中考数学射影定理实例解析
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中考数学射影定理实例解析
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB,BE平分∠ABC交CD于F,EH⊥CD于H，则下列
结论正确的结有（）：
①CD²=AD·BD;②AC²+BD²=BC²+AD²;③𝐵+𝐵
𝐵=1④若F为BE中点，则AD=3BD
A.1个B.2个C.3个D.4个
解：①∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴△ACD~△CBD,
即CD²=AD-DB,故①正确
②∵AC²-AD²=BC²-BD²=CD²∴AC²+BD²=BC²+AD²故②正确
③作EM⊥AB,则BD+EH=BM
∵BE平分∠ABC,ABCE=△BEM
∴BC=BM=BD+EH,所以𝐵+𝐵
𝐵=
1故③正确：
④若F为BE中点，则CF=EF=BF,
∴∠
BCD=∠
CBF=∠
DBF=30°,∠
A=30°
∴
AB=2BC=4BD∴AD=3BD。
答案：D
2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D,交⊙O于点C,在线段AB、
PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是()
A.AB，CDB.PA，PC
C.PA，ABD.PA，PB
解:A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定
理即可计算：
B、根据切割线定理即可计算；
C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射
影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径；
D、根据切线长定理，得PA=PB.相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长
答案：D3.如图，AB是半圆O的直径，点D是AB上任意一点(不与点A,B重合),作CD⊥AB与半圆交于
点C,设AD=a,BD=b,则下列选项正确的是()
A.𝐫
2>𝐵B.𝐫
2≥𝐵C.𝐫
2<𝐵D.𝐫
2≤𝐵
解：连接AC,BC,
∵AB为直径，AB=AD+BD=a+b.∴∠ACD=90°
∴∠A+∠B=90°
∵CD⊥AB,∴∠ACD=∠CDB
∴∠A+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠B.∴△ACD~△CBD
∴𝐵
𝐵=𝐵
𝐵即𝐵
=
𝐵∴CD=𝐵答案:B
4.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E,
过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC,给出下列结
论：①∠DAC=∠ABC:②AD=CB:③点P是ACQ的外心：④AC²=AE
·AB;
⑤CB||GD,其中正确的结论是()
A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④
解∵在⊙O中，点C是AD的中点，∴AC=CD
∴∠CAD=∠ABC,故①正确；
∵AC≠BD,∴AD≠BC.∴AD≠BC,故②错误
∵∠ACQ=90°,∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°
又·*CE⊥AB,∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°
∴∠ACE=∠ABC
又∵C为AD的中点，∴AC=CD∴∠CAP=∠ABC
∴∠ACE=∠CAP,∴AP=CP,∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠POC=90°
∴∠PCQ=∠POC,∴PC=PQ
∴AP=PQ,即P为Rt△
ACQ斜边AQ的中点
∴P为Rt△4CQ的外心，故③正确；
∵AB是OO的直径，∴∠ACB=90°,又∵CE⊥AB
∴根据射影定理，可得AC²=AE-AB,故④正确
如图，连接BD,则∠ADG=∠ABD
∵AC≠BD.∴AD≠BC,∴∠ABD≠∠BAC,∴∠ADG≠∠BAC
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC,∴∠ADG≠∠PQC
∴CB与GD
不平行，故⑤错误.
答案:D5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=8,AB=10,则AD等于()
A.4.4B.5.5C.6.4D.7.4
解：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴AC²=AD·AB
∴AD=8
·8
10=6.4答案:C
6.如图所示,在△ABC中，∠C=90°,D为BC边的中点，DE⊥AB于E,则AE²-BE²等于()
A.AC²B.BD²C.BC²D.DE²
解：作AB的中点F,连接DF,
则DF||ACDF=1
2AC
在RT△BDF中，又DE⊥AB,得△DEF~△BDF
∴𝐸
𝐸=𝐸
𝐸即EF
·BF=DF2
=1
4AC2
∴AE²-BE²=(AE+BE)
·(AE-BE)=AB
·2EF=4EF
·BF=AC²
答案：A
7.如图，在正方形ABCD内，以D点为圆心，AD长为半径的弧与以BC为直径的半圆交于
点P,延长CP、AP交AB、BC于点
M、N.若AB=2,则AP等于()
A.5
2
B.210
5
C.25
5D.10
5
解：如图，设点S为BC'的中点，连接DP,DS,DS与PC'交于点H,作PE⊥BC
于点
E,PF⊥
AB于点
F,∴DP=CD=2,PS=CS=1即DS是PC的中垂线
∴△DCS=△DPS
∴∠DPS=∠DCB=90°.
∴DS=DC²+CS
²=2²+1=5
由三角形的面积公式可得PC=45
5
∵BC为直径
∴∠
CPB=90°∴PB=B
C²
+PC²=25
5
∴PE=FB=𝐵
·𝐵𝐵=45
∴PF=BE=PB
²+PE²=2
5
∴AF=AB-FB=6
5
∴AP=
AF
²
+PF²=210
5答案：B
8.如图，点P是OO的直径BA延长线上一点，PC与OO相切于点C,CD⊥AB，垂足为D,连接
AC、BC、OC,那么下列结论：①PC²=PA·PB:②PC·OC=OP·CD③OA²=OD·OP;
④OA(CP-CD)=AP·CD,正确的结论有()个。
A.1B.2C.3D.4
解：①∵PC与OO相切于点C
∴∠
PCB=∠
A,ZP=ZP
∴
APBC~△
PCA
∴
PC²=PA-PB
②
*OC⊥
PC
∴PC·OC=OP·CD
③∵CD⊥AB,OC⊥PC
∴
OC²=OD·OP,
∵OA=OC;
∴
OA²=OD
·OP;
④∵1
2AP·CD=1
2OC·CP=1
2OA·CD,OA=CD
∴
OA(CP-CD)=AP·CD
所以正确的有①,②,③,④,共4个.
答案：D.
9.如图，MN为OO的直径，PM为OO的切线，PM=MN=4,点A在0O上，B⊥PA交AN于B.若B
为ON的中点，则AB的长为()
A.3
1717B.5
1717C.6
1717D.8
1717
解：如图，连接AM,PB,AN,
∵MN为OO的直径，
∴∠MAN=90°.
由题意得：PM=4,MB=3,BN=1,
∴
PB=𝐵²+𝐵²
=3²+4²=5
∵PM为
OO
的切线，
∴
PM⊥
MN,又∵∠MAN=90°
∴∠
PMA+∠
AMB=∠
ANM+∠
AMB
∴∠
PMA=ZANM
∵∠MAN=90°,AB⊥PA
∴∠
MAP+∠
MAB=∠
ANB+ZBAN
∴∠
MAP=∠
NAB
∴△
PAM~△
ABN
∴AB
AP=BN
MP
设AB=a,则a
AP=1
4
∴
AP=4a
在
Rt△PBA中，
PA²+AB²=PB²
∴(4a)²+a²=25
∴解得：a=517
17
(舍负),即AB=517
17
答案:B
10.如图四边形.ABCD中，AD=DC.∠DAB=∠ACB=90°,D过点D作DF⊥AC,垂足为F,DF与AB相
交于E.设AB=15,BC=9,P是射线DF上的动点.当△BCP的周长最小时，DP的长为()
A.12B.12.5C.13D.13.5
解：∵∠ACB=90°,AB=15,BC=9
AC=AB²−
BC²=15²−9²=12
∵
AD=DC,DF⊥
AC,∴AF=CF=1
2AC=6
∴点C关于DE的对称点是4,故E点与P点重合时ABCP的周长最小
∴DP=DE
∵DE⊥AC,BC⊥AC∴DE||BC,∴△AEF∽△ABC
∴𝐸
𝐵=𝐵
𝐵即6
12=𝐵
15
∵
DE||BC∴∠AED=∠ABC
∵∠DAB=∠ACB=90°∴RT△AED~RT△CBA
∴𝐵
𝐵=𝐵
𝐵解得DE=
25
2=12.5
答案：B..
