- 1 - 实验项目七 因子分析
一、 实验内容
100个学生考试，考试成绩记为10021,,xxx，考题为30题，覆盖的知识面很广，但是总体上可以分为以下4个方面：数理逻辑、文学修养、历史知识、生活实践，设为4321,,,ffff，则我们可以建立如下的模型：11223344iiiiiixffff 100,2,1i
用这四个方面的一个线性组合再加上表示单个因素的i来解释第i个学生的考试成绩xi，其中4321,,,ffff称为公共因子，矩阵4100ij称为因子载荷矩阵，i是第i个学生的考试成绩不能被这四个因子解释的部分，称为特殊因子。因子分析就是要竭力找出这些公共因子和特殊因子，将观测值表示成这些因子的线性组合，并给这些因子以合理的解释，但是虽然所要讨论的变量的公共因子和特殊因子客观存在，但往往不能直接观测到，这也是因子分析问题的一个特点。应用SPSS软件中自带的数据文件car_sales.sav进行因子分析。
二、实验基本操作流程及说明
（一）SPSS中因子分析的操作界面
Analyze Data Reduction（数据降维） Factor（因子分析）
varimax rotation—最大方差旋转
Analyze Data Reduction Factor
Factor Analysis因子分析
Variables 移入想要分析的变量名
Selection Variable 受限制的变量 - 2 - Descriptives„ 描述统计量
Extraction„ 提取（公因子）的方法
Rotation„ 旋转方式
Scores„ 因子得分
Option„ 选项
Descriptives„ 描述统计量
Statistics统计量
SPSS因子分析与对应分析
SPSS（Statistical Product and Service Solutions）是一种广泛应用于社会科学领域的统计分析软件，它提供了多种功能和方法来帮助研究者对数据进行分析。因子分析和对应分析是SPSS中两种常用的统计方法，用于数据的维度缩减和模式识别，下面将详细介绍这两种方法。
1. 因子分析（Factor Analysis）：
因子分析是一种用于理解数据结构、推断变量之间的关系，以及确定数据中的潜在因素的统计方法。这一方法旨在将大量变量缩减为较少的维度，并发现潜在的（或不可观察的）因子。这些因子通常用于解释数据中的共变异。
在SPSS中，进行因子分析的主要步骤包括：数据准备、可行性检验、提取因子、旋转因子和解释因子。以下是这些步骤的详细说明：
-数据准备：确保数据的正确性和合适性。选择合适的变量，将不适合进行因子分析的变量进行筛选或删除缺失数据。
- 可行性检验：使用Kaiser-Meyer-Olkin（KMO）测度和Bartlett's球数检验来评估因子分析的适用性。若KMO值大于0.6且Bartlett's球数检验具有统计显著性，则可以进行因子分析。
-提取因子：使用主成分分析或最大似然法等方法，将数据转化为较少的维度。确定提取的因子数量和数据的维度。
- 旋转因子：使用方差旋转方法（如Varimax）或最大似然法等，使得因子与原始变量之间具有更好的解释性。 -解释因子：根据旋转后的因子载荷矩阵，解释因子的含义并建立因子模型。
2. 对应分析（Correspondence Analysis）：
对应分析是一种多变量数据分析方法，用于探索分析观察数据的关联性和差异性，特别是在分类数据分析中非常有用。这一方法可以绘制两个或多个变量之间的关系图，帮助研究者理解变量之间的关联模式和因素。
在SPSS中，进行对应分析的主要步骤包括：数据准备、计算表格、计算相关系数、计算标准化残差、选择模型和解释结果。以下是这些步骤的详细说明：
第九章 对应分析
§9.1 什么是对应分析及基本思想
对应分析又称为相应分析，于1970年由法国统计学家J.P.Beozecri提出来的。它是在R型和Q型因子分析基础上发展起来的一种多元统计方法。
由前一章我们知道应用因子分析的方法，可以用较少的几个公共因子去提取研究对象的绝大部分信息，即可减少因子的数目，又把握住了研究对象之间的相互关系。但是因子分析根据研究对象的不同又分为R型因子分析和Q型因子分析，即对指标（变量）作因子分析和对样品作因子分析是分开进行的，这样做往往会漏掉一些指标与样品之间有关的一些信息，另外在处理实际问题中，样品的个数远远地大于变量个数。比如有100个样品，每个样品测10项指标，要作Q型因子分析，就要计算（100×100）阶相似系数阵的特征根和特征向量，这对于一般小型计算机的容量和速度都是难以胜任的。
对应分析是将R型因子分析与Q型分子分析结合起来进行统计分析，它是从R型因子分析出发，而直接获得Q型因子分析的结果。克服了由样品容量大，作Q型分析所带来的计算上的困难。另外根据R型和Q型分析的内在联系，可将指标（变量）和样品同时反映到相同坐标轴（因子轴）的一张图形上，便于对问题的分析。比如在图形上邻近的一些样品则表示它们的关系密切归为一类，同样邻近的一些变量点则表示它们的关系密切归为一类，而且属地同一类型的样品点，可用邻近的变量点来表征。因此，对应分析，概括起来可提供如下三方面的信息即指标之间的关系，样品之间的关系，以及指标与样品之间的关系。
基本思想：由于R型因子分析和Q型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，因此它们之间一定存在内在的联系。对应分析就是通过一个过渡矩阵Z将二者有机地结合起来，具体地说，首先给出变量点的协差阵ZZA和样品点的协差阵ZZB，由于ZZ和ZZ有相同的非零特征根记为),min(0,21npmm，如果A的特征根i对应的特征向量为iU，则B的特征根i对应的特征向量就是iiVZU，根据这个结论（后面有证明）就可以很方便的借助R型因子分析而得到Q型因子分析的结果。因为求出A的特征根和特征向量后很容易地写出变量点协差阵对应的因子载荷阵，记为F。则
因子分析与样本选择
因子分析法是对原有变量进行浓缩，提取原有变量中的信息重叠部分，并将该部分综合成因子，从而减少变量的个数。首先对原有变量进行相关性研究，通过原有变量之间相关性的强弱来判别原始变量是否适合做因子分析，常用的方法有相关系数矩阵、反映像相关矩阵、巴特利特球度检验和KMO检验。其次运用主成分分析法根据样本求解因子载荷矩阵，得出各个变量由每个因子解释的程度，确定因子数并提取因子。再次通过因子旋转，找出因子主要解释的原有变量，对因子进行命名。最后根据因子得分计算出的综合评分对样本进行评价。
（二）样本的选择和指标的选取
以沪深两市15家公路经营上市公司为样本，利用2012年度的财务报表计算出具有代表性的13个财务指标来进行因子分析。这十三个指标分别为：X1-流动比率、X2-速动比率、X3-资产负债率、X4-产权比率、X5-应收账款周转率、X6-存货周转率、X7-总资产周转率、X8-主营业务利润率、X9-成本费用利润率、X10-资产报酬率、X11-主营业务收入增长率、X12-净利润增长率、X13-总资产增长率。本文通过这些指标所代表的偿债能力，营运能力，盈利能力和发展能力等四种能力来对企业的风险进行分析和评价。
