证明一元二次方程总有实数根练习(含答案)
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试卷第1页，共2页 证明一元二次方程总有实数根练习
学校:___________姓名：___________
一、解答题
1．已知关于x的方程2(21)(1)0xmxmm．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为12,xx，且12,xx分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
3．已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0．
(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2)若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根．
试卷第2页，共2页 4．已知关于x的方程222110xmxm．
(1)若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若两实数根1x，2x满足12118xx，求m的值．
5．关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．
6．已知关于x的一元二次方程210xkxk
(1)求证：不论k为何实数，方程总有实数根；
(2)若方程的两实数根分别为1x，2x，且满足12112xx，求k的值． 答案第3页，共1页 参考答案：
1．(1)见解析
(2)3
【解析】
【分析】
（1）根据方程的根的判别式，得出△10，即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的方程，解方程并检验即可得答案．
（1）证明：
△222[(21)]4(1)4414410mmmmmmm，
△0，
2(21)(1)0xmxmm总有两个不相等的实数根；
（2）解：△方程的两根分别为12xx、，
△121221,(1)xxmxxmm，由题意知：121216,122xxxx
△(1)12mm2120mm(3)(4)0mm
△3m或4m．
△120,0xx△120xx
△1210,2mm
△3m．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握：（1）牢记“当△0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系得出1(1)62mm．
2．(1)见解析
(2)m的值为4或3
【解析】
【分析】
（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；
（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．△（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，△无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解答案第4页，共5页 得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，△Δ＝0，△（m﹣3）2＝0，△m＝3，综上所述，m的值为4或3．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．
3．(1)见解析
(2)m=2，方程的另一个根是2．
【解析】
【分析】
（1）表示出根的判别式，判断其值正负即可得证；
（2）把x=0代入方程求出m的值，即可确定出另一根．
（1）证明：Δ=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，△（m-2）2≥0，△（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，△方程总有两个不等实数根；
（2）解：△方程有一个根是0，△m-2=0，解得：m=2，△x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得：x1=0，x2=2，△此方程的另一个根是2．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义以及因式分解法解一元二次方程．
4．(1)m＞0
(2)15
【解析】
【分析】
（1）由方程求出判别式0即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
(1) 答案第5页，共5页 解： 2221418mmm，
△方程总有两个不相等的实数根，
△8m＞0，
△m＞0．
(2)
解：由1212121118xxxxxx，
△1221xxm，2121xxm，
△原式212118mm，
整理得2240mm，
解得15m或15m，
△m＞0，
故m的值为15．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
5．(1)见解析
(2)-3
【解析】
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．
(1)
证明：△Δ=b2-4ac
=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）
=k2+2k+1
=（k+1）2≥0， 答案第6页，共5页 △方程总有两个实数根；
(2)
解：由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，
△x1+x2+x1x2=2，
△k-3+（-2k+2）=2，
解得k=-3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-ba，x1•x2=ca．
6．(1)见解析
(2)1k
【解析】
【分析】
（1）列出一元二次方程根的判别式，通过配方，可得0，进而即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得121xxk，12xxk，结合12122xx，可得关于k的方程，进而解方程即可求解．
(1)
△2(1)4kk
2214kkk
2(1)k，
△2(1)0k≥，
△0，
△无论k取何值，该方程总有实数根；
(2)
根据题意得：121xxk，12xxk，
12112xx， 答案第7页，共5页 即12122xxxx
即12122xxxx
21kk
解得1k
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握20(a0)axbxc的根12,xx满足12bxxa，12cxxa，是解题的关键．
