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线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
教学基本要求：1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同变换和合同矩阵的概念.3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法.4.了解惯性定理.5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法.第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类.通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等.一、二次型与合同变换1. 二次型n个变量x1,x2,…,x n的二次齐次函数f(x1,x2,…,x n)=a11x12+a22x22+…+a nn x n2+2a12x1x2+…+2a1n x1x n+…+…+2a n-1 n x n-1x n (6.1) 称为一个n元二次型.当系数a ij均为实数时，称为n元实二次型. (P131定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.设11121n112222n21n2n nn na a a xa a a xA,xa a a x⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么f(x1,x2,…,x n)=x T A x. (6.2)式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示.例6.1(例6.1 P 132)二次型f 与对称矩阵A 一一对应，故称A 是二次型f 的矩阵，f 是对称矩阵A 的二次型，且称A 的秩R(A)为二次型f 的秩. (定义6.2 P 132)由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵.定义6.2 仅含平方项的二次型f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+a 22x 22+…+a nn x n 2 (6.3)称为标准形.系数a 11,a 22,…,a nn 仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P 132)标准形的矩阵是对角矩阵.二次型有下面的结论：定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P 133) 这是因为T T x CyB C ACTT A B C AC C 0R(A)R(B)f x Axfy By ==↔=≠=⇒==⇐.2. 合同变换在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系.定义6.3 设A,B 是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C ，使B=C T AC ，则称A 与B 是合同的，或称矩阵B 是A 的合同矩阵.对A 做运算C T AC 称为对A 进行合同变换，并称C 是把A 变为B 的合同变换矩阵. (定义6.4 P 133)矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P 134)A 与B 合同 ⇔∃可逆矩阵C ，∂B=C T AC A 与B 等价 ⇔∃可逆矩阵P ,Q ，∂B=PAQ(2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P 137)正交矩阵Q ，∂Q -1AQ= Q T AQ=B ⇒ A 与B 既相似又合同合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换.x Cy TT TT C 0T C 0f x Ax y C ACy y ByA C AC B=∆≠≠===⇔=如果B 是对角矩阵，则称f=y T B y 是f=x T A x 的标准形.二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理由第五章第三节知：对于实对称阵A ，存在正交矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵(对角线上的元素为A 的n 个特征值).因此，二次型f=x T A x 经正交变换x =Q y 就能化为标准形f=y T (Q T AQ)y =y T (Q -1AQ)y .定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P 134)推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P 137)推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P 137)正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换.2.用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型f=x T A x 为标准形的过程与将实对称阵A 正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下：(1)求出A 的全部互异特征值λ1,λ2…,λs ；(2)求齐次线性方程组(λi E-A)x =ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A 的n 个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n 个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn ； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn )，正交相似变换x =Q y 把二次型f=x T A x 变为标准形f=y T (Q T AQ)y .例6.2(例6.2 P 134) 例6.3(例6.3 P 135)三、用配方法化二次型为标准除了正交变换，事实上，还存在其它的可逆线性变换能把二次型化为标准形.举例说明如下.例6.4(例6.4 P 139) 例6.5(例6.5 P 139)总结：用配方法化二次型为标准形的过程分两种情形： (1)二次型中含有平方项例如，若二次型中含有平方项a 11x 12，则把所有含x 1的项集中起来配方，接下来考虑a 22x 22，并类似地配方，直到所有项都配成了平方和的形式为止.(2)二次型中不含平方项，只有混合项例如，若二次型中不含平方项，但有混合项2a 12x 1 x 2，则令112212ii x y y ,x y y ,x y ,i 3,...,n.=+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 那么关于变量y 1,y 2,…,y n 的二次型中就有了平方项，然后回到(1).四、正定二次型 1. 惯性定理虽然把二次型化为标准形的可逆线性变换不唯一，从而标准形也可能不唯一，但同一个二次型的所有标准形却总满足如下惯性定理.定理6.3(惯性定理) 设实二次型f=x T A x 的秩为r ，且在不同的可逆线性变换x =C y 和x =D y 下的标准形分别为f=λ1y 12+λ2y 22+…+λr y r 2, λi ≠0，f=μ1y 12+μ2y 22+…+μr y r 2, μi ≠0，则λ1,λ2…,λr 与μ1,μ2…,μr 中正数的个数相同. (定理6.3 P 142)定义6.4 二次型f 的标准形中的正(负)系数的个数称为f 的正(负)惯性指数. (定义6.5 P 143)惯性定理指出，可逆变换不改变惯性指数.推论 n 阶实对称阵A 与B 合同的充分必要条件是A 与B 有相同的正惯性指数和负惯性指数. (推论 P 143)正惯性指数+负惯性指数=R(A). 正惯性指数=正特征值的个数， 负惯性指数=负特征值的个数.2. 二次型的分类二次型(/二次型的矩阵)的分类：(定义6.6-6.7 P 143)f f f f f /A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A f 0,x 0(A A 0)/A x 0,f (x)0y 0,f (y)0⎧⇔>∀≠>⎪⇔≥∀≠≥⎪⎪⇔<∀≠<⎨⎪⇔≤∀≠≤⎪⎪⇔∃≠∂>∃≠∂<⎩正定正定记作半正定半正定记作负定负定记作半负定半负定记作不定且由此，根据惯性定理可知，合同变换不改变实对称矩阵的类型.3.正定二次型(正定矩阵)的判定定理6.4 n 元实二次型f=x T A x 为正定(负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数等于n . (定理6.4 P 143)定理6.5 n 元实二次型f=x T A x 为半正定(半负定)二次型的充分必要条件是f 的正(负)惯性指数小于n ，且负(正)惯性指数为0. (推论1 P 143)推论2 n 阶实对称阵A 正定(负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值全是正数(负数)；A 半正定(半负定)的充分必要条件是A 的n 个特征值为不全为正数(负数)的非负数(非正数). (推论2 P 143)例6.6(例6.6 P 143) 例6.7(例6.7 P 144) 例6.8(例6.8 P 144) 例6.9(例6.9 P 144)定义6.4 设A=(a ij )n ，则行列式11121k 12222k k k1k2kka a a a a a D (k 1,2,,n)a a a ==称为A 的k 阶顺序主子式. (定义6.8 P 144)定理6.6 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零；A 负定的充分必要条件是A 的所有顺序主子式中奇数阶的小于零而偶数阶的大于零. (定理6.5 P 144)例6.10(例6.10 P 145)五、二次型应用[实例6-1] 二次曲面图形的判定六、习题(P 148) 选择题：1.提示：110.5A 11000.50.50.51-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⇒|1|=1>0, 119901100=>, 100A 199100.51 1.25=<-- ⇒ 选D2.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32-2x 1x 2+2x 2x 3 =(x 1-x 2)2+(x 2+x 3)2+2x 32⇒ 正惯性指数为3，故选A3.提示：方法一 特征值为2,-1,-1，故选C.方法二 011A 101110⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⇒ |0|=0，排除A,B011010=-<, |A|=2>0，排除D ⇒ 选C4. B填空题：1.提示：f(x 1,x 2,x 3)= x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+8x 1x 3-2x 2x 3.2. 1200221001300000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 错误的解答：120221012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.提示：323221r r r r 2r r211211211A 121033033112033000-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒ 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3. 事实上，线性变换y1= x1+x2, y2= x2-x3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、对称⇒A-1=(A-1)T AA-1⇒x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值为t-1, t-2,…, t-n ⇒t >n.6.提示：方法一a22A2a222a⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭与6⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似⇒3a=6 ⇒a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12⇒A有2个0特征值⇒R(A)=1 ⇒a=2方法三f(y1,y2,y3)=6y12⇒A的特征值为6,0,0二次型的特征值为a+4, a-2, a-2 ⇒a+4=0, a-2=0 ⇒a=27.提示：A的各行元素之和为3 ⇒A(1,1,…,1)T=3(1,1,…,1)TR(f)=1 ⇒3是A的唯一非零特征值⇒标准形为f(y1,y2,y3)=3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答题：1.参见P134-135的例6.2、例6.32.参见P139的例6.4、例6.53.参见P145的例6.104.(1)521A21111t-⎛⎫⎪=-⎪⎪--⎝⎭|5|=5>0,521021=>,101A211t2010t1=-=->-⇒t>2(2)1t 1A t 12125-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭|1|=1>0,21t1t 0t 1=->, 2A 5t 4t 0=--> ⇒ -4/5<t<05.提示：f=x T A x =x T U T U x =|U x |2≥0.因为U 可逆，故当x ≠ο时，U x ≠ο，从而f=|U x |2>0，所以f 为正定二次型(A=U T U 是正定矩阵).6.提示：因为A 正定，故存在正交矩阵Q 和正定对角矩阵D=diag(λ1,λ2,…,λn )，使A=QDQ T .令D 1=diag(12n ,,...,λλλ)，则A=QDQ T = QD 1D 1T Q T =U T U ，其中U=(QD 1)T .5、6两题表明A 是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U 使A=U T U .7.提示：设对称矩阵A 与矩阵B 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=B. B T =(C T AC)T =C T AC=B ，所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵.8.提示：方法一 矩阵A 与矩阵-A 合同，则存在可逆矩阵C ，使C T AC=-A .从而|C T AC|=|-A| ⇒ |C|2·|A|=(-1)n |A| ⇒ |A|(|C|2-(-1)n )=0A ⇒可逆|C|2=(-1)nC ⇒可逆|C|2>0，故n 为偶数方法二 A 的正惯性指数= -A 的负惯性指数A 的负惯性指数= -A 的正惯性指数 A 与-A 合同⇒ A 与-A 有相同的正惯性指数和负惯性指数 ⇒ A 的正惯性指数= A 的负惯性指数 ⇒ n 为偶数9.提示：513153 A153023 33k00k3---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--→-⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为R(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.) 余下略.10.提示：20003a0a3⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与125⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似a02200103a29a5a2 0a35>⇒=⇒-=⇒=余下略.11. 提示：1b1b a1111⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭与14⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似2a51b1a3b a1b1 111+=⎧⎪=⎧⎪⇒=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪⎩余下略.12.提示：(1)A的特征值为1,1,0，Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为(√2/2,0,-√2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前两列.于是A=Qdiag(1,1,0)Q T=….(2)A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵.13.提示：(1)a01E A0a111(a1)λ--λ-=λ--λ--222a 11(a)01110(a 1)a 12(a)01010(a 1)a2(a)1(a 1)(a)((2a 1)a a 2)(a)((2a 1)(a 2)(a 1))(a)((a 2))((a 1))λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--λ--=λ--λ--=λ-λ--λ+--=λ-λ--λ+-+=λ-λ--λ-+ A 的特征值为a-2,a,a+1.(2)二次型f 的规范形为f(y 1,y 2,y 3)=y 12+y 22，所以A 有2个正特征值，一个0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A 正定 ⇔ A 的任意特征值λ>0 ⇒ |A|>0⇒ A -1的任意特征值1/λ>0 ⇒ A -1正定A*的任意特征值|A|/λ>0 ⇒ A*正定15.提示：∀x ≠ο，x T (A+B)x =x T A x +x T B x >0 ⇒ A+B 正定16.提示：A 与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn ) (λ1≥λ2≥…≥λn )相似⇔ ∃正交矩阵Q ，∂Q AQ=diag(λ1,λ2,…,λn )ny Qx T T2i i i 1n n 22i i 1i i n x 1y 1x 1y 1i 1i 1f x Ax y Dy y max f max y ,min f min y ========⇒===λ⇒=λ≤λ=λ≥λ∑∑∑ 当分别取T1y e =和T n y e =时，得1n x 1x 1max f ,min f ===λ=λ.17.提示：设λ是A 的特征值，则λ3+λ2+λ-3=0，λ的值为1或复数. 因为A 是实对称矩阵，所以A 的特征值全为1，因此A 为正定矩阵.18.提示：A,B 实对称 ⇒ A,B 的特征值都是实数A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b⇒ A-aE 和B-bE 正定 (若λ是A 的特征值，则λ-a 是A-aE 的特征值)15⇒第题 (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E 正定⇒ A+B 的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 设R(A)=n ，令B=A ，则AB+B T A=2A 2为正定矩阵.充分性 设AB+B T A 是正定矩阵，若R(A)<n ，那么A x =ο有非零解y . 因此，y T (AB+B T A)y =(A y )T By+ y T B T (A y )=ο，这与AB+B T A 正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考虑二次型g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz ，由于202E A 040(1)(4)(6)205λ-λ-=λ-=λ-λ-λ-λ-，⇒ A 的特征值全为正数⇒ g(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz 是椭球曲面⇒ f(x,y,z)=2x 2+4y 2+5z 2-4xz+2x-4y+1是椭球曲面附加题：1.设A 为m 阶正定矩阵，B 为m×n 实矩阵，证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件为R(B)=n .提示：B T AB 正定⇔ ∀x ≠ο, x T B T AB x =(B x )T A(B x )>0⇔ ∀x ≠ο，有B x ≠ο⇔ B x =ο只有零解⇔ R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解实二次型的标准形式及其求法.(3)了解合同变换和合同矩阵的概念.(4)了解惯性定理和实二次型的规范形.(5)了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法.例6.1 设12A 21⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则在实数域上与A 合同的矩阵为[D ]. (A)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C)2112⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D)1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.(2008 数二 三 四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数与负惯性指数.故选D .例6.2 已知二次型f(x 1,x 2,x 3)=(1-a)x 12+(1-a)x 22+2x 32+2(1+a)x 1x 2的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x =Q y ，把f 化成标准形；(3)求方程f(x 1,x 2,x 3)=0的解. (2005 数一)解 (1) 1a 1a 0220A 1a 1a 01a 1a 0002002-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R (A )2=⇒1+a=1-a ⇒ a=0(2) 略.(3) f(x 1,x 2,x 3)=0⇔ (x 1+x 2)2+2x 32=0 ⇔ x 1=-x 2, x 3=0 ⇒ 解为k(-1,1,0)T , k ∈R例6.3 若二次曲面的方程x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y 12+4z 12=4，则a= 1 . (2011 数一)提示：二次型f(x,y,z)=x 2+3y 2+z 2+2axy+2xz+2yz 经正交变换化为标准形f=y 12+4z 12，因此二次型矩阵1a 1A a 31111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似.所以 1a 1a 310a 1111=⇒=.例6.4 设矩阵211100A 121,B 010112000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B [B ].(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 数一）解 211E A 121121112112λ-λλλλ-=λ-=λ-λ-λ-2111030(3)003=λλ-=λλ-λ-即A 的特征值为0,3,3.故A 与B 不相似.由于A 与B 有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A 与B 合同.故选B .例6.5 设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面x (x y z)A y 1z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如下图，则A 的正特征值个数为[B ]. (2008 数一)(A) 0； (B) 1； (C) 2；(D)3.提示：图形是双曲抛物面，说明A 的秩为2，正惯性指数为1，所以选B.例6.6 设A 为三阶实对称矩阵, 且满足条件A 2+2A=O .已知A 的秩R(A)=2,(1)求A 的全部特征值；(2)当k 为何值时，矩阵A+kE 为正定矩阵.解 (1)设λ是A 的特征值，则λ2+2λ=0，λ=0或-2R(A)=2 ⇒ A 的特征值为0,-2,-2(2) A+kE 的特征值则为k, k-2, k-2 ⇒ 当k>2时，A+kE 为正定矩阵例6.7 设101A 020101=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B=(kE+A)2，其中k 为实数，E 为单位矩阵. 求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并问k 为何值时，B 为正定矩阵.解 A 是实对称矩阵，则kE+A 是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵.A 与diag(0,2,2)相似⇒ kE+A 与diag(k,k+2,k+2)相似⇒ (kE+A)2与diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)相似⇒ Λ=diag(k 2,(k+2)2,(k+2)2)⇒ 当k ≠0且k ≠-2时，B 为正定矩阵例6.8 设A ,B 分别为m 阶和n 阶正定矩阵, 试判定分块矩阵A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭的正定性. 解 ∀x ≠ο, y ≠ο，有x T A x >0, x T B x >0⇒ x ≠ο或y ≠ο，有(x T ,y T )≠ο, (x T ,y T )C ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y =x T A x +x T B x >0 ⇒ A O C O B =⎛⎫ ⎪⎝⎭正定例6.9 设T A C D CB =⎛⎫ ⎪⎝⎭为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶与n 阶对称矩阵，C 为m ⨯n 矩阵. (1) 计算P T DP ，其中1m n E A C P OE --=⎛⎫⎪⎝⎭． (2) 利用(1)的结果，判断矩阵B-C T A -1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. (2005 数三)。
课程标准课程名称：线性代数适用专业：经济、管理类新疆财经大学应用数学学院基础数学教研室目录第一部分课程性质 (3)第二部分课程目标 (3)第三部分教学内容与基本要求 (3)第四部分教学方案 (8)第五部分课程作业与考核评价 (9)第六部分教材与教学参考书 (10)第一部分课程性质一、课程性质线性代数是高等院校经济类、管理类专业的一门重要的基础课，是为培养适应四个现代化需要的本科层次的经济、管理类专业人员而设的一门必修课，通过该课程的学习，不仅使学生了解有关线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本计算方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理能力，而且使学生会应用线性代数知识分析、解决实际问题，并为后续课程作好必要的准备。
二、课程基本情况课程名称：线性代数适用专业：财经。
管理类各专业总学时数：54学时修课方式：必修三、课程说明本课程共六章，由于我校线性代数课实行普通班与快班分级教学，根据教学计划（每周3课时），因此，第一至四章为必学内容，主要掌握矩阵、线性方程组理论、n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量及其有关的基本知识，第五章为快班必学内容，普通班为选学内容，第六章为普通班和快班选学内容。
第二部分课程目标通过本课程的教学，使学生系统地掌握矩阵及线性方程组理论，n维向量空间、矩阵的特征值、特征向量，二次型理论知识，并能解决一些实际问题，培养学生独特的代数思维模式及逻辑推理能力，并为进一步学习后继课程和现代化科学技术打下坚实的数学基础。
第三部分教学内容与基本要求第一章行列式（8学时）【教学内容】§1.1 阶行列式的定义二、三阶行列式的定义、排列的逆序数、n阶行列式的定义。
§1.2 行列式的性质行列式的性质§1.3行列式的展开定理余子式和代数余子式的概念、行列式按行(列)展开定理。
§1.4 行列式的计算§1.5 克莱姆法则克莱姆法则。
【基本要求】1、了解排列与逆序的概念。
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
