数值分析试题及答案

数值分析试题

一、 填空题（2 0×2′）

1.

32,1223XA设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2

位有效数字。

2. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，

f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A‖∞＝___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，

‖AX‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足 |’(x)| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：niixa0)( 1 ；所以当系数ai(x)满足 ai(x)>1

，计算时不会放大f(xi)的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是

(B)<1

。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5

y=f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差ri＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii

，(i=0,1,…,n)。

13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为

f(x0)f”(x0)>0 。

14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。

二、判断题（10×1′）

1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × )

2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

(  )

3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

( × )

4、 样条插值一种分段插值。

(  )

5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

(  )

6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。

(  )

7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。

( × )

8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。

( × )

9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。

(  ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

( × )

三、计算题（5×10′）

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

解答：

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：

L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：

（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：

L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：

回代得：00010.1 99999.500005.3321xxx

2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

xi 0 1 2

f(xi) 1 -1 3

f ’(xi) 1 5

解答：

做差商表

xi F(xi) F[xi,xi+1] F[xi.xi+1.xi+2] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4]

0 1

1 -1 -2

1 -1 1 3

2 3 4 3 0

2 3 5 1 -2 -1 P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)

R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

雅克比迭代公式：

《计算机数学基础(2)》数值分析试题

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. 已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2…an×10s(a10)的绝对误差x*－x( )．

(A) 0.5×10 s－1－t (B) 0.5×10 s－t (C) 0.5×10s＋1－t (D) 0.5×10 s＋t

2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．

(A)

2100121001210012， (B)2100141101410125

(C)

2100141212410125 (D)

5131141201411124

3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=( )

(A)

3210320123xxxx (B)

32103201232xxxx

(C)

3210320123xxxx (D)

32420123xxxx

4. 等距二点的求导公式是( )

(A)

)(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf (B)

)(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf 65 8 4 3 3 1 2431432321421xxxxxxxxxxxx (C)

)(1)()(1)(111kkkkkkyyhxfyyhxf (D)

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是

那么yp,yc分别为( )．

(A)

),(),(1kkkckkkpyxhfyyyxhfyy (B) ),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy

(C) ),(),(pkkckkkpyxfyyyxfyy (D) ),(),(1pkkckkkpyxhfyyyxhfyy

二、填空题(每小题3分，共15分)

6. 设近似值x1,x2满足(x1)=0.05，(x2)=0.005，那么(x1x2)= ．

7. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是 ．

8. 牛顿－科茨求积公式nkkkbaxfAxxf0)(d)(，则nkkA0＝ .

9. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是

预报值：),(1kkkkyxhfyy，校正值：yk+1= ．

三、计算题(每小题15分，共60分)

11. 用简单迭代法求线性方程组

的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．

12. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)．

13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分312d1xx，计算过程保留4位小数．

14. 用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．

四、证明题(本题10分)

15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a=x0

y(xk+1)yk+1=yk+2h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]

其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,…n－1)

《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. A 2. B 3. A 4. B 5. D

二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 0.05x2+0.005x1 7. 3次多项式

8. b－a 9. (x)r<1 10. yk+)],(),([211kkkkyxfyxfhhf(xk＋1, 1ky) ．