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高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识
讲解及考点梳理
【高考展望】
数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有
着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所
给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的
结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”
的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的
高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解
思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等
比数列求和，由nS求na等。
【知识升华】
1．分类讨论的常见情形
（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必
须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下
结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式
因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
（ 3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，
a＜0，a＞0解法是不同的.
（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的
位置关系等.
（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.
（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数
中考数学专题复习之六：数学的分类讨论思想
【中考题特点】：
分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。
【范例讲析】：
例1：当m是什么整数时，关于x的方程：x2－2(m+1)x+m2+2=0，与方程⑵：x2+(2m－3)x+m2－7=0的根都是整数？
例2：已知直线y=－x+8和双曲线)0(kxky。
⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？
⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小。
例3：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。
⑴求证：△ABD∽△DCE；
⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长。
A
B C D E 例4：已知平面直角坐标系内有两点A（－2，0）、B（4，0），点P在直线2521xy上，且△ABP为直角三角形。
⑴求点P坐标，并在图中直角坐标系内标出P点的位置；
⑵经过P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？
若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
例5：已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为－1a(a＞0〕
(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；
(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；
- 1 - 第3讲 分类讨论思想
1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
2．分类讨论的常见类型
（1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
（3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
（4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
（5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
（6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
3．分类讨论的原则
（1）不重不漏．
（2）标准要统一，层次要分明．
（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
4．解分类问题的步骤
（1）确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．
（2）对所讨论的对象进行合理的分类．
（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．
（4）归纳总结，将各类情况总结归纳.
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 （1）(2014·浙江)设函数f(x)＝ x2＋x，x<0，－x2，x≥0，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________． （2）在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________.
二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0
2.若a>0且a≠1，p＝loga(a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
