∴，即T（T（A））：：，，，从而b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．故b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．…（14分）【点评】本题考查数列的求法，考查充要条件的证明，考查数列等式的证明，考查数性质性质、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

2019年北京市各区高三一模试题汇编一概率（理科）的二项廉开式中常数项为 o （用数字作答）I 2丿 -------1 （2019年东城一模理科）2 （2019年东城一模理科）n < x < 2设不等式组0“ V 表示的平面区域为D,在区域。

内随机取一个点- y ） r 则 考生有___—种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）11（2019年顺义一模理科）将4名学生分配到甲、乙、丙 3个实验室准备实验，每个实验室至少分配 1名学生的不同分配方案共有（ ） A. 12 种 B 24 种 C. 36种 D. 48 种12 （2019年延庆一模理科）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目， 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ____________ _____ 某学校为了斛高二年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲，乙两班，调杳这两个班的 学主在寒假期间每天半均学习的时间（单位，小时h 统计结杲绘成频率分布直方图 （如图九已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区側［X 4］的 有8人◎工+严v 3的概率为_ ________ • 3 （2019年东城一模理科）某写字楼将排成;一排的召个车位出租给斗个公司.其中有两个公司各有两辆汽车，如 果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有 __________________________ 种。

（用 4 （2019年西城一模理科）科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的 只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是数字作答） 5 （2019年海淀一模理科）小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把 摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ）. A . 4种 B . 5种 C . 6种 D . 9种 6 （2019年朝阳一模理科）如图，设区域D {（x,y ）0 < x < 1,0 < y < 1}, 向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点 到阴影区域 1 A . — B 4 M {( x,y) 0 < x w 1,0 w y < x 3}的概率为( )1 2 2 C . - D 3 5 7 7 （2019年朝阳一模理科）有标号分别为1 , 2, 3的红色卡片3张， 标号分别为1, 2, 3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放 在2行3列的格内（如图）.若颜色相同的卡片在同一行，则 不同的放法种数为 8 （2019年丰台一模理科）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中 加该行业全国技能大赛•经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分 叶图所示.若甲乙两人的平均成绩分别是 x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 (A) x 甲 x 乙, 乙比甲成绩稳定， 应该选乙参加比赛 (B) x 甲 ^乙,甲比乙成绩稳定， 应该选甲参加比赛 (C) x 甲 忌, 甲比乙成绩稳定， 应该选甲参加比赛 (D) X 甲 x 乙 乙比甲成绩稳定， 应该选乙参加比赛 4个硬币摆成一X/ 3y=xO9（2019年丰台一模理科）如果某年年份的各位数字之和为 7,我们称该年为“七巧年” 2018的各位数字之和为 7,所以今年恰为“七巧年” .那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（ ） 选 情况如茎1人参 .例如，今年年份（A ） 24 个 （B ） 21 个 （C ） 19 个 （D ） 18 个 10 （2019年石景山一模理科）各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则•一考生从某大学所给 的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该<］）求宜方图屮d 的值及甲班学生毎天平均学匀时间在区间（10 12］的人数；（2）从甲、乙两个班每天半均学习吋間大于10个小时的学主中任取斗人参加测试， 贡4人中甲班学生的人数为§「求痔的分布列和数学期望。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C．平行四边形D．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可.【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．若,x y满足0,10,26,x yyy x+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y-的最大值为A．0B．1C．2D．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z x y =-=其中z 取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y -=倍最大，据此可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 4．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为（ ) A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C【解析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A .AF k ∴==AF 所在直线方程为)2y x =-.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，则28233BF BH ==+=. 故816833BC CF BF AF BF =-=-=-=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,,V V 被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,,S S 则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的（ )A ．而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意结合祖暅原理和空间几何体的几何特征考查充分性和必要性是否成立即可求得最终结果. 【详解】由祖暅原理知,若12,S S 总相等,则12,V V 相等成立，即必要性成立，若12,V V 相等,不妨设几何体为图中长方体1111ABCD A B C D -内的的三棱锥111A A B D -和1B BCD -，此时满足“12,V V 相等”,但是不满足“12,S S 总相等”，即充分性不成立， 综上可得：“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（ )A ．0,2,a n ∀>∃≥使得n a B ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a += 【答案】D【解析】由题意结合均值不等式的结论、数列的单调性、函数的单调性和特殊数列的性质确定题中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ，由于0a >，故0n a >恒成立，则112n n n a a a +=+≥=，故不存在n a 的项，选项A 说法错误；对于选项B ，由于12112n n n a a a +=+，结合选项A可知n a ≥，故121112n n na a a +=+<，即1n n a a +<，选项B 说法错误； 对于选项C，构造函数(1()2x f x x x =+≥，则()211'02f x x=-≥，则函数()f x在区间)+∞上单调递增，则不存在m N *∈满足m n a a <，选项C 说法错误；对于选项D，令1a121112a a a a =+===，此时数列{}n a 为常数列，故0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=，选项D 说法正确.故选：D . 【点睛】本题主要考查数列的单调性，数列中的最值问题，递推关系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题7．在6)x 的展开式中，2x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】60【解析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得2x 的系数. 【详解】由二项式展开式的通项公式可得6)x 的展开式为：()()661661kkk kk k k k T C x C x --+=⨯⨯-=-，令2k =可得2x 的系数是()62226160C--=.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．8．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．若曲线:C cos ,2sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）关于直线:l 1,22x t y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)对称，则a =___________；此时原点O 到曲线C 上点的距离的最大值为___________.【答案】3【解析】首先把参数方程化为普通方程，然后求解a 的值和原点O 到曲线C 上点的距离的最大值即可. 【详解】 消去参数可得：曲线C 的普通方程为：()()2221x a y -+-=，直线l 的普通方程为：24y x =-， 由题意可知直线l 过圆心(),2a ，故：224a =-，解得：3a =，O 到曲线C 上点的距离的最大值1. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程的方法，直线与圆的位置关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知向量(1,3)a =，向量b 为单位向量，且1a b ⋅=，则2b a -与2b 夹角为__________. 【答案】60【解析】首先求得向量,a b 的夹角，然后求解向量2b a -与2b 的夹角即可. 【详解】很明显132a =+=，设向量,a b 的夹角为θ， 则：21cos 1a b θ⋅=⨯⨯=，1cos ,23πθθ∴==， 据此有：()()22422224b a a b b b -⋅=-⋅=-=， 且()22242,22b a b a b ===-=--，向量2b a -与2b 的夹角为β，则21cos ,60222ββ===⨯， 综上可得：2b a -与2b 夹角为60. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数3()4f x x x =-，若1212,[,],,x x a b x x ∀∈≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是________.【答案】(0,1) (答案不唯一)【解析】将原问题进行等价转化，然后结合二阶导函数的解析式可得满足题意的一个区间. 【详解】12122()(2)(2)f x x f x f x +>+即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，定义函数y =()f x 为上凸函数，故原问题等价于函数()f x 在区间内满足()''0f x ≤在给定的区间内恒成立， 由函数的解析式可得：()2'43f x x =-，()''6f x x =-，故可给定区间()0,1，函数在该区间内即满足()''0f x ≤， 综上可得，满足条件的一个区间是(0,1)(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的凹凸性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 R A B =ð【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为R A B =ð. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题13．已知函数()4cos sin()6f x a x x π=-，且()13f π=.(Ⅰ) 求a 的值及()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求m 的最大值. 【答案】（Ⅰ）1a =,最小正周期为π；（Ⅱ）3π. 【解析】(Ⅰ)由题意首先确定a 的值，然后整理函数的解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式即可确定函数的最小正周期；(Ⅱ)结合题中所给的区间[0,]m 和(Ⅰ)中确定的函数解析式得到关于m 的不等式，求解不等式即可确定m 的最大值. 【详解】（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-14cos cos )22x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增， 则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的化简，三角函数的单调性，三角函数最小正周期的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X 是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)由题意首先确定X 可能的取值，然后结合超几何概型计算公式得到分布列，然后求解其数学期望即可；(Ⅲ)由题意结合方差的性质和所给的图形确定方差的最大值即可. 【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==；1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==；34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，超几何概型计算公式，离散型随机变量的分布列与期望的计算，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．如图，在棱长均为2的三棱柱111ABC A B C -中，点C在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点，,E F 分别为11,BC A C 的中点．（Ⅰ）求证：四边形11A ABB 为正方形；（Ⅱ）求直线EF 与平面11A ACC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段1AB 上存在一点D ，使得直线EF 与平面1A CD 没有公共点，求1ADDB 的值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）12.【解析】(Ⅰ)由题意结合几何体的空间结构特征证得1111D C B A 的对角线相等即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后由夹角公式可得线面角的正弦值；(Ⅲ)由题意利用线面垂直的充要条件得到点D 的坐标，据此整理计算即可确定1ADDB 的值. 【详解】 （Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为与1A B 的交点，所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等， 所以AC BC =，且11A ABB 为菱形. 由勾股定理得OA OB =，即11AB A B =. 所以四边形11A ABB 为正方形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO ⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ，(E F ．所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=- 设平面11A ACC 的法向量为(,,),m x y z =则10,0.m AA m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)m =．又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |m EF m ,EF m EFθ⋅=〈〉==所以直线EF 与平面1A AC 所成角的正弦值为15. （Ⅲ）直线EF 与平面1A CD 没有公共点，即EF ∥平面1A CD． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y≠．因为10(,0)A D y =，1(AC =．设111(,,)n x y z =为平面1A CD 的法向量，则110,0.n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即101110,0.y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是02(1,,1)n y =. 若EF ∥平面1ACD ，0n EF ⋅=.又3(EF=，=，解得0y =． 此时EF不属于平面1A CD ， 所以AD =1DB =所以112AD DB =． 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 16．设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x .（I ）若01x =，求a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于x 轴的下方？若存在，求出一个P 点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）答案见解析.【解析】(Ⅰ)首先确定函数的定义域，然后求解导函数的解析式，利用导函数与极值的关系得到关于a 的方程，解方程确定a 的值即可求解函数的单调区间和a 的值； (Ⅱ)由导函数的解析式分类讨论求解函数的最小值可得满足题意的点P 不存在. 【详解】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得()01f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+∞ 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值. 即()f x '的极小值点为1时a 的值为1.（II ）当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下： 由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x+-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a<<，110a ->.所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方. 故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. 【点睛】本题主要考查由函数的极值求参数的方法，导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．已知椭圆22:1(0)4x y C m m m+=>与x 轴交于两点12,A A ，与y 轴的一个交点为B ，△12BA A 的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）在y 轴右侧且平行于y 轴的直线l 与椭圆C 交于不同的两点12,P P ，直线11A P 与直线22A P 交于点P .以原点O 为圆心，以1A B 为半径的圆与x 轴交于,M N 两点（点M 在点N 的左侧），求PM PN -的值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=，离心率为；（Ⅱ）4. 【解析】(Ⅰ)由题意结合三角形的面积求得m 的值即可确定椭圆方程，然后求解离心率即可；(Ⅱ)由题意首先求得点P 的轨迹方程，然后结合双曲线的定义和几何性质可得PM PN -的值.【详解】（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C 的离心率为（Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),AA - 设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.P Px x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014xy +=，得2224()414P P P x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =，即(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，平面轨迹方程的确定，双曲线的性质与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．已知L *∈N ，数列12:n A a a a L ，，，中的项均为不大于L 的正整数.k c 表示12,,,n a a a 中k 的个数(1)k L =L ，2，，.定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A 12:(),(),,()n t a t a t a 其中12()kc c c t k L n+++=⋅L .（Ⅰ）若4L =，对数列A ：1，1，2，3，3，4，写出i c 4)i ≤≤(1的值； （Ⅱ）已知对任意的(1,2,,)k k n =，存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证：i it a a =（）(1,2,,)i n =的充分必要条件为(12)i j c c i j L ==，，，，；L（Ⅲ）若l n =，对于数列12:,,,n A a a a L ，令12(()):,,,n T T A b b b L ，求证：()i i b t a =(1,2,,).i n =【答案】（Ⅰ）1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1c ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合所给的定义确定i c 4)i ≤≤(1的值即可； (Ⅱ)由题意分别证明充分性和必要性成立即可证得题中的结论；(Ⅲ)由题意结合变换L 的定义首先对数列进行合理排序，求解()T A 的值，结合变换的性质进一步计算可得()()T T A 的值，从而证得题中的结论. 【详解】（Ⅰ）考查数列的项中1,2,3,4的个数可得：1=2c ，2=1c ，3=2c ，4=1.c（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =.所以12L c c c L ，，，均不为零.必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c ct L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n++=⋅=；；12()Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立. 充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=.所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3ht L n=⋅=；；()Lht L L L n=⋅=. 所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立.（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L . 不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，， 其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

（A ） 14（C ） 10俯视图8 (2019 年石景山一模理科)右图是某个三棱锥的三视图，其中主视12B ．A ． 3B ． 4 AB ∥ CD ，AB =主视图= 3 ，CD 侧视图．若点 E 是线段 AD 上的动点，则满足 ∠SEC = 90︒ 的点 E 的个数是__2_ 俯视图1 1 1CD理科)棱长为 2 的12019 年北京市各区高三一模试题分类汇编 03 立体几何(理科)1 (2019 年东城一模理科)3 （B ）423 （D ）3A11 1 1主视图 侧视图 1主视图 左视图2B.P D 俯视图图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（B ）CA ． 63 3 C ． 64 D ．362 (2019 年西城一模理科)如图，设 P 为正四面体 A - BCD 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点 P 到四个顶点的距离组成的集合记为 M ，如果集合 M 中有且只有 2 个元素，那么符合条件的点 P 有（ C ）9 (2019 年顺义一模理科)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_________1（A ） 4 个 （B ）6 个（C ）10 个（D ）14 个1223 (2019 年西城一模理科)已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2，它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形，主视图 左视图10 (2019 年延庆一模理科)右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是(A)那么它的侧（左）视图面积的最小值是__ 2 3 ____.4 (2019 年海淀一模理科)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为__96__．3385 (2019 年朝阳一模理科)某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______，表面积为______）6 (2019 年朝阳一模理科)如图，在四棱锥 S - ABCD 中，SB ⊥ 底面 ABCD ．底面 ABCD 为梯形，AB ⊥ AD ， 1, AD = 2 3 C ．111 (2019 年东城一模理科)俯视图D ．2341S6正视图侧视图BAE7 (2019 年丰台 一 模俯视图正方体被一平面 截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（B ）12 (2019 年西城一模理科)如图，在四棱柱 ABCD - A B 1C 1D 1E 是 CD 的中点， D 1E ⊥ CD ， AB = 2BC = 2 .（Ⅰ）求证： BC ⊥ D E ；1中，底面 ABCD 和侧面 BCC 1B 1 都是矩形，D 1 C 1 A 1 B 1E平面 P AD ⊥ 平面 ABCD ， P A = PD = AD = 2 ， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC3 ，求线段 D E 的长度.（Ⅲ）若平面 BCC B 与平面 BED 所成的锐二面角的大小为 上一点，且 PM = 13 PC .BFC ED（Ⅲ）求二面角 E - PD - C 的余弦值． PED1． ；2．C ；3． 2 3 ；4．96 ；5． ， 2+ 3 ；6．2 ；7．B ；8． B ；9． ；10．A ；（Ⅱ）若直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o ，求 AE（Ⅱ）求证： B 1C // 平面 BED 1；17 (2019 年顺义一模理科) 如图在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， ∠BAD = 600 ，π1 1 1 113 (2019 年海淀一模理科) 如图 1，在 △Rt ABC 中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D 为 AC 中点， AE ⊥ BD 于（Ⅰ）求证： PQ ⊥ 平面 ABCD ； E ，延长 AE 交 BC 于 F ，将 ∆ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，如图 2 所示． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A –DC –B 的余弦值． （Ⅲ）在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM / / 平面 ADC ？若存在，请指明点 M 的位置；若不存在，请说 明理由．A ADEB FC 14 (2019 年朝阳一模理科)如图，四棱锥 P - ABCD 的底面为正方形，侧面 P AD ⊥ 底面 ABCD ． △P AD 为 等腰直角三角形，且 P A ⊥ AD ．E ，F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点． （Ⅰ）求证： EF ∥平面 P AD ； （Ⅱ）求证： EF ⊥ 平面 PCD ；FAEDB15 (2019 年丰台一模理科)如图，在棱长为 1 的C正 方 体ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 是棱 AB 上的动点.（Ⅰ）求证：DA1 ⊥ED1 ；（Ⅱ）证明： P A ∥平面 BMQ（Ⅲ）求二面角 M - BQ - C 的度数.18 (2019 年延庆一模理科) 在四棱锥 P - ABCD 中， P A ⊥ 平面 ABCD ， 底面 ABCD 是正方形，且 P A = AD = 2 ， E ，F 分别是棱 AD , PC 的中点． （Ⅰ）求证： EF // 平面 PAB ；（Ⅱ）求证： EF ⊥ 平面 PBC ； P （Ⅲ）求二面角 E - PC - D 的大小．FAB C2019 年北京市各区高三一模试题汇编--立体几何(理科)答案1 311.AB 的值；（Ⅲ）写出点 E 到直线 D1C 距离的最大值及此时点 E 的位置（结论不要求证明）.D 1 C 1A 1B 1DCAE B16 (2019 年石景山一模理科)如图，正三棱柱 ABC - A 1B 1C1 的底面边长是2 ，侧棱长是3 ， D 是 AC 的中点．（Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD；（Ⅱ）求二面角 A 1 - BD - A的大小； CC1（Ⅲ）在线段 AA 1 上是否存在一点 E ， 使得平面 B 1C 1E ⊥ 平面 A 1BD ，若存在，D求出 AE 的长；若不存在，说明理由．BB1AA1由平面 BCC B 与平面 BED 所成的锐二面角的大小为 ，3m n 3 ， 所以 BC ⊥ 平面 DCC 1D 1 ， 连接 DB 交 D B 于点 F，连接EF，则 F 为 DB 的中点.在 ∆B CD 中，因为 DE = CE ， DF = B F ，所以 EF //B C .……………6 分 又因为 D 1E ⊥ CD ， BC CD = C ， A 1B 1设 G 为 AB 的中点，以 E 为原点，EG ，EC ， ED 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴 D EA GB 设平面 BED 1 法向量为 n = ( x, y , z) ， 3 ,0,0), C( 3, 2,0) ———————5 分平面 DCB 的法向量为 EA 所以 cos < n , EA >= EA ⋅ n 5 —————————————9 分 3 ,0, - 3) ，3 ,0, - 3) ，其中 λ ∈[0,1] ————————————10 分所以 EM = EA + AM =λ,0,(1 - λ) 3 ⎪ ————————————11 分 ⎝ 3EB = (1,1,0), ED = (0,0, a) ，由 ⎧ 得 ⎧ x + y = 0,n ⋅ EB = 0, ⎪⎨ ⎪⎩n ⋅ ED = 0,⎩ z = 0. 3 λ-(1-λ） 3 = 0 ———12 分解得 λ = ∈ (0,1)．————13 分由 EM ⋅ n = 0 ，即 3 3所以在线段 AF 上存在点 M 使 EM ∥平面 A DC ，且 AM 令 1 ，得 m = (0, -a,1) ⎪⎩m ⋅ CB = 0, x+ y + az = 0. ⎩ 1 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ π1 1 1得 | cos < m , n >|=吧解得 a = 1 .| m ⋅ n | a π= = cos 2 ⋅ a 2 + 1……………13 分………………14 分13（Ⅰ）因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，交线为 BD ，又在 ∆ABD 中， AE ⊥ BD 于 E ， AE ⊂ 平面 ABD 所以 AE ⊥ 平面 BCD ．————————————————3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论 AE ⊥ 平面 BCD 可得 AE ⊥ EF ． 由题意可知 EF ⊥ BD ，又 AE ⊥ BD ．如图，以 E 为坐标原点，分别以 EF , ED, EA 所在直线为 x 轴，y 轴， 轴，建立空间直角坐标系 E - xyz ——4 分不妨设 AB = BD = DC = AD = 2 ，则 BE = ED = 1 ． 由图 1 条件计算得， AE =3 ， BC = 2 3 ， BF =33z12（Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 和侧面 BCC B 是矩形， 1 1所以 BC ⊥ CD ， BC ⊥ CC ，又因为 CDCC = C ，11………………2 分因为 D 1E ⊂ 平面 DCC 1D 1 ，所以 BC ⊥ D E .…………4 分1（Ⅱ）证明：因为 BB //DD , BB = DD ，所以四边形 D DBB 是平行四边形.1 1 1 111111111又因为 B C ⊄ 平面 BED ， EF ⊂ 平面 BED ，所以 B C // 平面 BED . ………8 分11111（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知 BC ⊥ D E ，1z 所以 D E ⊥ 平面 ABCD .………………9 分D 1C 11 1F如图建立空间直角坐标系， 设 D E = a ，则 E (0,0,0), B (1,1,0), D (0,0, a), C (0,1,0), B (1,2,a ), G (1,0,0) . C y1 1 1 x因为 1 ⎨1 令 x = 1 ，得 n = (1,-1,0) . …………11 分设平面 BCC B 法向量为 m = ( x , y , z ) ，因为 CB = (1,0,0), CB = (1,1, a) ，1 11111⎧⎪m ⋅ C B = 0, ⎧ x = 0, z = 1 由 ⎨ 得 ⎨ 1 .…………12 分1 则 E (0,0,0), D(0,1,0), B(0, -1,0), A(0,0, 3), F ( 3DC = ( 3,1,0), AD = (0,1, - 3) ．由 AE ⊥ 平面 BCD 可知平面 DCB 的法向量为 EA ．———————6 分⎧n ⋅ DC = 0, ⎧3x + y = 0, 设平面 ADC 的法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ 即 ⎨⎪ n ⋅ AD = 0. ⎪⎩ y - 3z = 0.令 z = 1，则 y = 3, x = 1 ，所以 n = (1, 3, -1) ．——————————8 分5| EA | ⋅ | n | =- 5 ，所以二面角 A - DC - B 的余弦值为5（Ⅲ）设 AM = λ AF ，其中 λ ∈[0,1] ．由于 AF = ( 3所以 AM = λ AF = λ( 3⎛3 ⎫⎪ ⎭4 3AF = 4 ．————————14 分14（Ⅰ）证明：取 PD 的中点 G ，连接 FG ， AG ．因为 F ， G 分别是 PC ， PD 的中点，所以 FG 是△ PCD 的中位线．所以 ⎨⎧- y + z = 0,所以 AE = 1| DA | ⋅ | v | = 2 ，所以 |2 - m | = 2 ，解得 m= 1 1 2 ，此时点 E 在 A 点处.------14 分u u ur uuur ， 又因为 PD ， CD 相交于 D ，所以 EF ⊥ 平面 PCD ．…………… 9 分 ⎪⎩n ⋅ PD = 0. ⎩2 y - 2 z = 0. 即 ⎨ 所以 cos 〈n , EF 〉 = n ⋅ EF u u ur = 2 33 ．…………14 分 （Ⅰ）证明：DA = (1,0,1) ， ED = (-1, -m ,1)DA ⋅ ED = 1⨯ (-1) + 0 ⨯ (-m ) + 1 ⨯1 = 0 所以 DA1⊥ED1. ----4B 1所以四边形AA 1B 1B 是矩形，所以 MD是三角形 AB 1C的中位线，…………………D ……2 分B（Ⅱ）解：作 CO ⊥ AB 于 O ，所以 CO ⊥ 平面 ABB1 A 1 ，A所以 D( ，0 ， 3 1 3 3 由题意可知 AA = (0 ， 3 ，是平面 ABD的一个法向量，………7 分A1 所以 cos < n ，AA >= 所以二面角 A 1 - BD -A 的大小为 ⎧⎪v ⋅ CD = 0 ，而 CD = (0, -1,1) ，CE = (1,m - 1,0) AE⎨⎪⎩v ⋅ CE = 0设平面B 1C 1E的法向量 n = ( x ，y ，z )，所以 ⎨1 ⎪⎩n ⋅ C 1B 1 = 0 ，⎧⎪- x + ( 3 - x) y + 3z = 0 ，即 ⎨2 - 0 0) ， ， 0) r 0 2) r ⎪ ， ur，0 0) 0 0) 0 0) 0 1 0) y z⎪⎪ ⎩ ⎩ 2 3)x 0) 0 - ⎪1所以 FG ∥ CD ，且 FG = CD ．又因为 E 是 AB 的 中2点，且底面 ABCD 为正方形，z⎩ x + (m - 1)y = 0, 取 z=1,得 y=1,x=1-m ， 得 v = (1- m ,1,1) .1 2 AB = 2 CD ，且 AE ∥ CD ．所以 AE ∥P FG ，因为直线 DA1 与平面 CED1 成角为 45o ，所以 sin 45︒ =| cos < DA , v >|1且 AE = FG ．所 以 四 边 形 AEFG 是 平 行 四 边 形 ． 所 以 EF ∥ AG ．又 EF ⊄ 平面 P AD ， AG ⊂ 平面 P AD ，所以 | DA ⋅ v |122 m 2 - 2m +3 2 2 .-----11 分所以 EF 平面 P AD ．…………………4 分 F（ Ⅱ ） 证 明 ： 因 为 平 面 P AD ⊥ 平 面 ABCD ， P A ⊥ AD ，且平面 P AD I 平面 ABCD = AD ，所以（Ⅲ）点 E 到直线 D1C 距离的最大值为 6P A ⊥ 平面 ABCD ． A 所以 P A ⊥ AB ，P A ⊥ AD ．又因为 ABCD 为正方形， E D y 所 以 AB ⊥ AD ，所以 AB, AD , AP 两两垂直．以点 A 为原点，分别以 AB, AD , AP 为 x, y , z 轴， B C 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 （ 如 图 ）． 由 题 意 易 知x AB = AD = AP ，设 AB = AD = AP = 2 ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， C(2,2,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,2) ， E(1,0,0) ， F (1,1,1)．uuur u u ur u u ur 因为 EF = (0,11) ， PD = (0，， 2) ， CD = (-2，， ， 且 EF ⋅ PD = (0,11) ⋅ (0,2, -2) = 0 ， u u ur uu urEF ⋅ CD = (0,11) ⋅ (-2,0， = 0所以 EF ⊥ PD ， EF ⊥ CD ．u u u u ur （Ⅲ）易得 EP = (-1，， ， PD = (0,2 ,- 2) ．uu⎧ n ⋅ EP = 0, ⎧ - x + 2z = 0, ⎧ x = 2 z , 设平面 EPD 的法向量为 n = ( x , y , z) ，则 ⎨ uuur 所以 ⎨u u ur ⎩ y = z. 令 z = 1 ，则 n = (2,1,1) ．由（Ⅱ）可知平面 PCD 的法向量是 EF = (0,11) ，u u uuur n ⋅ EF 2 ⋅ 6 = 3 ．由图可知，二面角 E - PD - C的大小为锐角，所以二面角E - PD - C 的余弦值为 315.解：以 D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 D(0,0,0),A （1，0，0），B(1,1,0) ， C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1) ， 设 E(1,m,0)（0≤m≤1） z D 1C 1 1 1 A 111（Ⅱ）设平面 CED1 的一个法向量为 v = ( x , y , z ) ,则D11xBC y分16（Ⅰ）证明：连结 AB 1 交 A 1B于 M，连结 B 1C DM，因为三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 是正三棱柱， CC1 所以 M 为A 1B 的中点．因为 D 是 AC的中点，… B所以 MD ∥B 1C ．…………………………3 分 M因为 MD ⊂ 平面 A BD ， B C ⊄平面 A BD，所以 B C ∥平面 A BD．……………4 分1 1 1 1 1 A 1 所以在正三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 中如图建立空间直角坐标系 O -xyz．因为 AB = 2 ， AA = 3 ， D 是 AC的中点． 1 所以 A(1， ， ， B(-1， ， ， C (0 ， ， 3)， A (1， 3 ，…………5 分 1z2 2 ) ， BD = ( 2 ， ，2) ，BA = (2 ， 3 ， ．设 n = ( x ， ， )是平面A 1BD 的法向量， C⎧n ⋅ BD = 0， ⎧ 3 x + 3z = 0 ， 所以 ⎨即 ⎨ 2 2⎪n ⋅ BA 1 = 0 ， ⎪2x + 3 y = 0 ， DB令 x = - 3 ，则 y = 2 ， z = 3，所以 n = (- 3 ， ， 是平面 A BD 的一个法向量．……………6 分O12 3 1x 1 4 3 =2．………………8 分 π 3．…………………………9 分 （Ⅲ）设 E (1， ， ，则 C E = (-1， 3 - x ， 3)， C B = (-1，， 3)1 1 1 ⎧n ⋅ C E = 0 ， 1 1 1 1 11 1 1⎪⎩- x 1 - 3z 1 = 0 ，11C1B1y3 - x ，- 3) ，…………………12 分3 EC = (2,1,0) ， EP = (0,-1,2) 设平面 PEC 的法向量 m = ( x , y , z) ，则 m ⋅ EC = 0, m ⋅ EP = 0∴ 2 x + y = 0 , - y + 2 z = 0 令 y = 2 ，则 x = -1, z = 1 ∴ m = (-1,2,1) …………12 分| m || AH | = 6 ⋅ 2 = 2 ．………………13 分 ∵ E, F 分别是 AD , PC 的中点，∴ GF // 1 令 z 1 = - 3 ，则 x 1 = 3 ， y 1 = 6- x ， n 1 = (3 ， 6 （Ⅱ）∵ P A = AB ，∴ AG ⊥ PB ，………………4 分∵ P A ⊥ ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又∵ BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 P AB ，又 n ⋅ n = 0 ，即 -3 3+1123 - x - 3 3 = 0 ，解得 x = 3 3 ，∴ BC ⊥ AG ，………………6 分∵ PB 与 BC 相交，∴ AG ⊥ 平面 PBC ，所以存在点 E ，使得平面 B 1C 1E ⊥ 平面 A 1BD 且 AE =3 3 ．…………………………14 分∴ EF ⊥ 平面 PBC ．………………7 分（Ⅲ）以 AB, AD , AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ，…8 分 ∵ P A = AD = 2 ，∴ E (0,1,0) ， C (2,2,0) ， P(0,0,2) ， F (1,1,1) 设 H 是 PD 的中点，连接 AH ∵ AG ⊥ 平面 PBC ，∴同理可证 AH ⊥ 平面 PCD ，∴ AH 是平面 PCD 的法向量，AH = (0,1,1) ………………9 分m · A H 3 3∴ cos < m , AH >=∴二面角 E - PC - D 的大小为 30︒ ………………14 分结 BD ， Q 底面 ABCD 是菱形，且 ∠BAD = 600，∴ BAD 是等边三角形，∴ BQ ⊥ AD 由（Ⅰ） PQ ⊥ 平面 ABCD .∴ PQ ⊥ AD .以 Q 为坐标原点， QA, Q B, Q P 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系则 Q(0,0,0), A(1,0,0), B(0, 3,0), P(0,0,3) .————10 分⎧⎪m ⋅ Q B = 0设平面 BMQ 的法向量为 m = ( x , y , z) ，∴ ⎨⎪⎩m ⋅ MN = 0，注意到 MN ∥ P A⎧⎪m ⋅ Q B = 0∴ ⎨⎪⎩m ⋅ P A = 0，解得 m = ( 3,0,1) 是平面 BMQ 的一个法向量——12 分（Ⅰ）证明：设 G 是 PB 的中点，连接 AG, G F12 BC ， AE // 2 BC∴ GF // A E ，∴ AEFG 是平行四边形，∴ EF // A G ………………2 分∵ EF ⊄ 平面 P AB AG ⊂ 平面 P AB ，∴ EF // 平面 P AB ………………3 分。

北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习（一）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i a b +-=+，则a b +的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（A ）27-（B ） 2- （C ）1 （D ） 25（4）右图给出的是计算1001...81614121+++++的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是（A ）50<i （B ）50>i （C ）25<i （D ） 25>i（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（A ）16（B ）18（C ）24（D ）32（6）已知x ，y ，z ∈R ，若1-，x ，y ，z ，3-成等比数列，则xyz 的值为 C （A ）3-（B ）3±（C）-（D）±（7）在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4AD =，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅的值为（A ）5- （B ）4- （C ）4 （D ）5 （8）已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是8 4 4 6 4 7m 9 35 4 5 5 10 7 9乙甲（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）D （4）A （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）60 （10）34π （11）3 （12）60（13）(0,1) (答案不唯一) （14）0 A B R =ð三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知()13f π=，得114122a ⨯⨯=，解得1a =. ()4cos sin()6f x x x π=-214cos cos )2cos 2cos 2cos 21x x x x x xx x =-=-=-- 2sin(2)16x π=--所以()2sin(2)16f x x π=--的最小正周期为π. ............................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2) 1.6f x x π=--当[0,]x m ∈时，2[,2],666x m πππ-∈--若()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则有262m ππ-≤，即3m π≤. 所以m 的最大值为3π. ............................13分（16）（共13分）解:（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增1加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故42()105P A ==． ............................4分 （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，3，且36310C 1(0)=C 6P X ==； 1246310C C 1(1)=C 2P X ==；2146310C C 3(2)=C 10P X ==； 34310C 1(3)=C 30P X ==.所以X 的分布列为：故X 的期望11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ............................10分 （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ............................13分（17）（共14分） 解：（Ⅰ）连结CO ．因为C 在平面11A ABB 内的射影O 为1AB 与1A B 的交点， 所以CO ⊥平面11A ABB ．由已知三棱柱111ABC A B C -各棱长均相等，所以AC BC =，且11A ABB 为菱形.由勾股定理得OA OB =，即11AB AB =所以四边形11A ABB 为正方形......................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面11,A ABB 1,.CO OA CO OA ⊥⊥ 在正方形11A ABB 中，1OA OA ⊥． 如图建立空间直角坐标系Oxyz -．由题意得11(0,0,0),(O A A B C C ， (E F ．xx所以1(2,2,0),(0,A A AC =-=-设平面11A ACC 的法向量为(,,),x y z =m则10,0.AA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,0.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1,x =则1, 1.y z == 于是(1,1,1)=m ． 又因为3(EF =， 设直线EF 与平面11A ACC 所成角为θ，则30sin |cos |EF ,EF EFθ⋅=〈〉==m m m ． 所以直线EF 与平面1A AC ............................10分 （Ⅲ）直线EF 与平面1ACD 没有公共点，即EF ∥平面1ACD ． 设D 点坐标为0(0,,0)y ，D 与O 重合时不合题意，所以00y ≠．因为10(,0)A D y =，1(A C =． 设111(,,)x y z =n 为平面1ACD 的法向量， 则110,0.A DA C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即101110,0.y y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则1y =，11z =. 于是(1,,1)=n .若EF ∥平面1ACD ，0EF ⋅=n .又3(EF =，0=，解得0y =． 此时EF⊄平面1ACD ， 所以AD = ，1DB =所以112AD DB =． ......................14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==. 由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分 （II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减；当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为0,m >由椭圆方程知：224,,a m b m a b ====，1212222BA A S ab m ∆=⨯===，所以 1.m =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.由2,1a b ==，222a b c =+，得c =所以椭圆C的离心率为. ............................5分 （Ⅱ）设点(,)P P P x y ,1002000(,),(,)(0),P x y P x y x ->不妨设12(2,0),(2,0),A A -设()0110:22y P A y x x =++，()0220:22yP A y x x -=--， 由()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得0004,2.PP x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即0004,42=.22PPp P P P x x y x x y y y x ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪==⎪⎩又220014x y +=，得2224()414P PP x y x +=， 化简得221(0).4P P P x y x -=>因为1(2,0),(0,1)A B -，所以1A B =(M N所以点P 的轨迹为双曲线2214x y -=的右支，,M N 两点恰为其焦点，12,A A 为双曲线的顶点，且124A A =，所以4PM PN -=. ............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）1=2c 2=1c 3=2c 4=1.c ............................3分（Ⅱ）由于对任意的正整数(1)k k L ≤≤，存在A 中的项m a ，使得m a k =. 所以12L c c c L ，，，均不为零. 必要性：若()i i t a a =(1)i n ≤≤，由于12()kc c c t k L n+++=⋅L ，所以有1(1)1c t L n =⋅=；12(2)2c c t L n +=⋅=；123(3)3c c c t L n ++=⋅=；L ；12()Lc c c t L L n+++=⋅L . 通过解此方程组，可得(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立.充分性：若(12)i j c c i j L ==L ，，，，成立，不妨设(12)i j h c c i j L ===L ，，，，，可以得到h L n ⋅=. 所以有：(1)1h t L n =⋅=；2(2)2h t L n =⋅=；3(3)3h t L n =⋅=；L ；()Lht L L L n=⋅=.所以()i i t a a =(1)i n ≤≤成立. ............................9分（Ⅲ）设12:n A a a a L ，，，的所有不同取值为12m u u u L ，，，，且满足：12m u u u <<<L .不妨设12111212122212:,mr r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ，，，，，，，，，，，，其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ；L ；12mm m mr u u u ==L =.又因为L n =，根据变换T 有：111112111()()()()u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；12221222212()()()()u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；;L121212()()()()mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；所以12111222():(),(),,()(),(),,()(),(),,().m m m m r r r T A t u t u t u t u t u t u t u t u t u 个个个，，即12111121212():,,,,,,,,,.m r r r T A r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，所以12111121212(()):(),(),,(),(),(),,()(),(),,().m r r r T T A t r t r t r t r r t r r t r r t L t L t L +++个个个，，因为11212,m r r r r r r <+<<+++所以有11121212(),(),,()m t r r t r r r r t r r r L =+=++++=.因此，112121211112,,,r r r r r b b b r b b b r r +++========+1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=即(()):T T A 12111121212,,,,,,,,,.m r r r r r r r r r r r r L L L +++个个个，，，从而()(1,2,,)i i b t a i n ==.因此结论成立. . ...........................14分。

状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。