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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
线性代数标准化作业普通⾼等教育“⼗⼀五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业(C)吉林⼤学数学中⼼2012年9⽉学院班级姓名学号第⼀章作业（⾏列式）1、计算下列各⾏列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --= ----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）3333333333333333aa Db b+-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβ++=≠++；（7）102201202013 D=.2、设4阶⾏列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余⼦式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余⼦式依次为3、1、4、5，且⾏列式的值为2，求m、k的值.3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性⽅程组12341234123412340,0,0,0ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=??-+-=??--+=??+--=?仅有零解.4、已知齐次线性⽅程组123123123230,220,50x x x x x x x x x λ++=??+-=??-+=?有⾮零解，求λ的值.学院班级姓名学号第⼆章作业（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2；（）（2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵；（）（3）若A 2=O ，则A =O ；（）（4）若AB =O ，则A =O 或B =O ；（）（5）(ABC )T = C T B T A T ；（）（6）(A+B )1- =A 1-+ B 1-。
（） 2、填空题（1）设3阶⽅阵Ｂ≠0，A =13524353t ??，且AB =O ，则t ＝；（2）设A ＝100220345??，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶标量矩阵，且|A |=16，则A ＝，A 1-＝， A *＝；（4）设A , B 均为n 阶⽅阵,且2+=()A B E ，其中A 为对称矩阵且可逆，求1T 1()--+-()A B E B A E ＝；（5）设A＝5200210000120011-，则│A│＝，A1-＝；（6）设实矩阵A33?＝≠)(ija O，0ij ijijA为ija的代数余⼦式），则│A│＝；（7）设A为4阶可逆⽅阵，且│A1-│＝2，则│3(A*)1-－2A│＝；（8）设A为2阶⽅阵，B为3阶⽅阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝；（9）设A＝111222333，则A100＝；（10）设A为5阶⽅阵，且A2 = O，则R(A*)＝__________. 3、选择题（1）若A，B为同阶⽅阵，且满⾜AB＝O，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（A）(AB)k＝A k B k；（B）|－AB|＝－|AB|；（C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）；（D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（4）已知A 为任意n 阶⽅阵，若有n 阶⽅阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零⽅阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不⼀定.（5）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆⽅阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（）. （A ）B 1-+A 1-；（B ）B ＋A ；（C ）(B +A )1-；（D ）B (B +A )1-A . （6）设A 为3阶⽅阵，且|A |＝3，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的2，3两⾏得到矩阵B ，则||*BA ＝（）.（A ）27；（B ）－27；（C ）3；（D ）－3. 4、计算题:（1）431112315701-????; （2）()31,2,321??;（3）()211,2,13-??; （4）111213112312222321323333(, , )a a a x x x x a a a x a a a x;（5）12101031 01010121 00210023 00030003----.5、计算下列⽅阵的幂:（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4 .（2）已知024003000A=轾，求A n.(3) 已知112224112----??A=，求A n .6、设3阶矩阵1122,2,3A=B=αβγγγγ，其中α，β，γ1，γ2均为3维⾏向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.7、设121132a b-A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.8、求下列矩阵的逆矩阵:（1）A＝1234 1134 1344 0101----；（2）A＝500000 000021 000053 010000 011000 011100.9、已知A＝210121012，C＝123421，求解下列矩阵⽅程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C．10、设矩阵300050,003-A=且满⾜ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i⾏和第j⾏对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1。
线性代数标准化作业答案第一章：行列式基础必做题：（一） 一、填空题：1、3，n （n-1）；2、1222+++c b a ；3、70，-14；4、-3M ；5、1 二、选择题：1、C2、D3、D4、A5、C 三、计算题： 1、解：原式1111001)1()1(11111C 12111++++=--⋅-⋅-+--⋅-++cd ad ab abcd dc dc ba （）（展开按2、解：原式31323121)c b a ()c b a (000)c b a (0111)c b a (2cr r 2br r ba c 2c2c2b a c b 2b111)c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c ccb ac b b c b a c b a c b a r r r r四、解：))()()((0000001)(1111)()(c x b x a x c b a x cx bc ab b x a b a xc b a c b a x xcbc x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++=因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。
基础必做题（二） 一、填空题：1、6，8；2、0；3、0，0；4、4；5、24 二、选择题：1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、A,B,D 三、1、解：原式1)1)(1(10001011111)1(011111110111111)1(---=---=-=n n n n2、解：原式[][][]1)()1(00001)1(111)1(--⋅-+=---+=-+=n b a b n a ba b a b b b b n a abbb b a b b b b n a四、解：0111144342414==+++dbac bd d b c c b a A A A A五、解：1,0,1,20281142102,0321112112,20382141101,2038114202321321=======-==---==--==---=DD z DD y DD x D D D D 故提高选做题： 一、证明： 证法1：12113(0)2240,(1)22401111f f ====- 由罗尔定理知，至少存在一点ξ，使得()0,(0,1)f ξξ'=∈，故有一个小于1的正根。
经济数学基础线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.2学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）1111111111111111a a D b b +-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102200302004D= 。
2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，求m、k的值。
3、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩4、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。
123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵） （1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O ，或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T 。
（ ）2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝ ；（2）设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ;（3）设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ;（4）设A 1-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642，则A ＝ ，│4A 1-│＝ ，(A T )1-＝ ; （5）设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ ; （6）设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ;（7）设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B＝21，则1(2)--O B A O ＝ ;（8）设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;（9）设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝ ； （10）设A 为5阶方阵，且A 2 = O ，则R （A *）=___________.3、选择题（1）设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ，则必有（ ） （A ）ACB =E ； （B ） CBA =E ； （C ） BAC =E ； （D ） BCA =E 。
线性代数作业提示与答案作业（1）一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=2413212211,757975,767171k x k x k k x k k x三．1．阶梯形（不唯一）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14010612007121002301，简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100000211000001002701 秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为 2)1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解，当2-=λ时，通解为=x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k ；当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-；2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++----2200123230121211~2λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解；当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x TT k ],,[],,[022111+.作业(2)一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-1204. ()()!)1(221n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=2323322111c b a c b a c b a 3． 0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．1222+++γβα作业(3)一．1．c; 2. d ; 3.a二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ni iax 1，得到(∑=+ni i a x 1)1-n x.2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ．3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到.)1(01000010111112212)1(n nn n n n --=--4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一. 1.()B A +32; 2. 24. 3. 232221x x x ++ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡232313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x ， 4. BA AB = 二. 1. a 2. a三. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10832082四. 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21426711. 2. 不能相乘. . 3.323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++作业(5)一.1.1-n a ； 2．0； 3．=A -1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3405700021； 4. I ; 5．121-A二. 1. c; 2 .b; 3.b; 4. c; 5.d四. 1 五. n215-作业(6)一． 1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010,-1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010； 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2100010001,2,200010001 3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-004010001,1.104010001 4. ()331-R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000103015. 列，[]3231,,3a a a a - 6. 相等二. 1．b ；2．c;三. 1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-17162132130121A ； 2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-111110011100011000011A四. 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-4141B A X ， 2. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-212942521B A X 作业(7)一. 1. b a 23=；2. 1221b a b a =；3．R )(A 2≤；4．0≠lm ； 二.1．a ; 2. b; 3.d;三 1a 能由23,a a 唯一地线性表示，4a 不能由123,,a a a 线性表示四．123123212,,[,,]123124B b b b a a a AD ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因,5det =D ，故)()(B R A R =，从而321,,b b b 线性无关.作业(8)一．1．r ；2．相 3． 1，通解为=x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100101010011121 n k k k二.1．d; 2．d ； 三.（1）412323aa a a =++，（2）又123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是向量组123,,a a a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）123,,a a a ,4a 的秩和矩阵A =[123,,a a a ,4a ]的秩都为3.四．12341121014129321315101[,,,]~9315410003670000a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,12,a a 是向量组的一个最大线性无关组.且31241211521,9933a a a a a a =-+=+.作业(9)一 1．T ],,[558 2．r ；12,,,ra a a L ； 3．n-r 二. 1.b; 2. b; 3. a ； 4. d ； 5.c ； 6.d 三. 证明123,,aa a ,4a 线性无关，向量[]1,2,7,4b T=在这组基下的坐标为4351--,,,.四． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00007510072021~A ,基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=175072001221ξξ,,通解为=x 2211ξξk k + （注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。
河北工业大学线性代数作业（1）学院班级姓名学号一. 讨论下列齐次方程组是否有非零解，若有，求出其通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+=+-+-=---0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x二．求出下列线性方程组的通解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x三．用初等变换化下列矩阵为简化梯形矩阵，指出矩阵的秩是多少：1．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--370320852373812023012．nn 11111001110001100001⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------四. (1)当λ取什么值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧0=++0=++0=++321321321x x x x x x x x x λλλ 只有零解？有非零解？若有非零解,则确定其通解.(2)当λ分别取什么值时，下面方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在它有无穷多解时，求出它的通解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=++-2321321321λλλ222x x x x x x x x x河北工业大学线性代数作业（2）学院 班级 姓名 学号一．填空题 1． 若行列式0=3333222211111xx x ，则.________,___,=x 2．0100002000010n n=-L L L L L L L L L.3. 1070002000003000000400050= .4. =--nn n 0000000000100002000200010000.5.=0000041323123222114131211a a a a a a a a a a . 6. 当____x 时，0010413=xx x .7.若23013221D 1=，则==ca c ab a b 2033202D 2 . 8.若1333231232221131211-=a a a a a a a a a ，则=---333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a . 二．计算下列行列式的值：1．20104110631432111112.333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++3．dd c c b b a a d c b a dc b a 3434343412121212111122222222--------4．111222+++γγβγαβγββααγαβα河北工业大学线性代数作业（3）学院班级姓名学号一．选择题1．若()r R =A ，则A 中（ ）r 阶子式不等于零.()a 任意一个； ()b 只有一个； ()c 至少有一个； ()d 至多有一个.2．克拉默法则仅适用于解（ ）方程组.()a 非齐次线性方程组； ()b 齐次线性方程组；()c 任何有解的方程组；()d 方程个数=未知量个数，系数矩阵的行列式不等于零.3．设n m ⨯A ，则下列说法不正确的是（ ）.()a 若()r R =A ，则n m ⨯A 不存在等于零的1-r 阶子式； ()b ()()T R R A A =； ()c (){}min ,R m n ≤A ；()d 当n m =时，若A 为降秩（退化、奇异）方阵，则()n,det 0R <=A A .二．计算下面的n 阶行列式.1．nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++3213213213212.122222222232222n3．nnnnnn n n n n n nn n n n11321221----4．xyy x y x y x 0000000000三．用初等变换法求下面矩阵的秩A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--05916410202131412311.河北工业大学线性代数作业（4）学院班级姓名学号一．填空题1．若矩阵X 满足方程()()0=-2+-2X B X A ，则X= . 2. 设A 为3阶矩阵，3=A ，则A 2 =.3．已知[]321=x x x ,,A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B 321x x x ，则=AB ，__________=BA .4. 设B A ,为n 阶方阵，则()()22B A B A B A -=-+成立的条件为_______. 二. 单项选择题1．设有矩阵,,3223⨯⨯B A 33⨯C , 则下列运算可以进行的是（ ）.()a ABC ；()b TAB； ()c BC AB +； ()d ΒΑ23+.2．设A 为n m ⨯矩阵，则TAA 是（ ）.()a m 阶方阵； ()b n 阶方阵；()c n m ⨯矩阵；()d m n ⨯矩阵.三. 计算2--3B A C ，已知,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-1012-7=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3021-21=B A C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01726-3-=.四. 计算下列矩阵的乘积（如不符合两矩阵相乘的条件，则说明不能相乘）. 1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡6234021231 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3402⎥⎦⎤⎢⎣⎡104312 3. []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x河北工业大学线性代数作业（5）学院班级姓名学号一. 填空题1. 设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A det ，A adj 为其转置伴随阵，则det(adj A )= .2. 设4阶矩阵A 的秩为2，则其转置伴随阵A adj 的秩为 .3. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡740530002=A ，则=1-A .4. 设B A ,为n 阶矩阵，且I AB =，则=BA .5．设A 为n 阶可逆矩阵，则()12T-T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Α .二.单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆方阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-100B A ( ).()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-B A a ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-BA b ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-AB c ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-A B d . 2．设C B A ,,是同阶方阵,且A 可逆，则下列各式中不一定成立的是（ ）.()a 若AC AB =，则=B C ；()b =ΑΒCA ，则=BC ；()c 若0=AB ，则0=B ； ()d 若CA BA =，则=BC .3．下列矩阵可逆的是（ ）.()a n 阶对角矩阵； ()b n 阶满秩矩阵；()c n 阶实对称矩阵； ()d n 阶上三角阵.4．设A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，那么有（ ）.()a T A A =-1； ()b A A T -=；()c IA A T =-1； ()d 以上结论都不对.5．B A,为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）.()a ()k k k B A AB =； ()b ()111---=B A AB ；()c A A AA T T= ； ()d AA A A adj adj =.三．设A 满足,O I A A =4--2证明I A I A 2--,,都可逆.四. 设A ，B 均为2阶矩阵，且2=1-=B A det ,det ，求()]2det[21-ΒΑΤ.五．设A 是n 阶矩阵，A adj 是A 的转置伴随阵，若5=A det ，求 det[(5adj A )1-]的值.河北工业大学线性代数作业（6）学院班级 姓名 学号一．填空题 1.3阶初等阵=12R, ()=12det R,()=-112R .2.3阶初等阵 ()=23R , ()()=2det 3R ,()()=-132R .3.3阶初等阵()=-413R, ()()=-4det 12R，()()=--1134R.4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3-3-3-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221331332123111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则A = .5.初等矩阵C 31()3-右乘矩阵123[,,]a a a =A ，相当于对A 进行初等 变换，结果为______.6.矩阵A 经过有限次初等变换化为矩阵B ，则矩阵A 与B 的秩 .二. 单项选择题1．在下列矩阵中，不是初等矩阵的是（ ）.()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001a ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00101-0100b ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000520001.c ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡105010001d . 2．下列说法正确的是（ ）.()a 对单位阵施行初等变换后所得的矩阵都是初等矩阵； ()b 初等矩阵的乘积还是初等矩阵；()c 可逆阵经过初等变换后仍为可逆阵； ()d 任何矩阵都可以表示有有限个初等阵的乘积.三. 用行初等变换法求下列矩阵的逆矩阵：1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡14-52-431-21=A2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-0000011-000011-00001= A四. 从矩阵方程B AX =中解出X ，其中1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1513-3421-2-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡311=B2.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41-31-351-24=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4611-31=B河北工业大学线性代数作业（7）学院班级姓名学号一. 填空题 1. 方程组⎩⎨⎧=3++3+3=2++2+22121b x x x ax x x n n 有解的条件为___________.2．二维向量α[]T21=a a ,，β[]T21=b b ,线性相关的充要条件为 .3．若向量组1a ,2a ,a 3线性相关，且123⎡⎤=⎣⎦A aa a ，则R )(A .4．若向量组321a a a ,,线性无关，当常数m l ,满足_______时，向量组 l 1a ，-3a m 2a ，31-a a 线性无关.二. 选择题1.若向量b 可以由向量组m21a ,,a ,a 线性表示，则下列结论正确的是（ ）.()a 存在常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ；()b 存在不全为零的常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ；()c 存在唯一的常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ； ()d 存在唯一不全为零的常数m k k k ,,21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a .2．设b ,a ,,a ,a n21是m 维向量，则关于方程组1k 1a +2k 2a ++ n n a k =b 的说法正确的是（ ）.()a 若方程组无解，则向量组b ,a ,,a ,a n 21 线性无关； ()b 若方程组有解，则向量组b ,a ,,a ,a n 21 线性相关； ()c 若n 21a ,,a ,a 线性相关，则方程组一定有解；()d 若n 21a ,,a ,a 线性无关，则方程组一定无解.3. 若向量组1a [],,,Τ001=T a ],,[0112=,=3a T cb a ],,[线性无关，则要求（ ）.()a c b a ==； ()b 0==c b ； ()c 0=c ； ()d 0≠c .三．已知321a a a ,,线性相关，432a a a ,,线性无关，试问： （1）1a 能否由32a a ,线性表示？（2）4a 能否由321a a a ,,线性表示？（3）当上面的表示式成立时，其表示式是否唯一？四．证明:若向量组321a ,a ,a 线性无关，则向量组,,212321122a a b a a a b +=-+=32134+3+2=a a a b也线性无关.河北工业大学线性代数作业（8）学院班级 姓名 学号一. 填空题1．设向量组r21a ,,a ,a 线性无关，则R {}=21r a a a ,,, .2．设a 为任一n 维向量，n21e ,,e ,e 为n 维单位向量，则向量组,,,21e e a ne , 线性____关.3.由一个方程0=+++21n x x x 构成的方程组的系数矩阵的秩r ____=，该方程组通解为.二.选择题1．向量组1M 和2M 的秩相等，则（ ）.()a 1M 与2M 等价； ()b 1M 与2M 所含向量个数相等；()c 1M 与2M 所含向量个数不等； ()d 以上结论都不对.2．设A 为n m ⨯矩阵，且R =)(A n m <，则（ ）.()a A 的行、列向量组均线性无关； ()b A 的行、列向量组均线性相关；()c A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关； ()d A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关.三. 设[][]T a a a a ],,,[,],,,[,,,,,,,,03121100101010014321=-===T TT.（1）将4a 用321a ,a ,a 线性表示.（2）由定义判定321a ,a ,a 是向量组321a ,a ,a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）指出向量组321a ,a ,a ,4a 的秩和矩阵=A [321a ,a ,a ,4a ]的秩.四.设向量组为[],,,,T=31211a [],,,,T---=65142a []Ta 74313---=,,,，[]T-=01124,,,a .求该向量组的秩，并具体找出一个最大线性无关组.再把不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组的向量表示出来.河北工业大学线性代数作业（9）学院班级 姓名 学号一．填空题1．在基[][][]TTT===213132321321,,,,,,,,a a a 下，坐标为210,,的向量为________.2．在n R 中取r 个线性无关的向量r a a a ,,, 21，r<n ，由r21a ,,a ,a 生成的子空间记为S ，则=S dim ，S 的一个基为___________.3. n 阶矩阵Α的秩为r ，则其解空间的维数是 .二．选择题1．设向量组ma a a ,,, 21线性相关，V 为由m21a ,,a ,a 生成的向量空间，则V dim （ ）.()a m =； ()b m <； ()c m ≤； ()d 无法确定.2. 向量空间W w {=[]},,,,a d cb a dc b a ==++=T0的维数为（ ）.()a 1 ()b 2； ()c 3； ()d 4.3．若齐次方程组0=x A 有非零解，则其基础解系是（ ）.()a 唯一的，其中的向量线性相关；()b 唯一的，其中的向量线性无关； ()c 不唯一，其中的向量线性相关；()d 不唯一，其中的向量线性无关.4．设有4⨯3矩阵A ，A 表示非齐次方程组b AX =的增广矩阵，则b AX =有解的充分条件为（ ）.()a R ()2≤A ； ()b R ()3≤A ； ()c R ()3=A ； ()d R ()3=A .6．设有5⨯5矩阵A ，A 表示非齐次方程组b AX =的增广矩阵，则b AX =有无穷多组解的充分条件是（ ）.()a ()5<A r ； ()b ()5=r ； ()c ()()5==A A r r ； ()d ()()4≤=A A r r .三．证明[],,,,T=00011a [],,,,T=00112a [][]TT==1111011143,,,,,,,a a 是4R 的一组基，并求向量[]T=4721,,,b 在这组基下的坐标.四 试求下列齐次方程组的基础解系，并说明解空间的维数1．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x五． 求解下列非齐次方程组.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+--=+352231232132131x x x x x x x x河北工业大学线性代数作业（10）学院班级 姓名 学号一．填空题 1．向量[]T11-1-1=,,,a 的规范化向量为=a e _____________.二．选择题1．设A ，B 为正交矩阵，则下列说法错误的是（ ）.()a 则1-A 和T A 也为正交矩阵，且有T -=A A 1；()b A 的每一行(列)向量都是单位向量，且其中的任意两个行(列)向量正交；()c AB 也为正交矩阵；()d B A +也是正交矩阵.三. 证明x V {=},,,),,(R x x x x x x x x x T ∈=++=3213213210构成3R 的一个子空间,并给出一组基.四．设[][][]TTT=-=-=103211112201,,,,,,,,,,,c b a ，1．求a 、b ，a 与b 的夹角；2．计算c b a b a ),(--23；3．证明c 与b ,a 都正交.五．}|{0==Ax x W 称为矩阵A 的零空间。
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数作业习题第一章：行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2：：：：：2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-1 0 0 0 2 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解：|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x2+xy-y2)-y(xy-xy-y2)+(x+y)(y2-x2-2xy-y2)=x(x2+xy-y2)-y(-y2)+(x+y)(-x2-2xy)=x3+x2y-xy2+y3-x3-x2y-2x2y-2xy2=y3-2x2y-3xy2=y(y2-2x2-3xy)3、计算下列行列式：1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。
所以第一列与第二列互换，得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。
0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算，得出= （-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解：原式＝（[1-x2]2+4x2）/（1+x2）2＝（1+x2）2/（1+x2）2＝15、设A B为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|解：原式＝（[1-x2]2+4x2）/（1+x2）2＝（1+x2）2/（1+x2）2＝1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章：矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[1 3 2][2－4－1][3－2 0]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，它的秩最多为3，所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解：设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章：向量空间1、已知α1=（1,1,2，-1）α2=（-2,1,0,0,）α3=（-1,2,0,1）又β满足3（α1-β）+2（α3+β）=5（α2+β）求β解：由题设，有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数标准化作业2011.9学院 班级 姓名 学号第 三 章 作 业（向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）线性相关，则t = ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）的秩为3，则参数t 应满足的条件是 ；2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）。
（A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示。
（2）设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。
（A ）α1，α2，α3 - α1； （B ）α1，α1+α2，α1+α3； （C ）α1+α2，α2+α3，α3+α1； （D ）α1-α2，α2-α3，α3-α1。
3、求向量组123452313712024,,,,3283023743--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα的秩，并求出它的一个极大无关组。
4、设β能由α1，α2，…，αm 线性表示，则表示法唯一的充分必要条件是α1，α2，…，αm 线性无关。
5、已知向量组123134*********, , , ,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ（1） 试验证α1，α2，α3是R 3的一个基；（2）β用这个基线性表示。
学院 班级 姓名 学号第 四 章 作 业（线性方程组）1、填空题（1）n 元线性方程组Ax =0有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为 ；（2）设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且R （A ）=n -1，则方程组Ax =0的通解为 ；2、选择题（1）设n 元线性方程组Ax =0的系数矩阵A 的秩为n -3，且α1，α2，α3为线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）。
线性代数作业常见矩阵及其计算⼀、矩阵的定义：由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m ⾏n 列的数表成为⼀个m ⾏n 列矩阵，记为mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意⾏列式与矩阵的区别：（1）⾏列式是⼀个数，⽽矩阵是⼀个数表.（2）⾏列式的⾏数、列数⼀定相同，但矩阵的⾏数、列数不⼀定相同.（3）⼀个数乘以⾏列式，等于这个数乘以⾏列式的某⾏（或列）的所有元素，⽽⼀个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4）两个⾏列式相等只要它们表⽰的数值相等即可，⽽两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5）当0||≠A 时，||1A 有意义，⽽A 1⽆意义.⼆、常见矩阵：1.⾏矩阵和列矩阵仅有⼀⾏的矩阵称为⾏矩阵（也称为⾏向量），如A=(a11 a12…a1n)也记为α=(a11,a12,…,a1n)仅有⼀列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如a11a12α= ┇┇a1n2.零矩阵若⼀个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零矩阵。
3. ⽅阵⾏数和列数相等的矩阵称为⽅阵。
例如 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n ┇┇┇ a n1 a n2 … a nn为n ×n 矩阵，常称为n 阶⽅阵或n 阶矩阵。
过元素a 11，a 22，…，a nn 的直线，称为⽅阵的主对⾓线。
主对⾓线上的元素称为主对⾓元。
4. 对⾓矩阵主对⾓线元素以外的元素全为零的⽅阵称为对⾓矩阵。
5. 单位矩阵主对⾓元全为1的对⾓矩阵称为单位矩阵，简记为E 或I 。
6. 数量矩阵主对⾓元全相等的对⾓矩阵称为数量矩阵。
7. 三⾓矩阵主对⾓线下（上）⽅的元素全为零的⽅阵称为上（下）三⾓矩阵。
8. 对称矩阵与反对称矩阵若⽅阵A 满⾜A A T =，则称A 为对称矩阵，若⽅阵A 满⾜A A T -=，则称A 为反对称矩阵.若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(.三、矩阵的计算1. 矩阵的运算法则：（1）加法法则：A B B A +=+（加法满⾜交换律）；C B)(A C)(B A ++=++（加法满⾜结合律）； 0A)(A =-+；A 0A =+；若C B A =+，则B C A -=（移项法则）. （2）数乘矩阵的运算法则：A AB A B A A A A A A )()(,)(,)(,1λµµλλλλµλµλ=+=++=+=，其中λµ表⽰数，A 、B 表⽰同型矩阵.注意：0=A λ，则0=λ或0A =；或0=λ且0A =，换句话说：若A λ是零矩阵，则数λ是0，矩阵A 是零矩阵⾄少有⼀个成⽴.（3）矩阵相乘的运算法则：CA BA C)A AC,(B AB C)A(B ++++=+（矩阵乘法对加法满⾜分配律）；(AB)C A(BC)=（矩阵乘法满⾜结合律）；)()()(AB B A B A λλλ==，（乘法满⾜数因⼦的结合律）.（4）伴随矩阵的运算法则：***1**1****)(,)()(,)()(,||A B AB A A A A E A A A AA =='='==--（5）⽅阵⾏列式的运算法则：|||||,||||||,|||A A B A AB A A n T λλ===其中A 、B 市同阶矩阵，λ是任⼀数，n 是A 的阶数.（6）转置矩阵的运算法则：λλλ()(,)(T T T T T A A B A B A =+=+是任⼀数），A A AB AB T T T T T ==)(,)(.（7）逆矩阵的运算法则：111)(---=A B AB ；若A ,0≠λ可逆，则TT A A A A )()(;1)(1111----==λλ.（8）共轭矩阵的运算法则：k A k kA A A (,==是任⼀数），TT A A B A AB B A B A ==+=+)(,,.2．分块矩阵的运算:(1) 将⼀个矩阵⽤横线和纵线分成若⼲⼩块，以这些⼩块为元素的矩阵称为分块矩阵.(2) 分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则，只是进⾏运算的矩阵的分块要恰当.(3) 分块对⾓⽅阵.若⽅阵A 的分块矩阵只有在主对⾓线上有⾮零⽅阵⼦快),,2,1(s i A i =，⽽其他⼦块都是零，即=s A A A A 0021则A 称为分块对⾓⽅阵，分块对⾓⽅阵A 的⾏列式||||||||21s A A A A =.四、重要⽅法1．矩阵的运算⽅法：（1）以矩阵乘法为纲.矩阵运算有些是较简单的，如矩阵的线性运算、转置等，⽽矩阵相乘就较困难了，可以这样说，有关矩阵乘法的运算掌握好了，其他的矩阵运算也就不在话下.因此对初学者来说，遇到矩阵乘法，就应该多留⼼.（2）边学习，边积累，逐步提⾼.这⼀章有很多定义（要重视定义！）、很多运算，每种运算⼜有若⼲条运算法则，⼀开始掌握不了那么多，应该学⼀点积累⼀点，直到全部掌握.例如：已知= =4321,2021B A ，计算⾏列式|)3(|21B A -. 如果先算出A 3，再算出1)3(-A 及2B ，算出矩阵乘积21)3(B A -，最后计算⾏列式；这样⽐较⿇烦，⽽且易错，如果利⽤⽅阵则⾏列式的性质就简单多了.因2||,181)3(|,18||3|3|,2||12-=====-B A A A A ，所以|)3(|21B A -92|||)3(|21==-B A .2．化矩阵为⾏阶梯矩阵、⾏最简矩阵以及标准⾏的⽅法：⼀定要能熟练地⽤初等⾏变换化⼀个矩阵成为阶梯矩阵（或⾏最简⾏）矩阵，因为求逆矩阵、矩阵的秩、解线性⽅程组等都要⽤到这样的⽅法.3．求逆矩阵的⽅法：（1）⽤定义求.⽤存在⽅阵B ，使E BA AB ==，则1-=A B .此法要求对矩阵乘法⽐较熟练，对于元素⽐较特殊的矩阵，可直观看出满⾜条件的B （只要验证E AB =或E BA =⼀个即可）. （2）⽤*1||1AA A =-，其中*A 是A 的伴随矩阵.要注意2阶矩阵求伴随矩阵的⼝诀：“主换位，副变号.”例如，设???? ??=d c b a A ，则??--==-a c b d A A A A ||||*111. （3）初等变换法.因为),(),(11--=A E E A A ,所以把)(E A 同时做初等⾏变换，当A 处变为E时，E处得1-A ，即)()(1-??→?A E E A 初等⾏，同理??→-1A E E A 初等列.4）分块矩阵求逆.对于分块对⾓阵=s A A A A 0021，若i A s),,,(i 21=的逆1-i A 都存在，则1-A 也存在，且有=----1121110s A A A A.若⽅阵=0021sB B B B且),,2,1(s i B i =的逆1-i B 都存在，则B 的逆1-B 也存在，且有=-----0011111B B B B `s s4．求矩阵秩的⽅法：（1）初等变换法：因矩阵经初等变换后，其秩不变，故可⽤初等变换求其秩.⽤初等变换求矩阵的秩，即可以⽤初等⾏变换，也可以⽤初等列变换，也可以交替进⾏，把A 化成⼀个容易求秩甚⾄⼀看就知道其秩的矩阵，⼀般化为⾏阶矩阵.若阶梯矩阵⾏矩阵有r 个⾮零⾏，⽤这种⽅法求矩阵的秩，不需要计算⾏列式. （2）计算⼦式法：根据矩阵A 的秩的定义，要求A 的秩，只需求出A 的不等于零的⼦式的最⾼阶数即可.常由低阶到⾼阶计算不为零的⼦式的最⾼阶数.（3）关于矩阵秩的⼏个公式; 1) 设A 为n m ?矩阵B 为q n ?矩阵，则R )(A +R ()B -n ≤()(){}B A R ,R min2) 设A,B 均为n m ?矩阵，则)B R()A R()B A R(+≤+.3) 设n m A ?、q n B ?，且0=AB ，且n )R()R(≤+B A .5．关于解矩阵⽅程的⽅法：形如 B AX =（1）B XA =（2）B AXC =（3）的等式（其中X 为未知矩阵，A 、C 可逆）称为矩阵⽅程.对于（1），⽤初等变换)()(1B A B B A -??→? 初等⾏，可得⽅程的解B A X 1-=.对于（2），⽤初等列变换??→-1BA B B A 初等列，可得⽅程的解1-=BA X ，或将⽅程转置变为T T T B X A =，利⽤（1）的⽅法可求其解.结合（1）和（2）的⽅法可求得（3）的解11--=BC A X .。
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).4. 计算下列各行列式:(1)7110025*******214; 解 7110251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-;解 2605232112131412-260503212213041224--=====cc 041203212213041224--=====rr000003212213041214=--=====r r .(3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b ec b e c b ad f ---=a b c d e fa d fbc e 4111111111=---=.(4)dc b a 100110011001---.解dc b a100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++=====d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cdc ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213ab a b a a b a ab ac c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y zy x b a )(33+=.8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解a a a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n行展开))1()1(10 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=an-a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n 第二章 矩阵及其运算 1. 计算下列乘积: (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.2. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.3.已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.5. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.8. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵. 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . 19.设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 20. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.21. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.22. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.3. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .4. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.5. (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X . 9. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 12.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3. P106/第四章 向量组的线性相关性 1.已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.5. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.9.设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.证明 由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.11.(1) 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.12.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211.解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 13. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5. 20.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .26. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .。
.\2第1章矩阵1.写出下列从变量X, y 到变量x i , y i 的线性变换的系数矩阵:X 1 X ⑴ y 1 0 ；2.（通路矩阵）a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况22 4，求 3AB-2A 和 A T B.54. 计算2(1)3 0X 1 xcos ⑵y 1 xsi nysi n3.设A.\a ii⑵（X, y, i）a i2b i a12a22b2b ib2X i5.已知两个线性变换X2X3 2y i2y i4y iy33y2 2y3 ,y2 5y3y iy2y3示式,并求从z-, ,z2, z3到x1,x2, x3的线性变换.3z i2z iZ2Z2z3,写出它们的矩阵表3Z36.设 f (x)=a o x m+ a i x m-1+ …+ a m, A 是 n 阶方阵，定义 f (A)=a o A m+ a i A m'1+ …+ a m E. 当 f (X)=X2-5X+3 , A 2 1时，求 f (A).3 37.举出反例说明下列命题是错误的(1)若 A2= 0,则A= O.(2)若A2= A，贝U A= O 或 A= E.7.设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:1(1) A 22 3 112 3 19.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.10 0 20 3 3 2 =B.112 1 「22r1C3 C11 12 1110.设P APA,其中11.设A 00，求 A9. ，矩阵B满足AB=A+2B，求 B.12.设A 2 2 ,利用初等行变换求A-1.复习题一3.设A 为4阶可逆矩阵，将 A 的第1列与第4列交换得 换得C,设4.设n 阶矩阵A 满足A 2-3A+2E=O ，则下列结论中一定正确的是((A) A-E 不可逆;(B) A-2E 不可逆;(C) A- 3E 可逆；(D) A-E 和A-2E 都可逆. 5. 设 A=(i,2,3) , B=(i,i/2,i ⑶，令 C=A TB ，求C n.(A) ACB = E ；( B) CBA=E ；(C) )BAC=E ； (D) BCA=E.311 312 313321 3222.设 A 321 322 323 , B3ii3I 2a313323333313113323123330 1 01 0 0P1 0 0 ,P2 0 1 0 ，则必有 (). 0 0 1 1 0 11.设A, B, C 均为n 阶矩阵，且 ABC=E,则必有( ). 323 a i3(A) AP i P 2=B ； (B) AP 2Pi =B ；(C) P i P 2A=B ;(ai3D) P 2P i A=B.B ,再把B 的第2列与第3列交0 P i 0 1，P21 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 00，则 C -1=( 0 1(A) A -1P i P 2； (B) P 1A -1P 2； (C) P 2P 1A -1； (D) P 2A -1P i .6.证明：如果 A k=O，则（E-Ay^E+A+AJ…+A k"1, k为正整数.7.设A, B为三阶矩阵,A 0.\ 0，且 A-1BA=6A+BA，求 B.8.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵 B 都可逆，求a i0 a 29.设X(a®a n 0 ), 求 X -1.a na n 1 0第2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组x i 2X2 X3 22x1 x2 3x3 1X i X2 X3 00..\ 2.当x取何值时, 4x01 0 x0.3.求下列排列的逆序数:(1) 315624 ；（2）13 …（2n-1）24 …（2n）.4.证明: a3.2a b 3a 2b c5.已知四阶行列式Al中第2列元素依次为12-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.6.计算下列行列式：(1)0 11110 11110 11110x x3X2 x2 x3a1(5) D n a2,其中a 132 a* 01 an7 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为 A*，证明：|A*|=|A|n-1, (n列.8.设A, B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A=2, |B|=1,计算|-2A*B-1|.110 ，利用公式求A -1.2 9.设 A 2 111复习题二1.设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*,证明：（AB）*=B*A*.42.设A3.已知 A i, A2, B i, B2都是 3 1 矩阵，设 A=( A i, A2, B i,), B=( A i, A2, B2), |A|=2, |B|=3,求|A+2B|.4 •设A,B都是n阶方阵，试证: E AB .第3章向量空间习题1.设 a1=(1,-1,1)T, a=(0,1,2)T, a=(2,1,3)T,计算 3 a-2 a+ a.2.设 a=(2,5,1,3)T, a=(10,1,5,10)T, a=(4,1,-1,1)丁，且 3( a- x)+2( a+x)=5( a+x),求向量x.3.判别下列向量组的线性相关性：(1)a i=(-1,3,1)T, a=(2,-6,-2)T, a=(5,4,1)T⑵ B I=(2,3,0)T, M-1,4,0)T,33=(O,O,2)T .4.设01= a i, 3=01+ a, 03= a i+ a+a3，且向量组 a, a, a线性无关，证明向量组 0, 3, 0线性无关.5.设有两个向量组a i, a, a和0= a i- a+a3, 32=01+ a- a,俊=-a i+a+ a,证明这两个向量组等价.6.求向量组 a=(1,2,-1)T, a=(0,1,3)T, a=(-2,-4,2)T, a=(0,3,9)T 的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7.设a l, a,…,a n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量£1,龟…,31能由它们线性表示, 证明：a1, a,…,a n线性无关.8.设有向量组 a , 02, 03, a4, a, 其中a1, a, a线性无关，a4=a a1+b a, a5=C a+d a3（a, b, c, d均为不为零的实数），求向量组a, a, a, a的秩.9.设矩阵 A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1),求秩 R(A T B).4，求A 的秩，并写出A 的一个最高阶非零子式.42，若A 的秩R(A)=2，求参数t 的值.41 10.设矩阵A4 11.已知矩阵A412.设A 0，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组313.设A为n阶矩阵, 阶单位矩阵，证明：如果 A2=A,则E为R(A)+R(A-E)= n.14.已知向量空间 3R的两组基为-1 求由基a1, 02, a到基复习题三1，已知A 的秩为3,求k 的值.12. 设向量组A: a,…,a 与B:仏…,9，若A 组线性无关且 B 组能由A 组线性表示为(9,…,9) = ( a,…,a s )K,其中K 为S r 矩阵，试证：B 组线性无关的充分必要条件是矩阵 K的秩 R(K)= r.1.设矩阵A 113 .设有三个 n 维向量组 A : a, a, a; B: a, a, a, a; C: a, a, a, a .若 A 组禾口 C 组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组a, a, a, a a线性无关.4.设向量组 A： a i=(1,1,0)T, a=(1,0,1)T, a=(0,1,1)T 和 B： 3=(-1,1,0)T,色=(1,1,1)T,色=(0,1,-1)丁3证明：A组和B组都是三维向量空间 R的基;求由A组基到B组基的过渡矩阵；已知向量a在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求a在A组基下的坐标.第4章线性方程组习题x1 x2 51.写出方程组2x1 x2 x3 2x4 1 的矩阵表示形式及向量表示形式5x1 3x2 2x3 2x4 32.用克朗姆法则解下列线性方程组bx ay 2ab2cy 3bz be,其中abc 0ex az 0X i X2 X33.问，取何值时，齐次线性方程组X iX i X22 X2X3X34.设有线性方程组多解？⑶无解?X i-X iX2kX2k X3X i X2X32x34k2，讨论当0有非零解?k为何值时，（1）有唯一解？（2）有无穷x1 8X2 10X3 2X4的一个基础解系.5.求齐次线性方程组2x14X25X3 X43x i 8x2 6x3 2x46.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知n i, n, n是它的三个解向量，且n i=(2,3,4,5)T, n+n=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解..\7 .求下列非齐次线性方程组的通解:x 1 X 2 52x 1 x 2 x 3 2X 4 15x 1 3x 2 2x 3 2x 4问向量3能否由向量组 A 线性表示?8.设有向量组A: a 20(31及向量.\n*是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，&, …，知是它的导出组的一个基础解系,n*, E i ,②…,印-r 线性无关；n*, n*+ &, n*+ 匕,…,n*+ Hr 线性无关.9.设 证明： （1）复习题四a ，且方程组 AX=0的解空间的维数为 2,贝U a=12. 设齐次线性方程组 量个数为 .3. 设有向量组 n a 1=(a,2,10)T , a=(-2,1,5)T , %3=(-1,1,4)丁及向量 3=(1,b,-1)T,问 a, b 为何值时， (1) 向量B 不能由向量组(2) 向量(3) 向量11.设 A 0 a i x i +a 2X 2+…+a n X n =O,且a i ,a 2,…,a n 不全为零，则它的基础解系所含向 n 线性表示； B 能由向量组n 线性表示，且表示式唯一； B 能由向量组n 线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.4. 设四元齐次线性方程组x1x20 x2x40x1x2x30 (n)1 2 3X2 X3 X4 0方程组（I）与（n）的基础解系；（2）方程组（I）与（n）的公共解.5.求非齐次线性方程组 Ax= B的通解.设矩阵A=( a i, a, 03, a), 其中a, a, a线性无关， a i=2 a- a, 向量护 a i+ a2+ as+ a,相交于一点的充分必要条件是向量组,线性无关，且向量组，，线性相关..\第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量a i=(1,-1,1)T，试求两个向量a, a,使a i, a, a为R 3的一组正交基.2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明 AB也是正交矩阵.3.设A是n阶正交矩阵，且 AF-1，证明：-1是A的一个特征值..\2 1 24.求矩阵5 3 3 的特征值和特征向量..\的特征值为1,2,3，计算行列式|A 3-5A 2+7E|.0 相似，求x, y ；并求一个正交矩阵 P ， 45.已知三阶矩阵6.设矩阵A.\使 p -1AP = A.7.将下列对称矩阵相似对角化: (1) 2(2) 08.设入是可逆矩阵A的特征值，证明：（1）—是A*的特征值.（2）当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时，求A*的特征值.9.设三阶实对称矩阵A的特征值为入1=6,炉启=3，属于特征值入1=6的特征向量为p i=(1,1,1)T，求矩阵 A.复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是2. 已知3阶矩阵A, A-E, E+2A 都不可逆,6. 设矩阵A 满足A 2-3A+2E=O,证明A 的特征值只能是1或2.1 3.设 A a ，已知A 与B 相似，则a, b 满足4.设A 为2阶矩阵, 征值为 . a, a 为线性无关的 2维列向量，A 01=0, Aa=2 a+, a,贝U A 的非零特25.已知矩阵A 3x 可相似对角化，求x . 5则行列式|A + E|=27.已知P 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵 A 58•设 A3 22 3，求(^(A)=A 10-5A 9.(1)求参数a, b 及特征值;(2)问A 能否相似对角化？说明理由.3 的特征值 的一个特征向量.2.\1.写出下列二次型的矩阵表示形式:X1X|X：X42X1X22.写出对称矩阵A 1123.已知二次型f (X i, X2, X3)2X i第6章二次型习题4x1x3 2x1x4 6X2X3 4X2X4122所对应的二次型.3x；ax； 4x1X2 6X2X3 的秩为2,求a 的值..\2 2 24.求一个正交变换将f(X i,X2,X3) 2x i 3x2 3x3 4X2X3化成标准形.。
普通高等教育“十一五”国家级规划教材经济管理数学基础系列线性代数标准化作业(C)吉林大学数学中心2012年9月学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）3333333333333333aa Db b+-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102201202013 D=.2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、1，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、5，且行列式的值为2，求m、k的值.3、设a ,b ,c ,d 是不全为零的实数,证明线性方程组12341234123412340,0,0,0ax bx cx dx bx ax dx cx cx dx ax bx dx cx bx ax +++=⎧⎪-+-=⎪⎨--+=⎪⎪+--=⎩仅有零解.4、已知齐次线性方程组123123123230,220,50x x x x x x x x x λ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，求λ的值.学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵）（1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O 或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T ； （ ） （6）(A+B )1- =A 1-+ B 1-。
（ ） 2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =13524353t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且AB =O ，则t ＝ ；（2）设A ＝100220345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ；（3）设A 为4阶标量矩阵，且|A |=16，则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ；（4）设A , B 均为n 阶方阵,且2+=()A B E ，其中A 为对称矩阵且可逆，求1T 1()--+-()A B E B A E ＝ ；（5）设A＝5200210000120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则│A│＝，A1-＝；（6）设实矩阵A33⨯＝≠)(ija O，0ij ija A+=（ijA为ija的代数余子式），则│A│＝；（7）设A为4阶可逆方阵，且│A1-│＝2，则│3(A*)1-－2A│＝；（8）设A为2阶方阵，B为3阶方阵，且│A│＝1B＝21，则1(2)--O BA O＝；（9）设A＝111222333⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A100＝；（10）设A为5阶方阵，且A2 = O，则R(A*)＝__________.3、选择题（1）若A，B为同阶方阵，且满足AB＝O，则有（）.（A）A＝O或B＝O；（B）|A|＝0或|B|＝0；（C）(A＋B)2＝A2＋B2；（D）A与B均可逆.（2）若由AB = AC（A，B，C为同阶方阵）能推出B=C，则A满足（）. （A）A≠O；（B）A＝O；（C）|A|≠0；（D）|AB|≠0.（3）若A，B为同阶方阵，则有（）.（A）(AB)k＝A k B k；（B）|－AB|＝－|AB|；（C ）E 2－(AB )2＝（E －AB ）（E ＋AB ）； （D ）|A ＋B |＝|A |＋|B |.（4）已知A 为任意n 阶方阵，若有n 阶方阵B 使AB ＝BA ＝A ，则（ ）. （A ）B 为单位矩阵；（B ）B 为零方阵；（C ）B 1-＝A ；（D ）不一定.（5）若A ，B ，(B 1-+A 1-)为同阶可逆方阵，则(B 1-+A 1-)1-＝（ ）. （A ）B 1-+A 1-； （B ）B ＋A ； （C ）(B +A )1-； （D ）B (B +A )1-A . （6）设A 为3阶方阵，且|A |＝3，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的2，3两行得到矩阵B ，则||*BA ＝（ ）.（A ）27； （B ）－27； （C ）3； （D ）－3. 4、计算题:（1）431112315701⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦; （2）()31,2,321⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;（3）()211,2,13⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）111213112312222321323333(, , )a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;（5）12101031 01010121 00210023 00030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.5、计算下列方阵的幂:（1）已知α=（1，2，3），β=（1，－1，2），A=αTβ，求A4 .（2）已知024003000A=轾犏犏犏犏臌，求A n.(3) 已知112224112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A=，求A n .6、设3阶矩阵1122,2,3⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=B=αβγγγγ，其中α， β， γ1， γ2均为3维行向量，且|A |=18，|B |=2，求|A -B |.7、设121132a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A=,B=,若矩阵A 与B 可交换，求a 、b 的值.8、求下列矩阵的逆矩阵:（1）A＝1234 1134 1344 0101⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）A＝500000 000021 000053 010000 011000 011100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.9、已知A＝210121012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B＝1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C＝123421⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解下列矩阵方程：（1）AX=X+C ;(2)AXB=C．10、设矩阵300050,003⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A=且满足ABA*+BA*+180E=O，求矩阵B.11、设A为n阶可逆矩阵，将A的第i行和第j行对换后得矩阵B，试证：（1）B可逆；（2）求AB-1。
12、设A为n阶可逆对称阵，B为n阶对称阵，当E+AB可逆时，试证(E+AB)-1A 为对称矩阵。
13、把下列矩阵化为行最简形矩阵:（1）3102 1121 1344;轾犏犏--犏犏-臌（2）21837 23075 32580 10320⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.14、把下列矩阵化为标准形矩阵（1）32131 21313 70518---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）11343 33541 22320 33421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦.15、利用初等矩阵计算:（1）1111100111100010111010011222011---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦；（2）已知AX =B ，其中111213111213122122232122232231323331323332a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A=,B=, 求X .16、求下列矩阵的秩:（1）11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A=；（2）11221511061aa-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A=.17、设A 为n (2)n ≥阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明: （1）当R()n =A 时，R()n =*A ; （2）当R()1n =-A 时，R()1=*A ; （3）当R()1n <-A 时，R()0=*A .学院 班级 姓名 学号第 三 章 作 业（向量组的线性相关性）1、填空题（1）设β=（3，- 4）， α1=（1，2）， α2=（-1，3），则β表成α1，α2的线性组合为 ；（2）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）线性相关，则t = ；（3）设向量组α1=（1，1，0），α2=（1，3，-1），α3=（5，3，t ）的秩为3，则参数t 应满足的条件是 ；（4）设向量组T 1(1,2,1,0)=-α，T 2(1,1,0,2)=α，T 3(2,1,1,)a =α，若由123,,ααα形成的向量空间的维数为2，则参数a = ；（5）已知向量T 1(1,2,1)=α, T 2(2,3,)a =α, T 3(1,2,2)a =+-α, T 1(1,3,4)=β,T 2(1,1,)a =-β, 且1β可由123,,ααα线性表示, 2β不能由123,,ααα线性表示，则参数a = .2、选择题（1）设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则正确的结论是（ ）. （A ）α1，α2，α3线性相关； （B ）α1，α2，α3线性无关； （C ）α1可由β，α2，α3线性表示； （D ）β可由α1，α2线性表示.（2）设α1100c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，α2201c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，α3311c ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，α4411c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中c 1，c 2，c 3，c 4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）.（A ）α1，α2，α3 ； （B ）α1，α2，α4； （C ）α1，α3，α4； （D ）α2，α3，α4. （3）下列说法中正确的是（ ）. （A ）向量组12,,,m ααα线性无关，则1α不能由23,,,m ααα线性表示;（B ）向量组12,,,m ααα线性相关，则1α能由23,,,m ααα线性表示;（C ）向量组12,,,m ααα线性无关，则减少分量后所得的向量组也线性无关;（D ）含有零向量的向量组必线性相关，而不含零向量的向量组必线性无关. （4）设12,,,s ααα和12,,,t βββ为两个n 维向量组，且12R(,,,)s =ααα12R(,,,)t r =βββ，则（ ）.（A ）两向量组等价; （B ）1212R(,,,,,,,)s t r =αααβββ;（C ）当s t =时，两向量组等价; （D ）当12,,,s ααα能被12,,,t βββ线性表示时，12,,,t βββ也能被12,,,sααα线性表示.（5）已知1234,,,αααα是3维非零向量，则下列说法中错误的是（ ）. （A ）如果4α不能由123,,ααα线性表出，则123,,ααα线性相关;（B ）如果123,,ααα线性相关，234,,ααα线性相关，那么124,,ααα也线性相关;（C ）如果3α不能由12,αα线性表出，4α不能由23,αα线性表出，则1α可以由234,,ααα线性表出;（D ）如果11223414243R (,,)R (,,,)++=+++αααααααααααα，则4α可以由123,,ααα线性表出. 3、求向量组123452313712024,,,,3283023743--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααααα的秩，并求出它的一个极大无关组。
