最新上海市2019届高三数学3月月考试题(理,有答案)

上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。

1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。

2019学年第一学期高三第三次月考试卷数学(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意，令，得，所以，其子集的个数为，故选B.2. 的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在中，则,即，若，则，即，所以是成立的充要条件，故选C.3. （）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，故选D.4. 下列命题中正确的是（）A. 命题“，使”的否定为“，都有”B. 若命题为假命题，命题为真命题，则为假命题C. 命题“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”【答案】D【解析】选择A：命题“，使”的否定为“，都有”；选项B：为真命题；选项C：“若，则与的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选D5. 中，角的对边分别为，，，，则为（）A. B. C. D.【答案】A..................由正弦定理，可得，进而得到，故选A.6. 已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（）A. 18B. 27C. 45D. 54【答案】C【解析】由题意得，这九个数的和根据等差数列的性质，得，又因为各列也构成等差数列，则，所以，故选C.7. 已知函数（），且导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，由图象可得，函数的最大值，又因为，所以，可得，所以，将代入，得，即，即，因为，所以，所以所以，故选B.8. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在仿射坐标系中的坐标.若在此仿射坐标系下，的坐标为，的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平面直角坐标系可得：，则，所以，故选A.9. 函数（）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知，所以函数是奇函数，依据图象排除A和C选项，由于，即，排除D选项，故选B.10. 将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（）A. B. 不存在，使得C. 对，且，都有D. 以上说法都不对【答案】C【解析】由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，所以当，且时，是成立的，故选C.11. 已知，，，则函数（）的各极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以，则，所以的极大值点为，的各极大值之和为，故选A.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题，其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值，以及等比数列求和公式等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中认真审题，利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键.12. 如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，因为，且，所以，得，所以，又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，故选B.点睛：本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题，其中解答中涉及到向量的线性运算，共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用，试题综合性强，属于中档试题，解答中根据向量的运算和共线向量的表示，得出数列和的关系是解答的关键.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】由，及，可得，所以.14. 已知函数，若，则实数的值是__________．【答案】0或或【解析】由题意得，①当时，，符合题意；②当时，，解得，符合题意；③当时，，解得，符合题意，综上所述，或或.15. 若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为__________．【答案】0【解析】设切点，则，所以方程为，即，所以，，可得在上单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值.点睛：本题主要考查了导致在函数中的应用，其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据导数的几何意义，得出切线方程，求得的解析式是解答的关键.16. 点为所在平面内的一点且满足，，动点满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，即点是外接圆的圆心，即外心，又因为，即点是外接圆的重心，所以是等边三角形，由，解得，即三角形的边长为，以点为原点建立坐标系，并且做单位元，点是圆上任意一点，则，点是的中点，所以，，当时，函数取得最小值，即的最小值为.点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的性质，正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质，试题综合性强，属于难题，解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形，建立坐标系，利用坐标法求解是解答的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，记函数.(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；(2)求函数在区间内的单调递减区间.【答案】（1）最大值，且取得最大值时的集合为；（2）和【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值.(Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．试题解析：当，即时，取得最大值.此时，最大值.且取得最大值时的集合为.(2)由题意: ，即，．于是，在的单调递减区间是和．18. 在等差数列中，，.记数列的前项和为.(1)求；(2)设数列的前项和为，若成等比数列，求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，求得等差数列的公差，进而得到数列的通项公式，即可求解数列的前项和.(Ⅱ)由成等比数列，求解，进而得到数列通项公式，再猜裂项相消求和即可.试题解析：(1)由得，∵，∴，∴，∴，∴，．(2)若成等比数列，则，即，∴，∵∴ .19. 设分别为三个内角的对边，若向量，，且. (1)求的值； (2)求的最小值(其中表示的面积).【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得，得出向量的坐标，根据，利用，化简即可到结论；(Ⅱ)由三角形的面积公式及余弦定理，得，在中，得出，再利用正切的两角和公式和基本不等式，即可求解结论.试题解析： (1) ∵ ，，且，∴即，， 因此.(2)由及余弦定理，得在中，∵，易知，∴即当且仅当时，．20. 设函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由定义域为，求得，分，两种情况讨论，即可得出函数的单调性；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到，则恒成立，转化为函数，得出，令令，利用导数得出的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)由定义域为，，当时，，在单调增．当时，，；在单调增，在单调减．综上所述:当时，在单调增；当时，在单调增，在单调减．(2)由(Ⅰ)可知，，则恒成立．令，显然，再令，，当，当．在单调减，单调增．，，∴，在单调增，，∴．21. 设正项数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.①求；②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意，可化简得，进而求得，所以，利用等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；(Ⅱ)由（1）得出，利用乘公比错位相减法，求解数列的和，在利用恒成立，分类参数转化为恒成立，即可求解结论.试题解析：(1) ，，∴，∴且各项为正，∴又，所以，再由得，所以∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴(2)∴，①，②∴，恒成立∴，即恒成立.设，当时，；时，∴，∴.点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.22. 已知函数.(1)若，试判断函数的零点个数；(2)若函数在上为增函数，求整数的最大值，(可能要用的数据:；).【答案】（1）1个；（2）6【解析】试题分析：(Ⅰ)根据导数求解函数的单调性，利用零点的存在定理，即可判定函数在上的零点的个数.(Ⅱ)由题意，把在上恒成立，在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，即，利用导数求解函数的单调性和最小值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)因为，易知在上为增函数，则，故在上为增函数，又，，所以函数在上的零点有且只有1个.(2)因为，由题意在上恒成立，因为显然成立，故只需在上恒成立，令，则因为由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为，，，则，，则在为减函数，在为增函数，故时，有最小值.令，则最小值有，因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及恒成立问题的求解，试题综合性强，属于难题，此类问题的解答中，根据题意合理利用分离参数转化为新函数的性质是解答的关键.。

2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。

2019届上海市洋泾中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．给定集合A ，B ，定义{},,A B x x m n m A n B *==-∈∈，若{}4,5,6A =，{}1,2,3B =，则集合A B *中的所有元素之和为（ ）A.15B.14C.27D.14-【答案】A【解析】根据集合的新定义，分别表示出符合A B *的集合的元素，再求和即可 【详解】由题可知，456m ,,=，1,2,3n =， 当4m =时，1,2,3n =时，321m n ,,-= 当5m =时，1,2,3n =时，432m n ,,-= 当6m =时，1,2,3n =时，543m n ,,-= 所以{}12345A B ,,,,*=，元素之和为15 故选：A 【点睛】本题考查对新定义的理解，元素与集合的关系，解题关键在于不遗漏,m n 的取值，正确算出m n -，属于基础题2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若m α⊥，n α，则m n ⊥；（2）若αβ∥，βγ，m α⊥，则m γ⊥；（3）若m α，n α，则m n ；（4）若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥,其中正确命题的序号是（ ） A.（1）（2） B.（2）（3） C.（3）（4） D.（1）（4）【答案】A【解析】根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得①是真命题；根据面面平行的性质，结合线面垂直的性质，可得②是真命题；在正方体中举出反例，可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得③④不正确，从而求解 【详解】对于①，因为n α，所以经过n 作平面β，使l βα⋂=，可得n l ∥，又因为m α⊥，l α⊂，所以m l ⊥，结合n l ∥得m n ⊥，由此可得①是真命题；对于②，因为//αβ且βγ，所以αγP ，结合m α⊥，可得m γ⊥，故②是真命题； 对于③，设直线m 、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，而平面α是正方体下底面所在的平面，则有m α且n α成立，但不能推出m n ，故③不正确； 对于④，设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出αβ∥，故④不正确综上所述，其中正确命题的序号是①和② 故选：A 【点睛】本题考查空间中线面位置关系，线面平行，面面平行的性质，线面垂直，面面垂直的判定与性质，属于中档题 3．已知集合(){},loglog 0aa A x y x y =+>，(){},B x y x y a =+<，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A.∅B.0a >且1a ≠C.02a <≤且1a ≠D.12a <≤ 【答案】D【解析】利用对数的运算性质化简集合A ，然后画出图形，数形结合求得使A B =∅的a 的取值范围 【详解】log log log 0log 1a a a a x y xy +=>=，当1a >时，有1xy >，1y x∴>当01a <<时，有01xy <<，1y x∴< (1)当01a <<时，1y x=与y x a +<的区域始终由公共点，01a ∴<<应舍去(2)当1a >时，要使AB =∅，需有x y a +=刚切过(1,1)时，即2a =时成立，将此直线向左下平移也成立，12a ∴<≤，故选：D 【点睛】本题考查简单的线性规划，交集及其运算，体现了数形结合的数学思想方法，数学转化思想方法，属于中档题 4．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（ ）xA.[1,1]- B.[C.[2,2]- D.[ 【答案】C【解析】试题分析：由题意OM ON ⊥，PM OM OP =-，则()PM ON OM OP ON OM ON OP ON ⋅=-⋅=⋅-⋅ON OP =-⋅，由于1ON =，2OP =，所以ON OP ⋅的最大值为2，最小值为2-，即ON OP =-⋅[2,2]∈-.也可以这样做，OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,cos (ααM ，)cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.答案选C .【考点】向量的线性表示，与向量的数量积及其性质.二、填空题5．复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______． 【答案】1【解析】先将复数化简，再求虚部即可 【详解】()11i i i +=-+，所以复数的虚部为：1故答案为：1 【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z a bi =+中，实部为a ，虚部为b ，属于基础题 6．设全集U =R ，集合{}2log A x y x ==，{}210B x x =-<．则()UA B =ð______．【答案】{}10x x -<≤【解析】先求集合A 的补集，再求()U A B ð即可【详解】解得集合{}0A x x =>，故{}0U A x x =≤ð，{}11B x x =-<<，所以()U A B =ð{}10x x -<≤故答案为：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合的混合运算，遵循有括号先算括号原则，属于基础题7．已知函数()()arcsin 21f x x =+，则16f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】14-【解析】根据反函数定义,先求得()()arcsin 21f x x =+的反函数,再代入求解即可. 【详解】因为()()arcsin 21f x x =+ 即()arcsin 21y x =+令y x =,则()arcsin 21x y =+ 化简可得11sin 22y x =-+,（x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），即()111sin 22f x x -=-+ 所以1111162224fπ-⎛⎫=-+⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,三角函数的求值,属于中档题.8．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高，现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为______cm ．【答案】253【解析】由题可知，球体取出后，柱体水面下降的高度对应的体积即为球体的体积，根据等量关系计算即可 【详解】设圆柱体水面下降的高度为h ，球体半径为R ，则有=V V 球柱降，即()23423R R h ππ=，解得53h =，则容器中水面的高度为12523h R h =-=故答案为：253【点睛】本题考查球体体积公式，柱体体积公式的计算及等体积法的应用，属于基础题 10．双曲线(，)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 【答案】2【解析】试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.11．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率12．函数2()log (43)a f x x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[,)m +∞上存在反函数，则实数m 的取值范围是____ 【答案】(3,)+∞【解析】若函数()f x 在区间[,)m +∞上存在反函数，则()f x 在该区间上单调，由此可得m 的范围。

上海市上海交通大学附属中学2019届高三数学3月月考试题（含解析）一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果. 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P 为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y 的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。

2019年上海市青浦中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题 1．已知中，，则的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B【解析】根据向量的运算法则可得,可得，即，得到答案。

【详解】根据向量的运算法则可得,所以，所以，所以为直角三角形，故选B 。

【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形形状的判定问题，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理化简、运算得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2．已知数列11100002210000nn n a n ⎧≤≤⎪=⎨⎪>⎩（*n ∈N ），则lim n n a →∞=（ ） A.0 B.12C.1D.2【答案】D【解析】当c 为常数时，lim n c c →∞=，代入即可得解. 【详解】解:由已知有lim n n a →∞=lim 22n →∞=， 故选D. 【点睛】本题考查了常数的极限，属基础题.3．设x 、y 满足221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最小值为2，则ab 的最大值为（ ） A.14B.12C.1D.2【答案】A【解析】先作出x 、y 满足不等式组的可行域，再求出目标函数的最小值，再结合重要不等式2()2a b ab +≤求解即可. 【详解】解：x 、y 满足221x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩的可行域如图所示，因为目标函数z ax by =+（0a >，0b >），故当目标函数所对应直线过点(2,2)A 时，目标函数取最小值22a b +， 由已知有222,(0,0)a b a b +=>>，则21()24a b ab +≤=， 即ab 的最大值为14，故选A.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了重要不等式，属基础题.4．已知a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，若|||22|3c a c b -+-=，则|2|c a +的取值范围是（ ）A.B.C.[2,3]D.【答案】B【解析】先由已知设各向量所对应的坐标，再结合向量模的几何意义，求出向量c 对应点C 的运动轨迹，再结合点到直线及两点的距离求解即可. 【详解】解：因为a 、b 均为单位向量，且0a b ⋅=，所以设(1,0)OA a ==，(0,1)OB b ==，22(0,2OD b == ，(,)OC c x y ==,则213AD ==,由||c a -的几何意义为点C 到点A 的距离，|22|c b -的几何意义为点C 到点D 的距离，因为|||22|3c a c b -+-=，即3CA CD +=，又3AD =uuu r，即点C 在线段AD 上运动，设2(2,0)OE a =-=-则|2|c a +的几何意义为点E 到点C 的距离，又AD 所在的直线方程为0y +-=，则min EC ==点E 到点C 的最大距离为点(2,0)-到点(0,的距离，即为=即 |2|23c a +≤， 故选：B. 【点睛】本题考查了向量模的几何意义及动点的轨迹问题，重点考查了点到直线及两点的距离，属中档题.二、填空题5．已知全集={13579}U ，，，， ，集合A={579}，，，则A=U C ____________ 【答案】{}1,3【解析】由A,B 结合补集的定义,求解即可. 【详解】结合集合补集计算方法,得到{}1,3U C A = 【点睛】本道题考查了补集计算方法,难度较容易.6．已知复数1i z m =+（m ∈R ），212i z =-，若12||||z z =，则||m =_______ . 【答案】2【解析】=.【详解】解：因为复数1i z m =+（m ∈R ），212i z =-，又12||||z z =，=24m =，即||2m =，故答案为：2. 【点睛】本题考查了复数的模的运算，属基础题. 7．二元一次方程组2321x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式的值等于_______ .【答案】5【解析】先列出二元一次方程组2321x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式为1221-，再求解即可.【详解】解：因为二元一次方程组2321x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式的值为12112(2)521-=⨯-⨯-=，故答案为：5. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的系数行列式及行列式求值，属基础题.8．直线(12)10m x my -++=和直线330x y ++=垂直，则实数m 的值为________. 【答案】1-【解析】由两直线垂直的充要条件，因为两直线垂直，则(12)130m m -⨯+⨯=，运算可得解. 【详解】解：因为直线(12)10m x my -++=和直线330x y ++=垂直， 则(12)130m m -⨯+⨯=，解得1m =-， 故答案为：1-. 【点睛】本题考查了两直线垂直的充要条件，重点考查了运算能力，属基础题. 9．半径为3的球的体积等于________. 【答案】36π【解析】由球的体积公式343V r π=代入运算即可. 【详解】解：因为球的半径为3，则球的体积为343363ππ⨯=，故答案为：36π. 【点睛】本题考查了球的体积公式，属基础题.10．已知点A 是圆222x y r +=上的一点，则过A 的圆的切线方程是_______ .【答案】0x +-=【解析】不妨设(,)P x y 为过A 的圆的切线上任意一点，(0,0)O 为圆心，由圆的性质可得0AP OA ⋅=，再利用向量数量积运算即可得解. 【详解】解：由点A 是圆222x y r +=上的一点，则2229r =+=，设(,)P x y 为过A 的圆的切线上任意一点，(0,0)O 为圆心， 则有0AP OA ⋅=,又(AP x y =--，(3,OA =0x y -+-=，化简得0x -=，即过A 的圆的切线方程是0x -=，故答案为：0x +-=. 【点睛】本题考查了圆的切线方程的求法，重点考查了向量数量积的运算及轨迹与方程，属基础题.11．8的展开式中常数项的二项式系数为________.【答案】70【解析】由二项式8的展开式的通项公式为41812r rr r T C x -+=，令40-=r ，解得4r =，再求所求二项式系数即可. 【详解】解：由二项式8的展开式的通项公式为8418812r r r r rr r T C C x --+==得，令40-=r ，解得4r =，即8的展开式中常数项为第5项，则第5项的二项式系数为488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，故答案为：70. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式及展开式的二项式系数，属基础题.12．若()sin f x x x =+在[,]m m -（0m >）上是增函数，则m 的最大值为________. 【答案】6π【解析】先由辅助角公式求得()2sin()3f x x π=+，再求出函数()f x 的单调增区间，则有[,]m m -5,66ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，再列不等式组求解即可. 【详解】解：因为()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，令22232k x k πππππ-≤+≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数()f x 的单调增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，又()sin f x x x =在[,]m m -（0m >）上是增函数， 所以[,]m m -5,66ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以566m m ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得06m π<≤，即m 的最大值为6π， 故答案为：6π. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间及利用单调性求参数的范围，属中档题.13．安排4名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有________种. 【答案】36【解析】由排列组合中的平均分组问题可得：将4名学生分成3组，每组至少1人，共有2142226C C A =种分法，再由分步原理求解即可. 【详解】解：先将4名学生分成3组，共有2142226C C A =种分法， 再将这3组安排到3个社区进行志愿服务，共有336632136A ⨯=⨯⨯⨯=种不同的安排方式， 故答案为：36. 【点睛】本题考查了排列组合中的分步原理，重点考查了平均分组问题，属基础题. 14．已知数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =-，若19k S ≤≤（*k ∈N ），则k =________. 【答案】2或4【解析】由,n n S a 的关系可得12n n a a -=-，则数列{}n a 是以1-为首项，2-为公比的等比数列，再利用等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】解：因为2133n n S a =-，所以112133n n S a --=-所以111212122()333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，111212122()333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=- 则12n n a a -=-，又1112133a S a ==-，所以11a =-，则数列{}n a 是以1-为首项，2-为公比的等比数列，则(1)[1(2)](2)11(2)3k k k S -⨯----==--，令(2)1193k --≤≤，解得2k =或4， 故答案为：2k =或4. 【点睛】本题考查了数列通项公式的求法及等比数列前n 项和，重点考查了运算能力，属中档题.15．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若()()g x f x x b =--有三个零点，则实数b 的取值集合是________.【答案】114,444k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈【解析】先根据条件判断函数()f x 的对称性和周期性，再求出函数()f x 在一个周期内的解析式；要求()()g x f x x b =--的零点问题，可令()0g x =，得()f x x b =+，然后在同一个坐标系中画出()y f x =和y x b =+的图像，通过观察图像，列式求解得b 的取值范围． 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 的对称中心是()0,0点，因为(1)f x -为偶函数，所以(1)f x -的对称轴是0x =，所以()f x 的对称轴是1x =-， 所以()f x 的周期4104T =--=， 且1x =-也是()f x 的对称轴，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，[0,1]x ∈时，2()f x x =，所以[2,2]x ∈-时()()[]2222,[0,1),[1,0)()2,[2,1)2,1,2x x x x f x x x x x ⎧∈⎪-∈-⎪=⎨-+∈--⎪⎪-∈⎩，因为()()g x f x x b =--有三个零点， 所以令()0g x =，得()f x x b =+，即()y f x =和y x b =+的图像有三个不同的交点， 因为在一个周期内，当直线y x b =+与2()f x x =在[0,1]x ∈内相切时，令2x x b =+，得20x x b --=，114b ∆=+， 所以10∆=，得14b =-， 此时，14y x =-在1x =-处得54y =-， 即直线y x b =+与2()f x x =在[2,0]x ∈-内没有交点，在[0,2]x ∈内有两个交点，所以要使()y f x =和y x b =+的图像有三个不同的交点，需14b >-， 当直线y x b =+与2()f x x =-在[1,0]x ∈-内相切时，令2x x b -=+，得20x x b ++=，214b ∆=-， 所以20∆=，得14b =，此时，14y x =+在1x =处得54y =， 即直线y x b =+与2()f x x =在[0,2]x ∈内没有交点，[2,0]x ∈-在内有两个交点， 所以要使()y f x =和y x b =+的图像有三个不同的交点，需14b <， 综上1144b -<<， 所以，由周期性得114,444b k k ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈. 【点睛】本题考查函数零点问题，常用的方法有数形结合法、转化法.函数()()g x f x x b =--有三个零点⇔方程()()0g x f x x b -++=有三个实数根⇔函数()()y g x f x x b =-++的图像与x 轴有三个不同的交点 ⇔()0g x =时，()y f x =和y x b =+的图像有三个不同的交点.16．设椭圆C ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c ，点(,)2aQ c 在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是______．【答案】1(,42【解析】∵点Q （c ，2a ）在椭圆的内部，∴22b a a >，⇒2b 2＞a 2⇒a 2＞2c 2．2c a <|PF 1|+|PQ|=2a ﹣|PF 2|+|PQ|又因为﹣|QF 2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=2a， 要|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ|≤2a+2a＜5×2c,510c 2a <，14c a >，则椭圆离心率的取值范围是1,42⎛ ⎝⎭．故答案为：1,42⎛ ⎝⎭点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题17．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求异面直线1DC 、1B C 所成角的余弦值； （2）求二面角11B DC C --的平面角的余弦值.【答案】23.【解析】【详解】试题分析：建立空间直角坐标系，由题意写出相关点的坐标；（1）求出直线11,DC B C 所在的方向向量11,DC B C ，直接计算即可；（2）求出平面1B DC 与平面1DCC 的法向量，计算即可.试题解析： （1）如图所示，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1为坐标轴，建立空间直角坐标系C-xyz则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，D(2，0，1). 所以1(2,0,1)DC =-，1(0,2,2)B C =--，所以111111cos(,)105DC BC DC B C DC B C⋅===-.即异面直线DC 1与B 1C 所成角的余弦值为10.（2）因为(0,2,0)CB =，(2,0,0)CA =，1(0,0,2)CC =，所以0CB CA ⋅=，10CB CC ⋅=，所以CB 为平面ACC 1A 1的一个法向量。

杨浦高级中学高三三月月考数学试卷一. 填空题1. 抛物线2y x =的焦点坐标为2. 已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合2{|,,}1A x x x Z n Z n ==∈∈-，则U C A = 3. 如果131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则a 的取值范围是4. 关于x 的方程：4|42|3xx⋅-=的解为5. 不等式1001lg 20111xx x-≥-的解集为6. 向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+（,R λμ∈），则λμ= 7. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（*n N ∈），则2n a =8. 在10(2)x y z ++的展开式中，325x y z 的系数为9.（理）在极坐标中，将圆2ρ=沿着极轴正方形平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转4π 弧度，则所得的曲线的极坐标方程为（文）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则其高h =10. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客 进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2 人）的概率是11. 已知定义在R 上的函数()y f x =对于任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数2()()log ||g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是12.（理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b （,0a b ≠），不得分的概率为2a b+，若他投篮一次得分ξ的数学期望74E ξ>，则a 的取值范围是（文）设全集{(,)|,}U x y x y R =∈，34120(,)|280,,260x y P x y x y x y R x y ⎧+->⎫⎧⎪⎪⎪=--<∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+>⎩⎩⎭，222{(,)|,}Q x y x y r r R +=+≤∈，若U Q C P ⊆恒成立，则实数r 的最大值是13.（理）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：① 10i；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z z z z ++；④ 对于复数0z ，若12z z ，则12z zz z ⋅⋅；其中，真命题的序号为（文）已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），若1231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，若61a =，则m 所有可能的取值构成的集合为14.（理）符号1n ii a =∑表示数列{}na 的前n 项和（即121...nin i aa a a ==+++∑），已知数列{}n a满足10a =，11n n n a a a +≤≤+（*n N ∈），记11(1)kna k n k S a -==-∑（01a <<），若20160S =， 则当20161ka k a=∑取最小值时，2016a =（文）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：① 10i；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z zz z ++；④ 对于复数0z ，若12z z ，则12z zz z ⋅⋅；其中，真命题的序号为二. 选择题15. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分 别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中 间一组（即第五组）的频数为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 4816. 已知F 为双曲线22:3C x my m -=（0m >）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A.B. 3C.D. 3m17. 将函数sin y x x =+（x R ∈）的图像向左平移m （0m >）个单位长度后所得 到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A.12π B. 6π C. 3πD. 56π 18. 在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ） A. 76R π B. 2R π C. 73R π D. 83R π三. 解答题19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面是边长为6的正方形ABCD ，8PA =，PA ⊥面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ； （理）（1）求证：AB MN ⊥；（2）求二面角N AM B --的大小； （文）（1）求证：AB MN ⊥；（2）求异面直线AM 与PB 所成角的大小；20. 已知向量11(,sin )22a x x =+和向量(1,())b f x =，且a ∥b ； （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）（理）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若(2)16f A π-=，BC =，求△ABC 面积的最大值；（文）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若有(2)16f A π-=，BC =sin 7B =，求AC 的长度；21. 某地拟模仿如图建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t ，曲线BC 是抛物线230y ax =-+（0a >）的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径；（1）若要求20CD =米，30)AD =米，求t 与a 的值；（2）当010t <≤时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过45米，求a 的取值范围；22. 已知111212122212.....................m m m m mm a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，每一行都是首项为1的等差数列，第m 行的公差为m d ，且每一列也是等差数列，设第m 行的第k 项为mk a （,1,2,3,..,m k n =，3n ≥，*n N ∈）； （1）证明：1d 、2d 、3d 成等差数列，并用m 、1d 、2d 表示m d （3m n ≤≤）；（2）当11d =，23d =时，将数列{}m d 分组如下：（1d ），（2d ，3d ，4d ），（5d ，6d ，7d ，8d ，9d ），…（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()m c （0m c >），求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ；（3）在（2）的条件下，设20N ≤且*N N ∈，当n N >时，求使得不等式1(6)50n n S d -> 恒成立的所有N 的值；23. 如图，圆O与直线20x ++=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y = 在第一象限的交点为B ，点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，以x 、y 为坐 标的动点(,)D x y 的轨迹记为曲线Γ； （1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线1:l y kx=和21:l y xk=-分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值；（3）（理）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆；（2）（文）已知曲线Γ的轨迹为椭圆，研究曲线Γ的对称性，并求椭圆Γ的焦点坐标；参考答案一. 填空题1. 1(,0)42. {0}3. (4,2)-4. 4log 3x =5. 2(0,](1,)3+∞6. 47. 2n8. 201609.（理）4cos()4πρθ=- （文）410.3125611. 1(0,](5,)5+∞ 12.（理）52(,)123a ∈ （文）12513.（理）① ② ③ （文）{4,5,32} 14.（理）1007 （文）① ② ③二. 选择题15. C 16. A 17. B 18. C三. 解答题19.（1）证明略；（2）（理）（文）；20.（1）函数()f x 的最小正周期为2π，最大值为2；（2）；（文）2AC =； 21.（1）10t =，190a =；（2）2125a ≥； 22.（1）证明略，12(2)(1)m d m d m d =-+-；（2）1(23)26n n S n +=-⋅+；（3）5,6,7,8,...,20N =；23.（1）22:1O x y +=，22:1x y xy Γ++=（,[x y ∈）；（2）当1k =±时，四边形EMFN ； （3）（理）曲线Γ关于直线y x =，y x =-和原点对称，证明略；（文）曲线Γ关于直线y x =±和原点对称，焦点坐标为1(F ，2F ；。

2019届上海市建平中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．“3x >”成立是“(3)0x x ->成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别将条件和结论化简，再根据范围大小判断充分和必要条件是否成立即可 【详解】()()3,33,x x >⇔∈-∞-+∞U ，()()(3)0,03,x x x ->⇒∈-∞+∞U ，显然条件比结论范围小，条件推结论成立，结论推条件不成立，故“3x >”成立是“(3)0x x ->成立”的充分非必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，将条件结论作等价转化是关键，属于基础题 2．已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（ ） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示。

若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩„，即2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩„， 解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8. 则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21. 故选C.3．如果函数()y f x =图象上任意一点的坐标(),x y 都满足方程()lg lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是（ ）A ．()y f x =是区间()0,∞+上的减函数，且4x y +≤B ．()y f x =是区间()1,+∞上的增函数，且4x y +≥C ．()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≥D ．()y f x =是区间()1,+∞上的减函数，且4x y +≤ 【答案】C【解析】由给出的方程得到函数()y f x =图象上任意一点的横纵坐标,x y 的关系式，利用基本不等式求出x y +的范围，整理出()1111y x x =+≠-，可得函数在()1,+∞上的增减性，二者结合可得正确答案． 【详解】()lg lg lg lg x y x y xy +=+=Q 00x y x y xy >⎧⎪∴>⎨⎪+=⎩22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭Q （当且仅当x y =时取等号）22x y x y +⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，解得：4x y +≥ 由x y xy +=得：()11111111x x y x x x x -+===+≠--- 当()1,x ∈+∞时，11y x =-为减函数 111y x ∴=+-在()1,+∞上为减函数故选C 【点睛】本题考查了函数单调性的判断，利用基本不等式求最值等知识，关键是能利用对数方程得到真数之间的关系，属于基础题．4．已知向量,OA AB u u u r u u u r ，O 是坐标原点，若AB k OA =u u u r u u u r ，且AB u u u r 方向是沿OA u u u r 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA u u u r 经过一次(,)k θ变换得到AB u u u r，现有向量(1,1)OA =u u u r经过一次()11,k θ变换后得到1AA u u u r ，1AA u u u r 经过一次()22,k θ变换后得到12A A u u u u r ，…，如此下去，21n n A A --u u u u u u u u r 经过一次(),n n k θ变换后得到1n n A A -u u u u u u r，设1(,)n n A A x y -=u u u u u u r ，112n n θ-=，1cos n nk θ=，则y x -等于（ ） A ．12112sin 22111sin1sin sin sin 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L B ．12112sin 22111cos1cos cos cos 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L C ．12112cos 22111sin1sin sin sin 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L D ．12112cos 22111cos1cos cos cos 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 【答案】B【解析】根据题意，可得1(θ，1)(1k =，1)cos1，即当1n =时，一次1(θ，1)k 变换将OA u u u r 逆时针旋转1弧度，再将所得向量的长度再伸长为原来的11cos θ倍得到向量1AA u u u r ．因此当(1,1)OA =u u u r 时，运用矩阵变换公式，算出OA u u u r逆时针旋转1弧度所得向量(cos1sin1,sin1cos1)a =-+r ，从而得到1(AA x =u u u r ，sin1)(1cos1y =-，sin11)cos1+，所以2sin1cos1y x -=．接下来再对A 、B 、C 、D 各项在1n =时的情况进行计算，对照所得结果可得只有B 项是正确的选项 【详解】 根据题意，111112θ-==，1111cos cos1k θ== ∴一次1(θ，1)k 变换就是将向量OA u u u r 逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的1cos1倍，即1AA u u u r 由OA u u u r 逆时针旋转1弧度而得，且11||||cos1AA OA =u u u r u u ur 设向量OA u u u r 逆时针旋转1弧度，所得的向量为(,)a x y ''=r，则有'cos1sin11sin1cos '11x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴cos1sin1sin1cos1x y '=-⎧⎨'=+⎩，即向量OA u u u r 逆时针旋转1弧度，得到向量(cos1sin1,sin1cos1)a =-+r ，再将a r 的模长度伸长为原来的1cos1倍，得到11(cos1sin1cos1AA =-u u u r ，sin1sin1cos1)(1cos1+=-，sin11)cos1+ 因此当1n=时，1(AA x =u u u r ，sin1)(1cos1y =-，sin11)cos1+，即sin11cos1sin11cos1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此可得sin1sin12sin11(1)cos1cos1cos1y x -=+--= 对于A ，当1n =时101112sin[2()]2sin[2()]2sin122211sin1sin1sin1sin sin 22n n ----===⋯，与计算结果不相等，故A 不正确；对于B ，当1n =时101112sin[2()]2cos[2()]2sin12211cos1cos1cos1cos cos 22n n ----==⋯，与计算结果相等，故B 正确；对于C ，当1n =时101112cos[2()]2cos[2()]2cos12211sin1sin1sin1sin sin 22n n ----==⋯，与计算结果不相等，故C 不正确；对于D ，当1n =时101112cos[2()]2cos[2()]2cos122211cos1cos1cos1cos cos 22n n ----===⋯，与计算结果不相等，故D 不正确故选：B 【点睛】本题考查了向量的线性运算，用矩阵解决向量的旋转问题和数列的通项公式，属于中档题二、填空题5．函数tan 2y x =的最小正周期为_______________. 【答案】π2【解析】利用正切函数的周期公式T πω=即可解决问题． 【详解】解：由正切函数的周期公式得：2T π=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查正切函数的周期性，易错点在于T πω=而不是2T πω=，属于基础题． 6．复数21ii +-的虚部为__________. 【答案】32【解析】采用复数的除法运算求解即可 【详解】2211313111222i i i i i i i i ++++=⋅==+--+，故虚部为：32故答案为：32【点睛】本题考查复数的除法运算，虚部的判断，属于基础题7．平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，(1,2)A ，(1,3)B -，则OA OB ⋅=u u u r u u u r__________. 【答案】5【解析】先表示出,OA OB u u u r u u u r，再结合数量积的坐标运算即可求解【详解】由题可知(1,2)OA =u u u r ，(1,3)OB =-u u u r，()11235OA OB ⋅=⨯-+⨯=u u u r u u u r故答案为：5 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题8．设变量,x y 满足约束条件：222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________.【答案】8-【解析】先画出线性约束条件可行域，再将3z x y =-表示成关于y 的表达式，分析截距与z 值的基本关系即可求解 【详解】如图：线性约束条件可行域为阴影部分面积，由333xzz x y y =-⇒=-，要求z 的最小值，即求3z-的最大值，当图像过()2,2-时，满足条件，将()2,2-代入3z x y =-可得8z =-故答案为：8- 【点睛】本题考查由线性约束条件求目标函数最值，正确画图是关键，属于基础题 9．若实数,,a b m 满足25a b m ==，且212a b+=，则实数m 值为__________. 【答案】5【解析】现结合指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出212a b+=，最后结合对数运算即可求解 【详解】由25a b m ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b ==⇒==，又212a b+=，即2log 2log 5log 202m m m +==，求得25m =故答案为：25【点睛】本题考查指数和对数的互化，换底公式的用法，对数的运算性质，属于基础题 10．若对于任意实数x ，都有()()()()2344012342222x a a x a x a x a x =++++++++，则3a 的值为______；【答案】-8【解析】把44[2(2)]x x =-++ 展开求得3(2)x +的系数，再结合已知条件求得3a 的值． 【详解】44044[2(2)](2)x x C =-++=-Q 01312244(2)(2)(2)(2)x C x C ++-++-233444(2)(2)(2)x C x C ⋅++-++ 04(2)(2)x -+，且有423401234(2)(2)(2)(2)x a a x a x a x a x =++++++++，334(2)8a C ∴=-=-，故答案为：8-． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．11．在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为__________. 【答案】0.42【解析】两地是否下雨相互独立，故两地都下雨的概率应用乘法公式计算 【详解】设甲地不下雨的概率为()0.3P A =，乙地不下雨的概率为()04P B =.，则甲地下雨的概率为()0.7P A =，乙地下雨的概率为()06P B =.，两地同时下雨的概率为()()0.70.60.42P P A P B =⋅=⨯=故答案为：0.42 【点睛】本题考查相互独立事件概率的计算，属于基础题12．设等差数列{}n a 的公差d 为2-，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=__________. 【答案】3-【解析】由等差数列性质表示出,,n n a S ，再结合极限定义求解即可 【详解】设数列首项为1a ，则()112122n a a n n a =--=-++，()()2112112n n nS na n a n -=-=-++，则 ()()222221221223lim lim lim 31n n n n n n a n a n n S n a nn →∞→∞→∞-++--===--++- 故答案为：3- 【点睛】本题考查数列极限的求法，等差数列性质的应用，属于基础题13．空间一线段AB ，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为2，则线段AB 的长度为 . 【答案】3【解析】试题分析：可以想象一下边长为1的正方体的对角线，其长度为3，它在各个面上的投影是各面的对角线，长度为2，由此可知线段AB 的长度3. 【考点】三视图.14．己知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA =，2AB BC ==，则球O 的表面积为__________.【答案】9π【解析】可将几何体还原，分析可知求解的是长方体外接球的表面积 【详解】如图，将几何体还原成长方体，则长方体外接球的半径2222222213222a b c r ++++===，则球体的表面积为：294494S r πππ==⨯=故答案为：9π 【点睛】本题考查几何体外接球的表面积求法，能根据题意还原出几何体是关键，属于基础题15．动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积的取值范围为__________. 【答案】[)4,π+∞【解析】由题可判断动圆圆心(),a b 轨迹为抛物线方程24y x =，再结合直线与圆的位置关系及点到直线距离公式可得圆心到直线的距离d r ≤，由此可求出a 或b 满足的条件，进而求出圆的面积的取值范围 【详解】由题可知，动圆圆心C (),a b 的方程为24y x =，即24b a =Q 动圆与直线总有公共点，故d r ≤，1r a =+，圆心到直线距离1d a =≤+，又24ba =，代换可得，221124b b ⎫⎛⎫-+≤+⎪ ⎪⎝⎭⎭，化简可得))214410b b +-≥，解得2b ≥或(6b ≤-+，则[)24,b ∈+∞，圆的面积为()[)2222114,4b S r a ππππ⎛⎫==+=+∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：[)4,π+∞ 【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的判断，点到直线距离公式的应用，解一元二次不等式，计算能力，属于中档题 16．已知数列{}n a 满足()1*12452n n nn a a n N a a ++--=∈-，则使20192019a >成立的正整数1a 的最小值为__________. 【答案】2019【解析】结合二阶行列式先化简，得出关于{}2n a -的一个等差数列，再结合放缩法即可求解 【详解】由题可知，()()21245n n n a a a +---=，变形可得()()221221n n a a +---=， 即数列{}2n a -是一个首项为()212a -，公差是1的等差数列，故有()()()()()()()221212201912122221121212212212220182019220182017220172018201720161201620152201620152201620152201620152018,20192019n n a a n a a n a a a a a a a -=-+-=±-+-=±-+>-+>->-=⨯-=+⇒->+>++++∈∴≥Q故答案为：2019 【点睛】本题考查二阶行列式的简单应用，构造数列法，放缩法的使用，属于中档题三、解答题17．设在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，90BAC ∠=︒，,E F 依次为1,CC BC 的中点.（1）求异面直线1,A B EF 所成角θ的大小（用反三角函数表示） （2）求点C 到平面AEF 的距离. 【答案】（1）6arccos3θ=；（26【解析】由于几何体比较规则，优先考虑建系法，以A 为原点建立空间直角坐标系 （1）分别表示出1,A B EFu u u r u u u r向量，利用夹角公式即可求解； （2）求出平面AEF 的法向量，再表示出CF uuu r，利用点到直线距离的向量公式即可求解 【详解】（1）如图所示，以点A 为原点，AB 方向为x 轴，AC 方向为y 轴，1AA 方向为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()12,0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,1,1,1,0B A C E F ， ()()12,0,2,1,1,1A B EF =-=--u u u r u u u r ，116cos 383A B EF A B EFθ⋅===⨯⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ，则6arccos3θ=； （2）()()1,1,0,0,2,1AF AE ==u u u r u u u r ，()1,1,0CF =-u u u r，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r ，则有020n AF x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u r r u u u r ，令1y =，解得1,2x z =-=-，则()1,1,2n =--r ，66n CF d n⋅∴===r u u u r r ，∴点C 到平面AEF 6【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，点到平面距离公式，属于中档题18．已知函数()()sin ωϕ=+f x x （01ω<<，0ϕπ≤≤）是R 上的偶函数，其图像关于点3,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）求,ϕω的值； （2）3,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值与最小值. 【答案】（1）2,23πϕω==；（2）()()max min 1,0f x f x == 【解析】（1）根据函数是偶函数可先求得ϕ，再将对称点代入可求得关于ω的通式，结合01ω<<即可求得具体值； （2）结合函数表达式，由3,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得23x 的范围，再结合函数图像即可求得函数值域，进而求解； 【详解】Q ()()sin ωϕ=+f x x 是R 上的偶函数，,2k k Z πϕπ∴=+∈，又Q 0ϕπ≤≤，2πϕ∴=， ()sin cos 2f x x x πωω⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，又图像关于点3,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，33cos 0,442k k Z πππωωπ∴=⇒=+∈，化简得24,33kk Z ω=+∈，又01ω<<，所以23ω=； （2）()2cos3x f x =，由32,,42323x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()min cos 02f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()max cos01f x ==【点睛】本题考查由三角函数的性质求解具体参数，在给定区间内求余弦型三角函数的最值，属于中档题19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图像上，过点(),n n P n S 的直线l 斜率为n k 且与()22f x x x =+的图像有且仅有一个交点.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设{}*,n S x x k n N==∈，{}*2,nT x x a n N ==∈，等差数列{}nc 的任一项n c S T ∈I ，其中1c 是S T I 中的最小数，10110115c <<，求{}n c 的通项公式.【答案】（1）21n a n =+（2）126n c n =-【解析】（1）由点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图像上可得n S 的表达式，利用作差法可求得n a ，再检验1n =时表达式是否成立，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）斜率n k 应为函数()f x 过点(),n n P n S 的导函数的值，先化简集合,S T ，可得S T T =I ，结合题意求得1c ，再由不等关系求得10c ，利用等差数列性质可求得公差d ，进而求得{}n c 的通项公式 【详解】（1）由题可知，22n S n n =+，则()()21121,2n S n n n -=-+-≥，由1,2n n n S S a n --=≥可得21,2n a n n =+≥，2111213S a =+⨯==，经检验符合21n a n =+表达式，故21n a n =+；（2）()'22f x x =+，由题知*22,n k N n n =+∈，所以{}*22,S x x n n N==+∈，{}*42,T x x n n N ==+∈，S T T =I ，由n c S T ∈I 可得n c T ∈，当11,4126n x ==⨯+=，故16c =，*1142,n c n n N =+∈，Q 10110115c <<，故()11142110,11528,42114n n n +∈⇒=+=，故10114c =，10111461299c cd --===， ()6121126n c n n =+-=-【点睛】本题考查函数与数列的转化，由n S 的表达式求n a ，集合的交集运算，数列通项公式的求法，综合性强，但难度不大，属于中档题20．设1C 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>，2C 是以直线230x y -=与230x y +=的渐近线，以(0,7)为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线2C 的标准方程；（2）若1C 与2C 在第一象限有两个公共点,A B ，求p 的取值范围，并求FA FB ⋅u u u r u u u r的最大值；（3）是否存在正数p ，使得此时FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上？如果存在，求出p 的值；如果不存在，说明理由.【答案】（1）22143y x -=（2）p >；9；（3）存在正数p，p = 【解析】（1）可知焦点坐标在y 轴上，可设22221(0,0)y xa b a b-=>>，再根据两条渐近线20x =与20x +=得出,a b关系式，再由焦点是，结合222c a b =+即可求得双曲线方程；（2）由1C 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，联立双曲线和抛物线方程，可得p 的取值范围；设()()1122,,,A x y B x y ，用坐标表示FA FB u u u r u u u rg ，利用韦达定理及配方法，可得FA FB u u u r u u u rg 的最大值；（3）由（2）及重心公式可得FAB ∆的重心2(3p G ，12)3y y +，即2(3p G，假设G 恰好在双曲线2C 的渐近线上，代入渐近线方程，即可求得结论． 【详解】（1）由题可知焦点为，故焦点在y 轴上，设双曲线2C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>> 2C Q是以直线20x =与20x +=为渐近线，∴a b = 2227c a b =+=Q ，2a ∴=，b =∴双曲线方程为22143y x -=； （2）抛物线22(0)y px p =>的焦点(2pF ，0)，联立双曲线方程消y 得：246120x px -+=，可得1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，1C Q 与2C 在第一象限内有两个公共点A 和B ，∴>0∆，p ∴>设()()1122,,,A x y B x y ，则()212121212122224p p p p FA FB x x y y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--+=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r g将1212323x x p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩代入得2213(922p FA FB p =-++=--+u u u r u u u r g，函数的对称轴为p =p >Q，p ∴=FA FB u u u r u u u r g 的最大值为9； （3）由（2）知FAB ∆的重心123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭为2(3p G ，12)3y y +，12y y +==Q23p G ⎛ ∴ ⎝⎭， 假设G 恰好在双曲线2C 的渐近线上，代入20x=可得2203p ⨯=，∴27p =，0p ∴=或p=，p >Q，p ∴=∴存在正数p =FAB ∆的重心G 恰好在双曲线2C 的渐近线上【点睛】本题考查双曲线标准方程的判断与求解，利用韦达定理求解交点问题，韦达定理在解析几何中的具体应用，配方法求解函数最值，重心坐标公式的应用等，重点考查了转化能力与计算能力，属于中档题21．设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：()12,,,,,i n A a a a a =L L .其中(1,2,,)i a i n =L 称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标，如果数组S 中的每个“元”都是来自数组A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组.定义两个数组()12,,,n A a a a =L ，()12,,,n B b b b =L 的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++L .（1）若11,22A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；（2）若A =⎝⎭，(0,,,)B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；（3）若数组()123,,A a a a =中的“元”满足2221231a a a ++=，设数组(1,2,3,,)m B m n =L 含有四个“元”1234,,,m m m m b b b b ，且22221234m m m m b b b b m +++=，求A 与m B 的所有含有三个“元”的子数组的关系数(),m C A B （1,2,3,,m n =L ）的最大值.【答案】（1）2（2）1（3)1,2,3,,m n =L【解析】（1）根据题中“元”的定义，列出所有B 的含有两个“元”的子数组，当取到()31,3B =-时，取到最大值；（2）需要进行分类讨论，分为S 中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论，再结合不等式性质进行合理放缩即可求得最值；（3）可以借鉴（2）中解题方法，分为10m b =和10m b ≠两种情况，再结合基本不等式性质经行求解即可 【详解】（1）由题，列出所有符合题意的子数组：()11,1S =-，()21,2S =-，()31,3S =-，()41,2S =，()51,3S =，()62,3S =，由定义1122(,)n n C A B a b a b a b =+++L ，11,22A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得，当()31,3S =-时，max (,)2C A S =；（2）由(0,,,)B a b c =，2221a b c ++=可知，实数,,a b c 具有对称性，故分为S 中含0和不含0这个“元”两种具体情况进行分类讨论；①当0是S 中的“元”时，由于A =⎝⎭中的三个“元”都相等及B 中三个“元”,,a b c 的对称性，可只计算)(,)C A S a b =+的最大值，2221a b c ++=Q ，由()()()222222222a b a bab c +≤+≤++=可得a b ⎡+∈⎣，故当0,2c a b ===时+a b ，故max (,)C A S ==； ②当不是S 中的“元”时，)(,)3C A S a b c =++≤=又2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，根据同向可加性可得222a b c ab bc ac ++≥++，即222ab bc ac a b c ++≤++，则1=，当且仅当3a b c ===max (,)1C A S =； 综上所述，max (,)1C A S =；（3）解法和（2）接近，2221231a a a ++=，22221234m m m m b b b b m +++=，根据123,,a a a 及1234,,,m m m m b b b b 的对称性，分为10m b =和10m b ≠两种情况进行求解；当10m b =时，为了保证不等式的等价性，需对22221234m m m m b b b b m +++=做变形处理，得22221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=，此时2222222342221231231232222m m m b b b a a a a a a m m m a a a +++++++≤++=222234111222m m m b b b m +++=+=，当且仅当123a a a ===时等号成立；∴()122334,m m m m C A B a b a b a b =++≤当10m b ≠时，222234m m m b b b m ++<，此时，()122334,m m m m C A B a b a b a b =++<综上所述，()()max ,1,2,3,,m C A B m n ==L 【点睛】本题考查对新定义的理解，均值不等式在极值中的具体应用，知识的类比与推广，对于知识的迁移转化有较高要求，属于中档题。

2019届高三数学第三次月考试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，故选A.2. 设集合为，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母相同，故，故选B.3. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 2或【答案】A【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以，故选A.4. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（）A. 20B. 18C. 16D. 12【答案】C【解析】因为田径队男运动员，女运动员人，所以这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运动员人，所以男运动员要抽取人，故选C.5. 等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（）A. -18B. 9C. 18D. 36【答案】C【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，故选C...................6. 已知，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．7. 下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（）A. 11B. 10C. 7D. 8【答案】D【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，若满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，若不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，故选D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知的面积为12，如果，则的面积为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】设，以为邻边作平行四边形，连接则，，，，所以可得的面积为，故选C.9. 已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】对求导得若函数有极值点，则有2个不相等的实数根，故，解得，而满足条件的有2个，分别是，故满足条件的概率故选：B．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．10. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足则其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，故选D考点： 三棱锥外接球的半径 球的表面积公式11. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，由过焦点的弦长公式，可得，，所以可得，的最大值为，故选D.12. 已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】化简，的图象关于对称，由可得,可得的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以，，设，则，两式相加可，同理可得，，故选D.【方法点睛】本题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想. 属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】1【解析】由，故答案为.14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则最大值为__________．【答案】【解析】画出符合题意的的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时取得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是__________．【答案】【解析】画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，两切点间的球面距离是弧，故答案为.16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．【答案】【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比，，，由，又，，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知.（1）求证：；（2）如果，求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）48【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直上，当上升到离直线最远时面积最大.试题解析：（1）由，根据正弦定理可得，，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。

2019届上海市浦东新区建平中学年高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．221x y +≤是“||||x y +≤成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质结合不等式表示的几何意义，充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可． 【详解】“x 2+y 2≤1”表示单位圆内以及圆周上的点，“|x |+|y |≤，0），（0），（，0），（0，）为正方形内及边界上的点，由图象可知，圆是正方形的内切圆，所以“x 2+y 2≤1”是“|x |+|y |≤成立的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，关键是理解其几何意义，属于基础题． 2．将函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像向左平移2π个单位，所得函数的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称，则ω的值不可能是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．10【解析】由条件根据函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得y ＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象，再由Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ），求得φ满足的条件． 【详解】将函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象向左平移2π个单位， 可得y ＝Asin [ω（x 2π+）+φ]＝Asin （ωx 2π+ω+φ）的图象． 再根据所得函数图象与f （x ）图象关于x 轴对称，可得Asin （ωx 2π+ω+φ）＝﹣Asin （ωx +φ）， ∴2πω＝（2k +1）π，k ∈z ，即ω＝4k +2，故ω不可能等于4， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得1212()()()nnf x f x f x x x x ===，则n 的取值范围为（ ）A ．{}2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】B 【解析】【详解】1111()()00f x f x x x -=-表示11(,())x f x 到原点的斜率； 1212()()()n nf x f x f x x x x ===表示1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，与原点连线而1122(,())(,())(,())n n x f x x f x x f x ，，，在曲线图像上， 故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显分别有2、3、4个，故选B. 【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.4．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：（1）对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(1,2]x ∈时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[0,)+∞ ③存在n Z ∈，使得()219nf +=；④“函数()f x 在区间()a b ，上单调递减”的充要条件是“存在k Z ∈，使得()1(,)2,2k k a b +⊆”.上述结论正确有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x 变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的． 【详解】①f （2m ）＝f （2•2m ﹣1）＝2f （2m ﹣1）＝…＝2m ﹣1f （2），正确；②取x ∈（2m ，2m +1]，则2m x ∈（1，2]；f （2m x ）＝22m x-，从而 f （x ）＝2f （2x）＝…＝2m f （2m x ）＝2m +1﹣x ，其中，m ＝0，1，2，…从而f （x ）∈[0，+∞），正确；③f （2n +1）＝2n +1﹣2n ﹣1，假设存在n 使f （2n +1）＝9，即存在x 1，x 2，1222x x -=10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；④根据前面的分析容易知道该选项正确； 综合有正确的序号是①②④． 故选：C .本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大．二、填空题5．函数()()()210f x x x =-≤的反函数是______________.【答案】1()f x -=1(1)x ≥ 【解析】从条件中函数式()()()210f x x x =-≤中反解出x ，再将x ，y 互换即得．【详解】 ∵()()()210f x x x =-≤∴x ＝1，且y ≥1，∴函数f （x ）＝x 2﹣2x +1（x ≤0）的反函数为())111f x x -=≥．故答案为：1()f x -=1(1)x ≥ 【点睛】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y ＝f （x ）反求出x ＝Φ（y ）；（2）交换x ＝Φ（y ）中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．6．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 【考点】复数运算7．已知函数2()(3)3f x ax b x =+-+，[23,4]x a a ∈--是偶函数，则a b +=________.【答案】2【解析】偶函数定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），由此即可求出a ，b ． 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a ﹣3+4﹣a ＝0，解得a ＝﹣1．由f （x ）为偶函数，得f （﹣x ）＝f （x ），即ax 2﹣（b ﹣3）x +3＝ax 2+（b ﹣3）x +3，2（b ﹣3）x ＝0，所以b ＝3．故答案为：2． 【点睛】偶函数的定义域关于原点对称，f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．8．已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则行列式sin 11sec x x -的值等于________. 【答案】14【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx ，进而可求secx 的值，再计算行列式的值即可得解． 【详解】∵sinx 35=，x ∈（2π，π）， ∴cosx 45==-，secx 154cosx ==-，∴11sinx secx -=sinxsecx +135=⨯（54-）+114=． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了行列式的计算，属于基础题．9．已知数列{}n a 的通项公式为1,1,21,32nn n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=________.【答案】74【解析】先对数列{}n a 求和得到n S ，再求极限. 【详解】当1n =时，1=1S ， 当2n =时，213=1+=22S ，当3n ≥时，211[1()]13117182=1++=()()1n n n n S --+-=-∴1132271,342n nn S n n ⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪⎪⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，， ∴lim lim 717[()]424n n n n S →∞→∞-==， 故答案为：74.【点睛】本题考查了数列的求和问题，考查了等比数列的求和公式，考查了极限的求法，属于基础题.10．如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.【答案】【解析】由主视图、俯视图得到三棱柱的侧视图为以底面高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，从而可得结果. 【详解】由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，所以侧视图的面积为22=. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，11．(1-2x)5的二项展开式中各项系数的绝对值之和为 ____. 【答案】243【解析】令x=-1即得(1-2x)5的二项展开式中各项系数的绝对值之和.【详解】设550125(12),x a a x a x a x -=++++令x=-1,则243=01250125a a a a a a a a -+--=++++，故答案为：243 【点睛】（1）本题主要考查二项式展开式的各项的系数和问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.12．现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品.现每次取其中一个进行测试，直到4个次品全测完为止，若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，则该情况出现的概率是_______. 【答案】2105【解析】先求出基本事件总数n 510A =，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C 61种，4只次品必有一只排在第五次测试，有C 41种，那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A 44种．根据分步计数原理有C 61C 41A 44种．由此能求出最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率． 【详解】现有10个不同的产品，其中4个次品，6个正品．现每次取其中一个进行测试， 直到4个次品全测完为止，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现，基本事件总数n 510A =，最后一个次品恰好在第五次测试时被发现包含的基本事件为：优先考虑第五次（位置）测试．这五次测试必有一次是测试正品，有C 61种， 4只次品必有一只排在第五次测试，有C 41种，4于是根据分步计数原理有C 61C 41A 44种．∴最后一个次品恰好在第五次测试时被发现的概率p 1146445102105C C A A ==． 故答案为：2105． 【点睛】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．13．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 【答案】9【解析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案． 【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ， ∵p ＞0，q ＞0， 可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列， 可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．14．已知双曲线()22*214x y a N a -=∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上一点，满足21212F F PF PF =⋅，P 到坐标原点O 的距离为d ，且59d <<，则2a =________.【答案】4或9【解析】求得双曲线的b ，c ，设P 为右支上一点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a 的正整数解． 【详解】双曲线2224x y a -=1的b ＝2，c 2＝a 2+4，设P 为右支上一点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 由双曲线的定义可得m ﹣n ＝2a ，由题意可得4c 2＝mn ，又由三角形中线与边的关系可得:2 m 2+2n 2＝(2c )2+(2d )2， 即m 2+n 2＝2c 2+2d 2，可得（m ﹣n ）2+2mn ＝4a 2+8c 2＝2c 2+2d 2又d 2∈（25，81）， 即25＜5a 2+12＜81，由a 为正整数，可得a 2＝4或9，故答案为：4或9． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．已知357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，由0sinx =有无穷多个根：0，π±，2π±，3π±，…，可得：222222sin 11149x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把这个式子的右边展开，发现3x -的系数为2221111(2)(3)3!πππ+++=，即22462(1)n -发，类比上述思路与方法，可写出类似的一个结论_____.【答案】22211138π++=【解析】直接利用类比推理，即可得出结论． 【详解】由cosx ＝0有无穷多个根：±12π，±32π，…，可得：cosx ＝（12214x π-）（12294x π-）…，把这个式子的右边展开， 发现-x 2的系数为221111192244ππ++==！，即22211138π++=．故答案为：22211138π++=．【点睛】本题考查的知识点是类比推理，考查学生的思维逻辑能力，难度较大．16．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[0,1]m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立，则222b a ab-的最大值是_____. 【答案】[0，154] 【解析】先根据恒成立写出有关a ，b 的约束条件，再在aob 系中画出可行域，由斜率模型可得1b a ≤≤4．又22b a b aab a b-=-，令 b a =t ，则1≤t ≤4，利用y ＝t 1t -在[1，4]上单调递增，即可得出结论． 【详解】令g （m ）＝（3a ﹣2）m +b ﹣a ． 由题意当m ∈[0，1]时，0≤f （a ）≤1可得 0≤g （0）≤1， 0≤g （1）≤1∴0≤b ﹣a ≤1，0≤2a +b ﹣2≤1．把（a ，b ）看作点画出可行域，由斜率模型ba可看作是原点与（a ，b ）连线的斜率，由图可得当（a ，b ）取点A 时，原点与（a ，b ）连线的斜率最大，与b ﹣a=0重合时原点与（a ，b ）连线的斜率最小， ∴1ba≤≤4． 又 22b a b aab a b-=-，令 b a =t ，则1≤t ≤4，∵y ＝t 1t-在[1，4]上单调递增， ∴t ＝4时，即a 13=，b 43=时，y 有最大值是154， t ＝1时，即a ＝1，b ＝1时，y 有最小值是0． 故答案为：[0，154]．【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．三、解答题17．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=， 解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【考点】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．18．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点.(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E －AG －C 的大小. 【答案】（1）30；（2）60【解析】试题分析： (1)第(1)问,直接证明BE ⊥平面ABP 得到BE ⊥BP,从而求出∠CBP 的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 试题解析： (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM=.在△BEC中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC＝△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.方法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(13)，C(－1，0)，故AE＝(2,0，－3)，AG＝(10)，CG＝(2,0,3)．设m＝(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由m AEm AG⎧⋅=⎨⋅=⎩可得1111230x zx-=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(32)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－2)．所以cos 〈,m n 〉＝m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°. 点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.19．某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O 附近，现派出四艘搜救船,,,A B C D ，为方便联络，船,A B 始终在以小岛O 为圆心，100海里为半径的圆上，船,,,A B C D 构成正方形编队展开搜索，小岛O 在正方形编队外（如图）.设小岛O 到AB 的距离为x ，OAB α∠=，D 船到小岛O 的距离为d .（1）请分别求d 关于,x α的函数关系式(),()d g x d f α==，并分别写出定义域； （2）当,A B 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即d 最大）？【答案】（1）见解析（2）当AB间距离. 【解析】试题分析：（1）设x 的单位为百海里，由OAB α∠=，求出AB AD ，，在A O D 中，求解即可．若小岛O 到AB的距离为x ，通过OD 即可；（2）通过2OD 4214cos cos sin ααα=++；结合角的范围，利用三角函数最值求解即可.试题解析：（1）由OAB α∠=，2cos AB OA A ==2cos A ，2cos AD AB α==，在△AOD 中，()OD fα===π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若小岛O 到AB 的距离为x ，AB =()OD g x ===，()0,1x ∈（2）224cos 14cos sin OD ααα=++；π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos2sin241422αα+=⨯++⨯()2sin2cos23αα=++ ππ23,0,42αα⎛⎫⎛⎫=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当ππ5π2,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ242α+=时，即π8α=，OD 取得最大值，此时π2cos28AB ===.答：当AB 间距离海里时，搜救范围最大. 20．已知抛物线C: 24y x =，点(4,4)P . （1）求点P 与抛物线C 的焦点F 的距离；（2）设斜率为l 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点若△P AB 的面积为l 的方程；（3）是否存在定圆M : 22()4x m y -+=，使得过曲线C 上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线C 交于另外两点A ，B 时，总有直线AB 也与圆M 相切？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）P （1，0），距离为5；（2）y ＝x ﹣1；（3）Q ，存在实数m ＝3，使得直线AB 与圆M 相切．【解析】（1）求得抛物线的焦点坐标，由两点距离公式，计算可得所求距离； （2）设直线l 的方程为y ＝x +a ，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式以及三角形的面积公式，解方程可得a ，进而得到直线方程；（3）取Q （0，0），切线为y ＝kx ，求得切点A ，B ，和直线AB ，由相切可得m ＝3，证明对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，必有m ＝3．设Q （14a 2，a ），l ：x ＝t （y ﹣a ）14+a 2，A （14y 12，y 1），B （14y 22，y 2），运用直线和圆相切的条件和韦达定理，求得AB 的方程，计算圆心到直线AB 的距离，即可得证． 【详解】（1）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），则点P 与抛物线C 的焦点F =5； （2）设直线l 的方程为y ＝x +a ，把y ＝x +a 方程代入抛物线y 2＝4x ， 可得x 2+2（a ﹣2）x +a 2＝0，∴x 1+x 2＝4﹣2a ，x 1•x 2＝a 2，∴|AB |=x 1﹣x 2|==，点P 到直线的距离d =∴S △P AB 12=|AB |d12=⨯=， 解得a ＝﹣1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；（3）取Q （0，0），圆（x ﹣m ）2+y 2＝4，切线为y ＝kx ，=2，解得k 2244m =-，① 将直线y ＝kx 代入抛物线方程y 2＝4x ，解得A （24k ，4k ），B （24k，4k -）， 直线AB 的方程为x 24k =，若直线和圆相切，可得|24k-m |＝2②由①②解得m ＝3或2（舍去）．综上可得，对任意的动点Q ，直线AB 与圆相切，必有m ＝3． 下证m ＝3时，对任意的动点Q ，直线AB 和圆相切． 理由如下：设Q （14a 2，a ），l ：x ＝t （y ﹣a ）14+a 2，A （14y 12，y 1），B （14y 22，y 2），=2，可得（a 2﹣4）t 2﹣（12a 2﹣6）at +（14a 2﹣3）2﹣4＝0， ∴t 1+t 2221624a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，t 1t 22221(3)444a a --=-， 又直线与曲线相交于A ，B ， 由x ＝t （y ﹣a ）14+a 2，代入抛物线方程可得y 2﹣4ty +4ta ﹣a 2＝0， 可得y 12＝4t 1（y 1﹣a ）+a 2，y 22＝4t 2（y 2﹣a ）+a 2， 则a ，y 1是方程y 2＝4t 1（y ﹣a ）+a 2的两根，即有ay 1＝4t 1a ﹣a 2，即为y 1＝4t 1﹣a ，同理y 2＝4t 2﹣a ．则有A （14（4t 1﹣a ）2，4t 1﹣a ），B （14（4t 2﹣a ）2，4t 2﹣a ）， 直线AB ：y ﹣（4t 1﹣a ）2122()t t a =+-（x 14-（4t 1﹣a ）2），即为y ﹣（4t 1﹣a ）244a a-=（x 14-（4t 1﹣a ）2），则圆心（3，0）到直线AB 的距离为d ()221141|(34)4|a t a t a ---+-=由（a 2﹣4）t 12﹣（12a 2﹣6）at 1+（14a 2﹣3）2﹣4＝0， 代入上式，化简可得d 22244a a+==+2，则有对任意的动点Q ，存在实数m ＝3，使得直线AB 与圆M 相切．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆的位置关系：相切的条件，具有一定的运算量，属于难题．21．已知()f x 是定义在[]m n ，上的函数，记()()()F x f x ax b =-+，|()|F x 的最大值为(,)M a b .若存在123m x x x n ≤<<≤，满足()1(,)F x M a b =，()()21F x F x =-，()()31F x F x =，则称一次函数y ax b =+是()f x 的“逼近函数”此时的(,)M a b 称为()f x 在[]m n ，上的“逼近确界”. （1）验证41y x =-是2()2g x x =，[0,2]x ∈的“逼近函数”；（2）已知()f x =[0,4]x ∈，(0)(4)(,)F F M a b ==-.若y ax b =+是()f x 的“逼近函数”，求a ，b 的值；（3）已知()f x =[0,4]x ∈，求证；对任意常数a ，b ，1(,)4M a b ≥. 【答案】（1）见解析；（2）a 12=．b 14=；（3）见解析． 【解析】（1）记G （x ）＝2x 2﹣（4x ﹣1）＝2（x ﹣1）2﹣1，x ∈[0，2]．利用二次函数的单调性可得|G （x ）|的最大值为1，且G （0）＝1，G （1）＝﹣1，G （2）＝1．（2）F （x）=（ax +b ），由()()()24b M a b a b M a b ⎧-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，，，可得M （a ，b ）＝b ，a 12=．存在x 0∈（0，4）满足F （x 2）＝M （a ，b ），即F （a ，b ）max ＝F （x 2）＝b ，即可得出．（3）M （a ，b）002x t ax b max ≤≤≤≤=-=|t ﹣at 2﹣b |[]{}[]11240242124022max b a b b a a max b a b a ⎧⎧⎫---∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎪--∉⎪⎩，，，，，，，．即可得出．【详解】（1）记G （x ）＝2x 2﹣（4x ﹣1）＝2（x ﹣1）2﹣1，x ∈[0，2]．则|G （x ）|的最大值为1，且G （0）＝1，G （1）＝﹣1，G （2）＝1．故y ＝4x ﹣1是g （x ）＝2x 2，x ∈[0，2]的“逼近函数”． （2）F （x）=（ax +b ），由()()()24b M a b a b M a b ⎧-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，，，可得M （a ，b ）＝b ，a 12=． 存在x 0∈（0，4）满足F （x 2）＝M （a ，b ），即F （a ，b ）max ＝F （x 2）＝b ，即F （x）12=x ﹣b 2111)22=-+-b ，故x 2＝1． 由F （1）12=-b ＝b ，可得b 14=．（3）证明：M （a ，b）002x t ax b max ≤≤≤≤=-=|t ﹣at 2﹣b|[]{}[]11240242124022max b a b b a a max b a b a ⎧⎧⎫---∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎪--∉⎪⎩，，，，，，，．当12a ∉[0，2]时，2M （a ，b ）≥|b |+|2﹣4a ﹣b |≥|2﹣4a |＞1，故M （a ，b ）14≥． 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法、换元方法、绝对值的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。