2011年全国初中数学联赛试卷及解答

全国初中数学联赛参考考试大纲（2006年通过）全国初中数学联赛以其严格的规范性著称，试题的命制参考初中数学竞赛大纲（2006年通过）版本。

1．数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2．代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分式、根式的恒等变形；恒等式的证明。

•3．方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程(组)。

4．函数的图象和性质；二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；含字母系数的二次函数。

5．几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。

6．逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题；简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。

２００１年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００２年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００３年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００５年全国初中数学联合竞赛试题及答案２００５年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案。

2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、分式)0(≠++xyz zy x xyz中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。

（A ）2倍 （B ）4倍 （C ） 6倍 （D ） 8倍 答：选B 。

2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。

在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。

则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．（A ）2b a + （B ） 2n m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bnam ++ 答：选D 。

3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）． （A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。

4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。

若60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）（A ）40 （B ）60 （C ）80 （D ）100答：作C 关于AD 的对称点C ’。

因为AD 是角平分线，则C ’一定落在AB 上。

由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=，所以B D AC C ∠=∠=∠2'，又120180=∠-=∠+∠A C B ，故40=∠B ，选A 。

5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。

（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10答：设x S ADO =∆。

由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。

2011年全国初中数学竞赛试题（正文）2011年全国初中数学竞赛试题是中学生们参加全国性数学竞赛的一道考题。

这是一项重要的数学竞赛，旨在测试学生们在数学知识和解决问题的能力方面的水平。

以下是2011年全国初中数学竞赛试题的具体内容。

第一题：如图所示，正方形ABCD的边长为2，以A点、B点为直径作两个半圆，求交于P和Q两点，连接AP、BP，交半圆于R和S两点，连接CD和RS，求ABCD与RS的交点。

解析：首先，我们可以观察到图中的半圆以点A和点B为直径，因此半径为1。

由于正方形ABCD的边长为2，我们可以得知AC的长度为√2。

根据勾股定理，我们可以计算出CD的长度为√2。

通过连接CD和RS，我们可以找到ABCD与RS的交点。

第二题：已知函数y=f(x)的图像如下，求解以下方程：f(x) = 2x - 33f(x) = 5x + 1解析：观察图像可以发现，函数y=f(x)与y=x相切于点A(-1,-1)。

根据函数的性质，我们可以得知f(x) = x - 1。

将此值代入第一个方程可以求解x的值为2。

将此x值代入第二个方程可以求解f(x)的值为3。

第三题：某球队的队员分为甲队和乙队，两队的人数相等。

甲队和乙队的平均得分之差为8分。

如果将甲队的一个队员转到乙队，那么两队的平均得分之差为6分。

求每队的队员人数和各队平均得分。

解析：设甲队和乙队的人数为x人，平均得分分别为a和b。

根据题目的条件，我们可以建立以下方程组：a -b = 8(a*x - b*x) / (x+1) - (a*x - b*x) / x = 6通过求解以上方程组，可以得到甲队和乙队的人数分别为12人，平均得分分别为46和38。

（以下为文章的其他部分，没有具体的题目要求）2011年全国初中数学竞赛试题需要考生们灵活运用数学知识，以及解决问题的能力。

这些题目涵盖了几何、代数、函数等数学领域的知识点，考察了考生们的思维能力和逻辑推理能力。

参加数学竞赛对于初中生来说，是一项培养数学兴趣和提高数学能力的重要活动。

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛 （天津赛区）试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分） （1）设x =(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). （A ）0 （B ）1（C ）﹣1（D ）2【答】C ． 解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-（2）已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为( ).（A ）111（B ）0 （C ）5 （D ）5411【答】D ．解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． （3）若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). （A ）1 （B ）2（C ）92（D ）112【答】C ．2解：由题设可知1y y x -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y=，从而4=x ．于是92x y +=．（4）设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答】A ．解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．（5）点D E ，分别在△ABC 的边A BA C ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ∆∆∆====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为( ).（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定 【答】C ．解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=， 则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S SS>． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）（6）两条直角边长分别是整数a b ，（其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 .【答】31．初中数学竞赛复赛试题答案第3页（共8页）解：由勾股定理,得 12)1(222+=-+=b b b a ．因为b 是整数，2011<b ，所以2a是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即2223 5 63，，，．因此a 一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=. （8）若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32． 解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =． 当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=． （9）如图，双曲线xy 2=（x ＞0）与矩形OABC 的边CB ， BA 分别交于点E ，F ，且AF=BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为 .【答】32． 解：如图，设点B 的坐标为a b （,）,则点F 的坐标为2b a （，）.因为点F 在双曲线42y x=上，所以 4.ab = 又点E 在双曲线上，且纵坐标 为b ，所以点E 的坐标为2(,)b b .于是11212222221312.22OEF OEC FBEOFBC S S S S b b b a b a b b ab ∆∆∆=--=+-⨯⨯-⨯⨯-=+-=梯形（）（）（） （10）如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .【答】84．解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ， 则22235a b +=＝1225． ① 又Rt △AFE ∽Rt △ACB ， 所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=， 故12()a b ab +=． ②由①②得 2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以 493584a b c ++=+=． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（11）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得 ()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分初中数学竞赛复赛试题答案第5页（共8页）两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，， 故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分 （12）如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. 因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠90=︒BDQ ．…………5分 故BQ 为⊙2O 的直径.于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. ………………………………………………15分 所以点P 为CH 的中点. ………………………………………………20分6（13） 如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线223y x =于P ，Q 两点. （Ⅰ）求证：∠ABP =∠ABQ ； （Ⅱ）若点A 的坐标为（0，1）， 且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的 直线PQ 的函数解析式.解：（Ⅰ）如图，分别过点P Q ，　作y设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）. 由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是，222323P P Q Q x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- …………5分又因为P Qx PC QD x =-，所以BC PCBD QD =. 因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ .故∠ABP =∠ABQ . …………………………………………………………10分（Ⅱ）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，初中数学竞赛复赛试题答案第7页（共8页）由（Ⅰ）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC，BD， 所以 AC2-，AD=2. 因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PC ACDQ AD =，即a b．所以a b +=． 由（Ⅰ）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是，可求得2==a b将2b =代入223y x =，得到点Q12）. …………………15分再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3=-k 所以直线PQ的函数解析式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ的函数解析式为1y =+，或1y +. ………………20分 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（Ⅰ）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =. 故2Q x =.将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.8所以2Q x =又由（Ⅰ），得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若2Q x =代入上式得P x = 从而2()3P Q k x x =+=.同理，若Q x =可得2P x =-从而2()3P Q k x x =+=. 所以，直线PQ 的函数解析式为1y =+，或1y x =+. ………………………………………20分 （14）已知0122011i a i >=，，　，　，　，且12201a a a <<<，证明：122011a a a ，，，中一定存在两个数i j a a i j<，（），使得(1)(1)2010i j j i a a a a ++-<．证明：令20101 2 20111i ix i a ==+，，，，， ……………………………………5分 则20112010102010x x x <<<<<. …………………………………10分故一定存在1≤k ≤2010， 使得11k k x x +-<，从而120102010111k k a a +-<++． …………………………………15分即 11(1)(1)2010k k k k a a a a ++++-<． …………………………………………20分。

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。

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已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ ）（A) 5 (B ） 6 （C) 7 (D ） 83. 方程│x 2－1│＝(4－2错误!） (x ＋2)的解的个数为（ ）(A ） 1个 （B ） 2个 （C) 3个 (D) 4个4。

2011年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1、若4)1()1(,222-=-+-=+a b b a b a ，则ab =（）.A、1B、-1C、21-D、212、已知ΔABC 的两条高线的长分别为5、20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（).A、5B、6C、7D、83、方程)2)(324(12+-=-x x 的解的个数为（）.A、1B、2C、3D、44、有长度分别为1，2，3.....,9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成”线段组“，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的线段组的组数为（).A、5B、7C、9D、115、如图，在菱形ABCD 中，已知AB=3,DF=1,∠DAB=。

60,∠EFG=。

15,FG 垂直BC，则AE =（）.A、21+B、6C、1-32D、31+6、已知4111,3111,2111=++=++=++y x z x z y z y x ，则=++z y x 432（）.A、1B、23C、2D、25二、填空题（每小题7分，共28分）1、在ΔABC 中，已知∠B=2∠A,BC=2,AB=322+,则∠A=________.2、二次函数c bx x y ++=2的图像的顶点为D,与x 轴正半轴从左至右依次交于A、B 两点，与y 轴正半轴交于点C，若ΔABD 和ΔOBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2________.3、能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为______.4、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E，过A 作圆的切线与CD 点延长线交于点F，D 为EF 的中心，若DE=43CE，AC=58，则AB=________.第二试一、（20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和012=++bx x 有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求c b a ,,的值.二、（25分）如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD=。