《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案(二)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.

知识点一 两角和与差的正切公式

思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？

答案 tan(α＋β)＝sinα＋βcosα＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，

分子分母同除以cos αcos β，便可得到.

思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？

答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到.

梳理

名称 简记符号 公式 使用条件

两角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β α，β，α＋β均不等于kπ＋π2(k∈Z)

两角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtanβ α，β，α－β均不等于kπ＋π2(k∈Z)

知识点二 两角和与差的正切公式的变形

(1)T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β).

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β).

tan αtan β＝1－tan α＋tan βtanα＋β.

(2)T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β).

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β).

tan αtan β＝tan α－tan βtanα－β－1.

类型一 正切公式的正用

例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .

答案 3

解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]

＝tanα＋β－tan α1＋tanα＋βtan α

＝17－－21＋17×－2＝3.

(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝ .

答案 π4

解析 因为tan α＝12，tan β＝13，

所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.

因为α，β均为锐角，

所以α＋β∈(0，π)，

所以α＋β＝π4.

反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角.

(2)利用公式T(α＋β)求角的步骤：

①计算待求角的正切值.

②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.

③根据角的范围及三角函数值确定角.

跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝ .

答案 －43 解析 由题意，得cosθ＋π4＝45，∴tanθ＋π4＝34.∴tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－1tanθ＋π4

＝－43.

类型二 正切公式的逆用

例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ；

(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝

.

答案 (1)3 (2)－1

解析 (1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)

＝tan 60°＝3.

(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°

＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.

反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.

跟踪训练2 求下列各式的值：

(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°.

解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°

＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33.

(2)原式＝1tan27°＋33°＝1tan 60°＝33.

类型三 正切公式的变形使用

例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；

(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值.

解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°

＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3.

方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，

∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，

∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，

∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝3.

(2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)

＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，

∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，

∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3.

又∵α，β均为锐角，∴0°

∴α＋β＝60°.

反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式：

①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtanα±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.

跟踪训练3 在△ABC中，A＋B≠π2，且tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B，则角C的值为( )

A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4

答案 A

解析 ∵tan A＋tan B＋3＝3tan Atan B⇔tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝3(tan Atan B－1).①

若1－tan Atan B＝0，

则cos Acos B－sin Asin B＝0，即cos(A＋B)＝0.

∵0

又∵0

1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )

A.13 B.－13 C.3 D.－3

答案 A

解析 tan(α－β)＝tan

α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.

2.已知cos α＝－45，且α∈π2，π，则tanπ4－α等于( )

A.－17

B.－7 C.17

D.7

答案 D

解析 由cos α＝－45，且α∈π2，π，得sin α＝35，

所以tan α＝sin αcos α＝－34，

所以tanπ4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－－341－34＝7.

故选D.

3.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )

A.1 B.2 C.－2 D.不确定

答案 B

解析 (1＋tan A)(1＋tan B)

＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B

＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B

＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan

B＝2.

4.已知A，B都是锐角，且tan A＝13，sin B＝55，则A＋B＝ . 答案

π4

解析

∵B为锐角，sin

B＝55，∴cos B＝255，

∴tan B＝12，

∴tan(A＋B)＝tan A＋tan B1－tan Atan B＝13＋121－13×12＝1.

又∵0

5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝

.

答案 43

解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.

∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，

故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tan α1＋tanβ－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43.

1.公式T(α±β)的结构特征和符号规律

(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.

(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.

2.应用公式T(α±β)时要注意的问题

(1)公式的适用范围

由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z).

(2)公式的逆用

一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等. 特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.

(3)公式的变形应用

只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.

特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.

课时作业

一、选择题

1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )

A.17 B.16

C.57 D.56

答案 A

解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tan α1＋tanα＋βtan α

＝12－131＋12×13＝17.

2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( )

A.2 B.23

C.3 D.0

答案 C

解析 ∵tan(23°＋97°)＝tan 23°＋tan 97°1－tan 23°tan 97°

＝tan 120°＝－3，

∴tan 23°＋tan 97°＝－3＋3tan 23°tan 97°，

∴原式＝3tan 23°tan 97°－(－3＋3tan 23°tan 97°)

＝3.

3.已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4的值为( )