西南大学网络教育2020年春0044]《线性代数》作业标准答案

西南大学网络与继续教育学院课程代码： 0044 学年学季：20192单项选择题1、. 2. 0. 1. -12、. 0，1，2，3. 1，2，3，4. 0，1，2. 1，2，33、下列各向量组线性相关的是( ).....4、.. ..5、....6、....7、. E. ...8、....9、下列矩阵为正交矩阵的是( ).....10、矩阵A 与B 相似, 则下列说法不正确的是（ ）. style="text-indent:32px">A 与B 有相同的特征值. ..A = B.. R(A) = R(B) 11、....12、....13、... .14、. F. A 的列向量组线性无关. 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关. 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关 .线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关15、下列各向量组线性相关的是( ).....16、. .. .17、.负定的. ..正定的...半正定的... style="text-indent:14px;line-height:150%">不定的..18、.必有r个列向量线性无关.任意r个列向量都构成最大线性无关组.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.任意r个列向量线性无关19、. 0. 1.. 0或1..20、.A....21、. 2 .4..122、. C. 必有一列向量可有其余列向量线性表示. 必有两列元素对应成比例. 任一列向量是其余列向量的线性组合 .必有一列元素全为023、.D. A 有n 个互异特征值.A 是实对称阵. A 有n 个线性无关的特征向量.A 的特征向量两两正交24、. B. A 的行向量组线性相关 . A 的行向量组线性无关. A 的列向量组线性无关.A 的列向量组线性无关25、在下列矩阵中，可逆的是( ).....判断题 26、.A.√. B.× 27、. A.√. B.× 28、. A.√. B.× 29、.A.√. B.× 30、. A.√. B.× 31、. A.√. B.× 32、. A.√. B.× 33、. A.√. B.× 34、. A.√. B.× 35、. A.√. B.× 36、. A.√. B.× 37、. A.√. B.× 38、. A.√. B.× 39、. A.√. B.× 40、设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A|=|B| （）. A.√. B.×41、转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( ). A.√. B.×42、若A x =0只有零解，则A x =b(b≠0)有唯一解. ( ). A.√. B.×43、. A.√. B.×44、. A.√. B.×45、. A.√. B.×46、. A.√. B.×47、. A.√. B.×48、设A、B为n阶方阵，且AB=0，但 |A| 0，则B=0.( ). A.√. B.×49、. A.√. B.×50、. A.√. B.×主观题51、正确答案是：52、正确答案是：53、正确答案是：254、正确答案是：55、正确答案是：56、正确答案是：57、正确答案是：58、正确答案是：59、正确答案是：60、正确答案是：。

一、填空题(每小题3分，共15分)1．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310120001，则A + 2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2．设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为( ).3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一个解，则k 1+k 2 = ( ).4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1．设行列式2211b a b a = 1，2211c a c a = 2，则222111c b a c b a++ = ( ).(A) -3 (B) -1 (C) 1(D) 32．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A = ( ).(A) 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321(B) 214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( ).(A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例(C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合4．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1| = ( ).(A) 121 (B) 71(C) 7 (D) 125．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001合同，则二次型x T Ax 的规范形为( ).(A) 2322212z z z ++- (B) 232221z z z ++- (C) 232221z z z +- (D) 232221z z z -+ 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则(ABC )T = A T B T C T . ( ) 2．设A 为3阶方阵，且已知|-2A | = 2，则|A | = -1. ( )3．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组线性无关. ( )4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E | = 0，则A 必有一个特征值为32. ( )5．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421. ( )四、 (10分) 求4阶行列式1111112113114111的值. 五、(10分) 设2阶矩阵A 可逆，且A -1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121b b a a ，对于矩阵P 1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021，P 2 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110，令B = P 1AP 2，求B -1.六、(10分) 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21233t α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t 10624α，试确定当t 为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.七、(15分) 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x(1) 问a 为何值时，方程组有无穷多个解.(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠λ2. 证明p1- p2不是A的特征向量.。

===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年春季课程名称【编号】：离散数学【0004】 A 卷考试类别:大作业 满分：100 分1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义. 设R 是实数集合，f : (0,1) → R, xx x f 111)(--=, 证明f 是双射.答：任意给定两个集合A 和B ，若存在对应法则f ，使得对于任意x ∈ A ，均存在唯一的y ∈B 与它对应，则称f 是集合A 到B 的一个映射，或称其为A 到B 的一个函数，记为f:A →B 。

对于任意R ×R ，若，于是，进而且。

由此可得，，因而，故f 是单射。

对于任意R ×R ，取，容易得知。

由上可知，f 是双射。

2. 设R 是集合A 上的关系，请给出R 的传递闭包t (R )的定义. 下图给出的是集合A = {1，2，3，4，5}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.3. 请给出谓词逻辑的研究对象，并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化. 答：研究对象:个体词,谓词,量词,命题符号化4.解释命题公式真值表的含义，并利用真值表求命题公式()())()(pqrrqp→→↔→→的主合取范式.5. 给出叶赋权m叉树的定义，并求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树.答：定义：对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3=5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5=10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8=15, 得10, 15；最后组合10+15=25。

所求的最优2叉树树如下：123 4 5二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1题必做，满分30分；第2-3题选作一题，满分30分；第4-5题选作一题，满分40分.。

0044 20201单项选择题1、....2、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是（）.style="text-indent:32px">A与B有相同的特征值... A = B..R(A) = R(B)3、....4、....5、....6、.必有r个列向量线性无关.任意r个列向量都构成最大线性无关组.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.任意r个列向量线性无关7、.0.1..0或1..8、.2.4..19、. C. 必有一列向量可有其余列向量线性表示.必有两列元素对应成比例.任一列向量是其余列向量的线性组合.必有一列元素全为010、. D. A有n个互异特征值.A是实对称阵.A有n个线性无关的特征向量.A的特征向量两两正交判断题11、. A.√. B.×12、. A.√. B.×13、. A.√. B.×14、. A.√. B.×15、. A.√. B.×16、. A.√. B.×17、. A.√. B.×18、. A.√. B.×19、. A.√. B.×20、设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A|=|B| （）. A.√. B.×21、转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( ) . A.√. B.×22、. A.√. B.×23、. A.√. B.×24、. A.√. B.×主观题25、参考答案：26、参考答案：27、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3，则|A + E| = ( ).参考答案：2428、参考答案：29、参考答案：30、参考答案：31、参考答案：k>132、参考答案：333、参考答案：34、参考答案：35、参考答案：36、参考答案：237、参考答案：38、设线性方程组A x =0，A是4×5阶矩阵，如果R(A)=3，则其解空间的维数为( ).参考答案：239、参考答案：40、参考答案：41、参考答案：42、参考答案：43、参考答案：44、参考答案：45、参考答案：46、参考答案：47、参考答案：48、2.参考答案：49、参考答案：50、参考答案：51、参考答案：52、1.参考答案：53、参考答案：54、参考答案：55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。

由于 A 与 B 相似，于是
，由此可得出 x = 2，进而 A 的特征值为 0, 3, 2.
当
时，A 对应的特征向量为
。
. 而原线性方程组的特解可取为
当
时，A 对应的特征向量为
。
当
时，A 对应的特征向量为
。
因此，原线性方程组的通解为
取
，有
.
-2-
5、证明:设向量组
组 A 线性表示. 证明向量组
答： 证明：假设
线性无关.
二、大作业要求 大作业共需要完成三道题： 第 1-2 题选作一题，满分 30 分； 第 3-4 题选作一题，满分 30 分； 第 5 题必作，满分 40 分。
-3-
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教
专业：计算机科学与技术
课程名称【编号】：0044 【线性代数】
大作业
2019 年 6 月 A卷
满分：100 分
1 1 1
2、 设 A 1 1
1
，
A* X

A1

2X
，其中
A* 是Βιβλιοθήκη A的伴随矩阵，求X
.
1 1 1
答：
因为
一、 大作业题目 1、 计算行列式
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
.
, 所以 A 可逆.
由于
, 根据
，有
，
答：
进而 由于
. 于是
，因而
.
， 所以
.
.
-1-
3、
求下列线性方程组
答：
x1 2x2 x3 3x4 x5 2 2x1 4x2 2x3 6x4 3x5 6 . x1 2x2 x3 x4 3x5 4

x 2 x 3 1 x1 x 3 1 有无穷多解? 并求出其结构解. 2.当 a，b 为何值时，方程组 x 2 2 x 3 x ( a 2) x b 3 2 3 1Biblioteka 由此 B 的行最简形式矩阵为
令 X1 = 0， 的特解：
- 14λ + 40 = （λ -4） （λ -10）= 0 = 4 时，齐次线性方程组（A-4E）χ = ，k1 ≠ 0；
χ χ χ χ
=
的基础解系为
，于是对应
于λ = 4 的特征向量为 k1 当λ
= 10 时，齐次线性方程组（A-10E）χ = ，k2 ≠ 0；
=
的基础解系为
，
于是对应于λ = 4 的特征向量为 k2
二、大作业要求：
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业：计算机科学与技术 20XX 年 12 月 A卷 满分：100 分
大作业共需要完成三道题： 第 1-2 题选作一题，满分 30 分； 第 3-4 题选作一题，满分 30 分； 第 5 题必作，满分 40 分。
课程名称【编号】 ：线性代数【0044】 大作业
由于
=8 ≠ 0 ，
所以 k1 = k2 = k3= 0， 因此向量组 β1，β2，β3 线性无关
3 －1 3. 已知 A = ，求其特征值与特征向量. 7 11
*
=
对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ
=
， 所以原线性方程组的结构解为：
X=k
2 2 2 4.用正交变换化二次型 f (x1, x2, x3)= 2x1 3x2 3x3 2x2 x3 为标准型，并给出所用的正交变换.
一、 大作业题目：

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

(1)取何值时,该方程组有解? (2)在有解的情况下, 求出其特解 η * 以及其对应的齐次线性方程组的基础解系, 进而求出 原方程组的通解.
2 1 1 4. 给定矩阵 A 0 2 0 . 4 1 3 说明理由.
西南大学
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业：计算机科学与技术 2018 年 6 月 A卷 满分：100 分
5. 设向量组 a1 , a 2 ,...,a m 线性无关 , 而向量组 a1 , a 2 ,...,a m , b 线性相关 , 则 向 量 b 可 由
a1 , a 2 ,...,a m 线性表示, 且表示法是唯一的.
设 B = k1a1+k2a2+..+kmam B = k1'a1+k2'a2+..+km'am 则 (k1-k1')a1+(k2-k2')a2+..+(km-km')am=0 由 a1,a2,...,am 线性无关知 ki-ki' = 0, 即 ki = ki', i=1,2,...,m 所以表示法唯一.
计算行列式 Dn x a ...a a x ...a
2 0 0 1 0 0 50 2. 已知 P 0 1 2 ， A 0 2 0 ，计算 P 1 AP . 0 0 1 0 0 2
x1 x 2 3x3 x 4 1 2 x 2 x 5 x 3x 4 1 2 3 4 3. 设线性方程组为 (其中 为实数), 4 x1 4 x 2 3x3 19x 4 x1 x 2 2 x3 2 x 4 3

答案+我名字1、已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。

解：原式=2、计算行列式 0111101111011110=D 的值。

解：3、写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项。

解：根据行列式的定义，含有因子2311a a 的项应是44322311a a a a -，42342311a a a a4、计算 行列式6142302151032121----=D 的值。

解：5、计算行列式3214214314324321=D 的值。

解1、 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。

解：2、设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求。

证：3、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。

解：1、设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14011313021512012211A ，求矩阵A 的秩R (A )。

解： 2、求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-+=+-+0750532025242143214321x x x x x x x x x x x解3、当a 、b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x bx x x x x x x x x a x x x x x有解，当其有解时，求出其全部解。

解：4、求线性方程组的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+-22133232321321x x x x x x x x解：5、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--+=+--622253143143214321x x x x x x x x x x x 的通解。

解:6、求矩阵A=203143542715201⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的秩。

(c)求解如下矩阵方程：
2、(a)什么是向量组线性相关？
(b)判断向量组 是否线性相关。
(c)请用上述向量组表示向量
三、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)请阐述特征值与特征向量的定义。
(b)求解矩阵 的特征值及其对应的特征向量
2、(a)已知A为对称阵， ，且 求矩阵A。
(b)已知矩阵 ， ，且 变，试用 表示 。
一、必答题（40பைடு நூலகம்）
1、什么是矩阵的初等行变换？
2、用矩阵乘积形式表示如下线性方程组。
3、求解如下线性方程组
二、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)什么是初等矩阵？
答：初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。
(b)阐述初等矩阵在矩阵乘积中的作用。
b已知矩阵111263111p26311063???????????????????????123?txxx且p??变试用123xxx表示2222422?????xyzxyxzyz
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教2019年12月
课程名称【编号】：线性代数【0044】B卷
大作业满分：100分

西南科技大学网络教育线性代数题目解答
西南科技大学网络教育线性代数题目解答一、单项选择题
1.
A.0
B.-5
C.-6
D.7
答案：C
2.计算排列34125的逆序数后,有( )。

A.逆序数是3, 并为奇排列
B.逆序数为4, 并为奇排列
C.逆序数为4, 并为偶排列
D.逆序数为3, 并为偶排列
答案：C
3.
A.
B.
C.
D.
答案：A
4.取( )值时齐次线性方程组有非零解。

A.
B.
C.
D.
答案：B
5.。

A.
B.
C.
D.
答案：D
6.从给出的线性方程组的增广矩阵
可以看出此方程组有几个方程,几个未知数?
A.3个方程,3个未知数
B.4个方程,4个未知数
C.4个方程,3个未知数
D.3个方程,4个未知数
答案：D
7.
A.
B.
C.
D.
答案：B
8.已知向量组
计算出这组向量的秩是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
9.。

1)、前一矩阵的第一行对应元乘以后一矩阵第一列对应元之和为新矩阵的第一行第一列的元素。
2)、前一矩阵的第一行对应元乘以后一矩阵第二列对应元之和为新矩阵的第一行第二列的元素。
3)、前一矩阵的第一行对应元乘以后一矩阵第三列对应元之和为新矩阵的第一行第三列的元素。
4)、前一矩阵的第二行对应元乘以后一矩阵第一列对应元之和为新矩阵的第二行第一列的元素。
西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷
学期：2020年春季
课程名称【编号】：线性代数【0044】A卷
考试类别:大作业满分：100分
一、必答题（40分）
1、什么是线性方程组？
答：线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。
2、阐述矩阵乘法的运算过程。并用矩阵乘积形式表示如下线性方程组。
答：
必须第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同。一般单指矩阵乘积时，
5)、前一矩阵的第二行对应元乘以后一矩阵第二列对应元之和为新矩阵的第二行第二列的元素。
6)、前一矩阵的第二行对应元乘以后一矩阵第三列对应元之和为新矩阵的第二行第三列的元素。
3.用初等变换的方法求解上述线性方程组
二、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)什么是方阵的逆矩阵？
答：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
这时只要把右边的n阶方阵写下来，就是所要求的逆矩阵。
(c)求解如下矩阵方程：
解：记Ax=B
用初等行变换为
三、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)求解行列式
解：
(b)求解矩阵 的特征值，并求 对应的特征向量
解： 所以，矩阵对应的特征值为0,1,5。

西南科技大学网络教育线性代数题目解答-2020最新一、单项选择题1.A.0B.-5C.-6D.7答案：C2.计算排列34125的逆序数后,有( )。

A.逆序数是3, 并为奇排列B.逆序数为4, 并为奇排列C.逆序数为4, 并为偶排列D.逆序数为3, 并为偶排列答案：C3.A.B.C.D.答案：A4.取( )值时齐次线性方程组有非零解。

A.B.C.D.答案：B5.。

A.B.C.D.答案：D6.从给出的线性方程组的增广矩阵可以看出此方程组有几个方程,几个未知数?A.3个方程,3个未知数B.4个方程,4个未知数C.4个方程,3个未知数D.3个方程,4个未知数答案：D7.A.B.C.D.答案：B8.已知向量组计算出这组向量的秩是( )A.1B.2C.3D.4答案：C9.A.B.C.D.答案：D10.A.B.C.D.答案：A11.矩阵的特征值为( ) A.B.C.D.答案：A12.A.1B.-1C.2D.-2答案：B二、判断题13.每一列元素之和为零的n阶行列式D的值等于 0 . 答案：正确14.答案：错误15.A为任一方阵,则,均为对称阵。

答案：正确16.答案：正确17.答案：错误18.答案：正确19.答案：错误20.答案：错误三、复合题121.证明:,所以第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：D22.第二步( )(4 分)A.B.C.D.答案：A23.第三步( )(4 分)A.B.C.D.答案：C四、复合题2解:,则24.第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：C25.第二步( )(4 分)A.B.C.D.答案：B26.第三步( )(4 分) A.B.C.D.答案：D五、复合题3解:,则27.第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：B28.第二步( )(4 分) A.B.C.D.答案：A29.第三步( )(4 分) A.B.C.D.答案：D六、复合题4解:30.第一步( )(4 分)A.B.C.D.答案：B31.第二步( )(4 分) A.B.C.D.答案：B32.第三步( )(4 分)A.B.C.D.答案：A第 11/11 页。

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年春季 课程名称【编号】：离散数学【0004】 A 卷考试类别:大作业 满分：100 分 1.请给出集合A 到集合B 的映射f 的定义. 设R 是实数集合，f : (0,1) → R, xx x f 111)(--=, 证明f 是双射. 答：任意给定两个集合A 和B ，若存在对应法则f ，使得对于任意x ∈ A ，均存在唯一的y ∈B 与它对应，则称f 是集合A 到B 的一个映射，或称其为A 到B 的一个函数，记为f:A →B 。

对于任意R ×R ，若，于是，进而且。

由此可得，，因而，故f 是单射。

对于任意R ×R ，取，容易得知。

由上可知，f 是双射。

2. 设R 是集合A 上的关系，请给出R 的传递闭包t (R )的定义. 下图给出的是集合A = {1，2，3，4，5}上关系R 的关系图，试画出R 的传递闭包t (R )的关系图,并用集合表示.3. 请给出谓词逻辑的研究对象，并将“任何整数的平方均非负”使用谓词符号化.答：研究对象:个体词,谓词,量词,命题符号化4.解释命题公式真值表的含义，并利用真值表求命题公式()())()(p q r r q p →→↔→→的主合取范式.5. 给出叶赋权m 叉树的定义，并求叶赋权分别为2, 3, 5, 7, 8的最优2叉树. 答：定义：对于2, 3, 5, 7, 8，先组合两个最小的权2+3=5, 得5, 5, 7, 8；在所得到的序列中再组合5+5=10, 重新排列后为7, 8, 10；再组合7+8=15, 得10, 15；最后组合10+15=25。

所求的最优2叉树树如下：12345二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1题必做，满分30分；第2-3题选作一题，满分30分；第4-5题选作一题，满分40分.。