2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示PDF含解析

第五章 平面向量

【真题典例】

§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理

挖命题

【考情探究】

考点 内容解读 5年考情 预测

热度 考题示例 考向 关联考点

平面向

量的线性

运算及其

几何意义 ①理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义 2018课标全国Ⅰ,7,5分 平面向量的线性运算 —

★★☆ 2017课标全国Ⅱ,4,5分 平面向量的有关概念 垂直、平行、模长的关系

2014课标Ⅰ,6,5分 平面向量的线性运算 —

平面向量

基本定理

及向量的

坐标运算 ①了解平面向量基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2018课标全国Ⅲ,13,5分 平面向量的坐标运算 两向量平行的充要条件

★★☆ 2016课标全国Ⅱ,13,5分 平面向量的坐标运算 两向量平行的充要条件

2015课标Ⅰ,2,5分 平面向量的坐标运算 —

分析解读 从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.

破考点

【考点集训】

考点一 平面向量的线性运算及其几何意义

1.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若 =λ +μ ,其中λ,μ∈R,则

=( )

A.-2 B.-

§5.1　平面向量的概念及线性运算最新考纲　1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的

含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.

通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法求a与b的相反向量

－b的和的运算a－b＝a＋(－b)

数乘求实数λ与向量a的

积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa

与a的方向相同；当λ<0

时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝

λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

概念方法微思考

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？

提示　不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.

2．如何理解数乘向量？

提示　λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa

与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．

3．如何理解共线向量定理？

提示　如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

平面向量（2）平面向量的概念及其线性运算B

1、如图,点M是ABC的重心,则MAMBMC (

)

A.

0

B. 4ME

C. 4MD

D. 4MF

2、如图,在ABC中, 21,33ADACBPBD,若APABAC,则的值为(

)

A. 3

B. 2

C. 2

D. 3

3、已知空间四边形OAB,其对角线为,,OBACM分别是,OAOB的中点,点G在线段上,且使3MGGN,用向量,,OAOBOC表示向量OG,则( )

A. 313888OGOAOBOC

B. 733888OGOAOBOC

C. 2233OGOAOBOC

D. 133888OGOAOBOC

4、如图所示,已知43APAB,用,OAOB表示OP,则OP等于(

)

A. 1433OAOB

B. 1433OAOB

C. 1433OAOB

D. 1433OAOB

5、已知点O为ABC内一点,且230,,,OAOBOCAOBAOCBOC则的面积之比等于

A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3

6、已知向量(1,1),(2,3)ab,则2ab等于( )

A. 4,5

B. (4,5)

C. 0,1

D. 0,1 7、已知向量2,4a,(1,1)b,则2ab ( )

A. 5,7

B. (5,9)

C. (3,7)

D. (3,9)

8、ABBDACCD化简后为( )

A.

AD

B.

BC

C.

0

D.

DA

9、已知(2,1),(1,2)ab,若(9,8)(,)manbmnR,则mn的值为( )

A.2 B.-2 C.3 D.-3

10、设D、E、F分别为ABC的三边BC、CA、AB的中点,则EBFC ( )

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第五章

Error!平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小

叫做向量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量 长度为 0 的向量；其方向是任意的 记作 0

单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的 单位向量为± a

|a|

平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做

共线向量)

0 与任一向量平行或共线

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0

2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

(1)交换律：

加法

求两个向量和的

运算 三角形法则

a＋b＝b＋a；

(2)结合律：

( ＋ )＋ ＝

a b c a

平行四边形法则

＋(b＋c)

求 a 与 b 的相反

减法

向量－b 的和的

a－b＝a＋(－b)

运算叫做 a 与 b 三角形法则

的差

求实数 λ

与向量

(1)|λ

a|＝|λ

||a|； λ

(μ

a)＝

(λμ

)a；

数乘

a 的积的运算

(2)当 λ

＞0 时，λ

a 的方向 (λ

＋μ

)a＝λ

a＋μ

a； 第 2 页 共 50 页

与 a 的方向相同；当 λ

＜0 λ

(a＋b)＝λ

a＋

λ

b

时，λ

a 的方向与 a 的方向 相反；当 λ

＝0 时，λ

a＝0

3.共线向量定理

向量 a(a≠

0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ

，使得 b＝λ

a.

[小题体验]

1．下列四个命题中，正确的命题是( )

A．若 a∥b，则 a＝b B．若|a|＝|b|，则 a＝b

C．若|a|＝|b|，则 a∥b D．若 a＝b，则|a|＝|b|

答案：D

2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( )

A．共线 B．不共线

C．共线且同向 D．不一定共线

答案：D

3．若 D