数值分析试题及答案汇总

数值分析试题

一、 填空题2 0×2′

1.

32,1223XA设x=是精确值x=的近似值,则x有 2 位有效数字;

2. 若fx=x7－x3＋1,则f20,21,22,23,24,25,26,27= 1 , f20,21,22,23,24,25,26,27,28=

0 ;

3. 设,‖A‖∞＝___5 ____,‖X‖∞＝__ 3_____,

‖AX‖∞≤_15_ __;

4. 非线性方程fx=0的迭代函数x=x在有解区间满足 |’x| <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的;

5. 区间a,b上的三次样条插值函数Sx在a,b上具有直到 2 阶的连续导数;

6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的

后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 ;

7. 拉格朗日插值公式中fxi的系数aix的特点是：niixa0)( 1 ；所以当系数aix满足 aix>1 ,计算时不会放大fxi的误差;

8. 要使20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字;

9. 对任意初始向量X0及任意向量g,线性方程组的迭代公式xk+1=Bxk+gk=0,1,…收敛于方程组的精确解x的充分必要条件是 B<1 ;

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 ;

x 0 1 2

y=fx -2 -1 2

11. 牛顿下山法的下山条件为 |fxn+1|<|fxn| ;

12.

线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri i=0,1,…,n来实现的,其中的残差ri＝ bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn/aii ,i=0,1,…,n;

13. 在非线性方程fx=0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且fx的二阶导数不变号,则初始点x0的选取依据为 fx0f”x0>0 ;

14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算;

二、判断题10×1′

1、 若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解; ×

2、 解非线性方程fx=0的牛顿迭代法在单根x附近是平方收敛的;

3、 若A为n阶方阵,且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛; ×

4、 样条插值一种分段插值;

5、 如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的;

6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差;

7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b; ×

8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差; ×

9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差;

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差; ×

三、计算题5×10′

1、用列主元高斯消元法解线性方程组;

解答：

1,5,2最大元5在第二行,交换第一与第二行：

L21=1/5=,l31=2/5= 方程化为：

,最大元在第三行,交换第二与第三行：

L32==,方程化为：

回代得：00010.1 99999.500005.3321xxx

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4x,并写出其截断误差的表达式设fx在插值区间上具有直到五阶连续导数;

xi 0 1 2

fxi 1 -1 3

f ’xi 1 5

解答：

做差商表

xi Fxi Fxi,xi+1 F++2 Fxi,xi+1,xi+2,xi+3 Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4

0 1

1 -1 -2

1 -1 1 3

2 3 4 3 0

2 3 5 1 -2 -1

P4x=1-2x-3xx-1-xx-1x-1x-2

R4x=f5/5xx-1x-1x-2x-2

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式,并简单说明收敛的理由;

解答：

交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优：

雅克比迭代公式：

计算机数学基础2数值分析试题

一、单项选择题每小题3分,共15分

1. 已知准确值x与其有t位有效数字的近似值x＝…an×10sa10的绝对误差x－x ．

A ×10 s－1－t B ×10 s－t C ×10s＋1－t D ×10 s＋t

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为 ．

A

2100121001210012, B2100141101410125 65 8 4 3 3 1 2431432321421xxxxxxxxxxxx C

2100141212410125 D

5131141201411124

3. 过0,1,2,4,3,1点的分段线性插值函数Px=

A

3210320123xxxx B

32103201232xxxx

C

3210320123xxxx D

32420123xxxx

4. 等距二点的求导公式是

A

)(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf B

)(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf

C

)(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf D

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是

那么yp,yc分别为 ．

A

),(),(1kkkckkkpyxhfyyyxhfyy B ),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy

C ),(),(pkkckkkpyxfyyyxfyy D ),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy

二、填空题每小题3分,共15分

6. 设近似值x1,x2满足x1=,x2=,那么x1x2= ．

7. 三次样条函数Sx满足：Sx在区间a,b内二阶连续可导,Sxk=yk已知,k=0,1,2,…,n,且满足Sx在每个子区间xk,xk+1上是 ．

8. 牛顿－科茨求积公式nkkkbaxfAxxf0)(d)(,则nkkA0＝ .

9. 解方程fx=0的简单迭代法的迭代函数x满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是

预报值：),(1kkkkyxhfyy,校正值：yk+1= ．

三、计算题每小题15分,共60分 11. 用简单迭代法求线性方程组

的X3．取初始值0,0,0T,计算过程保留4位小数．

12. 已知函数值f0=6,f1=10,f3=46,f4=82,f6=212,求函数的四阶均差f0,1,3,4,6和二阶均差f4,1,3．

13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分312d1xx,计算过程保留4位小数．

14. 用牛顿法求115的近似值,取x=10或11为初始值,计算过程保留4位小数．

四、证明题本题10分

15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a=x0

yxk+1yk+1=yk+2hfxk,yk+fxk+1,yk+1

其中h=xk+1－xkk=0,1,2,…n－1

计算机数学基础2数值分析试题答案

一、单项选择题每小题3分,共15分

1. A 2. B 3. A 4. B 5. D

二、填空题每小题3分,共15分

6. x2+x1 7. 3次多项式

8. b－a 9. xr<1 10. yk+)],(),([211kkkkyxfyxfhhfxk＋1, 1ky ．

三、计算题每小题15分,共60分

11. 写出迭代格式

X0=0,0,0T.

得到X1＝,3,3T

得到X2=, 7, 0T

得到X3= 4, 6, 6T.

12.

计算均差列给出．

fxk 一阶均差 二阶均差

三阶均差 四阶均差

0 6

1 10 4

3 46 18 14/3

4 82 36 6 1/3

6 212 65 29/3 11/15

1/15

f0,1,3,4,6=151

f4, 1, 3=6

13. fx=21x,h=25.082．分点x0=,x1=,x2=,x3=,x4=,x5=,x6=,x7=,x8=.

函数值：f= 2,f= 8,f= 8,f= 6,f= 1,f= 2,f= 6,f= 2,f= 3．

))]()()()()()()((27654321xfxfxfxfxfxfxf 9分