长治市第二中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题及答案

2022—2023学年第一学期高二第一次月考数学试题

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线𝑥=𝑡𝑎𝑛30°的倾斜角是

A．90° B．30° C．60° D．不存在

2．直线2𝑥+3𝑦−1=0的一个方向向量是(1,𝑎)，则𝑎的值为

A．23

B．−23 C．32 D．−32

3．直线𝑙:𝑎𝑥+𝑦−2𝑎+1=0必过定点

A．(2,−1) B．(1,2) C．(2,1) D．(−1,2)

4．直线𝑙:𝑥+𝑦+1=0被圆𝐶:𝑥2+(𝑦−1)2=4截得的弦长为

A．4 B．2√3 C．2√2 D．2

5．若空间四点𝐴(0,0,1)，𝐵(1,0,0)，𝐶(1,1,0)，𝐷(𝑥,1,2)共面，则𝑥的值为

A．−2 B．2 C．1 D．−1

6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中（如图），AB⊥平面𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，且𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷，则直线𝐴𝐵

与平面𝐴𝐶𝐷所成的角为

A．30° B．45° C．60° D．135°

7．直线𝑙的一个方向向量为𝑚⃗⃗ =(1,√2,1)，点 𝑃(3,0,−1)为直线𝑙外一点，点 𝑂(0,0,0)为直线𝑙上一点，则点𝑃到直线𝑙的距离为

A．1 B．2 C．3 D．4

8．圆𝐶1:𝑥2+𝑦2+2𝑎𝑥+𝑎2−1=0和圆𝐶2:𝑥2+𝑦2−4𝑏𝑦−1+4𝑏2=0有三条公切线，若𝑎∈𝑅,𝑏∈𝑅,𝑎b≠0,则4𝑎2+1𝑏2的最小值为

A．4 B．6 C．8 D．10

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．{𝑎 ,𝑏⃗ ,𝑐 }是空间的一个基底，可以和𝑎 +𝑏⃗ ,𝑎 −𝑏⃗ 构成基底的另一个向量可以是

A．𝑎 +𝑐 B．𝑎 −𝑐 C．𝑏⃗ +𝑐 D．𝑏⃗ −𝑐

10．已知点𝐴(0,√3)，𝐵(2,1),若过点(1,0)的直线𝑙与线段𝐴𝐵相交，则直线𝑙的倾斜角可以是

A．30° B．60° C．90° D．150°

11．一条光线从点(0,1)射出，经𝑥轴反射后与圆𝑥2+𝑦2−4𝑥+3=0相切，则反射光线所在直线的方程是

A．4𝑥−3𝑦−3=0 B．𝑦=1

C．3𝑥−4𝑦−4=0 D．𝑦=−1

12．在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知E为线段𝐵1𝐶的中点，点F和点P分别满足𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐷1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜇𝐷1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ,μ∈[0,1]，则下列说法正确的是

A．当λ=12时，三棱锥𝑃−𝐸𝐹𝐷的体积为定值

B．当μ=12时，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的外接球的表面积是3𝜋4

C．𝑃𝐸+𝑃𝐹的最小值为5√26

D．存在唯一的实数对(𝜆,𝜇)，使得𝐸𝑃⊥平面𝑃𝐷𝐹

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置。

13．已知𝑎 =(2,3,−1)，𝑏⃗ =(−4,2,𝑥)，𝑎 ⊥𝑏⃗ ，则𝑥的值为 ．

14．直线𝑙过点（2,1），且在𝑦轴上的截距为𝑥轴上的截距的2倍，则直线𝑙的方程为 ．

15．圆心在直线𝑦=𝑥上，并且经过点𝐴(2,0)，与直线𝑥−𝑦+2=0相切的圆的方程为 ．

16．已知点𝑃(𝑥,𝑦)是圆𝐶:𝑥2+𝑦2−2√3𝑦+2=0上一点，则|𝑥+√3𝑦+1|的范围是 ．

四、解答题:本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本题满分10分)

已知两条直线𝑙1:(3+𝑚)𝑥+4𝑦=5−3𝑚；𝑙2:2𝑥+(5+𝑚)𝑦=8

（1）𝑚为何值时，𝑙1⊥𝑙2；

（2）当𝑙1与𝑙2平行时，求直线𝑙1与𝑙2之间的距离.

18．(本题满分12分) 如图，已知平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为2的正方形，𝐴𝐴1=3,∠𝐴1𝐴𝐵=∠𝐴1𝐴𝐷=60°，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎 ，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗ ，𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑐

（1）用𝑎 ,𝑏⃗ ,𝑐 表示𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求|𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |；

（2）求AC1与BD所成角的大小.

19．(本题满分12分)

∆𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别是𝐴(−1,0)，𝐵(2,0)，𝐶(1,2)

（1）求边𝐴𝐵上的中线所在直线的方程；

（2）求∆𝐴𝐵𝐶的外接圆的方程.

20．(本题满分12分）

在如图所示的五面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹𝐸中，面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为2的正方形，𝐴𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐷𝐹//𝐴𝐸，且𝐷𝐹=12𝐴𝐸=1，𝑀,𝑁分别为𝐶𝐷,𝐵𝐸的中点.

（1）证明：𝑁𝐹//平面𝐴𝐵𝐶𝐷；

（2）求点𝐴到平面𝑀𝑁𝐹的距离.

21．(本题满分12分) 已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶（如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD为边长为2√2的正方形，∆𝐴𝐵𝐸和∆𝐵𝐶𝐹均为正三角形.

（1）证明：平面𝑃𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶；

（2）棱PA上是否存在一点M，使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为2√23，若存在，求出𝑃𝑀𝑃𝐴的值；若不存在，请说明理由.

22．(本题满分12分）

长为2√2的线段𝐴𝐵的两个端点A和B分别在𝑥轴和𝑦轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线𝐶.

（1）求曲线𝐶的方程，并说明其形状；

（2）过点𝑀(−1,−1)作两条直线分别与圆C交于𝑃，𝑄两点，若直线𝑀𝑃，𝑀𝑄的斜率之和为0，求证:直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.

数学答案

一、单项选择题 1—8 ABAC DBCA

二、多项选择题 9.ABCD 10.BC 11.AD 12.ACD

三、填空题13.−2 14.𝑥−2𝑦=0或2𝑥+𝑦−5=0 15.(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=2 16.[2，6]

四、解答题

17. 解：（1）由题知当2(3+𝑚)+4(5+𝑚)=0时，𝑙1⊥𝑙2，解得𝑚=−133．

（2）由(3+𝑚)(5+𝑚)−8＝0，解得𝑚＝−1或𝑚=−7．

当𝑚＝−1时，𝑙1:𝑥+2𝑦−8=0，𝑙2:𝑥+2𝑦−8=0，此时，𝑙1与𝑙2重合，舍去；

当𝑚=−7时，𝑙1:2𝑥−2𝑦+13=0，𝑙2:2𝑥−2𝑦−8=0，此时，𝑙1//𝑙2，符合

此时，d=|−8−13|√22+(−2)2=21√24

18.解：（1）𝐴𝐶1→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→+𝐶𝐶1→=𝑎→+𝑏→+𝑐→，

|𝐴𝐶1→|=√(𝑎→+𝑏→+𝑐→)2=√𝑎→2+𝑏→2+𝑐→2+2𝑎→⋅𝑏→+2𝑎→⋅𝑐→+2𝑏→⋅𝑐→

=√4+4+9+0+2×2×3×12×2=√29．

（2）∵𝐴C1→⋅𝐵𝐷→=(𝑎→+𝑏→+𝑐→)∙(𝑏→−𝑎→)=𝑎 ∙𝑏⃗ −𝑎 2+𝑏⃗ 2−𝑎 ∙𝑏⃗ +𝑏⃗ ∙𝑐 −𝑎 ∙𝑐 =0

∴𝐴C1→⊥𝐵𝐷→，因此AC1与BD所成角的大小为90°

19.解：（1）AB中点为M(12,0)，𝐶(1,2)，由𝑦−2𝑥−1=0−212−1，

整理得边𝐴𝐵上的中线所在直线的方程为4𝑥−𝑦−2=0

（2）设∆𝐴𝐵𝐶的外接圆的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0，则

{1−𝐷+𝐹=04+2𝐷+𝐹=05+𝐷+2𝐸+𝐹=0，解得{𝐷=−1𝐸=−1𝐹=−2∴∆𝐴𝐵𝐶的外接圆的方程为𝑥2+𝑦2−𝑥−𝑦−2=0

20.解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则

A（0,0,0），E（0,0,2），N（1,0,1），M（1,2,0），F（0,2,1）

∵𝐴𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷∴AE→=(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量 ∵𝑁𝐹→⋅𝑛→=0∴𝑁𝐹→⊥𝑛→，又NF⊄平面ABCD，所以NF∥平面ABCD

（2）𝑁𝐹→=(−1,2,0)，𝑀𝐹→=(−1,0,1)，设平面MNF的法向量为𝑚→=（x,y,z），则{𝑚→⋅𝑁𝐹→=−𝑥+2𝑦=0𝑚→⋅𝑀𝐹→=−𝑥+𝑧=0，取𝑚→=(2，1，2)，𝑀𝐴→=(−1，−2，0)

设点A到平面MNF的距离为d，则𝑑=|𝑚→⋅𝑀𝐴→||𝑚→|=43，所以点A到平面MNF的距离43．

21.解：（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．

由题意得，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=2√2，PO＝AO＝BO＝CO＝2．

∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，

∵在△POB中，PO＝2，OB＝2，𝑃𝐵=2√2，PO2+OB2＝PB2，∴PO⊥OB

∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，

∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC

（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，

如图建立空间直角坐标系，则O（0,0,0），C（2,0,0），

B（0,2,0），A（−2,0,0），P（0,0,2），

设𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝜆∈[0,1]，则𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−𝜆)𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2𝜆,2−2𝜆)，∴𝑀(−2𝜆,0,2−2𝜆)

𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2𝜆+2,0,2𝜆−2),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0),设平面BCM的法向量为𝑚→=（x,y,z），则{𝑚→⋅𝑀𝐶→=(2𝜆+2)𝑥+(2𝜆−2)𝑧=0𝑚→⋅BC→=2𝑥−2𝑦=0，取𝑚→=(1−𝜆,1−𝜆,𝜆+1)

同理可得平面PBC的一个法向量为𝑛→=（1，1，1）．设平面PBC与平面BCM所成角为θ，

则𝑐𝑜𝑠𝜃=|𝑐𝑜𝑠〈𝑛→，𝑚→〉|=|𝑚→⋅𝑛→||𝑚→|⋅|𝑛→|=|𝜆−3|√3∙√3𝜆2−2𝜆+3=2√23，解得𝜆=13或𝜆=−37（舍去）

∴存在点M使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为2√23，且𝑃𝑀𝑃𝐴=13.

22.解：（1）设𝑃(𝑥,𝑦)，由题可知，|𝑂𝑃|=√2，即√𝑥2+𝑦2=√2,

整理可得曲线𝐶的方程为𝑥2+𝑦2=2，其形状为以(0,0)为圆心，以√2为半径的圆

（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率方程为−𝑘，