(完整版)中考专题复习全等三角形(含答案)

- 1 - 中考专题复习全等三角形

知识点总结

一、全等图形、全等三角形：

1.全等图形：能够完全 的两个图形就是全等图形。

2.全等图形的性质：全等多边形的 、 分别相等。

3.全等三角形： 三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。

这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。

二、全等三角形的判定：

1.一般三角形全等的判定

（1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“ ” ）。

（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“ ”)。

（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ ”)。

（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“ ”)。

2.直角三角形全等的判定

利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等．

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“ ”)．

注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。

3.性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)

三、角平分线的性质及判定：

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：

1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、 高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；

2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

- 2 - 全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，,,,AFEB四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：ACFBDE。

例2. 如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

例3. 如图，在ABC中，ABBC，90ABC。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接,AEEF和CF。求证：AECF。

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

- 3 - 例5. 如图，,APCP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。

求证：BP为MBN的平分线。

例6. 如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：2ACAE。

例7. 如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

- 4 - 同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等

C. 两锐角对应相等 D. 斜边相等

2. 根据下列条件，能画出唯一ABC的是( )

A. 3AB，4BC，8CA B. 4AB，3BC，30A

C. 60C，45B，4AB D. 90C，6AB

3. 如图，已知12，ACAD，增加下列条件：①ABAE；②BCED；③CD；④BE。其中能使ABCAED的条件有( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

4. 如图，12，CD，,ACBD交于E点，下列不正确的是( )

A. DAECBE B. CEDE

C. DEA不全等于CBE D. EAB是等腰三角形

5. 如图，已知ABCD，BCAD，23B，则D等于( )

A. 67 B. 46 C. 23 D. 无法确定

二、填空题：

6. 如图，在ABC中，90C，ABC的平分线BD交AC于点D，且:2:3CDAD，10ACcm，则点D到AB的距离等于__________cm；

7. 如图，已知ABDC，ADBC，,EF是BD上的两点，且BEDF，若100AEB，30ADB，则BCF____________；

- 5 - 8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BCBD为折痕，则CBD的大小为_________；

9. 如图，在等腰RtABC中，90C，ACBC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，若10AB，则BDE的周长等于____________；

10. 如图，点,,,DEFB在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AECF，若10BD，2BF，则EF___________；

三、解答题：

11. 如图，ABC为等边三角形，点,MN分别在,BCAC上，且BMCN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。

- 6 - 12. 如图，90ACB，ACBC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BFCE。

- 7 - 答案

例1. 思路分析：从结论ACFBDE入手，全等条件只有ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。

由条件ACCE，BDDF可得90ACEBDF，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。

解答过程：ACCE，BDDF

90ACEBDF

在RtACE与RtBDF中

AEBFACBD

∴RtACERtBDF(HL)

AB

AEBF

AEEFBFEF，即AFBE

在ACF与BDE中

AFBEABACBD

ACFBDE(SAS)

解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

例2. 思路分析：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

解答过程：延长AD交BC于F

在ABD与FBD中

90ABDFBDBDBDADBFDB ABDFBD(ASA 2DFB

又1DFBC 21C。

- 8 - 解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：90ABC，F为AB延长线上一点

90ABCCBF

在ABE与CBF中

ABBCABCCBFBEBF

ABECBF(SAS)

AECF。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC

AB//CD，AD//BC

12，34

在ABC与CDA中

1243ACCA

ABCCDA(ASA)

ABCD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到,BMBN的距