平面向量平行的坐标表示教案

1 2-4平面向量的坐标

一、教学目标：

1.知识与技能

⑴平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算.

⑵理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.

2.过程与方法

通过探索平面向量共线的坐标形式，灵活运用公式解决一些问题。

3.情感态度价值观

通过本节的学习，了解相关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力。

二.教学重、难点

重点: 平面向量的坐标运算.

难点: 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

三.学法与教学用具

自主性学习+探究式学习法

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【复习引入】

1．平面向量的基本定理：1212aee；

2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)xy表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？

【新课讲解】

【知识点1】向量的坐标表示的定义

分别选取与x轴、y轴方向相同的单位向量i，j作为基底，对于任一向量a，axiyj，（,xyR），实数对(,)xy叫向量a的坐标，

记作(,)axy．

其中x叫向量a在x轴上的坐标，y叫向量a在y轴上的坐标。

说明：⑴对于a，有且仅有一对实数(,)xy与之对应；

⑵(1,0)i，(0,1)j，0(0,0)；

⑶只有从原点引出的向量OA的坐标(,)xy才是点A的坐标；不是从原点引出的向量CB的坐标(,)xy，就不是终点C的坐标

⑷要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，若3,5A，6,8B，则3,3AB；若C5,3，D2,6，则3,3CD。这里ABCD，显然,,,ABCD四点坐标各不相同。

第2课时 空间中直线、平面的平行

学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．

知识点一 线线平行的向量表示

设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则

l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.

知识点二 线面平行的向量表示

设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则

l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.

知识点三 面面平行的向量表示

设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则

α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .

思考 怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？

答案 证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路

(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定．

1．已知直线l的方向向量为a＝(－1,2,0)，平面α的法向量为n＝(2,1，－1)，则( )

A．l⊥α B．l∥α

C．l⊂α D．l∥α或l⊂α

答案 D

2．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n＝－2，1，12，则平面β的法向量可以是( )

A.－1，12，14 B．(2，－1,0)

C．(1,2,0) D.12，1，2

答案 A

3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，则平面α，β的位置是________．

答案 α∥β

解析 ∵u＝－14v，∴α∥β.

一、证明线线平行

例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS.

证明 方法一 如图所示，建立空间直角坐标系，

根据题意得M3，0，43，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S0，4，23.

则MN→，RS→分别为MN，RS的方向向量，

课题：§5.4平面向量的坐标运算

（第一课时）

教材分析与教法设计

教

学

目

标

知

识

目

标

1、理解平面向量的坐标概念

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.

2、掌握平面向量的坐标运算

（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；

（2）能熟练进行向量的坐标运算；

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.

能

力

要

求

1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；

2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；

3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.

情

感

态

度

设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.

重点 平面向量的坐标运算.

难点 理解向量坐标的意义.

方法 引导发现、合作探究.

教具 多媒体课件、实物投影仪、三角尺.

教学过程

环节 具体内容及形式 双边活动 设计意图

复

习

回

顾

判

断

题

1、单位向量都相等； （ 假 ）

2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ）

通过提问的方式让学生对命题作出判断；

教师从学生活动出发，进行

评价、拓展，为

新课的讲解作铺垫. 复习回顾: 复习向量定义，引出x

轴y轴正方向上的单位向量i和j.

3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 .

（ 真 ） 通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.

创

设

问

题

情

境

通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.

平面向量的坐标及其运算

【教学重难点】 【教学目标】 【核心素养】

向量的正交分解 了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示 数学抽象

平面向量的坐标 理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则 数学抽象、数学运算

两种坐标的区别 掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系 数学抽象

向量共线 能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法 逻辑推理、数学建模

【教学过程】

一、基础铺垫

1．平面向量的坐标

平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．

如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．

方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量OA→对应的坐标也为(x，y)，即OA→＝(x，y)；反之结论也成立．

2．平面上向量的运算与坐标的关系

设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．

设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．

如果向量a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．

■名师点拨 （1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

（2）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．

3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式