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第11章 一阶动态电路分析

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第11章一阶动态电路分析

377 第11章 一阶动态电路分析

教学提示：在前面的章节里，讨论了含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称稳态。实际上，这样的响应只是电路全部响应中的一部分，而不是响应的全部。当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，电路的状态就可能会从一种稳定的状态向另一种稳定的状态变化，这个变化过程是暂时的，称为瞬态或过渡过程。产生过渡过程的原因是由于电路中存在电感或电容动态元件，由于动态元件的VCR是对时间变量t的微分或积分关系，因此，对动态电路分析需要用微分方程来描述，即在时间t中分析动态电路，故也称为时域分析法。

本章就是分析含有动态元件的电路中的电压、电流与时间的函数关系，主要是分析只含一个动态元件的线性电路的电压、电流，也就是一阶动态电路分析。主要介绍一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路的三要素公式。

教学要求：在本章中应充分理解：零输入响应，零状态响应，暂态响应和稳态响应、时间常数、固有频率的含义；熟练地掌握他们的计算方法。掌握换路的初始值计算。重点能熟练运用三要素法求得输入为直流时，一阶电路中任意变量的响应。会计算阶跃响应。

11.1 换路定律和初始条件的计算

本节讲述的是当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，各元件上的电量（电压和电流）初始值的确定问题。主要讲述电感电流和电容电压在换路时不能发生跃变，即换路定律。

11.1.1 换路

动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将改变原来的稳定状态。含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称正弦稳态；当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态（DC steady state）。电路达到直流稳态时，电感相当于短路，电容相当于开路。

在电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变、电源电压或电流波动等等，统称为换路(switching)，并认为换路是瞬时完成的。

一般情况下，换路的瞬间记为计时起点，即该时刻的0t，并把换路前的最后一瞬间记作0t、换路后的最初一瞬间记作0t，0与0、0与0之间的时间间隔则都趋近于零。

11.1.2 换路定律

由电容元件的电压电流关系 dtduCi 可以得到

tcdiCtu　（ξ）1)(ξ01tdiC　（ξ）ξ+ttdiC01　（ξ）ξ

)(0tuc+ttdiC01　（ξ）ξ 第11章一阶动态电路分析

378 若电容元件在0t时的电压为)0(cu，则0t时的电压为

)0(cu)0(cu+001　（ξ）diCξ

如果在换路前后，电容电流i的值是有限的，则有

001　（ξ）diCξ0

所以 )0(cu)0(cu

由电感元件的电压电流关系

dtdiLu 可以得到

tLduLti　（ξ）1)(ξ01tduL　（ξ）ξ+ttduL01　（ξ）ξ

)(0tiL+ttduL01　（ξ）ξ

若电感元件在0t时的电流为)0(Li，则0t时的电流为

)0(Li)0(Li+001　（ξ）duLξ

如果在换路前后，电感电压u的值是有限的，则有

001　（ξ）duLξ0

所以： )0(Li)0(Li

总之：在换路瞬间，电容元件的电流值为有限时，其电压不能跃变；电感元件电压值为有限时，其电流不能跃变。这一结论称为换路定律。

其表达式为：

(0)(0) (11.1)(0)(0)ccLLuuii

在实际电路中，若电容电压发生跃变，根据

dtduCi，功率为无限大；

同理，若电感电流发生跃变，根据

dtdiLu，功率也为无限大。

从以上两个等式可以看到，电容电压和电感电流不可以发生跃变。除了电容电压及与之相关联的电荷量（q=Cu）、电感电流及与之相关联的磁链（Ψ=Li）不能发生跃变外，电路中其余的各个电量均可发生跃变，例如：电容电流、电感电压、电阻的电压和电流、电流源的电压、电压源的电流等。

11.1.3 初始值及其计算

对于一阶电路，所谓的初始值（initial value ），就是在电路换路后的第一个瞬间，即0t时的电路中各电量的数值，初始值组成求解动态电路的初始条件。

由于在分析动态电路的换路过程中，通常都要用到微分方程来求解，而微分方程的解中含有一个待定系数C，需要某一个时刻的给定值来确定，通常选择初始值来求待定系数C。

电路中电压和电流的初始值分为两类：

对于电容电压和电感电流的初始值，由于是在0t时刻求出)0(cu、)0(Li之后，根第11章一阶动态电路分析

379 据换路定律)0(cu)0(cu、)0(Li)0(Li来确定，因此称为独立的初始条件。另外，根据独立电源的特点，电压源的)0(su、电流源的 )0(si也是独立的初始条件。另一类初始值是可以跃变的量，如电容电流、电感电压、电阻电流及电阻电压，即)0(ci、)0(Lu、)0(Ri及)0(Ru等统称为非独立初始条件，它们要根据独立初始条件及电路的基本定律来求解。

简单电路的初始条件的求解，可以直接在原电路中进行，而对于含有多个动态元件电路初始条件的求解，若在原电路中求解则比较麻烦。通常的做法是，在求得)0(cu、)0(Li之后，将电路中的电容元件代以电压为)0(cu的电压源、电感元件代以电流为)0(Li的电流源，这样替代后，称为电路在0t的等效电路，它是一个纯电阻电路，可以按照线性电阻电路的解题方法进行求解。

[例11.1] 在图11.1(a)所示的电路中，已知058521tVURRs，Ω，Ω，时已稳定。在t=0时刻开关S合上，假设开关合上前电容电压为零。试求换路后各元件电流、电压的初始值。

[解] 根据题意，开关合上前电容电压为零，即0)0(Cu，根据换路定律，

)0(cu0)0(cu

作0t的等效电路图，如图11.1（b）所示

)0(2u0)0(cu

080)0()0(222Rui

VUus5)0(1

AiiiC101)0()0()0(21

(a)u2u1uc

(b)u2 u1

图11.1 例11.1`图

[例11.2] 在图11.2(a)所示的电路中，已知VUS12，Ω621RR，Ω123R，电

路原已稳定。在0t时合上开关S，试求)0()0()0()0()0(21KLCiiiiu、、、、、、)0(Ci

。)0(Lu

A155)0()0(111Rui第11章一阶动态电路分析

380 kt= 0- 时等效电路图

-

(b)t= 0+ 时等效电路图k

(c)+-)-))

图11.2 例11.2图

[解] 开关合上前，电路原已稳定，电感相当于短路、电容相当于开路，t=0-等效电路图如图11.2（b），可得

12312(0)0.5A6612SLUiRRR

_3(0)(0)0.5126VCLuiR

根据换路定律可得

(0)(0)0.5ALLii (0)(0)6VCCuu

作0t的等效电路图，如图11.2（c）所示，将电感和电容分别看作电流源和电压源

0)0(11RiUS 1112(0)2A6SUiR

0)0()0(22CuRi 22(0)6(0)1A6CuiR

12(0)(0)(0)(13A2)Kiii

2(0)(0)(0)151.A0.5CLiii

由 0)0()0()0(3LLCuRiu

得 (0)0.51260VLu

思考与练习

11.1-1 在电容电流为有限值时，电容电压是不能跃变的。那么，当电容电压为有限值第11章一阶动态电路分析

381 时，电容电流是否也不能跃变？为什么？

11.1-2 当电感电压为有限值时，电感电流是不能跃变的。那么，当电感电流为有限值时，电感电压是否也不能跃变？为什么？

11.1-3 题11.1-3图所示电路中，直流电压源电压ΩΩ、、321021RRVUS，电路原先已达稳定，在0t时打开开关S，试求电容电压及电阻1R上电流的初始值。

uc

题11.1-3图 题11.1-4图

11.1-4 题11.1-4图所示电路中，已知Ω、4121RVUS、mHLR182Ω、，电路原已稳定。在0t时合上开关S，试求电感电流及电阻2R电压的初始值。

11.1-5 题11.1-5图所示电路中，已知VUS20、ΩΩ、51021RR。电路原已稳定。在0t时合上开关S，试求各元件的电压、电流的初始值。

题11.1-5图

11.2 一阶动态电路的零输入响应

本节讲述的是在没有外加激励的情况下，一阶RC和RL电路在初始储能的作用下所产生的响应，对RC电路来讲相当于电容释放电场能，对RL电路来讲相当于电感释放磁场能。

11.2.1 零输入响应

含有一个动态元件的电路称为一阶电路（first-order circuit），如果在换路瞬间动态元件原来就储存有能量，根据换路定律可知，即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电流、电压。这是因为动态元件的原始储能要通过电路中的电阻释放能量。动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应称为零输入响应(zero-input

response)。

11.2.2 RC电路的零输入响应

如图11.3所示电路，设开关S合上之前电容C已充电到电压为0)0(UuC。根据换路第11章一阶动态电路分析

382 定律，开关合上之后0)0(UuC，列换路之后的电路方程，取各元件的电压、电流为关联一致参考方向，由KVL得

0CRuu

把电阻、电容元件VCR关系 iRuR dtduCi

代入上式得:

0cudtduRC

ucuR图6-2-1 RC电路

的零输入响应

图11.3 RC电路的零输入响应

这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量

dtRCuduC1

等式两边积分

CtRCuC1ln

tRCCtRCCtRCCAeeeeu111

式中待定系数A可由电路的初始条件0)0(UuC确定，令0t，得

0001)0(UAAeAeuRCC

电容的零输入响应电压为：

0()tRCCutUe )0(t (11.2)

根据0CRuu，RuiR可得：

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审计学_中央财经大学_11 第10章风险应对_(11.2.4) 单元作业：分析题11.1

审计学_中央财经大学_11 第10章风险应对_(11.2.4) 单元作业：分析题11.1

第10章风险应对 分析题11.1

A注册会计师负责审计甲上市公司2018年度财务报表，确定财务报表整体的重要性为230万元，相关事项如下：

(1)根据以往年度审计结果，甲公司针对主要业务流程(包括销售与收款、采购与付款，以及生产与存货等)的内部控制是有效的，因此A注册会计师决定在2017年度审计中将继续采用综合性审计方案。

(2)在实施进一步审计程序时拟利用被审计单位信息系统生成的信息，审计项目组成员就拟利用信息的准确性获取了审计证据。

(3)甲公司2018年度无形资产为880万元，A注册会计师认为重大错报风险较低，拟仅实施控制测试。

(4)甲公司2018年度多次向银行和其他企业抵押借款。为应对与财务报表披露的完整性认定相关的重大错报风险，A注册会计师决定扩大对实物资产的检查范围。

(5)审计项目组评估认为应收账款的重大错报风险较低，对甲公司2018年11月30日的应收账款余额实施了函证程序，未发现差异。2018年12月31日的应收账款余额较11月30日无重大变动。审计项目组据此认为已对年末应收账款余额的存在认定获取了充分、适当的审计证据。

(6)审计项目组成员在实施实质性程序时发现的被审计单位存在的重大错报表明内部控制存在重大缺陷，A注册会计师就这些缺陷与管理层和治理层进行了沟通。

要求：针对事项(1)至(6)，简要说明A注册会计师或审计项目组成员的做法是否恰当，如不恰当，简要说明理由。

第7章 一阶与二阶暂态电路之分析

第7章 一阶与二阶暂态电路之分析

第7章 一階與二階暫態電路之分析

7.1 利用微分方程式法求圖P7.1 中的電路在t >0 時的vo(t)。

圖 P7.1

將正確答案表成定式，例如：5.3+2.6e -21.4t。

7.5 利用微分方程式法求圖P7.5 中電路的io (60 ms)。

圖 P7.5

不用有效數字；沒有誤差的精確數字就行了。

7.9 就圖P7.9 的電路，利用微分方程式法求io (70 ms)。

圖 P7.9

7.13 利用循步法求圖P7.13 中的電路在t >0 時的io(t)。

圖 P7.13

7.15 利用循步法求圖P7.15 中的網路在t >0 時的io(t)。

圖 P7.15

7.21 利用循步法求圖P7.21 中的電路在t >0 時的vo(t)。

圖P7.21

將正確答案表成定式，例如：−1.5 + 2.25e−4t

7.25 利用循步技巧求圖P7.25 中的網路在t >0 時的vo(t)。

圖 P7.25

將正確答案表成定式，例如：- 0.5e -t/0.4。

7.29 利用循步法求圖P7.29 中網路的io (60 ms) 。

圖 P7.29

7.35 圖P7.35 電路中的開關在t =0 時移開，試利用循步技巧求t > 0 時的iR(t)。

圖 P7.35

7.37 圖P7.37 電路中的開關在t =0 時斷開，試利用循步技巧求t > 0 時的vo(t)。

圖 P7.37

7.47 利用循步法求圖P7.47 中的網路在t >0 時的vo(t)。

圖 P7.47

將正確答案表成定式，例如：- 2e -t/0.008 。

7.49 利用循步法求圖P7.49 中的網路在t >0 時的io(t)。

圖 P7.49

7.51 利用循步技巧求圖P7.51 中的網路在t >0 時的vo(t)。

圖 P7.51

將正確答案表成定式，例如：4 - 0.2e-6t。

7.53 針對圖P7.53b 所示的輸入脈波，試求圖 P7.53a 中電壓vo(t) 在t > 0 時的方程式。

电路与模拟电子技术基础(第2版)_第2章 一阶动态电路的暂态分析习题解答习题解答第2章习题解答

电路与模拟电子技术基础(第2版)_第2章 一阶动态电路的暂态分析习题解答习题解答第2章习题解答

第2章 一阶动态电路的暂态分析习题解答

2.1 在图2.1（a）中， F5.0C，0)0(u，电流波形如图（b）所示。求电容电压)(tu，瞬时功率)(tp及t时刻的储能)(tw。

图2.1 习题2.1图

解 电流源电流为

其他 02s11A 1s0 1A

)(Sttti

分段计算电容电压)(tu

s10t期间

V2d5.01d)(1)0()(00tttiCutu

s1t时，V2)1(u

s21t期间

V24)1(22d)1(5.01)1()(1ttutut

2ts时，0)2(u

s2t时

tutu20d05.01)2()(

其他 02s1 V 241s0 V2)(tttttu

瞬时功率为

其他 02s1W 421s0 W 2)()()(tttttitutpS 电容的储能为

其他 02s1 J21s0 J

)(21)(222tttttCutw

2.2 在图2.2（a）中，电感H3L，电流波形如图（b）所示，求电压u、s1t时电感吸收功率及储存的能量。

图2.2 习题2.2图

解 由图2.2(b)可写出电流的函数

其他 02s1A 21s0 A

)(ttttti

其他 02s1 V 31s0 V 3)(ttdtdiLtu

第三章 一阶动态电路分析习题分析

第三章 一阶动态电路分析习题分析

1

第三章 一阶动态电路分析习题分析

3-2 图3-2所示电路，t<0时电路已达稳态，t=0时开关由1扳向2,求iL(0+)，uL(0+) ，uR(0+)。

解：t<0时电路处于稳态（S在1处） iL(0—)=3/(3+6)*3=1A iL(0+)= iL(0—)=1A

t=0+时刻（S在2处）的等效电路为

uR(0+)=- iL (0+)R=(-1)x6 = -6V

由KVL: 6 iL (0+)+uL(0+)-uR(0+)=0 得: uL(0+)=uR (0+)-6 iL (0+)=-12V

3-3 图3-3所示电路，t=0时开关闭合，已知uc(0—)=4V，求ic(0+)，uR(0+)。 解：uc(0+)=uc(0—)=4V

t=0+时刻（S闭合）的等效电路：

对节点1 由KCL: I1=I2+ic(0+) (1)

对回路1 由KVL: 2I1+4I2-8=0 (2)

对回路2 由KVL : 4ic(0+)+uc(0+)-4I2=0 (3)

将三式联立代入数据得ic(0+)=0.25A, I2=1.25A, uR(0+)=4I2=5V

3-5 图3-5所示电路t=0时开关S由1扳向2，在t<0时电路已达稳态。求初始值i(0+)、ic(0+)和uL(0+)。

解：t=0- (S在1) L视为短路，C视为开路

il(0+)=iL(0-)=Us/(2+4)=24/6=4A

Uc(0+)=Uc(0-)=4il(0-)=16V

T=0+时刻等效电路

12UC(0+)iC(0+) 对接点①由kcl: iL(0+)= i(0+)+ ic(0+) (1) Ril(0+)Ul(0+)UR(0+)R+-UC(0+)iC(0+)UR(0+)22 对回路1由kvl: UL(0+)+4 i(0+)+2 iL(0+)=0 (2)