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固体物理课件第二章_晶格热振动 (2)资料

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固体物理：晶格振动与晶体的热学性质

固体物理：晶格振动与晶体的热学性质

5. k空间中点的分布密度
k 点在 k 空间中均匀分布，其分布密度为
k
b1 N1
1
b2 N2
b3 N3
N
(2 )3
V
/ (2 )3
简约布里渊区内 k 点的总数等于原胞的数目，即
N
(2 )3
(2 )3
N
相应的简正模式的数目等于体系的自由度数，为
N[(3n 3) 3] 3nN
五、离子晶体中的长光学波
解： 原子的平均平方位移为（计及相位因子的任意性）
un2
j
1 2
a
2 j
每个格波的平均能量为
Ej
N
1 2
a2j
1 2
Nm
a2 2
jj
由于 Ej kT ，所以
a
2 j
2kT
Nm
2 j
从而
un2
j
kT
Nm
2 j
四、三维晶格的振动 1. 原子位移的表示方法
第 l 个原胞的位置 R(l) l1a1 l2a2 l3a3
l s
k
动力学方程
ms2 As
s ',
D ,
k
s,
s
'
As
'
该方程共有 3n 个解，其中 3 个为声学模式，其余 3n-3 个为光学模式。
4. K的取值与倒格矢及布里渊区
玻恩-卡门边界条件要求
u(Rl N1a1) u(Rl ) u(Rl N2a2 ) u(Rl ) u(Rl N3a3 ) u(Rl )
I m / 1 2 (M M ') / M
M ' M
当 M’> M 时，就会出现一种所谓的共振模式，这是一种准局域模 式，其频率位于原来的频带之中。这种模式虽然不是局域的，但在 杂质附近表现的特别强。

固体物理课件

固体物理课件

e 2 晶体中有3N个振动模 晶体中有 个振动模 C = k ( ∑ B k T ) (eℏω j / kBT − 1)2 V 1） 爱因斯坦模型 ） j =1 B 假设N个原子构成的晶体 个原子构成的晶体， 假设 个原子构成的晶体，
所有的原子以相同的频率 ω0振动 2） 德拜模型 ） 以连续介质的弹性波来代表格 波，将晶格看作是各向同性的 连续介质
V (r + R) = V (r )
布洛赫定理
具有晶格周期性时， 布洛赫定理 —— 势场 V ( r ) 具有晶格周期性时，电子的波 函数满足薛定谔方程 ℏ2 2 [− ∇ + V ( r )]ψ ( r ) = E ψ ( r ) 2m —— 方程的解具有以下性质
ψ ( r + Rn ) = e ik ⋅R ψ ( r )
ω = 2
−
− i (ωt − naq )
2
β
m
ω
aq sin m 2
−π a
β
π π < q ≤ a a
q=
µn = µn+ N 2π
Na
× h —— h为整数 为整数
π a o 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
能量本征值 ε n = ( n q + 1 ) ℏ ω q
q
晶格振动的能量量子； 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 系统能量本征值
原子的振动 —— 晶格振动在晶体中形成了各种模式的波
模型 运动方程 试探解
m µ n = − β (µ n − µ n−1 ) − β (µ n − µ n+1 )
..
一维晶格振动 一维无限长原子链， ， ， 一维无限长原子链，m，a，β

固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之一维单原子链

固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之一维单原子链
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
1 能量本征值 nq nq q 2
2 本征态函数 nq (Qq ) q / exp H nq ( ) 2
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程 波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
2 第一布里渊区的线度 a
2 / a N 第一布里渊区状态数 2 / Na
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 格波的色散关系
aq 2 sin( ) m 2
格波相速度 — 不同波长的格波传播速度不同

色散关系
频率是波数的偶函数
03_02_一维单原子链 ——ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ晶格振动与晶体的热学性质
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
—— 格波的波形图 向上箭头 —— 代表 原子沿X轴向右振动 向下箭头 —— 代表 原子沿X轴向左振动
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度 不同原子间相差 相邻原子的相差
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长波极限下
相邻两个原子振动相位差
—— 晶格可看作是连续介质
—— 相邻原子的相位差取值

固体物理各章节知识点详细总结

固体物理各章节知识点详细总结

3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为
a，原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得： h1h2h3
h1h2h3
简立方：a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···

第二章3固体物理

第二章3固体物理

之间的体积是图中的球壳的体积。
g() 2
态密度的表达式：
g
V
2 2
2 s3
态密度公式的修正
0
在弹性介质中模或态的密度
上面的讨论已把单个的模与每一个q值联系起来，但对于三维的情形不十分确切。因为对 每一个q值，波可以是纵波也可以是横波，实际上与同一个q值相联系，存在三个不同的 模式，一种纵的，两种横的。对于纵波和横波，因为它们具有不同的速度，色散关系是 不同的。如假设它们存在一共同的速度，态密度关系式修正为：
V 4 q2dq
2 3
在三维空间中传播的波的q允许值（图中
所表示的仅是在qxqy平面中的截面）。阴 影部分的圆形壳层是用来计算模数的。
利用色散关系，得到g()d
2
g
d
V
2
3
4
q 2 dq
V
2
3
4
s
d s
这个方程给出了在恒定频率和+d的表面之间的 g ()
点的数目。在q空间中给出的这些表面是球面，它们
• 而对于声学支，0，q0，不管温度多么低，都不能忽略 低频对比热的贡献。因只对声学支，可用线性关系，即
q vsq
(6)
且三个方向都相同
• 利用关系式（6），将（4）式的求和改成积分后，
CV T s
vs q d q
e vsq/kBT 1 2 3
(7)
积分范围限在第一布里渊区
• 事实上，在很低的温度下， vsq kBT 部分对（7）式中积分 的贡献小到可以忽略，积分可视为在整个q空间中进行。采用 球坐标
3N
U E i
i1
3N 1 i1 2
i
e
i

固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版

固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版第四章总结第四章要求1、掌握⼀维单原⼦链振动的格波解及⾊散关系的求解过程以及格波解的物理意义；2、掌握⼀维双原⼦链振动的⾊散关系的求解过程，清楚声学波与光学波的定义以及它们的物理本质；3、了解三维晶格的振动；4、掌握离⼦晶体长光学波近似的宏观运动⽅程的建⽴过程及系数的确定，清楚LST关系及离⼦晶体的光学性质；5、了解局域振动的概念；6、掌握晶格热容的量⼦理论；熟悉晶格振动模式密度；7、掌握⾮谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作⽤。

⼀维晶格的振动和三维晶格的振动晶格振动的简谐近似和简正坐标状态及能量确定晶格振动谱的实验⽅法离⼦晶体的长波近似热容晶格振动的爱因斯坦模型热容量德拜模型晶格状态⽅程⾮简谐效应热膨胀1、⼀维单晶格的振动⼀维单原⼦链格波：晶格振动是晶体中诸原⼦（离⼦）集体地在作振动，由于晶体内原⼦间有相互作⽤，存在相互联系，各个原⼦的振动间都存在着固定的位相关系，从⽽形成各种模式的波，即各晶格原⼦在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。

相邻原⼦之间的相互作⽤βδδ-≈-=d dv Fa d vd ???? ?=22δβ表明存在于相邻原⼦之间的弹性恢复⼒是正⽐于相对位移的第n 个原⼦的运动⽅程)2(11n n n n m µµµβµ-+=-+?)(naq t i nq Ae-=ωµ⾊散关系：把ω与q 之间的关系称为⾊散关系，也称为振动频谱或振动谱。

)21(sin 4]cos 1[222aq maq mββω=-=其中波数为λπ/2=q ，ω是圆频率，λ是波长有位相差。

相邻原⼦之间的位相差为aq 。

（2）q 的取值范围【－(π/a)""这个范围以外的值，不能提供其它不同的波。

q 的取值及范围常称为布⾥渊区。

前⾯所考虑的运动⽅程实际上只适⽤于⽆穷长的链，⽽两端原⼦的运动⽅程与中间的不同，因此有了玻恩-卡曼提出的环状链模型。

晶格热振动


• 因此可以得到结论： • 可以用独立简谐振子的振动来表述晶体中格
波的独立模式。 • 晶格振动的总能量表述为格波的独立模式能
量之和。
• 根据量子理论，一维简谐振动的能量是量子 化的，即频率为ω的振动能量为：
• 三维晶格振动的总能量为 ：
•能量的量子“ ”称为声子 。
ni是频率为ωi的格波模式占据的统计分布： 粒子(电子)是不能相互区别的，并且遵守“ Pauli 不相容原理”(原子中不可能有两个或两个以上 的电子处于同一量子态)。
f(E) =
表示一个电子占据能量为E的能级的几率
玻色-爱因斯坦统计分布
若考虑到粒子（如光子）虽然相互不能区别,但进 入同一能量状态的粒子数不受限制
∙微分形式为： dQ = dE + dA
∙热力学第二定律： dS ≥ dQ/T 对可逆过程取等号，不可逆过程取大于号。
∙系统的自由能F： ∙微分形式为
F = E - TS
dF = -SdT - dA
∙吉布斯函数G： G = F + PV
∙焓H： H = E + PV
∙微分形式为： dG = -SdT - dA + VdP + PdV
1.2材料的热容 1.3材料的热膨胀 1.4材料的热传导 1.5材料的热稳定性
1.1 晶格热振动
1。晶格振动的物理图像
• 晶体内的原子并不是在各自的平衡位置上固 定不动的。
• 由于热运动，各原子离开了它们的平衡位置， 由于原子间的相互作用，有回到平衡位置的 趋势。这两个矛盾相互作用的结果，使每个原 子在平衡位置附近作微振动。
•尺 寸 为 14mmx14mmx14.5mm 的 MC14 （单 颗 重 量8.5g），凭 借 着 铜 材 质 的 高 导 热、以及铸造工艺所造就密集铜柱将显存 散热片的散热效能提升到一个新的高度， 在官方的演示中，在同样5W热源上和25 度室温环境中，MC14凭借新工艺带来的 优势比SKIVING制显存散热片可以多降 温6.5度。

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布拉伐格子 + 基元 = 晶体结构
③ 格矢量：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其

他格点的矢量 Rl 称为格矢量。可表示为
Rl

l1a1

l2a2

l3a3
，
a1,
a2 ,
a3为
一组基矢
注意事项：
1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的
2
4x
·
1
3
二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法 2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子
2·堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A
层，中间的三个原子为 B 层
3·原胞：
a, 1
a 2
在密排面内，互成1200角，a3
沿垂直
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
B A
六角密排晶格的堆积方式
A
a
B c
六角密排晶格结构的典型单元
a3
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
4·注意: A 层中的原子≠ B 层中的原子 → 复式晶格
bγ a
b a
b a
b a
简六体心底正简单三面心正单方底心单心交 立斜交斜 方 简单立方体心正交面立方简四体心四方简单正交简单菱方简单单斜单方
二 、原胞
所有晶格的共同特点 — 具有周期性（平移对称性）
描
用原胞和基矢来描述
述
方
位置坐标描述
式
1、 定义：
原胞：一个晶格最小的周期性单元，也称为固体物理 学原胞
a1, a2 , a3 为晶格基矢
复式晶格：
l1, l2 , l3 为一组整数
每个原子的位置坐标：r l1a1 l2a2 l3a3

固体物理：6-晶格振动-2

晶格振动2
主要内容
• 声子态密度 • 固体的比热 • 固体的热膨胀 • 局域模 • 离子晶体的长光学波
周期边界条件
态密度为
热力学极限下，k-空间的求和转化为积分
态密度
d 之间，格波数目
g()
V
(2
)3
d
*
3q [
(q)]
求和关系
0
d g ( )
V
(2
)3
d
d
3q
[
(q)]
f
2 x
f
2 y
f
2 z
| fz |
d
3x
[
f
(x,
y,
z)]
S
|
dS f
|
g ( )
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
各个维度下的态密度
3D
g ( )
V
(2
)3
|
dS
(q)
|
2D
g ( )
S
(2
)2
dl
| (q) |
1D
g() L
2
(2 ) | d / dq |
态密度的应用
把动量积分转化成频率积分
k
Clq
Ctq
波矢空间的态密度
V
(2 )3
q q dq
状态数量
V
(2
)3
4q 2 dq
V
(2
)3
4q 2 dq
d
q Cl
之间，格波数目
q Ct
1 ( Cl3
2 Ct3
)
V
2
2
2d
g ( )

固体物理学_晶格振动与晶体的热学性质之_晶格振动模式密度剖析

03_09 晶格振动模式密度
晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 —— 不同频率的振动模对应不同的能量
给定晶体 —— 总的振动模数目是一定的 按振动频率分布 —— 用晶格振动模式密度来描述
振动模式密度 —— 研究晶体热容、电学和光学性质
晶格振动模式密度 g() lim n —— 单位频范霍夫奇点 —— 晶体中一些高对称点__布里渊区边界 —— 这些临界点与晶体的对称性密切相联
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
ds
(2 )3 q(q)
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
简单几种情况下振动模式密度的表示 一维无限长单原子链 —— 最大频率 振动模式密度 一维情况下
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
考虑到一个频率可以有 两个值 振动模式密度
g() 2N 1 m2 2
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
q空间 —— 振动模是均匀分布的，状态密度
根据
做出一个等频率面
两个等频率面 和
之间的振动模式数目
—— 频率是q的连续函数
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
之间振动模式数目
g() lim n 0
g() V
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度
振动模式密度 g() 2N 1 m2 2
03_09_晶格振动模式密度 —— 晶格振动与晶体的热学性质
德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比
g()
V
2 2c3
2
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)2
g(EF
)
g(E)

2
E
5 2
5
g(E)

3
E
1 2
2
E

2 5
C N
EF5/ 2

2
6
(kBT )2
3 2
C N
1
EF2

2 5
C N
5
(EF2

5 2
8
1
(kBT )2 EF2 )
3.5 自由电子比热
二、电子气的比热容
若系统中有N个电子,根据比热容的定义 cV 比热容为:


EF )
(kBT)]1对于能量较高的电子,满足
由冲量定理有：
m
dv


dk


e
dt dt
f


mvE
t
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
mvE

e
t
即:
vE


et
m



由于电子的漂移运动,电子气系统产生一个沿外场方向的电流 jE
jE

nevE

ne2t
m




ne2t
3.2 自由电子的量子理论
一、周期性边界条件
周期性边界条件：



(r (r

Lx Ly
) )


(r ) (r )



(1) (2)
(r Lz ) (r ) (3)
Lx N1a1 Ly N2a2 Lx N3a3
将周期性边界条件（1）式与金属电子的波动方程联立得：
C(EF0
3
)2
0
2
EF0

(3 2
N C
2
)3

2 2m

3N Vc
2
3
2 (3n 2 )23 2m
g(E)
E O
自由电子的状态密度曲线
E 1 N

EdN
0

1 N

E (E)dE
0
1 N
EF0 0
3
CE 2dE

3 5
E
0 F
3.3费米面与态密度
j AT 2eW kBT
里查逊----杜师曼定律
T为绝对温度;A为常数,不同金属A的值不同.
3.7 金属的电子热发射
用电子气模型来计算热电子发射电流的大小:
在波矢空间中,体积元dk dkxdkydkz中电子态的数目为:
dZ

Vc
4 3
dk x dk y dk z
按费米分布,这些态 上的电子数密度为:
这种阻力来源于晶格振动(声子)以及晶格中的缺陷和杂质原 子与电子间的相互作用.
对于电子运动阻力的定量分析是复杂的,这里用简单的弛豫时 间方法来处理.
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
电子运动的群速度为：
v d d dE(k)
dk dk dk
当晶体外加电场时,电子被加速, 按牛顿力学有:
N CE 2 f (E)dE 0

2
3
CE 2
3
|0

2 3

C
0
3
E2
f
(E)dE
先求积分I：
I
(
EF
)



g
(
E
)
f (E E
)
dE
0
I0g(EF ) I1g(EF ) I2g(EF )

g(EF
)

2
6
(kBT
)2
g(EF
)
I0



3
bT 3
3
低温下金属总的比热容为:
2
KCl
cV cVe cVc T bT 3
1
变形为:
cV bT 2
T
0
Cu
5
10 15 T 2 K 2
金属总的比热容
3.6 自由电子气的电导率
一、弛豫时间近似
若晶体中的电子是完全自由的,则晶体将没有电阻,在外场作用 下电子定向运动的速度越来越大直至无穷,这是与实验不相符 的.在实际上,电子在晶体内运动时,要受阻力作用.
第三章 金属自由电子理论 Free Electronic Theory of Metals
3.0 引言
一、基本内容
经典电子理论及其局限性 量子自由电子理论 态密度及费米面 金属的接触势差 电子比热
二、学习要点
掌握量子理论的提出过程 掌握态密度的求法 熟练掌握费米面的概念
－绝对零度下的费米能级记为：EF0
f (E)
1
EEF
e kBT 1
a. kBT 0
f (E)
1

陡变
E EF E EF
0 E EF
b. kBT 1
1 E EF
f
(E
)

1 02
E EF E EF
c. kBT 2.5
1 E EF
m

在波矢空间中,当电子气系统达到稳定平衡状态后,每个电子的波矢增加了 k

k

mvE

可见:弛豫时间越大,即阻力越小,则导电能力越强.
3.6 自由电子气的电导率
二、电子导电的准经典处理
kx
kx

kx
ky
无外场
有无外场
电场作用下费米球移动示意图
对导电有贡献仅仅是费米面附近的电子
3.7 金属的电子热发射
f (E)
1
E
e kBT 1
—Fermi- Dirac 分布
其中： 为电子的化学势, 一般称绝对零度下的电子化学势为费米面
T=0K时， ＝EF
f(E)
E EF : f (E) 0 状态全空
1
EF
E EF : f (E) 1 状态全被占据
E




EF










用电子速度表示 波矢和能量:
1
dn
E

1
4
mv2
3
f (E)dkxdkydkz
v

2 p
k
mm
所以
dk x dk y dk z


m
3
dvx
dv
y
dvz
3.7 金属的电子热发射
dn

1 4
3

m
3

exp[(
dvx dv y dvz
mv2 2
－－十分重要
3.3费米面与态密度
四、态密度
3.3费米面与态密度
五、自由电子气体的态密度和费米面
对于自由电子，等能面是球面，由上述分析可得
g(E)

Vc
2 2
(
2m
2
)
3 2
E
1 2
1
CE 2
其中
C

Vc 2 2
(
2m 2
)
3 2

N (E)dE

EF0
CE
1 2
dE
0

2 3
2m

平面波形式的解 :


(r )



eik r
0
其中 r 为电子的位置矢量，k 为波矢量.
2k 2 E
2m
p

k
上面讨论的是无任何限制的自由电子的性质，它的动量具有确定值，速度与波的 群速度一致，而坐标不受任何限制，电子在空间各电出现的几率相等.在金属的 自由电子论中，电子的势能为零，但它不完全自由，它的位置受金属边界的限制.
六、与费米面相关的一些概念
对于自由电子，费米面为球面. 费米面上的电子的能量称为费米能, 对应的波矢为费米波矢, 对应的电子的速度为费米速度.
2
由
EF0

2 2m

3N Vc
2

3

k
2 F
2m
得绝对零度时的费米波矢为:
由电子动量 kF0 mvF0 得绝对零度时的费米速度矢为:


3.3费米面与态密度
二、费米面的物理意义
费米能级在k空间的等能面－费米面； 绝对零度下，金属中电子态被占据和未被占据的能级分界面； 费米能级是绝对零度下电子的化学势； 自由电子的费米面为球面。
特别提示：
有些教科书、专著或文章中，将任何温度下的电子化 学势均称为费米面，此时费米能级是温度的函数，而
• Semiconductor: Resistance decreases with Temperature. • Why? Temp t, n (“free-up” carriers to conduct)
3.2 自由电子的量子理论
一、波函数与能级
薛定谔方程：
2 2 E
eikxLx 1
kx

2
Lx
nx , nx

0,1,2,
同理有：
ky

2
Ly
ny , ny