天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二年级数学期末考试模拟试卷(含解析)

滨海新区2021-2021学年度第一学期期末检测试卷高二数学一．选择题〔一共12小题〕 1.i 是虚数单位，复数21ii-等于( ) A. 1i -- B. 1i -+C. 1i -D. 1i +【答案】B 【解析】【分析】直接利用复数的除法运算进展化简计算．【详解】()()()2122211112i i i i i i i i +-+===-+--+． 应选B ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的一共轭复数，是根底题．2.“()2,x ∀∈+∞，220x x ->〞的否认是( ).A. ()0,2x ∃∈-∞，20020x x -≤ B. ()2,x ∀∈+∞，220x x -≤ C. ()02,x ∃∈+∞，20020x x -≤D. (),2x ∀∈-∞，220x x ->【答案】C 【解析】 【分析】“∀x ∈M ，p 〔x 〕〞的否认为“∃x ∈M ，￢p 〔x 〕〞．【详解】依题意，“∀x ∈〔2，+∞〕，x 2﹣2x ＞0”的否认是：()02,x ∃∈+∞，20020x x -≤，应选C ．【点睛】此题考察了命题的否认，要注意命题的否认和否命题的区别．此题属于根底题． 3.假设,,a b c ∈R ，且a b >，那么以下结论一定成立的是〔 〕 A. ac bc >B.11a b< C. 22a b >D.a cbc ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的根本性质，即可选出答案. 【详解】当0c时，=ac bc ，错误.当1,1a b ==-时，,1111a b==-，11a b >，错误.当1,1a b ==-时，22=1=a b ，错误. 因为a b >，所以a c b c ->-，正确. 应选D.【点睛】此题考察不等式的根本性质，属于根底题.假设不等式不成立，只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目的分析法来做题.4.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，那么6a =( ) A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.应选C.考点：等差数列的性质. 【此处有视频，请去附件查看】5.等比数列{}n a 中，11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S =〔 〕A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】A 【解析】 【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，且4581258a a a a a a ++=++，3473481q q q q q q++∴==++，即2q ，()551511231112a q S q--∴===--. 应选：A.【点睛】此题考察等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和，属于根底题.6.中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．〞其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．〞那么该人第四天走的路程为〔 〕 A. 3里B. 6里C. 12里D. 24里【答案】D 【解析】【详解】设第一天走1a 里,那么{}n a 是以1a 为首项,以12为公比的等比数列， 由题意得：1661 12378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-， 解得1192a =(里)，∴341111922428a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭(里). 应选D.7.双曲线22211643x y m m -=+-的实轴长为10，那么该双曲线的渐近线的斜率为〔 〕 A. 53±B. 35±C. 54±D. 45±【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线22211643x y m m -=+-的实轴长为10，求出m ，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.【详解】由题意21625m +=，430m ->，所以3m =3， 所以双曲线的渐近线的斜率为35±. 应选：B.【点睛】此题考察双曲线的方程与性质，考察学生的计算才能，属于根底题.8.“b是11b是2与2的等比中项〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项的定义，结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【详解】假设b 是11那么1b ==，假设b 是2与2的等比中项，那么1b ==±，那么“b 是1+1b 是2与2的等比中项〞的充分不必要条件， 应选A.【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，结合等差中项和等比中项的定义求出b 的值是解决此题的关键． 9.假设正数,x y 满足220x xy +-=，那么3x y +的最小值是〔 〕A. 4B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】 先由220xxy +-=得到2=-y x x ，推出232+=+x y x x，根据根本不等式即可求出结果.【详解】因为正数,x y 满足220x xy +-=，所以2=-y x x，所以2324+=+≥=x y x x ，当且仅当22x x =，即1x =时，等号成立.应选A【点睛】此题主要考察由根本不等式求最值，熟记根本不等式即可，属于常考题型.10.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，那么双曲线的方程为〔 〕A. 22143x y -= B. 22134x y -= C. 2211612x y -=D. 2211216x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的准线，即得c =222+=a b c ，可得a ，b ，即可得到双曲线方程.【详解】抛物线2y =的准线为x =-，那么有双曲线的一个焦点为()-，即c =由2c e a ==，可得4a =，那么b =， 即双曲线方程为2211612x y -=.应选：C.【点睛】此题考察抛物线和双曲线的方程和性质，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系是解题的关键，属于根底题.11.假设0a >，0b >，31a b +=，那么11a a b++的最小值为〔 〕 A. 8 B. 7C. 6D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得()1111434a aa b a b a b a b b b a +⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭，由根本不等式可得，注意等号成立的条件即可.【详解】由0a >，0b >，31a b +=，那么()11111143448a a aa b a b a b a b b a b bb a +⎛⎫+=++=+++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12,55a b ==时取“=〞. 应选：A.【点睛】此题考察“乘1法〞和根本不等式的性质，属于根底题.12.1F ，2F 是椭圆和双曲线的公一共焦点，P 是它们的一个公一共点．且123F PF π∠=，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔 〕A. 2B. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1PF m =，2PF n =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1c e a =，21ce a =，因P 是它们的一个公一共点，且123F PF π∠=，那么由余弦定理可得：22242cos3c m n mn π=+-……①在椭圆中，由定义知2m n a +=，①式化简为：22443c a mn =-……②在双曲线中，由定义知12m n a -=，①式化简为：22144c a mn =+……③由②③两式消去mn 得：222116412c a a =+，等式两边同除2c 得2212234a a c c=+，即2212134e e =+，由柯西不等式得2221212131113e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，1211e e ∴+≤. 应选：D.【点睛】此题主要考察椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决此题的关键，属于难题． 二．填空题〔一共8小题〕13.复数(z i i =为虚数单位〕，那么||z =_______． 【答案】2 【解析】【分析】由直接利用复数模的计算公式求解.【详解】由复数z i =，那么2z ==. 故答案为：2.【点睛】此题考察复数模的求法，属于根底题.14.直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =-，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，那么z 等于________． 【答案】—9 【解析】 【分析】由题意可得：u v ⊥，即0u v ⋅=，即可得出z 的值.【详解】由题意得：u v ⊥，即360u v z ⋅=++=，解得9z =-. 故答案为：9-.【点睛】此题考察线面位置关系、方程思想方法，推理才能与计算才能，属于根底题. 15.不等式302x x -<+的解集为_________． 【答案】(2,3)- 【解析】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解即可． 【详解】依题意，不等式302x x -<+等价于()()320x x -+<，解得23x -<<， 所以不等式302x x -<+的解集为()2,3-. 故答案为：()2,3-.【点睛】此题考察了不等式的解法，主要考察计算才能和转化求解才能，属于根底题． 16.数列{}n a 满足11a =，1n n a na ，那么34a a +=_________【答案】8 【解析】 【分析】由递推关系分别计算234,?,a a a 即可. 【详解】2132433411,?22,36,8a a a a a a a a =⨯==⨯===∴+= 故答案为8.【点睛】此题考察数列递推关系，求数列的项，是根底题.17.正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 的中点，求1DB 与CE 所成角的余弦值为______．【答案】15【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可得到答案.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，那么()2,1,0E ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，()12,2,2DB =，()2,1,0CE =-，设直线1DB 与直线CE 所成角为θ，那么1142015cos 125DB CE DB CEθ⋅-+===⋅⋅， 所以直线1DB 与直线CE 所成角的余弦值为1515. 15【点睛】此题考察直线与平面所成角的余弦值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，假设AB 的中点的纵坐标2，那么p =_____，直线l 的方程为______． 【答案】 (1). 2 (2). 10x y --= 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点(1,0)F 可得p 的值，设直线l 的方程为1x ny =+，联立方程，利用AB 的中点的纵坐标2即可得到直线方程.【详解】由题意，抛物线的焦点(1,0)F ，那么12p=，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，那么124y y +=，直线l 的方程为1x ny =+，联立241y x x ny ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理得：2440y ny --=，由韦达定理得：1244y y n +==，即1n =， 所以直线l 的方程为10x y --=. 故答案为：2，10x y --=.【点睛】此题主要考察抛物线的根本概念的掌握，以及解析几何的计算才能，韦达定理的应用，属于根底题.19.{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，假设x ∈N 是x M ∈的必要条件，那么a 的取值范围是__________．【答案】19,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】根据条件进展转化，结合一元二次函数求出集合M ，再求出集合N ，利用必要条件建立不等关系讨论即可.【详解】由题意，{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，221124m x x x ⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，当12x =-时，取最小值为14-，当1x =时，取最大值为2，124m ∴-≤<，即1,24M ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭，假设x ∈N 是x M ∈的必要条件，那么M N ⊆，当2a a >-，即1a >时，{}|2N x a x a =-<<，那么12421a a a ⎧-<-⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，即94a >，当2a a ->，即1a <时，{}|2N x a x a =<<-，那么22141a a a -≥⎧⎪⎪<-⎨⎪<⎪⎩，即14a <-，当2a a -=，即1a =时，此时N =∅，不满足题中条件， 综上所述：a 的取值范围是19,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：19,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】此题主要考察二次函数在区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，表达了分类讨论思想的应用，属于根底题. 20.给出以下四个命题①P 为椭圆2214x y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，那么12PF F ∆的周长是8；②M 是双曲线22145x y -=上任意一点，F 是双曲线的右焦点，那么||1MF ；③直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，且l 与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，那么121240x x y y +=；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个程度放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，假设静放在点1F 的小球〔小球的半径忽略不计〕从点1F 沿直线出发那么经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程恰好是4a ． 其中正确命题的序号为__〔请将所有正确命题的序号都填上〕 【答案】②③ 【解析】 【分析】①求得椭圆中的a ， c ，12PF F ∆的周长为：22a c +，即可判断；②求得双曲线中的a ，b ，c ，讨论M 在双曲线的左支或者右支上，求得最小值，即可判断；③设出直线l 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；④可假设长轴在x ，短轴在y 轴，对球的运动方向沿x 轴向左直线运动，沿x 轴向右直线运动，以及球不沿x 轴运动，讨论即可.【详解】①由椭圆方程2214x y +=，得2a =，c =P 为椭圆2214x y +=上任意一点，由椭圆定义知，12PF F ∆的周长为224a c +=+，故①错误；②M 是双曲线22145x y -=上任意一点，且2a =，3c =，F 是双曲线的右焦点，假设M在双曲线左支上，那么5MF ≥，假设M 在双曲线右支上，那么1MF ≥，故②正确；③直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，设其方程为2py kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线l 代入抛物线的方程可得2220x pkx p --=，由韦达定理可得212x x p =-，又2221212224x x p y y p p ⋅=⋅=，那么121240x x y y +⋅=，故③正确；④假设长轴在x ，短轴在y 轴，设1F 为左焦点，2F 为左焦点，以下分为三种情况： i ．球从1F 沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到1F 路程 是()2a c -；ii ．球从1F 沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到1F 路程 是()2a c +；iii ．球从1F 不沿x 轴斜向上〔或者向下〕运动，碰到椭圆上的点A ，反弹后经过椭圆的另一个焦点2F ，再弹到椭圆上一点B ，经B 反弹后经过点1F ，此时小球经过的路程是4a ； 综上所述：从点1F 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到1F 时，小球经过的路程是()2a c -或者()2a c +或者4a .故④错误.故答案为：②③.【点睛】此题考察圆锥曲线的定义、方程和性质，考察分类讨论思想方法和化简整理的运算才能，属于中档题． 三．解答题〔一共4小题〕21.公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，479S a =+，且1a ，4a ，13a 成等比数列．()1求数列{}n a 的通项公式；()2求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和公式．【答案】〔1〕21n a n =+；〔2〕()()31234212n n n +-⋅++ 【解析】 【分析】()1运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；()2运用等差数列的求和公式，可得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+，211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再由裂项相消求和，可得所求和． 【详解】解：()1公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，479S a =+，可得114669a d a d +=++，且1a ，4a ，13a 成等比数列，可得24113a a a =，即()2111(3)12a d a a d +=+，解得13a =，2d =，那么()32121n a n n =+-=+；()()21231222n S n n n n n =+-⋅=+， 211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 那么数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111111111232435112n n n n ⎛⎫-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭ ()()11113123122124212n n n n n +⎛⎫=+--=-⋅ ⎪++++⎝⎭． 【点睛】此题考察等差数列的通项公式和求和公式的运用，考察方程思想和运算才能，以及数列的裂项相消求和，考察运算才能，属于中档题．22.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD，PA=PD ，AB⊥AD，O 为AD中点，AB=1，AD=2，〔1〕证明：直线AB∥平面PCO；〔2〕求二面角P－CD－A的余弦值；〔3〕在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，假设存在，求线段BN的长度；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕详见解析；〔2〕23；〔323.【解析】【分析】〔1〕根据条件AC=CD可得CO AD⊥，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根据线面平行的断定定理可得结论；〔2〕以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根据两向量的夹角求解可得所求余弦值；〔3〕假设存在点N满足条件，设出点N的坐标，根据直线AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得结论．【详解】〔1〕因为AC=CD，O为AD中点，所以CO AD⊥．又AB⊥AD，所以AB∥CO，又AB⊄平面PCO，CO⊂平面PCO，所以AB∥平面PCO．〔2〕因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC=CD，所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系O－xyz.那么A〔0，1，0〕，B〔1，1，0〕，C〔2，0，0〕，D〔0，－1，0〕，P〔0，0，1〕. 设平面PCD的法向量为(,,)n x y z=，那么0,0,n PDn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩，得0,20.y zx z--=⎧⎨-=⎩'令z=2，那么(1,2,2)n=-．又平面ABCD的法向量为OP=〔0，0，1〕，所以2 cos,3144n OPn OPn OP⋅===++.由图形得二面角P CD A--为锐角，所以二面角P CD A --的余弦值为23．〔3〕假设存在点N 是棱PB 上一点，使得AN⊥平面PCD ，那么存在λ∈[0，1]使得()()1,1,1,,BN BP λλλλλ==--=--， 因此()()()1,0,0,,1,,AN AB BN λλλλλλ=+=+--=--. 由〔2〕得平面PCD 的法向量为(1,2,2)n =-. 因为AN⊥平面PCD ， 所以AN ∥n ，即1122λλλ--==-. 解得λ=23∈[0，1]，所以存在点N 是棱PB 上一点，使AN⊥平面PCD ，此时BN =23BP =. 【点睛】〔1〕用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝角，最后才能得到结论．〔2〕解决立体几何中的探究性问题时，一般先假设存在满足条件的元素〔点或者线〕，然后以此作为条件进展推理，看能否得到矛盾，假设得到矛盾，那么假设不成立；假设得不到矛盾，那么假设成立．23.数列{}n a 的前n 项和为2(*)2n n nS n N +=∈ 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2(1)n an n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】〔1〕n a n =〔2〕2122(21)2n n T n n +=+-+ 【解析】 【分析】〔1〕运用数列的递推式：当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，化简整理可得所求通项公式；〔2〕求得n b ，利用数列求和公式：分组求和法，错位相减法，即可得到答案.【详解】解：〔1〕由2(*)2n n nS n N +=∈，得111a S ==． 当2n 时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=．11a =合适上式， n a n ∴=；〔2〕2(1)2(1)n a n n n n n n b a a n n =+-=⋅+-⋅⋅， 设数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，那么12322(121)(222)(323)(222)n n T n n =⨯-+⨯++⨯-+⋯+⨯+232(12223222)[123(21)2]n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+-+-+⋯--+ 设1232212223222n n n A =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯……① 那么234212122232222n n n A +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯……②①-②得：234221222121212(222222)2=22=2(12)12222n n n n n n A n n n ++++--⨯-+-⨯-+--=++++⋯+． 所以2122(21)2n n n A +=+-；那么2122[123(21)2]=2(21)2n n n T A n n n n +=+-+-+⋯--++-+【点睛】此题考察数列的n a 与前n 项的和n S 的关系与求和公式、分组求和方法，错位相减法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 24.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的上顶点到焦点的间隔 为2，〔1〕求a ，b 的值．〔2〕设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点． 〔ⅰ〕假设k ＝1，求△OAB 面积的最大值；〔ⅱ〕假设PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值．【答案】〔1〕24x ＋y 2＝1．〔2〕〔ⅰ〕m 时，S △OAB 获得最大值1．〔ⅱ〕±12. 【解析】试题分析：〔1〕由椭圆几何条件知上顶点到焦点的间隔 为半长轴长，即a ＝2，又e c a ==，所以c b ＝1．〔2〕〔ⅰ〕求△OAB 面积的最大值，关键建立其函数关系式，这要用到点到直线间隔 公式来求高，利用两点间间隔 公式来求底边边长：设点P 〔m ，0〕〔－2≤m≤2〕，直线l 的方程为y ＝x －m ．那么可求得∣AB|＝5，从而S △OAB PA 2＋PB 2，再按m 整理，最后根据与点P 的位置无关得到对应项系数为零，从而解出k 的值．试题解析：〔1〕由题设可知a ＝2，e c a ==，所以c ，故b ＝1． 因此，a ＝2，b ＝1． 2分〔2〕由〔1〕可得，椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1． 设点P 〔m ，0〕〔－2≤m≤2〕，点A 〔x 1，y 1〕，点B 〔x 2，y 2〕．(ⅰ)假设k ＝1，那么直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即22{14y x mx y =-+=．将y 消去，化简得254x －2mx ＋m 2－1＝0．从而有x 1＋x 2＝85m ，x 1· x 2＝24(1)5m -， 而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，点O 到直线l 的间隔 d所以，S △OAB ＝12×|AB|×d＝5×|m|， 因此，S 2△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤22245()252m m -+＝1． 6分又－2≤m≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m＝±2时，S △OAB 获得最大值1． 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k(x －m).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即22(){14y k x m x y =-+=． 将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝22814mk k +，x 1·x 2＝2224(1)14k m k -+． 10分所以，PA2＋PB2＝(x1－m)2＋y12＋(x2－m)2＋y22＝34(x12＋x22)－2m(x1＋x2)＋2m2＋2＝2422222(862)(14)(88)(14)m k k k kk--+++++〔*〕. 14分因为PA2＋PB2的值与点P的位置无关，即〔*〕式取值与m无关，所以有－8k4－6k2＋2＝0，解得k＝±12．所以，k的值是±12. 16分考点：椭圆根本量，直线与椭圆位置关系励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

滨海新区2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线20x --=的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60C. 120D. 150【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由20x -=可得：y =，所以斜率为3k =，设倾斜角为α，则tan α=， 因为0180α≤<， 所以30α=， 故选：A2. 经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1.k ，则k 的值是（ ） A. 1 B. －1C. 2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】由两点的斜率公式计算即可. 【详解】解：由已知得20201k -==--. 故选：D【点睛】本题考查两点的斜率公式及直线方向向量的概念，是基础题. 3. 抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） A. ()1,0B. ()0,1C. 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线焦点在y 轴上，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭即可求解. 【详解】由22x y =可知抛物线焦点在y 轴上，且1p =，所以122p =， 故焦点坐标为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：D4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A. 48 B. 60C. 72D. 24【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值.【详解】由条件可知114832362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.故选：A5. 已知等比数列{a n }中，a 1＝7，a 4＝a 3a 5，则a 7＝（ ） A.19B.17C.13D. 7【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列的性质求出a 4，再根据通项公式求出首项，即可求出a 7的值． 【详解】解：等比数列{a n }中，a 1＝7，由a 4＝a 3a 5＝a 42，解得a 4＝1，a 4＝0（舍去）， ∴a 4＝a 1q 3，∴q 3＝17， ∴a 7＝a 1q 6＝7×（17）2＝17， 故选：B ．6. 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） A. 15天 B. 16天C. 17天D. 18天【答案】A 【解析】 【分析】由题可得每天收到的捐款形成等差数列，利用等差数列的前n 项和即可求出. 【详解】设他们每天收到的捐款形成数列{}n a ， 则由题可得{}n a 是首项为10，公差为10的等差数列，()1101012002n n n S n -∴=+⨯=，解得16n =-（舍去）或15n =， 所以这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.7. 圆221:9C x y +=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆的方程，求得圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可求解.【详解】由圆221:9C x y +=与圆222:(1)(2)36C x y -++=，可得1122(0,0),3,(1,2),6C r C r =-=，则12C C == 又由213r r -=，所以1221C C r r <-， 所以圆1C 和圆2C 的位置关系式内含. 故选：D.8. 已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】首先设点()00,A x y ，然后根据条件列式，求p 的值. 【详解】设()00,A x y ，则0015212p x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：6p . 故选：B9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】求出等差数列的前n 项和，利用二次函数的性质即可求出. 【详解】110,a = 3.5,d =-()()2174710+3.5+244n n n S n n n -∴=⨯-=-， 可得对称轴为4714n =，开口向下， n N *∈，∴当3n =时，n S 取得最大值为392.故选：A.【点睛】求等差数列前n 项和最值：方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.10. 如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A. 111333OA OB OC ++ B.111234OA OB OC ++ C. 111244OA OB OC ++D. 111446OA OB OC ++【答案】C 【解析】 【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 11. 已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ） A. 210x y +-= B. 210x y ++= C. 210x y --= D. 2+10x y -=【答案】B 【解析】 【分析】将面积化为MACB S =C 到直线的距离即为MC 最小，由此求出M 坐标，由,,,M A C B 四点共圆，求出该圆方程，和圆C 方程相减可得直线AB 方程. 【详解】将222220x y x y +---=化为标准方程为()()22114x y -+-=，故圆心()1,1C ，半径为2，可得MA AC ⊥，则222MA AC MC +=，1222MACB MACS SMA AC ∴==⨯⨯⨯=M 为直线l 上的动点，则可得min MC ==此时MACS取得最小值为2，此时MC l ⊥，2MC k ∴=，则直线MC 方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立MC 和l 可得()0,1M -，可得,,,M A C B 四点共圆，且圆心为MC 中点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为122MC =， 则该圆方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，将两圆联立相减可得直线AB 方程为210x y ++=. 故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是得出当MC l ⊥，面积最大，求出点M 坐标，且,,,M A C B 共圆，求出该圆方程，即可求出公共弦AB 方程.12. 已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率12e +=③12λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ） A. ①② B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】D 【解析】 【分析】当2PF x ⊥轴时，求出121tan 2PF F ∠=，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设12PF F △的内切圆半径为r ，利用面积公式求得λ，可判定③正确；设内切圆与12,PF PF ,12F F 的切点分别为,,M N T ，结合双曲线的定义，求得I 的横坐标，可判定④正确.【详解】当2PF x ⊥轴时，可得221212b PFc F F a ===，此时121tan 2PF F ∠=，所以①不正确；因为2122b F F a=，所以2222222b c a c a a -==，整理得220c ac a --=，可得210e e --=（其中e 为双曲线的离心率，1e >），所以12e +=，所以②正确； 设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义可得12122,2PF PF a F F c -==， 其中121212111,,2222IPF IPF IF F SPF r S PF r S c r =⋅=⋅=⋅⋅， 因为1212IPF IPF IF F S S S △△△，所以121122PF r PF r c r λ⋅=⋅+⋅，解得1212PF PF a c c e λ-====，所以③正确； 设内切圆与12,PF PF ,12F F 的切点分别为,,M N T ，可得1122,,PM PN FM FT F N F T ===，因为12121212122,2PF PF FM F N FT F T a F F FT F T c -=-=-==+=， 可得2F T c a =-，则点T 的坐标为(,0)a ， 所以I 点横坐标为a ，所以④正确. 故选：D【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分.二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13. 已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量的垂直关系计算即可. 【详解】由题可知u v ⊥，()14+32+10u v z ∴⋅=⨯⨯-⨯=，解得2z =.故答案为：2.14. 若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a =_________． 【答案】3【解析】 【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为()1,0，，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.【详解】由题意圆的方程2220x y x a +--=可转化为()2211x y a -+=+，所以该圆圆心为()1,0， 所以圆心到直线3x =的距离31d =-=3a =.故答案为：3.【点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题.15. 已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a =_______.【答案】53【解析】 【分析】根据递推关系依次求出234,,a a a 即可.【详解】11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，2111+2a a ∴==，32131+2a a ==，43151+3a a ==. 故答案为：53. 16. 已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.【答案】2m <-或1m >- 【解析】 【分析】由双曲线方程的特点可得()()210m m ++>，解不等式即可求解.【详解】若方程22121x y m m -=++表示双曲线，则()()210m m ++>， 解得：2m <-或1m >-， 故答案为：2m <-或1m >-.17. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离______.【答案】63【解析】 【分析】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取(0,1,0)a AB ==，113||AC u AC ==，从而可得点B 到直线1AC 的距离. 【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1A ，0，1)，(1B ，1，1)， 1(0C ，1，0)，∴(0,1,0)AB =，1(1,1,1)AC =--，取(0,1,0)a AB ==，113||AC u AC ==， 21a =，3a u ⋅=，则点B 到直线1AC 的距离为2216()13a a u -⋅=-=. 故答案为：63.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p =_______，线段AB 的长为_______. 【答案】 (1). 2 (2). 8 【解析】 【分析】将点(2,22M -代入抛物线2:2(0)C y px p =>可得p 的值，求出直线l 的方程与抛物线方程联立可得12x x +的值，利用过焦点的弦长公式12AB AF BFx x p 即可求得线段AB 的长.【详解】因为抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(2,22M -,所以(2222p -=⨯,解得2p =，所以抛物线2:4C y x =，焦点()1,0F ，所以直线l 的方程为：1y x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩可得2610x x -+=，可得126x x +=， 由抛物线的定义可得： 所以121262822p p ABAF BFx x x x p ，故答案为：2；8【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切. 19. 已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n =_______时，n T 有最大值为 _______.【答案】 (1). 5或6 (2). 32768 【解析】 【分析】先求出{}n a 的通项公式，再将其前n 项积n T 表示出来，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时n 的值.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，所以1661132222n n n n a ---⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5436543612322222n nnn T a a a a -++++-=⋅⋅=⋅⋅⋅=()25611543622222n n n nn+--+++++-===，令()2112n nf n -+=，对称轴为 5.5n =，因为n 是正整数，所以5n =或6时()2112n nf n -+=最大，此时n T 最大，n T 最大值为2511515252232768T -+⨯===，故答案为：5或6；32768.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将{}n a 前n 项积n T 表示出来，21122n nn T -+=，结合对应的二次函数的性质可求最值.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为_______.【答案】3【解析】 【分析】根据数形结合分析，可得'PF PF ⊥，并根据勾股定理，可得()()22222244b a b c a b +-==-，计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象，1233EF OF OE c c c =-=-=，2131'23c EF EF c c ∴==+， 又2PQ QF =，'//PF QE ∴，且1'3QE PF =，且'PF PF ⊥， 3bQE =，'PF b ∴=， 根据椭圆的定义可知2PF a b =-，由勾股定理可知22212'PF PF F F +=，即()()22222244b a b c a b+-==-整理为222224444b a b ab a b ++-=-，即23b a =， 22513c b a a ∴=-=. 故答案为：53【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长． 【答案】（Ⅰ）()2214x y ++=；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）求出AB 的垂直平分线，可求得圆心坐标，进而可求出半径，得出圆的方程； （Ⅱ）得出直线方程，求出圆心到直线距离，由几何法即可得出. 【详解】解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -，0213+1AB k -==-， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-， 所以直线CD 方程是1y x =--，令0y =，可得1x =-，故圆心()1,0C -，半径2r AC ==， 所以圆C 的标准方程为()2214x y ++= （Ⅱ）可得直线l 的方程为324y x =+， 圆心()1,0C -到直线l的距离为1d ==所以，MN ===22. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III ）存在，()1,0,1. 【解析】 【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出G 、P 、A 、B 、C 、F 的坐标，根据法向量的性质求得平面PCB 的法向量n ，证得//GF n 即可；（2）由（1）知，平面PCB 的法向量为(0n =，1，1)，同（1）可求得平面PAB 的法向量m ，由cos m <，||||m nn m n >=即可得解；（3）设AM AP λ=，则(22M λ-，0，2)λ，故有,|cos60|cos D t M →︒=><·=||·DM t DM t，解之得λ的值即可．【详解】（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =， 则222222220,2200x y z n PB x z n PA +-=⎧⎧⋅=⎨⎨-=⋅=⎩⎩即，令21z =，则221,0,x y ==， 所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =1cos ,||||222m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．（III ）假设线段AP 上存在一点M ，设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(22,0,2)M λλ-，(22,0,2)DM λλ∴=-，设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z =，(2,0,0),(1,1,1)DA DF ==，由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-，DM 与平面ADF 所成角为30︒，DM ∴与t 所成角为60︒，||cos60|cos ,|||||DM t DM t DM t →︒→⋅∴=<>==⋅解得12λ=， 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒， 点M 的坐标为(1,0,1)．【点睛】关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点M ，设AM AP λ=，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的λ，即存在，否则不存在.23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）21()n a n n *=-∈N ；（Ⅱ）()13121n n nT n n =-⋅+++.【解析】 分析】(Ⅰ)根据条件列出方程组求出数列的首项和公差，即可得出通项公式； （Ⅱ）分组求和结合错位相减法和裂项相消法可求出.【详解】解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n *=-∈N(Ⅱ)由(Ⅰ)及13n n b -= ，∴111111(21)3(21)3(21)(21)2212+1n n n c n n n n n n --⎛⎫=-⋅+=-⋅+- ⎪-+-⎝⎭则令0121133353(21)3n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，111111111+++12335212122121nB n n n n ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭， 则n T A B =+，0121133353(21)3,n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅()12313133353233(21)3n n A n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得1231212(3333)(21)3n n A n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅，2(33)21+(21)33(22)213n n n A n n --=--⋅=⋅---所以()131nA n =-⋅+综合知()13121n n nT A B n n =+=-⋅+++. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.24. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AE OM+的最小值. 【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III ）22【解析】【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE A Mx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值. 【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=； (Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+， 当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n k k m-⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+====≥=，即k =±时取等号，所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。

2020-2021学年天津一中高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．y＝﹣12．已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的一条直径通过直线2x+y﹣4＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）A．x+2y﹣5＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+5＝0D．x+2y+5＝03．已知数列{a n}是等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，S2+a6＝9，则S5的值为（）A．10B．15C．30D．34．在等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3＝S15，则S n的最大项为（）A．S7B．S8C．S9D．S105．已知等比数列{a n}的公比q＜0，且a2＝1，a n+2＝a n+1+2a n，则{a n}的前2020项和等于（）A．2020B．﹣1C．1D．06．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+n，则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．7．已知双曲线方程为x2﹣y2＝4，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为（）A．y＝3x﹣8B．y＝﹣3x+8C．y＝3x﹣10D．y＝﹣3x+10 8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．二.填空题（共6小题）.9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为．10．（4分）记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4＝5S2，则a n＝．11．（4分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，抛物线C：y2＝4x图象上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为．12．（4分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，左焦点为F．若点F关于直线l1的对称点P在l2上，则双曲线的离心率为．13．（4分）已知数列{a n}满足a n＝（n∈N*），若对于任意n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是．14．（4分）已知数列{a n}满足，定义使a1•a2•a3…a k（k∈N*）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为．三.解答题：（共52分）15．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，CF ＝．（1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（2）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．16．已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点．（1）若|PF1|﹣|PF2|＝1，求△PF1F2的面积；（2）是否存在着直线l，使得当经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B，点D与点B关于X轴对称，满足•＝﹣，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．17．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，s4﹣b4＝10（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n2+a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）.1．抛物线y＝x2的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．y＝﹣1解：由题得：x2＝4y，所以：2p＝4，即p＝2所：，＝1故准线方程为：y＝﹣1．故选：D．2．已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的一条直径通过直线2x+y﹣4＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）A．x+2y﹣5＝0B．x﹣2y﹣5＝0C．x﹣2y+5＝0D．x+2y+5＝0解：由圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的方程可得圆心坐标为（1，﹣2），联立直线2x+y﹣4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9可得：，整理可得：5x2﹣26x+28＝0，所以x1+x2＝，y1+y2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣，所以弦的中点坐标为：（，﹣），由题意可得该直径所在的方程为：y+2＝（x﹣1），整理可得：x﹣2y﹣5＝0．故选：B．3．已知数列{a n}是等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，S2+a6＝9，则S5的值为（）A．10B．15C．30D．3解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S2+a6＝9，∴3a1+6d＝9，化为：a1+2d＝3＝a3，则S5＝＝5a3＝15．故选：B．4．在等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3＝S15，则S n的最大项为（）A．S7B．S8C．S9D．S10解：等差数列{a n}中，且满足S3＝S15，∴a4+a5+…+a15＝0，由等差数列的性质可知，a9+a10＝0，∵首项a1＞0，公差d≠0，∴d＜0，∴a9＞0，a10＜0，则S n的最大项为S9．故选：C．5．已知等比数列{a n}的公比q＜0，且a2＝1，a n+2＝a n+1+2a n，则{a n}的前2020项和等于（）A．2020B．﹣1C．1D．0解：由a n+2＝a n+1+2a n，∴a n（q2﹣q）＝2a n，化为q2﹣q﹣2＝0，q＜0，解得q＝﹣1，又a2＝1＝a1×（﹣1），解得a1＝﹣1．则{a n}的前2020项和＝＝0，故选：D．6．已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+n，则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．解：数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n+n，当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝n﹣1，a n﹣1﹣a n﹣2＝n﹣2，…，a2﹣a1＝1，利用叠加法，整理得a n﹣a1＝1+2+…+n﹣1＝，所以（首项符合通项），则．故选：C．7．已知双曲线方程为x2﹣y2＝4，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为（）A．y＝3x﹣8B．y＝﹣3x+8C．y＝3x﹣10D．y＝﹣3x+10解：由双曲线方程为x2﹣y2＝4为等轴双曲线，焦点在x轴上，过点A（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，M（x1，y1），N（x2，y2），∴，两式相减可得：（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，A为MN的中点，∴x1+x2＝2×3＝6，y1+y2＝2×1＝2，∴6（x1﹣x2）﹣2（y1﹣y）＝0，则＝＝3，∴直线MN的斜率为k＝＝3．由直线的点斜式方程可知：y﹣1＝3（x﹣3），整理得：y＝3x﹣8，故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，∴y A+y B＝，∵|AF|+|BF|＝4|OF|，∴y A+y B+2×＝4×，∴＝p，∴．∴该双曲线的渐近线方程为：y＝±．故选：A．二.填空题：（每题4分）9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为．解：等差数列{a n}中，∵a5＝5，S5＝15，∴，解得a1＝1，d＝1，∴a n＝1+（n﹣1）＝n，∴＝＝，∴数列的前100项和S100＝（1﹣）+（）+（）+…+（）＝1﹣＝．故答案为：．10．（4分）记S n为递增等比数列{a n}的前n项和，若S1＝1，S4＝5S2，则a n＝2n﹣1．解：∵S n为递增等比数列{a n}的前n项和，S1＝1，S4＝5S2，∴，且q＞0，解得a1＝1，q＝2，∴a n＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．11．（4分）已知直线l：4x﹣3y+8＝0，抛物线C：y2＝4x图象上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为．解：∵动点P在抛物线C：y2＝4x上，∴设点P的坐标为（a2，2a），可得P到y轴的距离d1＝a2．P到直线l：4x﹣3y+8＝0的距离d2＝＝|4a2﹣6a+8|，∵4a2﹣6a+8＝4（a﹣）2+＞0，∴d2＝（4a2﹣6a+8），可得动点P到直线l与y轴的距离之和为：d1+d2＝a2+（4a2﹣6a+8）＝a2﹣a+，由此可得当a＝时，d1+d2的最小值为，动点P到直线l与y轴的距离之和的最小值为．故答案为：．12．（4分）设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，左焦点为F．若点F关于直线l1的对称点P在l2上，则双曲线的离心率为2．解：由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，点F（﹣c，0），不妨取直线l1为y＝﹣x，直线l2为y＝x，设点P的坐标为（m，m），则线段PF的中点坐标为（，），∵点F关于直线l1的对称点P在l2上，∴，即，∴b＝a，∴离心率e＝＝＝2．故答案为：2．13．（4分）已知数列{a n}满足a n＝（n∈N*），若对于任意n∈N*都有a n＞a n+1，则实数a的取值范围是（，1．解：∵对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴数列{a n}单调递减，可知0＜a＜1．①当＜a＜1时，n＞8，a n＝（﹣a）n+2单调递减，而a n＝a n﹣7（n≤8）单调递减，∴（﹣a）×9+2＜a8﹣7，解得a＞，因此＜a＜1．②当0＜a＜时，n＞8，a n＝（﹣a）n+2单调递增，应舍去．综上可知：实数a的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．14．（4分）已知数列{a n}满足，定义使a1•a2•a3…a k（k∈N*）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2020]内所有“幸福数”的和为1349．解：由于数列{a n}满足，当n＝1时，T1＝a1＝1，当n≥2时，T n＝1×log45×log56×…×log n+2（n+3）＝＝log4（n+3）．又n＝1时，1＝log44，成立．所以T n＝log4（n+3）∈Z，（1≤n≤2020），设log4（n+3）＝m∈Z，所以n+3＝4m∈[4，2023]，由于45＝210＝1024，46＝212＝4096＞2023，所以1≤m≤5，共5个数，所以（41﹣3）+（42﹣3）+…+（45﹣3）＝．故答案为：1349．三.解答题：（共52分）15．如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，CF ＝．（1）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（2）求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值．解：∵AE⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.又CF∥AE，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2，CF＝，∴B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，2，0），E（0，0，2），F（1，2，），＝（﹣1，1，0），，，．（1）设平面BDE的一个法向量为，由，取z＝1，可得，设直线CE与平面BDE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝，即直线CE与平面BDE所成角的正弦值为；（2）设平面BDF的一个法向量为，则，取z1＝﹣7，得，设平面BDE与平面BDF的夹角为φ，则cosφ＝，由图可知，平面BDE与平面BDF的夹角为锐角，故平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为．16．已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点．（1）若|PF1|﹣|PF2|＝1，求△PF1F2的面积；（2）是否存在着直线l，使得当经过椭圆左顶点A且与椭圆相交于点B，点D与点B关于X轴对称，满足•＝﹣，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可知，解得：|PF1|＝，|PF2|＝，又∵|F1F2|＝2，∴，即PF1⊥F1F2，∴Rt△PF1F2的面积为＝．（2）由题意可知A（﹣2，0），直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y＝k（x+2），联立方程，消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，∴＝，∴D（，），∵•＝﹣，∴（）2+＝﹣，整理得：16k4﹣25k2+9＝0，解得：k＝±1或k＝，∴y＝±（x+2）或y＝，即存在直线l满足题意，直线l的方程为：x﹣y+2＝0或x+y+2＝0或3x﹣4y+6＝0或3x+4y+6＝0．17．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4+b4＝27，s4﹣b4＝10（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项的和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2+3d，b4＝2q3，S4＝8+6d．由条件，得方程组，解得，所以a n＝3n﹣1，b n＝2n，n∈N*．（2）证明：由题意可得①②由①﹣②，得＝4+3•﹣（3n﹣1）•2n+1，∴．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足2S n＝a n2+a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．（3）是否存在实数λ使得T n+2＞λ•S n对n∈N+恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在说明理由．解：（1）当n＝1时，a1＝2．当n≥2时，，整理可得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，可得a n﹣a n﹣1＝1，∴{a n}是以a1＝2为首项，d＝1为公差的等差数列．∴．（2）由（Ⅰ）得a n＝n+1，∴．∴．（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，由数列的单调性可得，所以f（1）＝1，f（2）＝，f（3）＝，＜f（5）＜f（6）＜…当n＝3时有最小值．所以．。

塘沽第一高级中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，，则（ ）{}24A x x =-<≤{}2,3,4,5B =A B ⋂=A ．B ．C ．D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,42．设则“（）为偶函数”是“”的（ ）ϕ∈R ()()cos f x x ϕ=+x ∈R 0ϕ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件3．函数在上的大致图象为（ ）()41x xe ef x x --=+[]3,3-A ．B ．C ．D ．4．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：）频率分布直方图，如图：h其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中，正确的是（ ）（1）寿命超过的频率为0.3；400h （2）用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：1500.12500.153500.454500.155500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（3）寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2A ．①B ．②C ．③D ．以上均不正确5．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线22221x y a b-=0a >0b >C 22660x y x +-+=的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（）C A ．B ．C ．D ．22145x y -=22154x y -=22163x y -=22136x y -=6．已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）0b >5log b a =lg b c =510d =A ．B ．C ．D ．d ac=d a c=+c ad=a cd=7．已知奇函数，且在上是增函数．若，，()f x ()()g x xf x =[)0,∞+()2log 5.1a g =-()0.82b g =，则，，的大小关系为（ ）()4log 3c g =a b c A ．B ．C ．D ．a b c<<c b a<<b a c<<b c a<<8．已知函数（），若在上有且仅有三个极值点，则不正确的有（()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭0ω>()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭）A ．在区间上的最小值可以等于()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-B ．若的图象关于点对称，则在区间上单调递增()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．的最小正周期可能为()f x π3D ．若，将的图象向右平移个单位可得到的图象()π002f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin2g x x =π123x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭9．已知函数，函数，其中，若函数()()222,2,2x x f x x x ⎧+<-⎪=⎨-≥-⎪⎩()()2g x b f x =--b ∈R 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）()()y f x g x =-b A ．B ．C ．D ．7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭9,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10．若复数满足（为虚数单位），则______．z ()1i 43i z -=+i z =11．的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）81x ⎛ ⎝x 12．已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截1C 224x y +=2C 22860x y x y m +-++=l 0x y +=2C 的弦长为______；若点为圆上一点，则的最小值为______．()00,P x y 2C 2200x y +13．从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取m n 3次，记摸取的白球个数为，若，则______，______．X ()1E X =n =()1P x ≤=14．如图，一个圆柱内接于一个圆锥，且圆锥的轴截面为面积是的正三角形．设圆柱底面半径为，2r 高为，则的最小值为，圆柱的最大体积为______．h 1r +3cm 15．在梯形中，，，，，，分别为线段和ABCD AB CD ∥2AB BC ==1CD =120BCD ︒∠=P Q BC 线段上的动点，且，，则的取值范围为______．CD BP BC λ= 34DQ DC λ= DP AQ ⋅三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．ABC △A B C a b c πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求角的大小；B（2）设，，求和的值．2a =c =b ()sin 2C B -17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AD BA ⊥3AD =，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点．2AB BC ==PA ⊥ABCD 3PA =M PD N BC（1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN ∥PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD PAB（3）是否存在点，使与平面的值；若不存在，说M NM PCD PMPD明理由．18．（本小题满分15分）设为等差数列的前项和，且，．n S {}n a n 35a =654229S S S +=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和；2n an n b a =⋅{}n b n n T（3）若满足不等式的正整数恰有3个，求正实数的取值范围．()110nn n S λ-⋅+-<n λ19．（本小题满分15分）已知椭圆（）的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，22221x y a b +=0a b >>1A 2F 2F x M 两点，直线的斜率为．N 1A M 12（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆右顶点为，为粗圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；2A P 12PA PA k k ⋅（3）若的外接圆在处的切线与粗圆交另一点于，且的面积为，求粗圆的方程．1A MN △M D 2F MD △6720．（本小题满分16分）已知函数和，()xf x e =()lng x ax x =-a ∈R（1）求在处的切线方程；()y f x =0x =（2）若当时，恒成立，求的取值范围；()1,x ∈+∞()ln g x x x a <+a （3）若与有相同的最小值．()()h x f x ax =-()y g x =（ⅰ）求并求出；a （ⅱ）证明：存在实数，使得和共有三个不同的根，，（），且，b ()h x b =()g x b =1x 2x 3x 123x x x <<1x ，依次成等差数列．2x 3x 塘沽第一高级中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分）1-5 DBCCC 6-9 DBAC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．10．11．28 12 4 13．1；14．； 15．17i 22-20274313,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（注：两个空的答对一个空给3分）三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）（1）在中，由正弦定理，可得，ABC △sin sin a bA B=sin sin b A a B =又由，得，πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πsin cos 6a B a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即，可得πsin cos 6B B ⎛⎫=+⎪⎝⎭tan B =又因为，可得．()0,πB ∈π6B =（2）在中，由余弦定理及，，，ABC △2a =c =π6B =有，故2222cos b a c ac B =+-b =由，可得，故．2222cos c a b ab C =+-cos C =()0,πC ∈sin C =因此，sin22sin cos C C C ==21cos22cos 126C C -=-=所以，()1111sin 2sin2cos cos2sin 6626213ππC B C C --=-=⨯=17．（本小题满分15分）解：（1）取的一个靠近点的三等分点，连接，，PA P Q MQ QB 因为，所以且，2DM MP = MQ AD ∥113QM AD ==又因为，且，点为中点，AD BC ∥2BC =N BC 所以且，则四边形为平行四边形，BN MQ ∥BN MQ =MQBN 所以，平面，平面，所以直线平面．MN BQ ∥MN ⊄PAB QB ⊂PAB MN ∥PAB （2）如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为A AB x AD y AP 轴建立空间直角坐标系，z则，，，，又为的中点，则，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,3,0D ()0,0,3P N BC ()2,1,0N 所以，，，，()0,3,3PD =- ()2,1,0CD =- ()2,1,3PN =- ()2,2,3PC =-设平面的法向量为，则，令，则，CPD ()1,,n x y z = 1133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =()11,2,2n = 设平面的法向量为，PAB ()20,1,0n =，所以，12sin ,n n == 12 cos ,3n 所以平面与平面的夹角的余弦值为．CPD PAB 23（3）存在，．23PM PD =假设存在点（不包括端点），设，即，，M PMPDλ=PM PD λ= ()0,1λ∈由（2）得，，，且平面的法向量，()0,3,0D ()0,0,3P ()2,1,0N CPD ()11,2,2n =，，则，()0,3,3PD =- ()0,3,3PM λλ=-()0,3,33M λλ-所以，因为与平面()2,13,33MN λλ=--NMPCD 则111sin cos ,MM MN n n n MM θ====⋅⋅ 整理得：，解得：，291240λλ-+=23λ=故存在点，使与平面．M NM PCD 23PM PD =18．（本小题满分15分）解：（1）设等差数列的公差为，则，{}n a d 36545229a S S S =⎧⎨+=+⎩解得，，因此，；11a =2d =()11221n a n n =+-⨯=-（2）()212121242n nn n b n --=-⋅=⋅231352144442222nn n T -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅则，234113521444442222n n n T +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得，1116421324142n n n n T ++---=+-⋅-110653436n n n T +--=--⋅因此，．110654918n n n T +-=+⋅（3），()122n n n a a S n ⋅+==满足不等式的正整数恰有3个，得，()110nn nS λ-⋅+-<nλ<由于，若为奇数，则不等式不可能成立．0λ>nλ<只考虑为偶数的情况，令，nnb ==则2nb +==∴2n n b b +-===当时，，则；2n =420b b ->24b b <当时，，则；4n =640b b ->46b b <当时，，则；6n =860b b -<68b b >因为在时单调递减，244y n n =-++2n ≥所以当时，则．6n ≥20n n b b +-<6810b b b >>>⋅⋅⋅所以，246810b b b b b ⋅<<>>⋅⋅>又，，，，∴．69 2b =484b b ==22b =102528b =>2548λ≤<因此，实数的取值范围是．λ2548λ≤<19．（本小题满分15分）（1）由题意可知：，，设，由题意可知：在第一象限，且，()1,0A a -()2,0F c (),M x y M 22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩∴，∴，∴，∴；2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()22212b a c a c a a c a a c a --===++2a c =12c e a ==（2）设，则，(),P x y 22221x y a b+=所以1222222222222131,4PA PA x b a y y y b k k e x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-=-+=-+---∴为定值12PA PA k k ⋅34-（3）由（1），，所以椭圆方程为：，22222243b a c c c c =-=-=2222143x y c c +=，，设的外接圆的圆心坐标为，由，得3,2M c c ⎛⎫⎪⎝⎭()12,0A c -1A MN △(),0T t 1TA TM =，求得，∴，切线斜率为：，切线直线方程为()()222924t c t c c +=-+8ct =-34238TM ck c c ==+34k =-，即代入椭圆方程中，得，()3324y c x c -=--3490x y c +-=22718110x cx c -+=，，，2222184711160c c c ∆=-⨯⨯=>117D c x =1514D cy =∴，57c MD ===到直线的距离，的面积为，2F MD 39655c c c d -==2F MD △12S MD d =⋅所以有，∴，椭圆方程为：．26156372757c c c =⨯⨯=22c =22186x y +=20．（本小题满分16分）（1）切线方程：1y x =+（2）方法一：当时，等价于．()1,x ∈+∞()1ln 01a x x x -->+所以当时，恒成立．()1,x ∈+∞()1ln 1x x a x +<-令，则()()1ln 1x x H x x +=-()()212ln 1x x xH x x --=-'设，所以，()12ln G x x x x=--()()22211210x G x x x x '-=+-=>所以，所以在单调递增．()0H x '>()()1ln 1x x H x x +=-()1,+∞∵，∴()()111ln 1ln limlim211x x x xx x x x →→+++==-2a ≤方法二：当时，等价于．()1,x ∈+∞()1ln 01a x x x -->+设，则，()()1ln 1a x g x x x -=-+()()()()2222111211x a x ag x x x x x '+-+=-=++()10g =（ⅰ）当，时，，故，在上单2a ≤()1,x ∈+∞()22211210x a x x x +-+≥-+>()0g x '>()g x ()1,+∞调递增，因此；()0g x >（ⅱ）当时，令得，．2a >()0g x '=11x a =-21x a =-由和得，故当时，，在单调递减，因此．21x >121x x =11x <()21,x x ∈()0g x '<()g x ()21,x ()0g x <综上，的取值范围是．a (],2-∞（3）的定义域为，而，()e x f x ax =-R ()e xf x a '=-若，则，此时无最小值，故．0a ≤()0f x '>()f x 0a >的定义域为，而．()ln g x ax x =-()0,+∞()11ax g x a x x-=-='当时，，故在上为减函数，ln x a <()0f x '<()f x (),ln a -∞当时，，故在上为增函数，ln x a >()0f x '>()f x ()ln ,a +∞故．()()min ln ln f x f a a a a ==-当时，，故在上为减函数，10x a <<()0g x '<()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，故在上为增函数，1x a >()0g x '>()g x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故．()min 111ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为和有相同的最小值，()e xf x ax =-()lng x ax x =-故，整理得到，其中，11ln ln a a a a -=-1ln 1a a a-=+0a >设，，则，()1ln 1a g a a a -=-+0a >()()()222211011a g a a a a a --=-=≤++'故为上的减函数，而，()g a ()0,+∞()10g =故的唯一解为，故的解为．()0g a =1a =1ln 1a a a-=+1a =综上，．1a =（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值为．()e x f x x =-()ln g x x x =-11ln11ln 11-=-=当时，考虑的解的个数、的解的个数．1b >e x x b -=ln x x b -=设，，()e x S x x b =--()e 1xS x '=-当时，，当时，，0x <()0S x '<0x >()0S x '>故在上为减函数，在上为增函数，()S x (),0-∞()0,+∞所以，()()min 010S x S b ==-<而，，()e 0b S b --=>()e 2b S b b =-设，其中，则，()e 2bu b b =-1b >()e 20b u b =->'故在上为增函数，故，()u b ()1,+∞()()1e 20u b u >=->故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．()0S b >()e xS x x b =--e x x b -=设，，()ln T x x x b =--()1x T x x'-=当时，，当时，，01x <<()0T x '<1x >()0T x '>故在上为减函数，在上为增函数，()T x ()0,1()1,∞+所以，()()min 110T x T b ==-<而，，()e e 0b b T --=>()e e 20b b T b =->有两个不同的零点即的解的个数为2．()ln T x x x b =--ln x x b -=当，由（1）讨论可得、仅有一个解，1b =ln x x b -=e x x b -=当时，由（1）讨论可得、均无根，1b <ln x x b -=e x x b -=故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =则．1b >设，其中，故，()e ln 2x h x x x =+-0x >()1e 2x h x x=+-'设，，则，()e 1x s x x =--0x >()e 10xs x =->'故在上为增函数，故即，()s x ()0,+∞()()00s x s >=e 1x x >+所以，所以在上为增函数，()11210h x x x>+-≥->'()h x ()0,+∞而，，()1e 20h =->31e 333122e 3e 30e e e h ⎛⎫=--<--< ⎪⎝⎭故在上有且只有一个零点，且：()h x ()0,+∞0x 0311e x <<当时，即即，00x x <<()0h x <e ln x x x x -<-()()f x g x <当时，即即，0x x >()0h x >e ln x x x x ->-()()f x g x >因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =故，()()001b f x g x ==>此时有两个不同的根，（），e x x b -=1x 0x 100x x <<此时有两个不同的根，（），ln x x b -=0x 4x 0401x x <<<故，，，11e x x b -=00e x x b -=44ln 0x x b --=00ln 0x x b --=所以即即，44ln x b x -=44e x b x -=()44e 0x b x b b ----=故为方程的解，同理也为方程的解4x b -e x x b -=0x b -e x x b -=又可化为即即，11e x x b -=11e xx b =+()11ln 0x x b -+=()()11ln 0x b x b b +-+-=故为方程的解，同理也为方程的解，1x b +ln x x b -=0x b +ln x x b -=所以，而，{}{}1004,,x x x b x b =--1b >故即．0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩1402x x x +=[方法二]：由（1）知，，，()xf x e x =-()lng x x x =-且在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0-∞()0,+∞在上单调递减，在上单调递增，且．()g x ()0,1()1,+∞()()min min 1f x g x ==①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，1b <()()min min 1f x g x b ==>y b =()y f x =()y g x =不符合题意；②时，此时，1b =()()min min 1f x g x b ===故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；y b =()y f x =()y g x =③时，首先，证明与曲线有2个交点，1b >y b =()y f x =即证明有2个零点，，()()F x f x b =-()()1xF x f x e '==-'所以在上单调递减，在上单调递增，()F x (),0-∞()0,+∞又因为，，，()0b F b e --=>()010F b =-<()20b F b e b =->（令，则，）()2bt b e b =-()20b t b e =->'()()120t b t e >=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，()()F x f x b =-(),0-∞1x 在上存在且只存在1个零点，设为．()0,+∞2x 其次，证明与曲线和有2个交点，y b =()y g x =即证明有2个零点，，()()G x g x b =-()()11G x g x x ='=-'所以上单调递减，在上单调递增，()G x ()0,1()1,+∞又因为，，，()0b b G e e --=>()010G b =-<()2ln20G b b b =->（令，则，）()ln2b b b μ=-()110b bμ=->'()()11ln20b μμ>=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，()()G x g x b =-()0,13x 在上存在且只存在1个零点，设为．()1,+∞4x 再次，证明存在，使得：b 23x x =因为，所以，()()230F x G x ==2233ln xb e x x x =-=-若，则，即，23x x =2222ln x e x x x -=-2222ln 0x e x x -+=所以只需证明在上有解即可，2ln 0x e x x -+=()0,1即在上有零点，()2ln xx e x x ϕ=-+()0,1因为，，31331230e e e e ϕ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭()120e ϕ=->所以在上存在零点，取一零点为，令即可，()2ln xx e x x ϕ=-+()0,10x 230x x x ==此时取00x b e x =-则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，1402x x x +=因为()()()()()()1203040F x F x F x G x G x G x ======所以，()()()100ln F x G x F x ==又因为在上单调递减，，即，所以，()F x (),0-∞10x <001x <<0ln 0x <10ln x x =同理，因为，()()()004x F x G e G x ==又因为在上单调递增，即，，所以，()G x ()1,+∞00x >01x e>11x >04x x e =又因为，所以，0002ln 0x e x x -+=01400ln 2x x x e x x +=+=即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．y b =()y f x =()y g x =【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系．。

2020-2021学年天津市部分区高二上学期期末数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A -，()4,1,1B --，则线段AB 的中点坐标是（ ） A ．()1,0,2- B ．()1,0,1-C ．()3,0,1D ．()1,1,1-【答案】B【分析】利用中点坐标公式直接求解.【详解】因为点()2,1,3A -，()4,1,1B --，所以线段AB 的中点坐标是421113,,222-+-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0,1-. 故选：B2．准线为2x =的抛物线的标准方程方程是（ ） A ．28x y = B ．28x y C ．28y x = D ．28y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的准线方程可知抛物线的焦点位置和p 的值，由此可得抛物线的标准方程.【详解】因为准线为2x =，所以抛物线的焦点在x 轴负半轴上，且22p=， 所以4p =，所以抛物线的方程为228y px x =-=-.故选：D3．经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y +-= C ．230x y --= D ． 230x y +-=【答案】A【分析】根据斜率公式求出斜率，再根据点斜式可得结果. 【详解】经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线的斜率为13220+=-， 由点斜式可得所求直线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=. 故选：A4．在等比数列{}n a 中，424a =，66a =，则5a =（ ） A ．12 B ．-12C ．±12D ．15【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式性质直接求解.【详解】由等比数列{}n a ，可知6254246122a a a =⨯==⋅，解得：512a =± 故选：C.5．焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为4，离心率为12，则该椭圆的标准方程为（ ） A ．22143x y +=B ．221164x y +=C ．2214x y +=D ．2211612x y +=【答案】A【分析】由长轴长可得2a =，再由离心率求得c ，即可求出b ，得出椭圆方程.【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，长轴长为4，24a ∴=，即2a =， 离心率为12c e a ==，1c ∴=， 2223b a c ∴=-=，故椭圆方程为22143x y +=.故选：A.6．已知圆的方程为22220x y x y m +-++=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2m > B ．2m ≥ C ．2m < D ．2m ≤【答案】C【分析】根据2240D E F +->可求得结果. 【详解】因为22220x y x y m +-++=表示圆， 所以22224(2)240D E F m +-=-+->，解得2m <. 故选：C【点睛】关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.8．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，A 为C 的左顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若直线AB 的倾斜角为π4，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3D 【答案】B【分析】首先求点,A B 的坐标，再求直线AB 的斜率，利用关于,a c 的齐次方程求离心率.【详解】由条件可知(),0A a -，BF x ⊥轴，当x c =时，22221c y a b-=，解得：422b y a =，又因为直线AB 的倾斜角为π4，所以点B 在第一象限，所以2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21ABb a kc a==+，即()2b a c a =+，化简为2220c ac a --=，两边同时除以2a 后 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B9．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（ ） AB．7C．6D ．67【答案】D【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC 和1BC 的公垂线的方向向量n ，求出AB ，再由AB n d n⋅=可求出.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ， 则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =， 则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =， 67AB n d n⋅∴==. 故选：D.【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.二、填空题10．已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是_____________. 【答案】相交【分析】分别求出圆1C 与圆2C 的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系.【详解】圆()()222211:2880:1425C x y x y C x y +++-=⇒+++=，圆心1(1,4)C --，15r =圆()()22222:44202210C x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心2(2,2)C ，210r =又圆心距2212(21)(24)35C C =+++=12510510C C <，所以两个圆是相交的. 故答案为：相交【点睛】方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系判断：方法位置关系几何法：圆心距d 与12,r r 的关系外离12d r r >+11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2n S n =（*n ∈N ），则9a =_____________.【答案】17【分析】利用n S 求出n a ，则可得9a .【详解】因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式， 所以21n a n =-， 所以929117a =⨯-=. 故答案为：17【点睛】关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键.12．经过点()3,1A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.【答案】22188x y -=【分析】设出方程()220x y λλ-=≠，代入点A 即可求出.【详解】双曲线为等轴双曲线，则可设方程为()220x y λλ-=≠，将()3,1A -代入可得91λ-=，即8λ=，故方程为228x y -=，化为标准方程为22188x y -=.故答案为：22188x y -=.13．已知空间向量a ()1,0,1=，()2,1,2b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是_____________. 【答案】()2,0,2【分析】利用向量b 在向量a 上的投影乘以与a 同向的单位向量即可得解. 【详解】向量b 在向量a 上的投影是a ba ⋅== 所以向量b 在向量a 42a a =⨯2a ==(2,0,2)， 故答案为：()2,0,2【点睛】关键点点睛：理解向量b 在向量a 上的投影向量的概念是解题关键.14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________. 【答案】()11332n n +-- 【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果.【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.15．已知A ，B 两点的坐标分别是()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是4，则点M 的轨迹方程为_____________. 【答案】2 4y x =-（2x ≠±）【分析】设(),M x y ，表示出直线AM 与BM 的斜率，由斜率之差为4建立关系可求. 【详解】设点(),M x y ，其中2x ≠±，则2AM y k x =+，2BM y k x =-， 由题可得422AM BM y y k k x x -=-=+-，整理可得24(2)y x x =-≠±. 即点M 的轨迹方程为24(2)y x x =-≠±. 故答案为：24(2)y x x =-≠±.三、解答题16．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S . 【答案】（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.17．已知圆C 与直线24x y +=相切于点()1,2A ，并且圆心在直线y x =-上，求圆C 的方程.【答案】22(1)(1)5x y ++-=.【分析】根据过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直，得到过圆心和点()1,2A 的直线的斜率，进而得到过圆心和点()1,2A 的直线方程，将此直线与直线24x y +=方程联立解得圆心坐标，再求出圆的半径，然后可得圆C 的标准方程.【详解】依题意，过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直， 故这条直线的斜率为12所以这条直线的方程230x y -+=． 由已知，所求圆的圆心C 在直线y x =-上．解方程组230x y y x-+=⎧⎨=-⎩，可得1x =-，1y =．所以圆心C 的坐标为()1,1-．半径为AC =所求圆C 的方程为22(1)(1)5x y ++-=．【点睛】关键点点睛：利用两直线方程联立求出圆心坐标是解题关键.18．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AD ⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2AB AC ==，3AD =.（Ⅰ）求直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅱ）求平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）24；（Ⅱ）3010. 【分析】（Ⅰ）以A 为原点，分别以AB ，AC ，AD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式可求得结果； （Ⅱ）利用两个平面的法向量可求得结果.【详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB ，AC ，AD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A ，()1,0,0M ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,3D（Ⅰ）依题意()2,2,0BC =-，(3MD =-．2cos ,4BC MDBC MD BC MD -⋅<>===， 所以直线BC 与MD 所成角的余弦值为4. （Ⅱ）易知，()0,2,0AC =为平面ABD 的一个法向量，依题意，可得()2,2,0BC =-，(BD =-． 设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22020x y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨令2z =，可得()3,3,2m =． 因此有cos ,3m ACm ACm AC ⋅<>=== 由图可知平面ABD 和平面BDC的夹角为锐角，所以平面ABD 和平面BDC． 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.19．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为 （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线1y kx =+（12k >）与E 相交于A ，B 两点，M 为E 的左顶点，且满足MA MB⊥，求k .【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）56k =. 【分析】（Ⅰ）由题可得2c =c a =,a b 即得椭圆方程； （Ⅱ）联立直线与椭圆方程，得出,A B 坐标关系，由0MA MB ⋅=建立方程即可求出.【详解】（Ⅰ）解：由题意知2c =c a = 又因为222a b c =+解得2a =，1b =，c =故E 的标准方程为2214x y +=（Ⅱ）由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221480k x kx ++=，得0x =或2814k x k =-+ 不妨设()0,1A ，(),B B B x y ，则2814B k x k =-+，221414B k y k-=+ 由（Ⅰ）知()2,0M -，故()2,1MA =，222288214,1414k k k MB k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭， 由MA MB ⊥，知0MA MB ⋅=()22222882141414k k k MA MB k k⨯-+-⋅=+++ ()()2222165128501414k k k k k k---+===++ 又因为12k >，故56k =． 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+（*N n ∈）. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足123(21)n b b n b n +++-=（*n ∈N ），记数列14(1)n n n n b a +⎧⎫⋅-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数. 【分析】（Ⅰ）根据条件求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式；（Ⅱ）先由已知可求出121n b n =-，进而可得1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，分n 为奇数和n 为偶数时可求n T .【详解】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =， 可得()114642a d a d +=+，即12a d =记为①．又因为221n n a a =+（*n ∈N ），取1n =，所以2121a a =+，即11a d +=记为②，由①②可得11a =，2d =，故{}n a 的通项公式为21n a n =-．（Ⅱ）由123(21)n b b n b n +++-=可得11b =且1213(23)1n b b n b n -+++-=-（2n ≥）， 上述两式作差可得121n b n =-（2n ≥），满足11b =， ∴121n b n =-（*n ∈N ） 所以14411(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n b n a n n n n +⋅⎛⎫-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭ 当n 为偶数时11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴1212121n n T n n =-+=-++ 当n 为奇数时，11111111335572121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴12212121n n T n n +=--=-++ 所以2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数．【点睛】本题考查数列的求和方法，解题的关键是将所求数列裂项得出1411(1)(1)2121nn n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，进而对n 分奇偶进行求和.。

塘沽一中2020-2021学年度第一学期高二期中模拟卷（二）一、选择题1.若两平行直线x+2y+m＝0（m>0）与x-ny-3＝0之间的距离是√5，则m+n＝（）A 0B 1C -1D -22.已知直线l过点（1，2），且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的距离的两倍，则l的方程为（）A 2x-y＝0B 2x+y-4＝0C 2x-y＝0或x+2y-2＝0D 2x-y＝0或2x+y-4＝03.已知A（2，0），B（0，2），若直线y=k（x+2）与线段AB有公共点，则k的取值范围是（）A.［-1，1]B. ［-1，+∞]C. ［0，1]D. （0，-1]∪［1，∞]4.已知圆C1：x²+y²+2x+3y+1＝0，圆C2：x²+y²+4x-3y-36＝0，则圆C1与圆C2的位置关系为（）A 相切B 内含 C外离 D 相交5.若椭圆C：+ ＝1的右焦点为F，且与直线l：x-y+2=0交于P、Q两点，则△PQF的周长为（）A 6 B. C. 6 D. 86.若椭圆+ ＝1（a>b>0）过点（，1），且以该椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积是4，则这个椭圆的离心率为（）A. 0.5B.C.D.7.设椭圆+ ＝1（a>b>0）的右焦点为F（c，0），且a=2c，方程ax²+bx-c=0的两个实数根为x1，x2，则点p（x1，x2）（）A. 在x²+y²=2圆上B. 在x²+y²=2圆外C. 在x²+y²=2圆内D. 以上都有可能8.在空间直角标系O-xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是A（0，0，2），B（2，2，0），C（1，2，1），D（2，2，2），则点B到面ACD的距离是（）A. B. C. D.9.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝AB＝2，∠BAD＝60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题10.若直线2x+y-2＝0与直线x+mx+1＝0互相垂直，则点A（m，m）到直线x+y+3＝0的距离为_______11.经过直线2x+3y-7＝0与7x+15y+1＝0的交点，且平行于直线2x+4y-3＝0的直线方程是________12.已知圆心在直线x-3y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，且C截x轴所得的弦长为4则圆C的方程为________13.已知方程+ ＝1表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围____14.若圆x²+y²=1与圆x²+y²-6x-8y-m＝0相切，则m的值为_____15.已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2-2，离心率为，则椭圆E的方程为__________16.P(x,y)是椭圆+ ＝1上的动点，F1,F2为左右焦点，则·的取值范围是____三、解答题17.已知圆C经过点A（3，3）、B（2，4），并且直线m：2x-y-1＝0平分圆C. （1）求圆C的方程（2）若过点D（2，0），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的焦点M、N. （i）求实数k的取值范围；（ii）若·＝13，求k的值.18.如图所示，直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 垂直AB ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，四边形EDCF 为矩形，CF ＝，平面EDCF ⊥平面ABCD.（1）求证：DF//平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；（3）在线段DF 上是否存在点p ，使得直线BP 与平面ABE 所成角19.已知椭圆E ：+ ＝1（a>b>0）的离心率为，A,B 分别是椭圆上的上顶点、右顶点，原点o 到直线AB 的距离为.（1）求E 的方程（2）直线l1，l2的斜率均为，直线l1与E 相切于点M （M 在第二象限内），直线l2与E 相交于P ，Q 两点，MP ⊥MQ ，求直线l 2 的方程.20.已知椭圆E ：+ ＝1（a>b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为1的等腰三角形，（1）求E 的方程（2）直线l ：x －y+m ＝0与椭圆E 相较于M 、N 两点，试问：在y 轴上是否存在点A ，使得△AMN 为等边三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.A B C F D E。

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）一､选择题1. 若直线过点（1，2），（4，2），则此直线的倾斜角是（） A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为． k ==30︒故选：A ．2. 三棱锥O ﹣ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且＝，＝，＝OAaOB b OCc，用，，表示，则等于（ ）a b cNM NMA. B. ()12a b c -++ ()12a b c +- C. ） D. ()12a b c -+ ()12a b c --+ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案.【详解】 ()1122OM ON O NM A OB OC =-=+-. ()11112222OA OB OC a b c =+-=+-故选：B3. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面β(2,1,)m z =- α(4,2,2)n =--平面，则实数的值为（）β⊥αzA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据计算得解.0m n ⋅=【详解】因为平面平面，，即，所以，解得：β⊥αm n ∴⊥ 0m n ⋅=8220z +-=.5z =故选：C.4. 已知等差数列的前项和为，且，则的值为（） {}n a n n S 2121S =616a a +A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，可得与的关系n 2121S =616a a +式，即可求得结果.【详解】根据等差数列前项和公式得，n ，由等差数列的性质可知()12121212a a S +=121616a a a a ++=所以()6162121212a a S +==即． 6162a a +=故选：B.5. 下列求导运算正确的是（） A. B.()ln x x '=()sin cos 55ππ'=C. D.()cos sin x x '=()ln xxa aa '=()0,1a a >≠【答案】D 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解得答案.【详解】，A 项错误；因为是个常数，所以，B 项错误；()1ln x x '=πsin 5πsin 05'⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 项错误；，D 项正确. ()cos sin x x '=-()ln x x a a a '=()0,1a a >≠故选：D.6. 如图，在直三棱柱中，已知，D 为的中点，111ABC A B C -AB AC ⊥1CC，则，所成角的余弦值是（）1AB AC AA ==1AB 1ADB.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-公式计算得到答案.【详解】以A 为原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所AB AC1AA 示的空间直角坐标系，设，则，，，2AB =()0,0,0A ()12,0,2B ()10,0,2A ()0,2,1D ，所以，，设，所成的角为，()12,0,2AB = ()10,2,1A D =-1AB 1A D θ则． 1111cos AB A D AB A Dθ⋅===故选：C7. 已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于1F 2F E 221812x y +=1Fk l E ，两点，则的周长为（）M N 2MNF A. 8B.C. D. 与有k关 【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆：可求得a ，由椭圆的定义可得，E 221812x y +=122MF MF a +=，并且，进而即可求得的周长．122NF NF a +=11MN MF NF =+2MNF【详解】由椭圆：，则，即，E 221812x y +=2=12a a又椭圆的定义可得，122MF MF a +=122NF NF a +=，11MN MF NF =+所以的周长为2MNF．()()2222112=++=MNF C MF MN NF MF MF NF NF +++=+= 故选：C ．8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆C ()222210,0x y a b a b -=>>y x =有公共焦点，则的方程为（）221156x y +=C A.B.221810x y -=22145x y -=C.D. 22154x y -=22143x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、2a ，即可得解.2b 【详解】解：椭圆的焦点为，221156x y +=()3,0±又双曲线：的一条渐近线方程为，C ()222210,0x y a b a b -=>>y x =所以，解得，所以双曲线方程为. 2223ba c c ab =⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2254a b ⎧=⎨=⎩22154x y -=故选：C9. 已知等差数列的通项公式为，则其前n 项和取得最大值时，n 的值{}n a 92n a n =-n S （） A. 6 B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】【分析】求出首项，求出的表达式，结合二次函数性质，即可求得答案. n S 【详解】由题意等差数列的通项公式为，则， {}n a 92n a n =-1927a =-=故，2(792)(4)162n S n n n +-==--+即当时，取得最大值，即取得最大值时，n 的值是4， 4n =n S n S 故选：C.10. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第3个数应为（） A.B.C.D.1421323132162【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可．【详解】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为，公比为， {}n a q 则，所以，即， 1131,2a a ==121312a qa ==1122q =所以新插入的第3个数为．31131244122a a q ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：A11. 已知数列满足，则（） {}n a ()1111,,2n n a n a n a n --==≥n a =A. B.C.D.n 1-11n -n 1n【答案】D 【解析】【分析】利用累乘法即可求得.n a 【详解】因为， ()11,2n n a n n a n--=≥所以， 32121121,,23n n a a a n a a a n--=== 上述各式相乘得，11n a a n=因为，所以， 11a =1n a n =经检验，满足， 11a =1n a n=所以. 1n a n=故选：D.12. 已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与2:4C y x =,F N C N FN C 的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则线段M M x C P 2MN NF =的长度为（）PF A. 4 B.C. 2D.【答案】 A 【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何关系即可求解.【详解】根据题意作出函数图像，过点N 作准线l 的垂线， 由抛物线的定义知，NF NH =又，所以，所以，2MN NF =2MN NH =30NMH ∠= 又与轴平行，所以MP x 60FMP ∠= 由抛物线的定义知，所以三角形为等边三角形， PM PF =FMP 所以， 2(2)4242pFP MF OF p ===⨯==故选: A .二､填空题13. 抛物线的焦点坐标是______． 24y x =【答案】 (1,0)【解析】【详解】抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点24y x =x 2,12pp =∴=24y x =坐标为，故答案为.()1,0()1,014. 设函数在处的导数为2，则__________.()f x 1x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆【答案】2 【解析】【分析】根据导数的定义即得.【详解】因为函数在处的导数为2，即， ()f x 1x =()12f '=所以，()()11limx f x f x∆→+∆-∆()21f '==故答案为：2.15. 已知，若三向量共面，则实数(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-,,a b c λ=_____. 【答案】 1-【解析】【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值. λ【详解】由题意可知，存在实数满足：，,m n c ma nb =+据此可得方程组：，求解方程组可得：.325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为．1-【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知双曲线的右焦点，则22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0F c 其离心率为_______. 【答案】2 【解析】【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式建立的等式,,a b c 计算作答【详解】双曲线的渐近线为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，即， by x a=±0bx ay ±=由右焦点， (),0F c， =即， b c =解得，2b =即， 2243b c =又，222+=a b c 所以，()2222222243444c c a c c a e a-=⇒=⇒=⇒=所以双曲线的离心率为2， 故答案为：2.17. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中O P 22:810210C x y x y +--+=OP 点的轨迹方程为__________.M 【答案】225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】设出中点坐标，圆上的点，由中点坐标公式把P 的坐标用M(,)M x y ()00,P x y的坐标表示，代入圆的方程得答案. 【详解】设点，点，(,)M x y ()00,P x y 则所以 000,20,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩002,2.x x y y =⎧⎨=⎩因为点在圆上， ()00,P x y 22:810210C x y x y +--+=所以，220000810210x y x y +--+=所以， 22(2)(2)8(2)10(2)210x y x y +-⨯-⨯+=所以点M 的轨迹方程为 22214504x y x y +--+=即，225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故答案为：.225(2)52x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭18. 已知圆：与圆：相交，则两个圆的公共1C 2210x y +=2C 2222140x y x y +++-=弦方程为______，则两圆的公共弦长为______． 【答案】 ①.②.20x y +-=【解析】【分析】第一空：直接将两圆联立做差可得公共弦方程； 第二空：利用垂径定理可得公共弦长.【详解】由圆：①与圆：②， 1C 2210x y +=2C 2222140x y x y +++-=②①得，即 -221410x y +-=-20x y +-=即两个圆的公共弦方程为；20x y +-=两圆的公共弦长即为圆：与相交产生的弦长1C 2210x y +=20x y +-=则弦长为.=故答案为：；20x y +-=19. 若空间中有三点，则到直线的距离为()()()1,1,1,0,1,1,1,2,0A B C -A BC __________；点到平面的距离为__________.()1,2,3P ABC【答案】 ①.②.【解析】【分析】根向量夹角的余弦值和同角三角函数基本关系式可以求出第一空，根据点到平面的距离公式即可求出第二问.【详解】, (1,1,1)BC =-,()1,0,2BA =-所以，BC ==BA ==所以cos ,BA BC BA BC BA BC⋅====⋅所以 cos ABC ∠=所以sin ABC ∠==则到直线的距离为ABC sin BA ABC ⋅∠==设平面的法向量为，ABC (,,)n x y z =所以， (,,)(1,0,2)20(,,)(1,1,1)0n BA x y z x z n BC x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩令，1z =解得，211x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以， (2,1,1)n =-，(0,1,4)PA =--所以点到平面. ()1,2,3PABC=故答案为：.20. 已知数列的通项公式为，为数列的前n 项和，则使得{}n a ()1(31)nn a n =--n S {}n a 的n 的最小值为___________.35n S ≤-【答案】23 【解析】【分析】根据数列通项公式的特点，分奇偶讨论，利用并项求和表示其前n 项和{}n a n S ，再解不等式求得结果.【详解】当n 为奇数时，，13(3)n n a a n -+=-≥，123451331()()()2(1)222n n n a a a a a a a n n S -=+++++⋅⋅⋅++=---=--由解得； 313522n --≤-23≥n 当n 为偶数时，，13(2)n n a a n -+=≥，不合题意，舍去； 123413()()()02n n n a a a a n S a a -=++++⋅⋅⋅++=>综上n 的最小值为23. 故答案为：23．三､解答题21. 已知圆经过和两点，且圆心在轴正半轴上. C ()3,0A ()2,1B x （1）求圆的方程.C （2）从点向圆作切线，求切线方程 ()3,2C 【答案】（1）； ()2221x y -+=（2）或. 3x =3410x y --=【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上，C x 所以设圆的标准方程为，C ()222(0,0)x a y r r a -+=>>因为圆经过和两点，C ()3,0A ()2,1B所以； ()()222222302121a r a r a r⎧-+==⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩()2221x y ⇒-+=【小问2详解】设过点的直线为，()3,2l 由（1）可知：圆的圆心为，半径为1，C ()2,0当直线不存在斜率时，方程为，圆心到直线的距离为1等于半径， l 3x =()2,03x =所以直线是该圆的切线；3x =当直线存在斜率时，设为，方程为，l k 2(3)230y k x kx y k -=-⇒-+-=因为直线，l 314k ⇒=即直线的方程为：， l 33230341044x y x y -+-⨯=⇒--=综上所述：切线方程为或.3x =3410x y --=22. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为的1111ABCD A BC D -E 1DD F 11C D 中点．（1）求证：平面1B F 1A BE （2）求直线和平面所成的角的正弦值． BE 11A C E （3）求平面与平面夹角的余弦值． 1A BE 11A C E【答案】（1）证明见解析 （2（3【解析】【分析】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空A AB AD 1AA x y z间直角坐标系．用向量法判定线面平行以及求空间角 【小问1详解】以为原点，、、所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐A AB AD 1AA x y z 标系．依题意，得，()()()11,0,0,0,1,,0,0,0,0,1,02B E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设面的法向量，()1111,0,1,0,1,2A B A E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 1A BE ()1111,,x n y z = ，所以，取，得 111100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11110102x z y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩12z =()12,1,2.n = 因为，11,1,02B F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以．所以．111100B F n ⋅=-++= 11B F n ⊥ 又面． 1B F ⊄1A BE 所以面．1B F 1A BE 【小问2详解】，()11111,1,0,0,1,2AC A E ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设面的法向量，11A C E ()2222,,n x y z =，所以， 1121200A C n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22220102x y y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩取，得． 22z =()21,1,2n =-因为，11,1,2BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以．222cos ,BE n BE n BE n ⋅==∣所以直线和平面． BE 11A C E 【小问3详解】由（1）､（2）可得，121212cos ,n n n n n n ⋅===∣∣所以平面与平面1A BE 11A C E 23. 已知正项等差数列与等比数列满足，且既是和{}n a {}n b 121,4a b ==2a 11a b +33b a -的等差中项，又是其等比中项. （1）求数列和的通项公式.{}n a {}n b （2）求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S （3）设，记的前项和.若对于且()112n n n c a b =+{}n c n n T 2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈恒成立，求实数的取值范围.t 【答案】（1），；21n a n =-2nn b =（2）； 21n nS n =+（3）. (,8]-∞【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的定义进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可；（3）运用错位相减法，结合数列最小项的性质进行求解即可. 【小问1详解】设数列的公差为，数列的公比为， {}n a d {}n b q 因为既是和的等差中项，2a 11a b +33b a -所以有， ()()()()()211332221133421141222411412d q d q a a b b a d p a a b b a d q d q ⎧+=++--⎪=++-⎧⎪⇒⇒==⎨⎨=+-⎛⎫⎩⎪+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎩所以，； 1(1)221n a n n =+-⋅=-2422n n n b -=⋅=【小问2详解】由（1）可知：， 21n a n =-所以 ()()11111111111335212123352121n n n n n S ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪⨯⨯-+-+⎝⎭ ； 11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【小问3详解】由（1）可知：，；21n a n =-2nn b =， ()1122n n n n c a b n =⋅=+， 231222322n n n T =⋅+⨯+⨯++⋅ ，234112223222n n n T +=⋅+⨯+⨯++⋅ 两式相减，得：12341222222n nn T n +=+++++-⋅- ，112(12)2(1)2212n n n n n T T n n ++-⇒=--⋅⇒=-⋅-+-由，21212(1)(1)2(1)2(22(1)21)n n n n n t n T t n t n ++⇒-⋅+⇒≤-++≤⋅-≤--因为且恒成立， 2n ≥*N n ∈所以由， 2112(1)211()n n t n t n n ++≤-⋅⇒≤--设，，当且时，假设是最小项，121n n t n +=-28t =3n ≥*N n ∈n t 则有，而，所以， 12111221232212n n nn n n nn t t n nn t t n n ++++-⎧≤⎪≤⎧⎪-⇒⇒≤≤⎨⎨≤⎩⎪≤⎪--⎩3n ≥3n =，所以数列在且时，是最小项，38t ={}n t 2n ≥*N n ∈23,t t 因为对于且恒成立，2(1)2n t n T -+≤2n ≥*N n ∈所以有，即实数的取值范围为.8t ≤t (,8]-∞24. 已知椭圆，离心率为分别为椭圆的左､右顶点，2222:1(0)x y C a b a b+=>>121,,2A A C 过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为3. x C （1）求椭圆的标准方程.C （2）当直线过椭圆的左焦点以及上顶点时，直线与椭圆交于另一点，m C 1F P m C Q 求此时的弦长.PQ （3）设直线过点，且与轴垂直，为直线上关于轴对称的两点，直线l 1A x ,M N l x 2A M 与椭圆相交于异于的点，直线与轴的交点为，当与的面C 2A D DN x E 2MA N MEN 积之差取得最大值时，求直线的方程.2A M 【答案】（1）22143x y +=（2）165（3）或 360x -=360x -=【解析】【分析】（1）由题意列出方程组解出即可；（2）根据的坐标，计算直线的22,a b 1,F P m 方程，联立椭圆方程，解出,利用两点间的距离公式计算即可.（3）根据题意直线Q 2A M 的斜率存在且不为0，设直线方程，联立解出点，根据对称性得出点，2A M 2x =-M N 在联立直线与椭圆方程，解出点，然后求出直线方程，令，得，从2A M D DN 0y =E x 而得到，由图可知：与的面积之差为，利用三角形面积公2A E 2MA N MEN 22E MA S 式写出，利用基本不等式求出最值，从而得直线的斜率. 22E MA S 【小问1详解】由椭圆的离心率为，所以，① 1212c e a ==又，②222a c b -=设过左焦点且垂直于轴的直线为：，x x c =-代入中，结合②化简得：2222:1(0)x y C a b a b +=>>，4222b b y y a a=⇒=±所以过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为：x C ，③ 223b a=联立①②③解得：，224,3a b ==所以椭圆的标准方程为：.C 22143x y +=【小问2详解】由（1）知 ()(11,0,F P -所以直线的方程为： m，即 11x =-，代入中消去得：)1y x =+22143x y +=y ，解得：或，2580x x +=0x =85x =-当时，点， 0x =y =P当时，， 85x =-y =所以 ,8,5Q ⎛- ⎝所以.165PQ ==【小问3详解】由（1）知，如图所示： ()()122,0,2,0A A -连接，2,ME A N因为直线过点，且与轴垂直， l 1A x 所以直线方程为：，l 2x =-由题意得直线的斜率存在且不为0， 2A M 设直线的方程为：，2A M 2(0)x my m =+≠联立得：2(0)2x my m x =+≠⎧⎨=-⎩点，又为直线上关于轴对称的两点， 42,M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,M N l x 所以， 42,N m ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立，消去整理得：222(0)143x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩x ，解得：()2234120my my ++=或，由点异于点，0y =21234my m =-+D 2A 所以将代入中得：21234my m =-+2(0)x my m =+≠，即 226834m x m -+=+2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭所以直线的方程为：DN ， ()2221246842203434mm x y m m m m ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，， 0y =226432E m x m -+=+所以，222226412223232E m m A E x m m -+=-=-=++由图可知：与的面积之差为：2MA N MEN ，222MA N ME E N MA S S S -= 因为222224812432321222M MA Em m A m S E y m m ==⋅-=⨯⋅++4823m m=≤+当且仅当时取等号， 22233m m m m =⇒=⇒=所以当与的面积之差取得最大值时， 2MA N MEN 直线的方程为：， 2A M 2x y =+即：或. 360x -=360x -=。

塘沽区2021-2021学年度高二数学第一学期期末质量检测试卷〔理〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

考前须知：1．本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共100分，考试时间是是90分钟。

2、答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名，考号，考试科目涂写在答题卡上。

3、在选出答案以后用铅笔把答题卡上对应标号涂黑，不能答在试卷上。

祝各位考生考试顺利！第一卷〔一共计44分〕参考公式：锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 V Sh = 其中S 为底面面积，h 为高 球的外表积公式24S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题一一共12小题，1～8题每4分，9～12题每一小题3分一共44分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1双曲线221916x y -=的渐近线方程是A. x y 43±=B. x y 34±=C. 169y x =±D. 916y x =±218y x =的准线方程是 A ．2-=y B ． 2=y C ． 2x = D ．．2x =- 3.过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0垂直，那么m 的值是A ．0B ．2C ．-8D ．101:x-y+1=0,与L 2:3x+ay-c=0 〔c>0〕之间的间隔 为2,那么3a c-等于 A. -2 B. -6 C5.一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下〔单位cm 〕，那么该几何体的外表积为：A.4(9+23) cm 2正视图32B.)3824(+ cm2C.314cm2D. 318 cm()()22134x y -++=，过点()1,1--作圆的切线，那么切线方程为A ．1x =-B ．1x =-或者1y =-C ．10y +=D ．1x y +=或者0x y -=7.焦点在 x 轴上,虚轴长为12，离心率为 45的双曲线HY 方程是A ．22164144x y -= B 2213664x y -=．C.2216416y x -= D 2216436x y -=. 8.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；(1)CN 与AF 平行；(2)CN 与BE 是异面直线； (3)CN 与BM 成60︒;(4)DE 与BM 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是A ．(1)(2)(3) B.(2)(4) C. (3)(4) D (3). 9如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面俯视图AB C D EFN M上，假如163P ABCD V -=，那么球O 的外表积是 〔A 〕4π 〔B 〕8π 〔C 〕12π 〔D 〕16π10.m n ，,是直线，αβγ，，是平面，给出以下命题： ①假设αβ⊥，m αβ=，n m ⊥，那么n α⊥或者n β⊥． ②假设αβ∥，m αγ=，n βγ=，那么m n ∥． ③ 假设m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,那么α∥β④假设m αβ=，n m ∥且n α⊄，n β⊄，那么n αβ∥且n ∥ 其中正确的命题是A.○1,○2 B.○2.○4 C.○2.○3 D.○3,○4 11..如图,长方体1111ABCD A B C D ─中,AB=4, BC ＝3,AA 1=1,M 是AB 的中点, 那么1cos ,DB CM <> 的值等于A.2626-B.2626C.226 D.2131312.圆C ：〔x+3〕2 +y 2=100和点B(3,0),P 是圆上一点,线段BP 的垂直平分线交CP 于没M 点,那么M 点的轨迹方程是A 26y x =. B: .2212516x y +=C 2212516x y -= D.2225x y +=第二卷〔一共计56分〕二．填空题：本大题有4小题，每一小题4分，一共16分.请将答案填在试卷第5页的横线上。