一元二次方程的概念和解法

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word完美整理版 一元二次方程的概念和解法

一．一元二次方程的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．

判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程

二．一元二次方程的解

一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

题模一：概念

例1.1.1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A．2210xx B．20axbxc

C．223253xxx D．121xx

例1.1.2方程(2)310mmxmx是关于x的一元二次方程，则m______

例1.1.3若22230mmxx是关于x的一元二次方程，则m的值为_________

例1.1.4已知关于x的方程：2(2)(1)60mmmxmx是一元二次方程，试求m的值_____． 知识元一：一元二次方程

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word完美整理版 例1.1.5若方程211mxmx是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是__________．

例1.1.6方程13242xx的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______

题模二：解

例1.2.1关于x的一元二次方程22110axxa的一个根是0，则a的值为_________________．

例1.2.2已知方程2230xmxn的两根分别是2、3，则nm__________。

例1.2.3已知1x是关于x的方程20xmxn的一个根，则222mmnn的值为_______．

随练1.1关于x的方程023)1()1(2mxmxm，当m__________时是一元一次方程；当m__________时是一元二次方程

随练1.2若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为_________

随练1.3已知方程2230xmxn的两根分别是2、3，则mn__________

随练1.4若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（ ）

A．2018 B．2008 C．2014 D．2012 随堂练习 范文范例 学习指导

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一．直接开平方法

若20xaa，则x叫做a的平方根，表示为xa，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．

二．直接开平方法的基本类型

1．2(0)xaa 解为：xa

2．2()(0)xabb 解为：xab

3．2()(0)axbcc 解为：axbc

4．22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd

题模一：直接开平方法

例2.1.1方程（x﹣1）2=4的根是__．

例2.1.2方程（x+2）2﹣9=0的解为：__

例2.1.3一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是 ．

例2.1.4求x的值：21(51)303x

随练2.1解下列方程：

（1）2280x （2）225160x （3）2190x 知识元二：直接开平方法

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word完美整理版 随练2.2解关于x的方程：2269(52)xxx

随练2.3若方程224xa有实数根，则a的取值范围是________.

随练2.4解关于x的方程：22(31)85x

作业1若2|1|0ba，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）

A．250axxb B．221350bxax

C．21170axbx D．2110bxax

作业2已知关于x的方程22()(2)xaax是一元二次方程，求a的取值范围．

作业3若n（n≠0）是关于x方程x2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（ ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2

作业4解关于x的方程：23(1)27x

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word完美整理版 作业5用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）29160x

（2）25160x

（3）22531xx

（4）22425931xx

一．配方法

配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．

二．配方法的一般步骤：

运用配方法解形如20(0)axbxca的一元二次方程的一般步骤是：

1．二次项系数化1；

2．常数项右移；

3．配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；

4．化成2()xmn的形式；

5．若0n，选用直接开平方法得出方程的解．

22220 (0)()0 ()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaa 知识元三：配方法

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word完美整理版 222224()()2424bbbbacaxcxaaaa．

题模一：配方法

例1.1.1用配方法解方程：2640xx

例1.1.2用配方法解下列方程：

（1）22810xx

（2）2420xx

（3）211063xx

（4）23123yy

例1.1.3已知2246130xyxy，x、y为实数，求yx的值

例1.1.4选用适当的方法，解下列方程：

（1）（x﹣1）2=3

（2）2x2﹣5x+3=0．

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题模二：最值问题

例1.2.1试用配方法说明223xx的值恒大于0

例1.2.2已知x、y为实数，求代数式22247xyxy的最小值

随练1.1若把代数式257xx化为2xmk的形式，其中m、k为常数，则km_________．

随练1.2已知a，b，c均为实数，且4ab，224310cabc，求ab的值．

随练1.3用配方法说明21074xx的值恒小于0

随练1.4已知x，y为实数，求代数式2254824xyxyx的最小值．

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一．公式法

公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa

根的判别式24bac，12,xx是方程的两根，若240bac，则21,242bbacxa．

二．公式法解一元二次方程的一般步骤

1．把方程化为一般形式；

2．确定a、b、c的值；

3．计算24bac的值；

4．若240bac，则代入公式求方程的根；

5．若240bac，则方程无解．

三．判别式与根的关系

1．0时，原方程有两个不相等的实数解；

2．0时，原方程有两个相等的实数解；

3．0时，原方程没有实数解．

题模一：公式法

例2.1.1解方程：x2+4x﹣1=0． 知识元四：公式法

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例2.1.2解方程1(61)432(2)2xxxx

例2.1.3用公式法解关于x的一元二次方程212130mxmxm．

例2.1.4解方程：320xxx

题模二：判别式与根的关系

例2.2.1下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）

A．x2+1=0 B．x2﹣3x+1=0

C．x2﹣2x+1=0 D．x2﹣x+1=0

例2.2.2已知关于x的一元二次方程2210mxx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

A．1m B．1m

C．1m且0m D．1m且0m

例2.2.3关于x的方程（a-6）x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）