01一元二次方程的概念及解法-教师版

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学生姓名 年 级 九年级 学 科

数学

上课时间 2017年 月 日 教师姓名

课 题 北师大版 九上 一元二次方程概念及解法

1. 如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= .

【解析】如图，连接EF，FG，GH，EH，

EG与FH相交于点O.

∵E、H分别是AB、DA的中点，

∵EH是∵ABD的中位线.

∵EH=BD=3.同理可得EF=GH=AC=3，FG=BD=3.

∵EH=EF=GH=FG=3.∵四边形EFGH为菱形.

∵EG∵HF，且垂足为O.∵EG=2OE，FH=2OH.

在Rt∵OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9.

等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36.

∵（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36.

2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∵AC，CE∵BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∵ACB＝30，菱形OCED的面积为38，求AC的长．

解：（1）证明：∵DE∵OC ，CE∵OD，∵四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，∵ AO＝OC＝BO＝OD，∵四边形OCED是菱形．

（2）∵∵ACB＝30°，∵∵DCO ＝ 90°— 30°＝60°.

又∵OD＝ OC，∵∵OCD是等边三角形 .

121212A

B C D

E O 过D作DF∵OC于F，则CF＝21OC，设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x，

在Rt∵DFC中DFx3，由已知菱形OCED的面积为38得OC DF＝38，

即3832xx， 解得x＝2，∵ AC＝42＝8 .

3．如图，在一张∵ABC纸片中，∵C=90°，∵B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中

位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：∵邻边不等的矩形；∵等腰梯形；∵有一个

角为锐角的菱形；∵正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（ C ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】∵DE是∵ABC的中位线，∵DE∵BC，且DE＝12BC．∵∵C=90°，∵B=60°，∵AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∵C＝90°，∵AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把∵ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∵C＝∵D＝∵F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则∵成立．如图(2)，把∵ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∵B＝60°为锐角，则∵成立．如图(3)，移动∵ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∵BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则∵成立．因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则∵不成立．

1．下列方程中：∵4x2=3x；∵（x2﹣2）2+3x﹣1=0；∵+4x﹣=0；∵x2=0；∵=2；∵6x（x+5）=6x2．其中一元二次方程的个数是（ ） A

B C D

E O

图F A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】解：是一元二次方程的是：∵∵∵共有3个．

∵最高次数是4，∵是无理方程故不是一元二次方程．故选C．

2．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）

∵x2=1；∵（x﹣2）2=5；∵（x+3）2=3；∵x2=x+3；∵3x2﹣3=x2+1；∵y2﹣2y﹣3=0；∵x2=x+3．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：∵∵∵∵都是或可变形为x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而这四种形式都可用直接开平方法，故选D．

3．将方程x2+6x﹣11=0配方，变形正确的是（ ）

A．（x+3）2=﹣2 B．（x+3）2=20 C．（x+3）2=2 D．（x+3）2=﹣20

【解答】解：∵x2+6x﹣11=0，

∵x2+6x=11，

∵x2+6x+9=11+9，

∵（x+3）2=20．故选B．

4．把方程（2x+1）（3x+1）=x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（ ）

A．4，1 B．6，1 C．5，1 D．1，6

【解答】解：（2x+1）（3x+1）=x，

6x2+5x+1=x，

6x2+4x+1=0，

这个方程的一次项系数为4，常数项为1．故选A．

5．用公式法解3x2﹣7x+1=0的正确结果是（ ）

A．x= B．x= C．x= D．x=

【解答】解：3x2﹣7x+1=0，

b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×3×1=37，

x==，故选D．

6．关于x的方程mx2﹣2（3m﹣1）x+9m﹣1=0有两个实数根，那么m的取值范围是（ ）

A．m≤ B．0＜m＜或m＜0 C．m≤且m≠0 D．m≥

【解答】解：根据题意得m≠0且∵=4（3m﹣1）2﹣4m（9m﹣1）≥0，

解得m≤且m≠0．故选C．

7．一元二次方程（x+1）2=3（x+1）的解是（ ）

A．x=0 B．x1=0，x2=﹣1 C．x=2 D．x1=﹣1，x2=2

【解答】解：原式可变形为：（x+1）2﹣3（x+1）=0

（x+1）（x+1﹣3）=0 （x+1）（x﹣2）=0

∵x=﹣1或2故选D．

8．方程9（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0正确解法是（ ）

A．直接开方得3（x+1）=2（x﹣1）

B．化为一般形式13x2+5=0

C．分解因式得[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0

D．直接得x+1=0或x﹣l=0

【解答】解：A：直接开平方应得到两个方程：3（x+1）=2（x﹣1）和3（x+1）=﹣2（x﹣1），所以A不正确；

B：化成一般形式应是：5x2+26x+5=0；所以B不正确；

C：方程左边满足平方差形式，可以用平方差公式因式分解为：[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0，所以C正确．

D：两个完全平方的差为0，不能直接得到两个式子分别是0，只有两个完全平方的和是0，才能直接得到两个式子分别是0，所以D不对．故选C．

9．已知关于x的方程（k﹣1）（k+3）x2+（k﹣1）x﹣k+3=0，当k ≠3且k≠1 时，它是一元二次方程；当k =﹣3 时，它是一元一次方程．

【解答】解：根据题意得：（k﹣1）（k+3）≠0，即k≠1且k≠﹣3；

根据题意得：（k﹣1）（k+3）=0，且k﹣1≠0，解得：k=﹣3．

故答案是：≠3且k≠1，=﹣3．

10．用配方法将方程2x2+x=1变形为（x+h）2=k的形式是 （x+）2= ．

【解答】解：∵2x2+x=1，

∵x2+x=，

∵x2+x+=+，

∵（x+）2=，

故答案为（x+）2=．

11．将方程（4y﹣3）（3y﹣1）=4化成一般形式为ay2+by+c=0，则b2﹣4ac= 217 ，此方程的根是 ．

【解答】解：方程（4y﹣3）（3y﹣1）=4，

整理得：12y2﹣13y﹣1=0，

这里a=12，b=﹣13，c=﹣1，

∵∵=169+48=217，

∵y=．

故答案为：217； 12．用适当的方法解下列方程：

（1）9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2=0；

（2）x2﹣5=x；

（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0； （4）x2﹣x+x﹣=0．

【解答】（1）解：∵9（2x+3）2=4（2x﹣5）2，

∵3（2x+3）=±2（2x﹣5），

∵6x+9=4x﹣10，x1=﹣，

6x+9=﹣4x+10，x2=．

（2）解：∵x2﹣x﹣5=0，

∵x2﹣2x=10，

∵（x﹣）2=13，

∵x﹣=±，

∵x1=+，x2=﹣+．

（3）解：∵（2x﹣1）2+3（2x﹣1）+2=0．

∵（2x﹣1+2）（2x﹣1+1）=0，

∵2x=﹣1或2x=0．

∵x1=﹣，x2=0．

（4）解：∵x2﹣x+x﹣=0，

∵x2﹣（﹣）x﹣=0．

∵（x﹣）（x+）=0，

∵x﹣=0或x+=0．

∵x1=，x2=﹣．

13．若α是方程x2+x﹣1=0的根，求代数式2000α3+4000α2的值．

【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1=0的根，

∵a2+a=1，

∵2000a3+4000a2

=2000a（a2+a+a）

=2000a•（1+a）

=2000（a2+a）

=2000．

故答案为2000． 14．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题．

（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

（2）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？

【解答】解：（1）存在．

若使方程为一元二次方程，则m+1≠0，即m≠﹣1且m2+2=2，即m2=0，m=0；

∵m=0，

当m=0时，方程变为x2﹣2x﹣1=0，

∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，

∵∵=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8，

∵x===1±，

∵x1=1+，x2=1﹣．

因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根为x1=1+，x2=1﹣；

（2）存在．

若使方程为一元一次方程，要分类讨论：

∵当m2+2=1，即m2=﹣1，无解；

∵当m2+2=0，无解；

∵当m+1=0，即m=﹣1时，m﹣2=﹣3≠0，

所以m=﹣1满足题意；

当m=﹣1时，原方程变为：﹣3x﹣1=0，

解得x=﹣．

因此，当m=﹣1时，该方程是一元一次方程，其解为x=﹣．

一、一元二次方程

1．一元二次方程的概念

方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的特点

（1）含有一个未知数；

（2）且未知数次数最高次数是2；

（3）是整式方程．

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对