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教案平面向量的坐标表示

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希望能帮到您 【教学过程】

*揭示课题

7.3.1 平面向量的坐标表示

*情境导入

【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，OA为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7－17)．则

图7－17

2OMi，3ONj．

由平行四边形法则知 23OAOMONij．

【说明】可以看到，从原点出发的向量，其i，j前面的系数与向量终点的坐标是一一对应的．

*引入新知

在直角坐标系xOy中，设i, j分别为x轴、y轴的单位向量，x轴上的向量用xi表示，y轴上的向量用yj表示，x，y分别指终点在数轴上的坐标。设点(,)Mxy，则i+jOMxy（如图7－18(1)）；

我们就把任意一向量a起点移至原点O，终点为M点，即a=xi+yi，这个式子称作向量a的坐标表示，xi叫做向量a在x轴上的分向量，yi叫做向量a在y轴上的分向量。把有序实数对（x,y）称作向量a在直角坐标系中的坐标，记作O x i j M(x,y) y 精选文档

希望能帮到您 (,)xya．

如图7－17所示，向量的坐标为(2,3)OA．

向量a=xi+yi的模22axy

例如0=0i+0j=（0，0） i=i+0j=(1,0) ,j=0i+j=(0,1),他们的模分别为0,1,1

*例题讲解

例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示向量a、b, 并写出它们的坐标．

例2 写出下列向量的坐标表示

（1）53ai-j （2）5bi （3）cj

例3 如下图，写出向量a,b,c,d,e的坐标，并求他们的模

*练习强化

1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA的坐标，并用i与j的线性组合表示向量图7－19

x y 精选文档

希望能帮到您 OA．

2． 设向量34aij,写出向量a的坐标．

3. 已知向量(3,4),(5,2),a=bab求，

*揭示课题

7.3.2 平面向量的直角坐标运算

*情境导入

（1）(5,3)OA,(3,0)OP,(8,3)OMOAOP．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．

（2）设点1122(,)(,)AxyBxy，（如图7－18(2)），则

22112121()()()()i+ji+jijABOBOAxyxyxxyy．

*引入新知

设平面直角坐标系中，11(,)xya，22(,)xyb，则

1122()()xyxyabijijj

i B A

O y

x 图7－20 精选文档

希望能帮到您 1212()()xxyyij．

所以 1212(,)xxyyab． （7．6）

类似可以得到 1212(,)xxyyab． （7．7）

11(,)xya． （7．8）

*例题讲解

例1 设a＝(1,−2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：

(1) a＋b ， (2) −3 a， (3) 3 a −2 b ．

*练习强化

已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a −b、−2 a＋3 b的坐标．

（1） a＝(−2,3)， b＝(1,1)；

（2） a＝(1,0)， b＝(−4, −3)；

（3）a＝(−1,2)， b＝(3,0)．

*归纳小结

向量坐标的概念？任意起点的向量的坐标表示？向量的坐标运算如何表示？

结论：

一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意向量a都有唯一一对实数x、y，使得xyaij．有序实数对(,)xy叫做向量a的坐标，记作 (,)xya．

向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.

11(,)xya，22(,)xyb1212(,)xxyyab

1212(,)xxyyab

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《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业

《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业

《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案

【教材分析】

平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.

2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现

向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.

数学学科素养

1.数学抽象：数量积的坐标运算；

2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；

3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；

4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；

5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.

【教学重点和难点】

重点：平面向量数量积的坐标表示；

难点：向量数量积的坐标表示的应用.

【教学过程】

一、情景导入

前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义,

向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本34-35页，思考并完成以下问题

1、平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、两向量的数量积与两向量垂直的公式

（1）已知两个非零向量a=(x1,x2), b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？

a·b =x1x2+y1y2

平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)

平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

【教学目标】

1、知识与技能

理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。

2、过程与方法

在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。

3、情感、态度与价值观

让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。

【教学重点】

平面向量的坐标运算。

【教学难点】

理解向量坐标化的意义。

【教学过程】

〖创设情境 导入新课〗

【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受到

斜面的力1F的作用，沿斜面下滑；

一是木块产生 斜面的压力2F，也就是说，重力G的效果等价于1F和2F的 力的效果，即：12GFF,12GFF叫做把重力G 。

类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量11e和22e，使1122aee。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x轴和y轴上分别取两个 向量i和j，则ij，且,ij可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a在基底,ij下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对,xy来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算

平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

1．平面向量的正交分解

把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．正交分解是向量分解中常见的

一种情形．

2．平面向量的坐标表示

(1)向量的直角坐标

如图在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．

(2)向量的坐标表示

在向量a的直角坐标中，显然有x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．

(3)在向量的直角坐标中，显然有i＝(1,0)，j＝(0,1)，0 ＝(0,0)．

温馨提示：在平面直角坐标系中，平面内的点，以原点为起点的向量，有序实数对三者之间建立一一对应关系，关系图如图所示：

3．平面向量的坐标运算

1. 向量的坐标表示

例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，求向量OA→的坐标．

2. 向量的坐标运算

例2 已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb.试求实数p，q的值．

1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．

2.已知A(2，－4)，B(－1,3)，C(3,4)，若CM→＝2CA→＋3CB→，求点M的坐标．

3.已知A(3,2)、B(5,4)、C(6,7)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标．

4．已知A(3,1)，B(2，－1)，则BA→的坐标是( )．

A．(－2，－1) B．(2,1) C．(1,2) D．(－1，－2)

5．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是( )．

A．(5,3) B．(4,3) C．(8,3) D．(0，－1)

【公开课教案】：平面向量的坐标运算

【公开课教案】：平面向量的坐标运算

课题：§5.4平面向量的坐标运算

（第一课时）

教材分析与教法设计

教

学

目

标

知

识

目

标

1、理解平面向量的坐标概念

（1）在巩固平面向量基本定理的基础上理解平面向量的坐标概念；

（2）会写出平面直角坐标系内给定向量的坐标.

2、掌握平面向量的坐标运算

（1）能正确理解向量加、减法的坐标运算法则；

（2）能熟练进行向量的坐标运算；

（3）掌握向量坐标与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标之间的关系.

能

力

要

求

1、通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；

2、通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；

3、借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力.

情

感

态

度

设置问题情境让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，体会客观世界中事物与事物之间普遍联系的辩证唯物观主义观点.

重点 平面向量的坐标运算.

难点 理解向量坐标的意义.

方法 引导发现、合作探究.

教具 多媒体课件、实物投影仪、三角尺.

教学过程

环节 具体内容及形式 双边活动 设计意图

复

习

回

顾

判

断

题

1、单位向量都相等； （ 假 ）

2、坐标平面上的x轴和y轴都是向量. （ 假 ）

通过提问的方式让学生对命题作出判断；

教师从学生活动出发，进行

评价、拓展，为

新课的讲解作铺垫. 复习回顾: 复习向量定义，引出x

轴y轴正方向上的单位向量i和j.

3、如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数x,y，使a = x e1 + y e2 .

（ 真 ） 通过第3小题复习平面向量基本定理, 为下一步将基底特殊化引出新课做准备.

创

设

问

题

情

境

通过学生熟知的足球运动来创设问题情境，引入新课，并且建立数学与其它学科的联系.