高考数学专题复习分类讨论思想方法教案

中考数学专题复习之六：数学的分类讨论思想

【中考题特点】：

分类讨论是一种重要的数学思想，也是各地近年来中考命题的热点，因此我们在解数学题时，一是要准确，二是要全面，要尽可能地对问题作出全面的解答，全面、深入、严谨、周密地思考问题，使解答没有纰漏。在解题时，根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，比如：①对字母的取值情况进行筛选，根据题意作出取舍；②在不同的数的范围内，对代数式表达为不同的形式；③对符合题意的图形，作出不同的形状、不同的位置关系等。在中考中，许多题目的解答都要求运用分类讨论的思想来解答。

【范例讲析】：

例1：当m是什么整数时，关于x的方程：x2－2(m+1)x+m2+2=0，与方程⑵：x2+(2m－3)x+m2－7=0的根都是整数？

例2：已知直线y=－x+8和双曲线)0(kxky。

⑴k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？

⑵设⑴中的两个交点为A、B，试比较∠AOB的度数与90°的大小。

例3：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B、C），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E。

⑴求证：△ABD∽△DCE；

⑵设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑶当△ADE为等腰三角形时，求AE的长。

A

B C D E 例4：已知平面直角坐标系内有两点A（－2，0）、B（4，0），点P在直线2521xy上，且△ABP为直角三角形。

⑴求点P坐标，并在图中直角坐标系内标出P点的位置；

⑵经过P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？

若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

例5：已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为－1a(a＞0〕

(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；

(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；

A y

x O B G F

F1

图4 高中数学复习专题讲座

分类讨论思想

【思想介绍】

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。它是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。

分类讨论的思想方法，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度。应用分类讨论的思想对问题求解， 首先要明确讨论对象，确定对象的全体；其次是确定分类标准，分层次，不重复，不遗漏，达到互斥、无漏、最简的原则；最后还要反思其过程，从中发现“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论；使解题思想得到进一步升华，使解题的途径更加合理简捷。

【考题展示】

1.（2010年山东卷理)

2.（2009年广东卷理10)若平面向量,ab满足||1ab，ab平行于x轴，

(2,1)b，则a ． 【答案】(1,1)a或(3,1)

3.（2008年广东卷理18) 设0b，椭圆方程为222212xybb，

抛物线方程为28()xyb．如图4所示，过点(02)Fb，作

x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线

在点G的切线经过椭圆的右焦点1F．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP△为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

1

2 1 专题三 5大数学思想方法

第一节 分类讨论思想

类型一 由概念内涵分类

(2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y1＝ax2－12x＋c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，34)，抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.

(1)求抛物线y2的表达式；

(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的表达式．

【分析】(1)应用待定系数法求表达式；

(2)设出点T坐标，表示出△TAC三边，进行分类讨论；

(3)设出点P坐标，表示出Q，R坐标及PQ，QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．

【自主解答】

1

2 2

此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．

1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( )

A．－8 B．8 C．±8 D．－18

类型二 由公式条件分类

(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

(1)概念理解：

如图1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由．

(2)问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A′BC，连1

二、分类讨论思想方法

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组：

1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。

A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0

2.若a>0且a≠1，p＝loga(a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。