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第三章习题基础题3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。
它是否是完备集?解：(积分???)此含数集在(0,2)π为正交集。
又有sin()nt 不属于此含数集02sin()cos()0nt mt dt π=⎰，对于所有的m 和n 。
由完备正交函数定义所以此函数集不完备。
3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？解：由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。
3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T-内的能量定义为222()TT E f t dt -=⎰。
如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和;(2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。
解：(1)和信号f(t)的能量为[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2）由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122()()0T T f t f t dt -=⎰则有 22221222()()T T T T E f t dt f t dt --=+⎰⎰即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。
和信号的能量为(2)[]222222222221212222()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dtf t dt f t dt f t f t dtf t f t -----===+++⎰⎰⎰⎰⎰（少乘以2吧？）由1()f t 与2()f t 在区间(,)22T T-内不正交可得2122()()0T T f t f t dt K -=≠⎰则有2222222212122222()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+⎰⎰⎰⎰即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。
郑君里《信号与系统》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
攻重浩精研学习网提供资料
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性。
第3章 傅里叶变换3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图3-1解：（1）三角形式由图3-1可知，f(t)为奇函数，故有所以三角形式的傅里叶级数为。
（2）指数形式因所以指数形式的傅里叶级数为。
3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：重复频率f=5kHz脉宽τ=20μs幅度E=10V求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
图3-2解：由图3-2可知，f(x)为偶函数，且f=5kHz，得：所以直流分量为1V基波分量为1sin() 1.3910Vπ=≈二次谐波为2sin( 1.325Vπ=≈三次谐波为。
33sin() 1.2110V π=≈3-3 若周期矩形信号f 1（t ）和f 2（t ）波形如图3-2所示，f 1（t ）的参数为τ=0.5μs，T=1μs，E=1V ；f 2（t ）的参数为τ=1.5μs，T=3μs，E=3V ，分别求：（1）f 1（t ）的谱线间隔和带宽（第一零点位置）频率单位以kHz 表示；（2）f 2（t ）的谱线间隔和带宽；（3）f 1（t ）与f 2（t ）的基波幅度之比；（4）f 1（t ）基波与f 2（t ）三次谐波幅度之比。
解：由题3-2的结论可知，f(t)的傅里叶级数可表示为其中，。
（1）f 1（t ）的谱线间隔，则带宽：。
（2）f 2（t ）的谱线间隔带宽：。
（3）由题3-2可知，所以f 1（t ）的基波幅度为：f 2（t ）的基波幅度为：故。
（4）的三次谐波幅度为：故。
3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅里叶级数并画出频谱图。
图3-3解：由图3-3可知，f(t)为偶函数，故。
bn所以的傅里叶级数可表示为()f t其幅度谱如图3-4所示。
图3-43-5 求图3-5所示半波余弦信号的傅里叶级数。
若E=10V ，f=10kHz ，大致画出幅度谱。
图3-5解：由图3-5可知，f(t)为偶函数，因而b n =0，（）；所以其傅里叶级数可表示为若E=10V ，，则幅度谱如图3-6所示。
【信号与系统（郑君⾥）课后答案】第三章习题解答3-1 解题过程：（1）三⾓形式的傅⽴叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅⽴叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn == F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e ? jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因⽽a 0 = a n = 0 4 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三⾓形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5Tn = 0, ±2, ±4,F n = ? jb n jE=2 n = 0,± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = ? jE π ej ω1t+ πjE e ? j ω1t ? 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e ? j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅⽴叶变换有如下两种⽅法。
第3章 习题解3-1． 求下列周期信号的基波角频率0ω和周期T 。
（1）()t B t A t f 6sin 4cos +=；（3）()65sin 4cost B t A t f +=； （2）()t C t B t A t f πππ5sin 3sin 2cos +-=； （4）()()2sin t t f π=；（5）()tj et f 10=；（6）()()25sin 2cos t B t A t f -=； （7）()t B eA t f tj 6sin +=-；31-3-2：已知连续时间周期信号()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin 432cos 2t t t f ππ。
将其表示成复指数傅立叶级数形式，求n F ，并画出双边幅度谱和相位谱。
解：由于()t f 为连续的时间周期信号。
由于题易知 T=6 1ω=3π又 ()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=35sin 432cos 2t t t f ππ 即有 20=a 12=a 45=b200==a F ()2121222=-=jb a F ()221555j jb a F -=-=431F F F ==故 ()53322212t jt jjeet f ππ-+=又 n n F F -= 其双边幅度谱如图 3-2-1所示易知 43210ϕϕϕϕϕ====25πϕ-= 25πϕ=-其相位谱如图 3-2-2所示 3-3已知周期电压()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=33cos 42sin 4cos 22πππt t t t f ，试画其单边，双边幅度谱和相位谱。
解：由题易知 11=w π2=T210==a a 132==a b故 210==c c 132==c c 其单边幅度谱如图 3-3-120=F 11=F 22j F -= 213=Fn n F F -=故双边幅度谱如图3-3-2所示图 3-2-1图3-2-2 相位谱图 3-3-2 双边幅度谱()3cos()42cos()4cos(22ππ+-+++=tttf故有41πϕ=42πϕ-=33πϕ=其相位谱如图3-3-3所示3-4 如题图3-4所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。
3-1 解题过程：
（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）
f ( t ) = a +
+∞
cos ( n ω t
) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1
n 1 n =1
式中ω1 =
2π
，n 为正整数，T 1 为信号周期
T 1
1 t +T
（a ）直流分量
a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dt
T
1 t
2 t +T
（b ）余弦分量的幅度
a n = 0
∫ 1
f ( t ) cos ( n ω1t ) dt
T
1 t 0
2 t +T
（c ）正弦分量的幅度
b n = 0 ∫ 1
f ( t ) sin ( n ω1t ) dt
T 1 t
（2）指数形式的傅立叶级数
+∞
f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1t
n =
其中复数频谱
F n
= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1
f ( t ) e − jn ω1
t dt T 1 t 0
F n =
1
( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2
由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 0
4 T
b n = T ∫02
= 2E
π n
4
T
E
−2E
E
f (
t ) sin ( n ω t ) dt =
sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π
2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1
n = 2, 4,
n = 1, 3,
所以，三角形式的 FS 为
2 E
1 1
2π f ( t ) =
sin ( ω1t ) +
sin ( 3ω1t ) +
sin ( 5ω1t ) +
ω1 =
π 3 5
T
指数形式的 FS 的系数为
1
n = 0, ±2, ±4,
F n = − jb n jE
=
2 n = 0,
−
± 1, ±3,
n π
1
所以，指数形式的 FS 为
f ( t ) = − jE π e
j ω1
t
+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jE
π e − j 3ω1t +
3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =
π
τ E cos t u t
+ τ 2
求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。
解题过程：
方法一：用定义
F ( ω ) =
τ
π
− j ωt
2
τ E cos
t e
dt
∫
− τ
2
=
E
τ π π
∫
e
+ e
dt
j
−ω t
− j +ω t
2
2
E π τ
π
τ
E
π j −ω − j
−ω
− j
=
e τ 2 − e τ 2
−
e τ π π
2 j τ − ω
2 j
τ + ω
τ
τ
E cos
ω
E cos
ω
2 2 =
+
π − ω
π + ω
τ
τ
τω
2 E τ cos
2 =
ωτ
2
π 1 −
π
ω = 2π
1
T
τ
− u t −
2
τ
π
τ
+ ω
j
+ω
2 − e τ 2
方法二：用 FT 的性质和典型的 FT 对
f ( t ) = E cos π t u t + τ − u t − τ
τ 2 2
F ( ω ) E π τ
τ = F cos t F u t + − u t −
2π 2 2 τ
π
π π
其中 F cos t
= π δ ω + + δ ω − ， τ τ
τ
τ τ 2
ωτ
F u t + − u t − = sin 2 2
ω 2
代入 F ( ω ) = E
π
τ
τ
F cos
t
F u t +
− u t − 得
2π
τ
2
2
2
F (ω)=Eππ2ωτπ δω++ δω −sin
2πτω
τ2ω +
π
τω −
π
τ
ττ
sin sin
22
= E+
ππ
ω+ τω −τ
τω
2 Eτ cos
2
=π
ωτ 2 1 −
π
其频谱图如下图所示：
3-19 分析：本题意在说明：对于两频域信号，如果其幅频特性相同，但是相频特性不同则它们对应的时域信号是不一样的。
解题过程：
()(0 )(0 )()0(0 )(0 )（a）Fω= A uω +ω− uω −ω，ϕω=ω t uω +ω− uω−ω
(()(0 )(0 )
所以， Fω=Fωe jϕ(ω)=Ae jωt0uω +ω− uω −ω
先求 F1(ω)= u (ω+ω0)− u (ω−ω0)的FT： f1(t )
由 F Saωt=πuω +ω
c )− uω−ω
( c )ω
c
(( c )
3。
