2011数值分析试题及答案

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总分 一 二 三 四 五

班 级

学 号

姓 名

…………○…………密…………○…………封…………○………线…………………… 东 北 大 学 研 究 生 院 考 试 试 卷

2011 —2012 学年第 一 学期

课程名称： 数值分析 (共3页)

一、解答下列各题：（每题5分，共30分）

1.设近似值x具有5位有效数字，则x的相对误差限为多少？

解：记maax10....021*，则x的相对误差为：

mmaaxxx10....0105.0*215*45105.01.0105.0

即，相对误差限为：4105.0.

2.问ba,满足什么条件时，矩阵5052024baA有分解式TGGA，并求2ba时的分解式（其中G是对角线元素大于零的下三角形矩阵）.

解：由于5052024baA/452/02/21012abba（A对称正定时）

所以，当5252ba时有分解式TGGA，2ba时有：

520252024A210021002200120012

3.解线性方程组392222121xxxx的Jacobi迭代法是否收敛，为什么？

解：Jacobi迭代矩阵为：09/220B,所以，13/2)(B

所以，Jacobi迭代法是否收敛. 4.对方程0)()(23axxf建立Newton迭代格式，并说明此迭代格式是否收敛？若收敛，收敛阶是多少？

解：Newton迭代格式为：

2316)()(kkkkkkkxaxxxfxfxx，,...2,1,0,66521kxaxxkkk

由于迭代函数为：2665)(xaxx，方程根为：3a，所以，

121365)(3a，且021)(

所以，此迭代格式收敛，收敛阶是1.

5.设534)(3xxxf，求差商]4,3,2,1[],1,0[ff和]5,4,3,2,1[f。

解：7)5(20101]1,0[）（）（fff

4]4,3,2,1[f，0]5,4,3,2,1[f

6.设)(2xp是区间]1,0[上权函数为x的二次正交多项式，计算积分1022)(dxxpx.

解：1022)(dxxpx102)(dxxpxx0)](,[2xpx

2

…………○…………密…………○…………封…………○………线…………………… 二、解答下列各题：（每题8分，共48分）

1.用Gauss-Saidel迭代法求解方程组124.012.03.03132321xxxxxxx，如果取初值Tx)0,0,0(0,试估计迭代10步的误差*10xx.

解：由于Gauss-Saidel迭代矩阵为：

0004.0002.03.00101010001)(11ULDG2.03.004.0002.03.00

所以，5.0G,

由于Gauss-Saidel迭代格式为：124.012.03.0)1(1)1(3)(3)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkxxxxxxx，所以，

Tx)2,2,1()1(，2)0()1(xx，于是

)0()1(10*101xxGGxx00390625.025612125.05.0810

2．给定离散数据

xi －1 0 1 2

yi 2 －1 1 3

试求形如2bxay的拟合曲线。

解：由于210)(,1)(xxx，所以TT)4,1,0,1(,)1,1,1,1(10,

Tf)3,1,1,2(，所以，正则方程组为：15186564baba，

所以，6/5,0ba，拟合曲线为：26/5xy

3.求满足条件0)1(,0)2(,2)1(,1)0(ffff的三次插值多项式)(3xH的表达式。

解：设))(2()(23cbxaxxxH，则有： 12c，2cba，0ca，解得：1,2/1bca，

所以，)23(21)12)(2(21)(323xxxxxxH。

4．确定求积公式)1()0()1(21)(2111fAfAfdxxf中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式.

解：令公式对xxf,1)(都精确成立，得：2/1,2/3221AAA,

所以，2/1,121AA时，公式)1(21)0()1(21)(11fffdxxf代数精度最高.

又由于公式对2)(xxf不能精确成立，所以，代数精度为1，不是插值型求积公式。

5.利用复化Simpson公式2S计算定积分0sinxdxI的近似值，并估计误差。

解：00456.2)221(6]43sin44sin42sin2sin0[sin122SI

由于xxfsin)(的4阶导数在],0[上的最大值为：14M,所以

误差为：445222880||MSI＝0.006641

6．求解初值问题1)0(20,)2sin(yxyxy的改进Euler方法是否收敛？为什么？

解：由于|)2sin()2sin(|yxyx|))(2(cos2|yyx||2yy

即，函数)2sin(),(yxyxf连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改进Euler方法收敛。 3

…………○…………密…………○…………封…………○………线…………………… 三、（9分）说明方程02sin2xx在区间]2,21[内有唯一根，并建立一个

收敛的迭代格式，使对任意初值]2,21[0x都收敛，说明收敛理由和收敛阶。

解：记2sin2)(xxxf，则]2,21[)(Cxf,且0)2(,0)21(ff，而且，

0cos2)(xxf，所以，方程02sin2xx在区间]2,21[内有唯一根。

建立迭代格式：,...2,1,0,1sin211kxxkk

由于，迭代函数1sin21)xx（在区间]2,21[上满足条件：

223)(121x，121|cos21||)(|xx

所以，此迭代格式对任意初值]2,21[0x都收敛。

又由于，0cos21)(，所以，此迭代格式1阶收敛。

四、（9分）已知求解常微分方程初值问题：],[,)(),(baxayyxfy的差分公式：

01)),(2,2(yyxfhyhxhfyynnnnnn

求此差分公式的阶。

解：由于

)()2(8)(24222222321hOfyffyxfxfhfyfxfhhfyynnnnnnnnn

)()((6)(2)()()(4321hOxyhxyhxyhxyxynnnnn

)()(6)(2432hOxyhfyfxfhhfynnnnnn

所以，)()(311hOyxynn

所以，此差分公式是2阶方法。 五、（4分）设矩阵M是n阶方阵，M有一个绝对值小于1的特征值，且方程组gMxx有唯一解*x，证明：存在初始向量)0(x使迭代格式：,...2,1,0,)()1(kgMxxkk产生的序列}{)(kx收敛到*x.

解：由gMxxkk)()1(和gMxx**可得：

,...2,1,0,)(*)(*)1(kxxMxxkk

递推的：)(*)0(*)(xxMxxkk

设y是矩阵M属于特征值的特征向量，取*)0(xyx，则有：

yyMxxkkk*)(，于是有：yxxkk*)(

所以，0lim*)(xxkk，即序列}{)(kx收敛到*x.