2018年初高中数学衔接教材含答案60

2018年初高中衔接数学教材亲爱的高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。

由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。

面对教学中将存在的问题，我们高一数学组的老师们假期里加班加点，赶制了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，一开学对这篇自学教材的学习将有相应的检测，愿大家为新学期做好准备。

一、数与式的运算一）、必会的乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222+++++=+++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算： （2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）=8 a 3+b 3【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)1．计算（1）（3x+2y ）（9x 2-6xy+4y 2）= （2）（2x-3）（4x 2+6xy+9）=（3）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =（4）（a+b ）（a 2-ab+b 2）（a-b ）（a 2+ab+b 2）=2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n 3=（2）27m 3-81n 3=（3）x 3-125= （4） m 6-n 6=【公式4】33322()33a b a b a b ab +=+++ 【公式5】33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知2310x x -+=，求331x x +的值． 解：2310x x -+= 0≠∴x 31=+∴xx原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x说明：本题若先从方程2310x x -+=中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅333()()()a a b b c c a b c bc ac ab abc---++=++=- ①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．二）、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+==*(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83(2)(3)(4) -+解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式623==--(3) 原式=(4) 原式==说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(或被开方数有分母(．(化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(，其中2+2-)．有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。

2018初高中数学衔接2018初高中数学衔接春天的菠菜2018初高中数学衔接初中数学与高中数学在知识内容上存在一些空缺或者是衔接上的不当，这已是中学老师们人人皆知并习以为常的事．所以，在讲授高中新课（集合，函数等）之前，应当补充一些衔接知识，以使初三学生能顺利地过渡到高中数学的学习中来．笔者以为，不做任何衔接的教学行为是不负责任的．当然也有部分老师（顶着压力）做衔接，但衔接的内容多少有些盲目，讲了几节后为赶教学进度（发现比别的老师落下好多课呢）而又放弃或草草了事，似乎只是为了衔接而衔接．对于中学老师，一提到初高中衔接，大概就是因式分解解一元二次不等式解分式不等式，却很少去思考：还有哪些衔接内容？为什么要衔接这些？初高中数学到底存在哪些差异？新高一学生在数学学习上最欠缺什么？……总体来讲，初中内容浅、少、易，贴近生活，简单、形象、具体；高中内容深、多、难，有些稍远离生活，复杂、深奥、抽象．从初中到高中，教材在逻辑性、抽象性、概括性以及空间想象等方面对学生的要求都大大提高．具体地讲，因式分解解一元二次不等式、分式不等式需要衔接：一方面，集合一章中有大量的不等式的解集问题，涉及到不等式的求解；其次，求函数的（自然）定义域就是求使解析式有意义的x的取值范围，最终也化为不等式（组）的求解；而求解不等式又往往需要因式分解．这样一想（理顺）就自然了．必要性弄清楚，讲解时就坦荡了（不必顾虑耽误课时，磨刀不误砍柴工，这是为后面的学习打基础呢）．这里所说的衔接主要指初中数学与高中数学必修1的衔接，以帮助初三学生尽快适应高中数学学习，找到适合自己的学习方法，初步形成应对高中数学学习的能力为目的．至于初中数学与必修2（立体几何，解析几何）、必修4（三角函数，向量）的衔接自然也是存在的，但可暂时缓一缓．只要一开始衔接好了，后面的衔接多数可以自我应对，没必要再集中处理，用到时现场解决即可．需要衔接的内容还有函数（这对绝大多数新高一学生来说是道坎儿）：高中所讲函数十分抽象（用集合与对应的语言所描述），学生还没完全弄明白符号f（x）的含义，函数这块各种各样的新名词、新问题、新方法就劈头盖脸地袭来——求定义域、求解析式、求值域、分段函数、复合函数、抽象函数、单调性、最大（小）值、奇偶性、换元法、分离常数法、赋值法……，让你（高一新生）猝不及防，无力招架，结局只能是——高中数学太难，我太笨，学不会！于是，亦有必要在衔接部分通过一些简单函数（如y|x|，y1/x等）让学生在复习初中所学知识的过程中提前感知高中所和研究的函数问题．另外，二次函数也是个难题．初中数学里，二次函数是重点内容，是（河南省）中考的压轴题，是热点；高中数学里，二次函数是基础内容，相关知识要求熟练掌握．这本没有什么毛病，但问题在于初高中数学对二次函数的着力点不同：中考不要求记忆顶点坐标公式，不要求掌握两根式（解析式的一种形式），不常求解二次函数在给定范围上的最值问题（绝不是重点），殃及的还有一元二次方程的韦达定理（不要求记忆）……而这些在高中老师眼里统统都是常识，必须熟练，熟练，再熟练！二次函数虽是中考压轴题，但也只是一个载体（仅提供点的坐标关系），在此基础上讨论几何图形的相关问题，最终还是几何，二次函数也就是个空壳儿．突然想起了一个笑话——数学中的两不讲．初中老师说：这个知识点，到高中老师会讲，我们就不讲了；高中老师说：这个知识点，你们初中老师讲过的，我们就不讲了．笑话归笑话，却真实反映了初高中数学存在的断层．近几年，全国多数省份将面临新一轮的课程改革，教材也推翻重来，有较大变动．史宁中教授在谈到十年课改的突出问题时列出的第四点就是初高中内容不衔接，应对之策是新教材必修1中加入了常用逻辑用语相等关系与不等关系二次函数与一元二次方程、不等式（网传目录）等衔接内容，但显然力度不够．以上种种，促使笔者决心自主编写一本初高中数学衔接的教案，初步设想如下：以数学思想（化与化归，函数与方程，分类与讨论，数形结合）引领衔接内容的展开，重点内容（如十字相乘法分解因式，一元二次不等式的解法，二次函数等）精讲，讲透，多练；拓展内容（如解高次方程、高次不等式、含参不等式等）一定要把握好度，让学生留下印象，点到为止．衔接内容重在渗透思想与方法，切忌贪多求快，一下子塞给学生很多结论（毕竟还是衔接，而不是机械的知识前移；衔接可以为后续内容助力分压，但也无法承载太多的内容与压力）．具体目录见下表一级目录二级目录重要程度主要内容与意图思想方法1.数与式1.1代数变形与求值复习过渡梳理常见变形公式．这是代数学习的基础内容，是高中学习方程、不等式、函数等数学知识的基础，与分数指数幂一节相衔接化与化归1.2分母有理化与分子有理化选讲算作代数变形的一部分．分母有理化是复习初中所学，分子有理化是适度拓展，为后续单调性的证明埋下伏笔1.3因式分解重点着重训练十字相乘法，为求解一元二次不等式打牢基础1.4解高次方程选讲作为因式分解的巩固练习．可先猜根再分解，亦可直接大除法2.常见不等式的解法2.1一元二次不等式的解法重点十字相乘法，配方法，求根公式法都要讲解，各有特点，为后续集合化简，求函数的定义域打基础函数与方程化与化归分类讨论数形结合2.2分式不等式的解法分类讨论法，等价化法都要讲，交由学生自主评价分类讨论化与化归2.3高次不等式的解法选讲穿针引线法要讲清楚原理数形结合化与化归2.4含参不等式的解法选讲只涉及最简单的例子，巩固分类讨论思想分类讨论3.几类简单函数的图象3.1绝对值型函数复习过渡以函数y|x|串联分段函数，图象平移，解绝对值方程、不等式等内容数形结合3.2分式型函数重点讲分离常数法，图象平移，回过头来用图象解分式不等式数形结合3.3取整函数选讲高考鲜有涉及，却是训练巩固数形结合思想的绝佳素材数形结合4.二次函数4.1基础知识点，公式重点初中不要求记忆的相关知识点与公式函数与方程4.2配方法重点算作代数变形的一部分4.3给定范围求最值重点为利用单调性求函数值域埋下伏笔数形结合4.4动轴定区间，定轴动区间问题选讲也可放在单调性之后讲数形结合分类讨论4.5简单的恒成立与存在成立问题选讲也可放在函数综合问题中讲一些老师看了这个目录后坦言：新学期时间紧，任务重，哪有那么多的时间衔接？按笔者的设计，除去选讲内容，仍需6-7个课时，约一周时间．目前的教学环境下谁敢花一周时间只讲初高中衔接呢？进度就在那里，像一只无形的大手样约束着你，还有月考范围，期中考试范围……这些都是（无奈的）实情．也有部分老师认为集中讲解不如在正常课程的安排下逐步渗透的好，这属于不同教学方式的比较，我们自当另论．对于初高中衔接，学校里若要集中讲解，必须各校区、全年级统一进行（这需要领导的魄力），否则只能是个别（负责任，有想法的）老师结合自己所教班级情况的个人行为．不管哪种形式，做了总比不做的好．接下来的正文里，笔者将尽可能详细地阐释想法，希望能引发你的讨论与共鸣；将尽可能多地提供例题和练习，希望你能择优录取，进行再加工与整合．接下来的正文像是论文，但又会夹杂诸多不成熟的个人观点，仅供参考；笔者更愿意它是一份教案，一份详案，让每一位想上并且有条件上初高中衔接的数学老师直接拿来主义．愿笔者梦想成真！。

数 学代数部分第一讲 乘法公式一、知识要点1．平方差公式： 22()()a b a b a b +-=-﹒ 2．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+；2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++﹒3．立方和公式： 2233()()a b a ab b a b +-+=+﹒ 4．立方差公式： 2233()()a b a ab b a b -++=-﹒ 5．完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++；33223()33a b a a b ab b -=-+-﹒二、例题选讲例1、填空（1）=++-)9)(3)(3(2x x x _______________﹒ 解：原式=81)9)(9(422-=+-x x x ﹒ （2）=+--22)2()12(x x ______________﹒解：原式=383)44(144222--=++-+-x x x x x x ﹒ 例2、已知31=+xx ，求下列各式的值： （1）221x x +；（2）331xx +﹒ 解：（1）21112)1(22222++=+⋅⋅+=+xx x x x x x x Θ，7292)1(1222=-=-+=+∴x x xx ﹒ (2) 18)17(3)11)(1(12233=-⨯=+-+=+x x x x x x ﹒例3、已知2x y +=，求代数式336x y xy ++的值． 解：33226()()6x y xy x y x xy y xy ++=+-++2222(3)2()8x xy y xy x y =-++=+=﹒例4、 已知8,9,x y y z -=-=试求代数式222x y z xy yz xz ++---的值． 解：8,9,17x y y z x z -=-=∴-=Q ，2222221(222222)2x y z xy yz xz x y z xy yz xz ∴++---=++---22222211[()()()](8917)21722x y y z x z =-+-+-=++= 三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．计算=+-++-++-))(())(())((a c a c c b c b b a b a _________． 2．计算22()2()()()x y x y x y x y +-+-+-= ． 3．2200620082004-⨯= ． 4．已知2510x x -+=，则221x x += ． 5．计算16842321)13)(13)(13)(13(⋅-++++= ．6．计算222222221234562009201012345620092010----++++++++L +201220112012201122+-﹒7．已知2a c b +=+，则222222a b c ab bc ac ++--+= ．8．已知2x y -=，求代数式336x y xy --的值．9．已知1,3x y xy -==，试求下列各式的值： （1）22;x y +（2）33.x y -第二讲 因式分解一、知识要点1．因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式． 2．因式分解的基本方法：（1）提公因式法 )(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法 常见公式有：①22()()a b a b a b -=+-， ②2222()a ab b a b ±+=±， ③3322()()a b a b a ab b ±=±+m ， ④3223333()a a b ab b a b ±+±=±，⑤2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++， （3）十字相乘法：2()()()x a b x ab x a x b +++=++ （4）配方法、添项拆项法，分组分解法 二、例题选讲例1、 因式分解：（1）244x x -+ ；（2）38x -；（3）33)2()2(a y a x ---﹒ 解：（1）244x x -+2(2)x =-（2）38x -3322(2)(24)x x x x =-=-++（3）33)2()2(a y a x ---=)()2()2()2(333y x a a y a x +-=-+-例2 、因式分解（1）256x x -+；（2）2215x x --；（3）26136x x -+﹒ 解：（1）256x x -+(2)(3)x x =--；（2）2215x x --(25)(3)x x =+-； （3）26136x x -+(23)(32)x x =--﹒例3、 因式分解225636x xy y x y -+-+ 解：225636x xy y x y -+-+(2)(3)3(2)x y x y x y =----(2)(33)x y x y =---例4、因式分解523325a ab a b b --+ 解：523325a ab a b b --+233233()()a a b b a b =---3322()()a b a b =-- 222()()()a b a b a ab b =-+++三、自我小结：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 四、巩固练习1．将下列各式分解因式： （1）32x x y -__________________________________________________________________ （2）44-x__________________________________________________________________ （3）33125x y -__________________________________________________________________ （4）1322+-x x__________________________________________________________________ （5）2(1)x a x a -++__________________________________________________________________（6）32331a a a +++__________________________________________________________________ （7）222221a b ab a b ++--+__________________________________________________________________ （8）22122512x xy y ++__________________________________________________________________ （9）2226x xy y x y ++---__________________________________________________________________ 2．已知25a b -=，346a b +=，求多项式22328a ab b --的值．第三讲 因式定理一、知识要点定理1（因式定理）：若a 是一元多项式)(0111是非负整数n a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--的根，即00111=++⋅⋅⋅++--a a a a a a a n n n n ，则多项式0111a x a x a x a n n n n ++⋅⋅⋅++--有一个因式a x -.根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的多项式，求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它是否有有理根。

初高中数学衔接教材{新课标人教A版}典型试题举一反三理解记忆成功衔接第一部分如何做好初高中衔接 1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节” 4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9页第四部分分章节讲解 10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练 67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

目录第一章数与式1.1数与式的运算1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章相似形、三角形、圆3.1相似形3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）1.1数与式的运算1.1.1 .绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即a, a 0,|a| 0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.例1解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得X V0,又x v 1 ,二x v 0；②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即1> 4,二不存在满足条件的x;③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,即2x 4 >4,解得x>4.又x>3二x>4.综上所述，原不等式的解为x V0, 或x>4.解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为|RA| + |PB|> 4.由|AB|= 2,可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.x V0,或x>4.P 丄CL A 丄BLDL---- x0134x V|x-3||x- 1|图1. 1-12.2练 1. 2.3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )(A )(C )化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =4，贝y x= _____ ；若 1 c 2,则 C =若a 若a|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a解法 :原式= (x 2 1) (x 21)2 x 2 = (x 2 1)(x4 2x1)= 6x 1 .解法 *■.原式=(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)=(x 3 1)(x 3 1)= 6 x 1 .例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值解： 2 a .2 2b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习1. 填空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)( )；9 4 2 3(2) (4 m)2 16m 24m ( )；(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2x 1)(x 2 x (1 )x 2 Imx k平方式，(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3b ;(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3；(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b3ab 2 b 3 .ac)；对上面列出的五个公式,(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m24 3 16((2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值(（A ）总是正数（B ）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.1.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2 .二次根式-a2的意义a, a 0, aa, a 0.例1将下歹J式子化为最简一次根式：(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).例2计算:暑(3 73).解法- -.73 (33 V3初中升高中数学教材变化分析解法二：解:=-3 (3 . 3)(3 . 3)(3、、3)=3^3 39 3=3(、、3 1)6=.3 12.3 (3、、3)=—3 V3试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃110 ；(1) V J2.1112 11111 1011 -101= 丽3^3 1)_ 1 = _______________ = .3 1(.3 1)C 3 1)J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)和 2.2— 6 . .12 ,11(、石 *10)(、11 ”10) 、石；10又. .12、一 11 5^ ,10 ,••• .,12 ,11 v .11.(2).. 2运—庇 2屁苗212-46)(242+46)又 4>2 2, _• ° •号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,• 一2 v 2、、2—•、6..6 4化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3= C3、、2 C3 =12004(4 2、2+ 6 ,3 11 .12 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '2,2+「6’.2 ) 2004 (「3.2)5化简:2) = .3、、2 .(1) .9 4*5 ；(2)x 2解: (1)原式(2)原式={(x *).(5)2 2 2 -5 221 x••• 06 已知xx 1 ,-丄3 2 、3 2 ,y1 22(0 x 1).x7(2 V5)2 2 71 x ，所以，原式=-x密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.、3 <2解：「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2do ， 32 3 2Xy.3, 2 , 3 . 2 1，2 2 2 2…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 1011 289 .练 习1.1.4 .分式1.分式的意义 形如A 的式子，若B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分BB式A 具有下列性质：BA A MA A MB B M 'B B M *上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式a像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_n P例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.X (X 2) X X 21. 填空：1 (1)(2) (3) (4) 13若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂22. 选择题:.立3. 4.(B )1U ，求 a a 1比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填b 的值. (C )N”.(D )0X 2解:~A B• ____ _x x 2.A B 5,2A 4,(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.2. 3.4.(1) (2) (2)(3) 证明:1 n 12 3证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2(其中n 是正整数);1 9 10 '的正整数n ,有二 —2 3 3 41n(n 1)解：由 1 2(3)证明:..1 1• -------n n 1. 1n(n 1)(1)可知丄L2 31 12 3 3 41 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.n n(n 1) 1 n 1 (n 1)19 10 1 1 1 -)( )1 2 2 31 1 1 1— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 31又n 》2且n 是正整数，二.11, 1 1 • • LV2 3 3 4 n(n 1)2且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得2呂—5e + 2_ 0,• (2e — 1)(e — 2)_ 0,1• e _ 2 V 1,舍去； •- e _ 2.或 e = 2. 一定为正数,求e 的值.丄 10910_丄_ 2习填空题: 选择题: 若) (A)对任意的正整数 2x yx正数x,y 满足 x 2 n ,1n(n 2)(丄n(B)2xy ，求 54x yx的值.y(C ) 4(D)计算丄- 99 100习题1. 1 A 组1.解不等式：(1) (3) 2 .已知x y 1 , x 1 3；(2) x 3x 27 ；x 1 x 1 6 .3xy 的值. 求 x 3 y 3 3. 填空：(1) (2) (3)(2 .3)18(2若,(T 1 .2a)21,(1 a)22 , 1__ ?则a 的取值范围是1 4「51.填空:(1) a2.1.(2)若 x 2xy 2y 2已知：x 1 2，y3a 2 2 3a 5ab 2b2小0，则—xy yx y _x . y ab 2 _________________22 _ __ ---------y」y _的值.x yC 组选择题: ((A ) a b(B ) a b(C ) a b 0 (D ) b a 0( 2)计算a :等于( )(A) < ~(B ) ■- a (C )-(D ) 、、a2.解方程2(x 2丄)13(x -)1 0 .x x3.计算：-——-1 L 1.132 43 59 114.试证：对任意的正整数 n ,有1L -1 1 —<-.b 2 一 ab 、、b a若 则)a () n(n 1)(n2) 2 3 41 2 3 1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法例1分解因式： (1) x 2-3x + 2;(2) x 2 + 4x —（3） x 2 （a b ）xy aby 2 ； （4） xy 1 x y .解：（1）如图1. 1- 1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一 3x ,就是 x 2-3x + 2中的一次项，所以，有x 2- 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1- 1中的两个x 用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2) 由图1. 1-3,得x 2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6).(3) 由图1. 1-4,得2 2x (a b)xy aby = (x ay)(x by) x―1(4) xy 1 x y = xy + (x - y) — 1y ”1=(x - 1) (y+1)(如图 1. 1-5 所示).图 1. 1-5课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式: (1) 2 x 5x 6 。

2018年浙江省初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (a + b )(a — b ) = a 2 — b 2 ；(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式:(1) %2—3%+2；(2) %2+4x —12；(3) x 2 — (a + b )xy + aby 2 ； (4) %y — 1 + % — y .解：(1)如图1. 1 — 1,将二次项%2分解成图中的两个%的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3%，就是%2—3%+2中的一次项，所以，有%2一3 %+2 = (% 一 1)(% 一2).(1)平方差公式(2)完全平方公式 (1) 立方和公式 (a + b )(a 2 — ab + b 2) = a 3 + b 3 ； (2) 立方差公式 (a — b )(a 2 + ab + b 2) = a 3 — b 3 ；(3) 三数和平方公式 (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac )； (4) 两数和立方公式 (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 ； (5) 两数差立方公式(a — b)3 = a 3 — 3a 2b + 3ab 2 — b 3.对上面列出的五个公式， 有兴趣的同学可以自己去证明.1/—2%/ - ay 1图；I %图：1;1X12 图 1. 1—2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1. 1-1中的两个％用1来表示（如图1. 1-2所示）.(2)由图1. 1-3,得x2+4x—12 = (x—2)(x+6).(3)由图1. 1—4,得x 2 —(a + b) xy + aby 2 = (x - ay)(x - by)(4)xy — 1 + x — y = xy+(x—y) —1=(x—1) (y+1)(如图1. 1—5 所示).一、填空题：1、把下列各式分解因式:(1)x 2 + 5 x—6 =。

衔接教材一本通初升高答案尊敬的教师和同学们：在初升高的过渡阶段，学生们面临着学科知识的深化和学习方法的转变。

为了帮助学生更好地适应这一变化，我们编写了这本《衔接教材一本通初升高答案》。

本书旨在提供全面的学习指导和答案解析，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。

第一部分：数学1. 代数基础- 一元一次方程的解法- 二元一次方程组的解法- 多项式的运算和因式分解2. 几何初步- 平面图形的性质- 立体图形的认识- 几何证明的基本方法3. 函数与方程- 函数的概念与性质- 一次函数和二次函数的图像与性质- 函数的单调性和极值第二部分：语文1. 文言文阅读- 文言文词汇的积累- 文言文句式的理解- 文言文篇章的翻译与分析2. 现代文阅读- 现代文的阅读技巧- 现代文的文学鉴赏- 现代文的写作训练3. 写作指导- 记叙文的写作方法- 议论文的写作技巧- 说明文的写作要点第三部分：英语1. 词汇积累- 高频词汇的记忆方法- 词根词缀的运用- 同义词和反义词的辨析2. 语法精讲- 时态和语态的运用- 非谓语动词的用法- 从句的构成与应用3. 阅读理解- 快速阅读技巧- 细节理解与推理判断- 长难句的解析第四部分：物理1. 力学基础- 力的基本概念- 牛顿运动定律- 功和能的关系2. 电磁学初步- 电场和磁场的基本概念 - 欧姆定律- 电磁感应现象3. 物理实验- 基本实验操作- 实验数据的处理- 实验误差的分析第五部分：化学1. 化学基本概念- 原子和分子- 化学键和化合物- 化学反应的类型2. 化学计算- 化学方程式的平衡- 摩尔质量的计算- 溶液的浓度计算3. 化学实验- 实验室安全规则- 常见化学实验的操作- 实验现象的观察与记录结语希望这本《衔接教材一本通初升高答案》能成为同学们学习的好帮手，帮助大家顺利过渡到高中学习阶段。

我们鼓励同学们在学习过程中不断提问、探索和实践，以培养独立思考和解决问题的能力。

250 初高中数学衔接教材1.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++=61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m251（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数2．因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法 例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2x x图1．1－1－1 －21 1图1．1－2－2 61 1图1．1－3 －ay －byx x图1．1－4252 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。

一、比例与齐次式我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证：此三角形为直角三角形．例2 已知：a b ＝c d. 求证：(1)a －b b ＝c －d d ；(2)a ＋b b ＝c ＋d d； (3)a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d .例3 已知△ABC 中，有AB AD ＝AC AE ，求证：AD DB ＝AE EC . 例4 已知：a ＋b ＝1且1b ＝2a，求a 和b . 例5 已知y ＝2x (x ≠0)．(1)求x 2－3xy ＋y 2xy ＋y 2的值． (2)求证：x 2＋32xy －y 2＝0. 例6 已知：x ∶y ∶z ＝1∶2∶3.求x 3－yz 2＋3z 3xyz的值．二、二次根式 一般地，形如a (a ≥0)的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：1．(a )2＝a (a ≥0)．2.a 2＝|a |.3.ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．4. b a ＝b a(a >0，b ≥0)． 例7 将下列式子化为最简根式． (1)12b ；(2)a 2b (a ≥0)； (3)4x 6y (x <0)．例8 试比较下列各组数的大小． (1)12－11和11－10； (2)26＋4和22－ 6. 例9 化简：(3＋2)2 012·(3－2)2 013.例10 化简：(1)9－45；(2) x 2＋1x 2－2(0<x <1)． 例11 已知：x ＝3－23＋2，y ＝3＋23－2. 求：3x 2－5xy ＋3y 2的值．例12 已知：x >0，y >0，x ＋2xy －15y ＝0. 求x －y x ＋xy的值． 例13 化简：x 2＋6x ＋9＋x 2－4x ＋4.1．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则k ＝________. 2．已知：x 2－3xy ＋2y 2＝0，则x y＝________. 3．已知x ∶y ＝1∶2，求：x 2－3xy ＋4y 2x 2＋y 2的值．4．已知：x 2＋5xy －6y 2＝0，求：2x ＋3y 2x －y的值．5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.求证：此三角形为直角三角形．6．已知：a 2＝b 2＋c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)b a ＝12，求c a 的值．(2)b a ≥12，求c a 的取值范围．7．已知：a 2＋b 2＝c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)c a ＝2，求b a的值． (2)c a ≥2，求b a的取值范围．8．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 2＋b 2－c 22ab的值．9．化简下列各式．(1) 8－28； (2)12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋1100＋99.10．已知：x ＝3－52，求x 2x 4＋x 2＋1的值．11．计算：23×6－(2－5)2＋15＋2.12．已知：x ＝a ＋1a (a >0)，化简：x ＋2＋x －2x ＋2－x －2.答案精析例1 证明 设三角形的三边分别为a ，b ，c ，∵a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，k >0，∵a 2＋b 2＝9k 2＋16k 2＝(5k )2＝c 2，∴三角形为直角三角形．例2 证明 (1)∵a b ＝c d ，∴a b －1＝c d －1，a －b b ＝c －d d. (2)∵a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋d d. (3)设a b ＝c d＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd ， a ＋cb ＋d ＝kb ＋kd b ＋d＝k ，∴a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d . 例3 证明 ∵AB AD ＝AC AE ，由例2可知：AB －AD AD ＝AC －AE AE ，∴DB AD ＝EC AE ，即AD DB ＝AE EC . 例4 解 ∵1b ＝2a ＝1＋2a ＋b ＝3，∴b ＝13，a ＝23. 例5 (1)解 原式＝1－3y x ＋(y x )2y x ＋(y x)2＝－16. (2)证明 原式＝x 2[1＋32(y x )－(y x)2]＝0. 例6 解 设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，原式＝k 3－2k ·(3k )2＋3(3k )3k ·2k ·3k ＝323. 例7 解 (1)23b (2)a b (3)－2x 3y .例8 解 (1)∵12＋11>11＋10>0， ∴112＋11<111＋10，∴12－11<11－10.(2)∵22－6＝222＋6，又∵4>22， ∴24＋6<222＋6＝22－ 6. 例9 解 原式＝(3＋2)2 012(3－2)2 012(3－2)＝3－ 2.例10 解 (1)原式＝ 22－45＋52 ＝(2－5)2＝|2－5|＝5－2. (2)原式＝(x －1x )2＝|x －1x |＝1x －x (∵0<x <1)． 例11 解 xy ＝1，x ＋y ＝10，原式＝289.例12 解 x ＋2xy －15y ＝0，(x ＋5y )(x －3y )＝0，∵x ＋5y >0，∴x ＝9y ，原式＝23. 例13 解 原式＝|x ＋3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1 (x ≤－3)5 (－3<x <2)2x ＋1 (x ≥2).强化训练1.122.2或1 3．解 由y ＝2x ，得：原式＝x 2－3x ×(2x )＋4(2x )2x 2＋(2x )2＝115. 4．解 由条件得：x ＝－6y 或x ＝y ，∴原式＝913或5. 5．证明 设a ∶b ∶c ＝5∶12∶13，则a ＝5k ，b ＝12k ，c ＝13k (k >0) a 2＋b 2＝(25＋144)k 2＝(13k )2＝c 2.所以三角形为直角三角形．6．解 (1)c a ＝32 (2)0<c a ≤327．解 (1)c 2a 2＝2,1＋(b a )2＝2，(b a )2＝1，b a＝1(∵a >0，b >0) (2)c 2a 2≥2,1＋b 2a 2≥2，(b a )2≥1，b a≥1(∵a >0，b >0)． 8．解 设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，原式＝－14.9．解 (1)7－1；(2)910．解 x 2＝7－352，1x 2＝7＋352，x 2＋1x 2＝7，原式＝1x 2＋1x 2＋1＝18. 11．解 原式＝23×2×3－|5－2|＋(5－2)＝2. 12．解 x ＋2＝(a ＋1a )2＝a ＋1a，x －2＝|a －1a |， a >1时，x －2＝a －1a ，原式＝a ＋1a ＋(a －1a )a ＋1a －(a －1a)＝a .a ＝1时，x ＝2，原式＝1. 0<a <1时，x －2＝1a －a ，原式＝a ＋1a ＋1a －a a ＋1a ＋a －1a ＝1a .∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a >11 a ＝11a 0<a <1。

Qq 初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节〞1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1〞的分解，对系数不为“1〞的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。

配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基此题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系〔韦达定理〕在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这局部内容视为重难点。

方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何局部很多概念〔如重心、垂心等〕和定理〔如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等〕初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.４分式1．2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系〔韦达定理〕2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心〞3.2.2 几种特殊的三角形3．3圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①假设1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②假设12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③假设3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，\点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式 ‘由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空：〔1〕假设5=x ，那么x =_________；假设4-=x ，那么x =_________.〔2〕如果5=+b a ，且1-=a ，那么b ＝________；假设21=-c ，那么c ＝________.2．选择题：以下表达正确的选项是 〔 〕〔A 〕假设a b =，那么a b = 〔B 〕假设a b >，那么a b > 〔C 〕假设a b <，那么a b < 〔D 〕假设a b =，那么a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|〔x ＞5〕．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： 〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； 〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到以下一些乘法公式：〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 〔4〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； 〔5〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空：〔1〕221111()9423a b b a -=+〔 〕； 〔2〕(4m + 22)164(m m =++ )；〔3〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：〔1〕假设212x mx k ++是一个完全平方式，那么k 等于 〔 〕 〔A 〕2m 〔B 〕214m 〔C 〕213m 〔D 〕2116m〔2〕不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕〔A 〕总是正数 〔B 〕总是负数〔C 〕可以是零 〔D 〕可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 212x ++，22x y ++等是有理式．1．分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根号化去，叫做分母〔子〕有理化．为了进行分母〔子〕有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1将以下式子化为最简二次根式：〔1〔20)a ≥； 〔30)x <．解： 〔1= 〔20)a ==≥；〔3220)xx x ==-<．例2(3-．解法一：(3-＝393-＝1)6＝12．解法二：(3-＝12． 例3 试比拟以下各组数的大小：〔1； 〔2解： 〔11===，===，>，〔2〕∵=== 又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4化简：20042005⋅-．解：20042005⋅-＝20042004⋅-⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅-⎣⎦＝20041⋅ ．例 5 化简：〔1〔21)x <<．解：〔1〕原式===2=2=．〔2〕原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6x y ==22353x xy y -+的值 ． 解：∵2210x y +==+=，1xy ==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： 〔1＝__ ___；〔2(x =-x 的取值范围是_ _ ___； 〔3〕=__ ___； 〔4〕假设2x ==______ __． 2．选择题：=QQ 群416652117的条件是 〔 〕 〔A 〕2x ≠ 〔B 〕0x > 〔C 〕2x > 〔D 〕02x <<3．假设b =a b +的值．4．比拟大小：2－4〔填“＞〞，或“＜〞〕．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，假设B 中含有字母，且0B ≠，那么称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有以下性质： A A M B B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的根本性质． 2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 假设54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 〔1〕试证：111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕；〔2〕计算：1111223910+++⨯⨯⨯； 〔3〕证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． 〔1〕证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++〔其中n 是正整数〕成立QQ 群416652117．〔2〕解：由〔1〕可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．〔3〕证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，∴1n ＋1 一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．∴e ＝2． 练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：假设223x y x y -=+，那么xy＝ 〔 〕 〔A 〕１ 〔B 〕54 〔C 〕45〔D 〕653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：〔1〕1819(2(2+-＝________；〔22=，那么a 的取值范围是________； 〔3=________．B 组1．填空：〔1〕12a =，13b =，那么2223352a ab a ab b -=+-____ ____； 〔2〕假设2220x xy y +-=，那么22223x xy y x y++=+__ __；2．：11,23x y ==的值． C 组1．选择题：〔1= 〔 〕 〔A 〕a b < 〔B 〕a b > 〔C 〕0a b << 〔D 〕0b a <<〔2〕计算 〔 〕〔A 〔B 〔C 〕 〔D 〕2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=．3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1.1.1．绝对值1．〔1〕5±；4± 〔2〕4±；1-或3 2．D 3．3x －181.1.2．乘法公式 1．〔1〕1132a b -〔2〕11,24 〔3〕424ab ac bc --2．〔1〕D 〔2〕A1.1.3．二次根式1． 〔12 〔2〕35x ≤≤ 〔3〕- 〔42．C 3．1 4．＞1.1.4．分式1．12 2．B 3． 1- 4．99100 习题1．1A 组1．〔1〕2x <-或4x > 〔2〕－4＜x ＜3 〔3〕x ＜－3，或x ＞32．1 3．〔1〕2-〔2〕11a -≤≤ 〔31-B 组1．〔1〕37 〔2〕52，或－15 2．4．C 组1．〔1〕C 〔2〕C 2．121,22x x == 3．36554．提示：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：〔1〕x 2－3x ＋2； 〔2〕x 2＋4x －12； 〔3〕22()x a b xy aby -++； 〔4〕1xy x y -+-．解：〔1〕如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示〔如图1．2－2所示〕．〔2〕由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． 〔3〕由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- 〔4〕1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) 〔如图1．2－5所示〕． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：〔1〕32933x x x +++； 〔2〕222456x xy y x y +--+-． 解： 〔1〕32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．〔2〕222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．假设关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，那么二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把以下关于x 的二次多项式分解因式：－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －21 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5〔1〕221x x +-； 〔2〕2244x xy y +-．解： 〔1〕令221x x +-=0，那么解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．〔2〕令2244x xy y +-=0，那么解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++．练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 〔 〕 〔A 〕25x y - 〔B 〕3x y - 〔C 〕3x y + 〔D 〕5x y - 2．分解因式：〔1〕x 2＋6x ＋8； 〔2〕8a 3－b 3；〔3〕x 2－2x －1； 〔4〕4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：〔1〕 31a +； 〔2〕424139x x -+；〔3〕22222b c ab ac bc ++++； 〔4〕2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：〔1〕253x x -+ ； 〔2〕23x --；〔3〕2234x xy y +-； 〔4〕222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．1.2分解因式1． B2．〔1〕(x ＋2)(x ＋4) 〔2〕22(2)(42)a b a ab b -++〔3〕(11x x --- 〔4〕(2)(22)y x y --+．习题1．2 1．〔1〕()()211a a a +-+ 〔2〕()()()()232311x x x x +-+-〔3〕()()2b c b c a +++ 〔4〕()()3421y y x y -++-2．〔1〕5522x x ⎛+--- ⎝⎭⎝⎭； 〔2〕(x x --；〔3〕22333x y x y ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 〔4〕()3(1)(11x x x x -+--． 3．等边三角形4．(1)()x a x a -++2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是〔1〕当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；〔2〕当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； 〔3〕当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；〔2〕当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定以下关于x 的方程的根的情况〔其中a 为常数〕，如果方程有实数根，写出方程的实数根．〔1〕x 2－3x ＋3＝0； 〔2〕x 2－ax －1＝0； 〔3〕 x 2－ax ＋(a －1)＝0； 〔4〕x 2－2x ＋a ＝0． 解：〔1〕∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． 〔2〕该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =， 22a x =． 〔3〕由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．〔3〕由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系〔韦达定理〕假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕有两个实数根． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，假设x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)程x 2＋px ＋q ＝0的两根，出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21，QQ 群557619246∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：〔1〕在此题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21〞求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．〔1〕在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立QQ 群416652117的前提是一元大方向个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ，那么 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得 QQ 群557619246 x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二〔直接利用韦达定理来解题〕要比解法一简捷． 例5 假设x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． 〔1〕求| x 1－x 2|的值；〔2〕求221211x x +的值； 〔3〕x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-〕22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．〔3〕x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，那么，2x=，∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：假设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕，那么| x 1－x 2|＝||a Δ＝b 2－4ac 〕． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 假设关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，那么x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：〔1〕方程2230x k -+=的习题2.1 A 组1．选择题:〔1〕关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，那么它的另一个根是〔 〕 〔A 〕－3 〔B 〕3 〔C 〕－2 〔D 〕2 〔2〕以下四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 〔 〕 〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个〔3〕关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，那么a 的值是〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕0，或－12．填空:〔1〕方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，那么k ＝ ．〔2〕方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，那么α2＋β2＝ ．〔3〕关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是 ．〔4〕方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，那么| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:假设关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，那么k 的值为〔 〕〔A 〕1，或－1 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕0 2．填空:〔1〕假设m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，那么m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ． 〔2〕如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．关于x 的方程x 2－kx －2＝0．4．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9习题2．12．〔1〕2006 提示：∵m ＋n ＝－2005，mn ＝－1，∴m 2n ＋mn 2－mn ＝mn (m ＋n －1)＝－1×(－2005－1)＝2006．〔2〕－3 提示；∵a ＋b ＝－1，ab ＝－1，∴a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3＝a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋b )＝(a ＋b )( a 2＋b 2)＝(a ＋b )[( a ＋b ) 2－2ab ]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．〔1〕∵Δ＝(－k )2－4×1×(－2)＝k 2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． 〔2〕∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴2k ＞－2，即k ＞－1．4．〔1〕| x 1－x 2|，122x x +＝2b a -；〔2〕x 13＋x 23＝333abc b a -． 5．∵| x 1－x 2|2==，∴m ＝3．把m ＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m ＝3．C 组1．〔1〕B 〔2〕A〔3〕C 提整数的实数k 的整数值为－2，－3和－5．〔3〕当k ＝－2时，x 1＋x 2＝1，① x 1x 2＝18， ② ①2÷②，得1221x x x x +＋2＝8，即16λλ+=，∴2610λλ-+=，∴3λ=± 4．〔1〕Δ＝22(1)20m -+>；〔2〕∵x 1x 2＝－24m ≤0，∴x 1≤0，x 2≥0，或x 1≥0，x 2≤0．①假设x 1≤0，x 2≥0，那么x 2＝－x 1＋2，∴x 1＋x 2＝2，∴m －2＝2，∴m ＝4．此时，方程为x 2－2x－4＝0，∴11x =21x =②假设x 1≥0，x 2≤0，那么－x 2＝x 1＋2，∴x 1＋x 2＝－2，∴m －2＝－2，∴m ＝0．此时，方程为x 2＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝－2．5．设方程的两根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝a ， 由一根大于1、另一根小于1，得(x 1－1)( x 2－1)2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象〔如图2－1所示〕，从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系图2.2-1同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象〔如图2－2所示〕，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同〞的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移〞；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移〞．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋bx a＋224b a )＋c －24b a224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有以下性质：〔1〕当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．〔2〕当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值〔或最小值〕，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大〔或减小〕并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向图2.2-2例2 某种产品的本钱是120元/件，试销阶段每件产品的售价x 〔元〕与产品的日销售量y 〔件〕之x /元 130 150 165 y /件 70 50 35为多少元此时每天的销售利润是多少分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于设每天的利润为z 〔元〕，那么z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，那么是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：〔1〕当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；〔2〕当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；〔3〕当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；〔4〕当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取局部实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：〔1〕以下函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 〔 〕 〔A 〕y ＝2x 2 〔B 〕y ＝2x 2－4x ＋2 〔C 〕y ＝2x 2－1 〔D 〕y ＝2x 2－4x〔2〕函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 〔 〕〔A 〕向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 〔B 〕向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 〔C 〕向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 〔D 〕向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题〔1〕二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，那么m ＝ ，n ＝ ．〔2〕二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．〔3〕函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小． 3．求以下抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大〔小〕值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． 〔1〕y ＝x 2－2x －3； 〔2〕y ＝1＋6 x －x 2．4．函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在以下取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大〔小〕值时所对应的自变量x 的值：〔1〕x ≤－2；〔2〕x ≤2；〔3〕－2≤x ≤1；〔4〕0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：①图2.2－6②③1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标〔纵坐标为零〕，于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在以下关系：〔1〕当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么Δ＞0也成立QQ群416652117．〔2〕当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点〔抛物线的顶点〕；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，那么Δ＝0也成立QQ群416652117．〔3〕当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，那么Δ＜0也成立QQ群416652117．于是，假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，那么x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：假设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，那么其函数关系式可以表示为y ＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点〔3，－1〕，求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是〔1，2〕．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点〔3，－1〕， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3 二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式练 习 1．选择题:〔1〕函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 〔 〕。

数学目录阅读材料：1）高中数学与初中数学的联系2）如何学好高中数学3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键4）高中数学学习方法和特点5）怎样培养好对学习的良好的习惯？第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课：相似形第二十三课：三角形的四心第二十四课：几种特殊的三角形第二十五课：圆第二十六课：点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。

在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。

这也是我们继续高中数学学习的基础。

良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。

高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。

高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。

1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。

”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。

初高中数学衔接教材前言二次函数、二次方程、二次不等式在高中数学中占有重要地位,是高中数学学习的基础，在高中学习中一直是“重头戏”，高中函数、三角、解析几何的许多内容都与二次函数、二次方程、二次不等式有关．高中数学中有许多重要的基础性知识应用广泛，如一元二次方程根的分布、一元三次方程与不等式、高次不等式、含参数的不等式解法、“打勾函数”、恒成立问题、存在性问题、分式函数的值域等，这些知识在初高中教材中又是不常见的，几乎没有，本书在这些方面作一些补充和尝试．本书可以作为初高中衔接的教材，也是高一新生的入门教材，在高一阶段也可作为校本教材使用．目 录第一章 一元二次方程 (1)1.1一元二次方程的判别式及其作用 ...............................................................1 1.2一元二次方程根的求解 ...........................................................................1 1.3 韦达定理及其应用 .................................................................................6 1.4一元三次方程根的求解 (8)第二章 二次函数 (12)2.1二次函数常见的三种表达形式 ………………………………………………………12 2.2 二次函数在特定区间内的值域(最值) …………………………………………………17 2.3函数m x a y -=(m a ,为常数，且0≠a )的图象和性质 …………………………21 2.4函数n x b m x a y -+-=(n m b a ,,,为常数，且0≠ab )的图象和性质 ……24 2.5 “耐克函数”a a x a x y ,0(>+=为常数)与a a xax y ,0(<+=为常数)的图象和性质 26第三章 一元二次不等式 (29)3.1一元二次不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax (其中0≠a )的解法 (29)3.2 含参数的一元二次不等式的解法 ……………………………………………………35 3.3 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的研究 (39)第四章 高次不等式的解法 (47)第五章 简单分式函数的值域求法 (51)5.1 函数dcx bax y ++=(其中)0≠ac 的值域 (51)5.2 函数e dx cbx ax y +++=2(其中)0≠ad 的值域 (53)5.3 函数e dx cx b ax y +++=2(其中)0≠ac 与fex dx cbx ax y ++++=22(其中)0≠ad 的值域 55第六章 恒成立问题与存在性问题 (58)6.1恒成立问题与存在性问题两个常见结论 ......................................................58 6.2 二次函数的恒成立问题 (60)第一章 一元二次方程一元二次方程是高中数学学习的基础，在高中数学中占有十分重要的位置．一元二次方程根的求解、韦达定理、判别式、根的范围的分析等都是高中数学学习的基础．1.1一元二次方程的判别式及其作用对一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，判别式ac b 42-=∆． 当0>∆时，方程有两个不等实根，当0=∆时，方程有两个相等实根， 当0<∆时，方程没有实数根．1.2一元二次方程根的求解一元二次方程根的求解常用三种办法：十字相乘法(因式分解)，配方法，公式法． 1.2.1 十字相乘法(因式分解) 因式分解(分解因式)，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．因式分解法就是通过因式分解将一元二次方程化成0))((=++d cx b ax 的形式（注意方程右边一定是0）从而得出a b x -=或cdx -=．十字相乘法(因式分解)是解一元二次方程最常用的方法，应用最为广泛，一定要掌握,并多加练习, 但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程 ．例1.2.1解下列一元二次方程 ：(1) 06722=++x x ；(2) 022=--x x ． 解：(1) 应用十字相乘法. 把22x 拆成x 2和x , 把6拆成2和3 x 2 3 (也可以拆成1和6 , 2和3 的位置也可变化, 具体取哪一种,要看 x 2 十字相乘能否凑成一次项的系数), 如右图,然后再将x 2和2相乘得x 4, 将x 和3相乘得到x 3,最后将x 4和x 3加起来，看是不是等于式子中的一次项x 7,如果是,就OK 了.0)2)(32(=++x x , 从而得它的两个根为21-=x ,232-=x ．(2) 应用十字相乘法化为0)1)(2(=+-x x ,得它的两个根为21=x ,12-=x .1.2.2配方法 先把方程化为形如c b a c b ax ,,()(2=+为常数，0≠a ）的方程，再用直接开平方法得方程的解．配方法是解一元二次方程公式法的基础，没有配方法就没有公式法．例1.2.2 解一元二次方程：0262=--x x ．解：由0262=--x x ，得11)3(2=-x ，得113±=x ．1.2.3 公式法 公式法是解一元二次方程的通法，较配方法简单．当十字相乘法(因式分解)较困难时，是解一元二次方程最常用的方法．对一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，判别式ac b 42-=∆．当0>∆时，方程有两个不等实根，aacb b x 242-±-=；当0=∆时，方程有两个相等实根，ab x 2-=； 当0<∆时，方程没有实数根．例1.2.3 解一元二次方程：0242=--x x ． 解：,2,4,1-=-==c b a 024)2(14)4(2>=-⨯⨯--=∆，方程有两个不等实根：622244±=±=x ．课后作业1.2分别解下列一元二次方程．１．（1）01322=++y y ；（2）01092=--x x ； (3）031032=++x x ．２．(1) 0262=--x x ； (2) 01562=-+x x ； (3)061352=-+x x ．３．（1）02452=--x x ； (2) 081032=-+x x ；（3）01272=++x x ．４．（1）0622=--x x ； (2) 0862=-+x x ；（3）022=++x x ．５．（1）0152=+-x x ； (2) 0632=--x x ；（3）02722=++x x ．６．．；　；0432)3(0523)2(023)1(222=--=++-=+-x x x x x x７．．；　；0162)3(0126)2(02073)1(222=+-=--=-+x x x x x x８．(1) 06122=--x x ； (2) 0671122=--x x ； (3) 06122=+-x x ．９．已知m 是实常数，解下列一元二次方程：(1) 0222=-+m mx x ； (2) 05161222=+-m xm x ．1.3 韦达定理及其应用对一般地，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当判别式042≥-=∆ac b 时，方程有两个实根21,x x ，则有ac x x a b x x =⋅-=+2121,．例 1.3.1 已知21,x x 是方程 07232=--x x 的两根，求： 2221)1(x x +；221)()2(x x -；21)3(x x -．解：由韦达定理37,322121-=⋅=+x x x x ．则(1) 946)37(2942)(212212221=-⨯-=-+=+x x x x x x ． (2) 221)(x x -988)37(4944)(21221=-⨯-=-+=x x x x ．(3) 2232)(22121=-=-x x x x ．例1.3.2 已知21,x x 是下列各方程的两实根, 分别求221)(x x -：)31(333)2(022)1(2222222±≠=--=++-k b kx x k x k x k ）（；）（ ．解：(1) 由韦达定理1,)2(2212221=⋅+=+x x kk x x ．则 221)(x x -4242221221)1(164)2(44)(k k k k x x x x +=-+=-+=．(2) 0)327(18)31(222=+-+-b kx x k ，由韦达定理13327,13182221221-+=⋅-=+k b x x k k x x ，则 221)(x x -222222222221221)13()39(1213)327(4)13(3244)(--+=-+--=-+=k k b b k b k k x x x x ．课后作业1.3１．已知21,x x 是方程 04322=-+x x 的两实根，求：2221)1(x x +；221)()2(x x -；21)3(x x -．２．已知21,x x 是方程 05232=++-x x 的两实根，求)1)(1(21--x x 的值．３．已知21,x x 是方程03)12(2=+-+x k x 的两实根，若+21x x 0)1)(1(21=--x x ， 求k 的值 ．４．已知方程 02=++c bx ax 的两实根为２，－３，解方程02=+-c ax bx ．５．已知2,121==x x 是方程 0)1(2=+++b x ab ax 的两实根，求b a ,的值．６．已知21,x x 是方程 0542=+-m x x 的两实根，若0)2)(2(21=++x x , 求m 的值 ．７．已知21,x x 是方程[]421422=-++）（k kx x 的两根, 求221)(x x -．８．已知21,x x 是方程 0722=+-x x λ的两实根，若51221<+x x x x , 求实数λ的取值范围 ．９．已知21,x x 是方程 06)12(32=+-+x a x 的两不等实根，若 121<-x x , 求实数a 的取值范围 ．1.4一元三次方程根的求解 1.4.1一元三次方程猜根法求解高中数学中, 一元三次方程根的求解, 主要采用先猜一个有理根 , 再进行因式分解法求解．因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先猜出它的一个有理根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．一般地, 对一个一元三次方程：0012233=+++a x a x a x a , 如果它有有理根nmx =（既约分数），其中Z n m ∈,, 且0≠n , 则m 是0a 的约数，n 是3a 的约数．例1.4.1 解一元三次方程：0563=+-x x ．解：5,603==a a , 则0a 的约数有5,1±±=m , 3a 的约数有6,3,2,1±±±±=n , 若原方程有有理根，则有理根必为65,61,35,31,25,21,5,1±±±±±±±±=x ， 先猜简单的1-=x 为它的根，则该一元三次方程可化为0)566)(1(2=+-+x x x ，由于方程05662=+-x x 无实根，从而得它只有一个实数根：1-=x ．例1.4.2 解一元三次方程：0223=-+x x ．解：对左边作因式分解，得0)22)(1(2=++-x x x , 得方程只有一个实数根：1=x ． 例1.4.3 解一元三次方程：02223=+--a a a ．解：先猜一个根1=a ，则化为0)2)(1(2=---a a a ，再因式分解可得三个实数根1,1,2-=a ．1.4.2一元三次方程卡尔丹公式法求解(含复数根)方程03=++q px x 的三个根为(其中231iw +-=, i 为虚数单位) 332332127422742p q q p q q x +--+++-=；3322332227422742p q q w p q q w x +--⋅+++-⋅=；3323322327422742p q q w p q q w x +--⋅+++-⋅=．标准型一元三次方程023=+++d cx bx ax （其中R d c b a ∈,,,，且0≠a ），令aby x 3-=代入上式，可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程03=++q py y ．【卡尔丹判别法】 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根．1.4.３一元三次方程盛金公式法求解盛金公式法求解一元三次方程，在这里不作介绍，有兴趣可上网查询．相关链接：/s5518/msgview-49671-5.html1.4.4 一元三次方程的根与系数的关系方程023=++++d cx bx ax （其中R d c b a ∈,,,，且0≠a ）的三个根为1x ,2x ,3x ,则))()((32123x x x x x x a d cx bx ax ---=+++,展开即得abx x x -=++321, a c x x x x x x =++133221, ad x x x -=⋅⋅321.课后作业1.4分别解下列一元三次方程：１．(1) 04115223=+-+x x x ； (2) 01223=--x x ；２．(1) 01323=--x x ； （2）04323=+-x x ．３．(1) 063223=++-x x x ； （2）062523=+--x x x ．４．(1) 02323=--+x x x ； （2）027523=-+-x x x ．５．(1) 03323=+--x x x ； （2）03103=--x x ．６．(1) 015323=++-x x x ； （2）041919623=---x x x ．７．(1) 0577223=+--x x x ； (2)06174323=+--x x x ．８．(1) 01216311023=-++x x x ； (2) 03118423=+-+x x x ．第二章 二次函数二次函数的三种表示方法、二次函数的图象和性质以及二次函数的简单应用是本节内容的重点．在高中数学中，经常采用区间来表示相应的实数值的集合．具体规定如下：()a ,∞-表示小于a 的实数的集合{}a x x <； ()∞+,a 表示大于a 的实数的集合{}a x x>；(]a ,∞-表示小于等于a 的实数的集合{}a x x≤；[)∞+,a 表示大于等于a 的实数的集合{}a x x ≥；()b a ,表示大于a 且小于b （其中a b >）的实数的集合{}b x a x<<；[]b a ,表示大于等于a 且小于等于b （其中a b >）的实数的集合{}b x a x ≤≤；[)b a ,表示大于等于a 且小于b （其中a b >）的实数的集合{}b x a x<≤； (]b a ,表示大于a 且小于等于b （其中a b >）的实数的集合{}b x a x≤<．2.1二次函数常见的三种表达形式2.1.1交点式：))((21x x x x a y --=，其中点)0,(,)0,(21x x 为该二次函数与x 轴的交点．在画交点式图象时采用描点法,一般应画出下列关键点: ①x 轴上的交点)0,(1x ，)0,(2x ；②y 轴上的交点),0(21x ax ；③顶点（横坐标为221x x x +=）；④其它特殊点（例如1±=x 等）．例2.1.1 画出下列二次函数的图象： (1))2)(1(+-=x x y ；(2))5)(2(21+-=x x y ；(3))3)(1(2++-=x x y ． 解： （1） （2） （3）k h x a y +-=2)(，其中点),(k h 2.1.2顶点式：为该二次函数的顶点．要求能够熟练作出顶点式函数的图象，熟练说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值．二次函数k h x a y +-=2)(的图象开口由a 的正负决定：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下．二次函数k h x a y +-=2)(的图象开口大小由a 决定：a 越大，开口越小；a 越小，开口越大．二次函数的单调性由a 的正负和对称轴决定：当0>a 时，开口向上时，在对称轴h x =的左侧（即h x <）， 当x 增大时，y 随之减小(称之为单调递减，记为↓-∞),(h )；在对称轴h x =的右侧（即h x >）， 当x 增大时，y 随之增大(称之为单调递增，记为↑∞+),(h )；当0<a 时，开口向下时，在对称轴h x =的左侧（即h x <）， 当x 增大时，y 随之减小增大(称之为单调递增，记为↑-∞),(h )；在对称轴h x =的右侧（即h x >）， 当x 增大时，y 随之减少(称之为单调递减，记为↓∞+),(h )；例2.1.2画出下列二次函数的图象, 并分别说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值：(1)2)1(2+-=x y ；(2) 1)1(2-+-=x y ．解：(1)如图2.1.2(1)，开口向上, 对称轴1=x ， 顶点坐标)2,1(，↑∞+↓-∞),1()1,(，2m i n =y ，无最大．(2) 如图2.1.2(2)，开口向下, 对称轴1-=x ， 图2.1.2(1) 图2.1.2(2)顶点坐标)1,1(--，↓∞+-↑--∞),1()1,(，1max -=y ，无最小．2.1.3一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ．要研究函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质，一般应熟练把它化为顶点式：k h x a y +-=2)(，写出它的对称轴a b x 2-=和顶点坐标)44,2(2ab ac a b --，转化为上面的顶点式类型．)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与系数c b a ,,的关系：a 的正负由开口方向决定，当x0>a 时开口向上, 当0<a 时开口向下；b 的大小(正负)由对称轴abx 2-=和开口(a 的正负)联合决定；c 的大小(正负)由它的图象与坐标轴y 轴的交点),0(c 的位置决定 ．如图 2.1.3,当判别式042>-=∆ac b 时, )0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点；当042=-=∆ac b 时，图象与x 轴有且只有一个公共点；当042<-=∆ac b 时,图象与x 轴没有公共点．当0>a 且判别式042<-=∆ac b 时，)0(2≠++=a c bx ax y 的图象恒在x 轴的上方．当0<a 且判别式042<-=∆ac b 时， )0(2≠++=a c bx ax y 的图象恒在x 轴的下方．图2.1.3（1）0,0>∆>a 图2.1.3（2）0,0=∆>a 图2.1.3（3）0,0<∆>a图2.1.3（4）0,0>∆<a 图2.1.3（5）0,0=∆<a 图2.1.3（6）0,0<∆<a例2.1.3把下列二次函数的一般式化为顶点式：(1)172-+=x x y ；(2)2522-+-=x x y ；(3)23212+-=x x y ． 解：(1)45327(2-+=x y ． (2)89)45(22+--=x y ． (3)25)3(212--=x y ．例2.1.4分别画出下列二次函数的图象, 并说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值：(1)342++=x x y ；(2) 452-+-=x x y ．解：(1)1)2(2-+=x y ，开口向上, 对称轴2-=x ，顶点坐标)1,2(--， ↑∞+-↓--∞),2()2,(，1min -=y ，无最大．(2)49)25(2+--=x y ，开口向下, 对称轴25=x ， 顶点坐标)49,25(，↓∞+↑-∞),25()25,(，49max =y ，无最小．例 2.1.5 已知函数a x a ax x f +-+=）（）（312在[)∞+，1上单调递增, 求实数a 的取值范围．解：0=a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->,1213,0aa a 得a 的取值范围是10≤≤a ．课后作业2.1１．分别画出下列二次函数的图象： (1))2)(1(-+=x x y ；(2))2)(23(31+-=x x y ；(3))1)(12(-+-=x x y ．２．画出下列二次函数的图象, 并分别说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值： (1)2)2(2--=x y ；(2) 5)2(2++-=x y ；(3)1)1(32+--=x y ．３．把下列二次函数的一般式化为顶点式： (1) 33322-+-=x x y ； (2) 1532+-=x x y ； (3) x x y --=243．４．求下列函数的最大（或最小）值，并写出它的对称轴方程： (1) x x y 232--=； (2) 122-+=x x y ．５．分别画出下列二次函数的图象, 并说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性和函数的最大（小）值． (1) 142--=x x y ； (2) 1522++-=x x y ； (3)1232-+=x x y ．６．分别求出下列二次函数图象在x 轴、y 轴上的交点坐标，判断开口方向，写出对称轴方程、顶点坐标，求出其最大值（或最小值），并画出图象： (1) x x y 22+-= ； (2) 2432--=x x y ．７．分别求出下列二次函数图象在x 轴、y 轴上的交点坐标，判断开口方向，写出对称轴方程、顶点坐标，求出其最大值（或最小值），并画出图象： (1) 12+--=x x y ； (2) 132-+-=x x y ．８．求下列函数的最大（或最小）值，并写出它的对称轴方程： (1) ；122+-=ax x y (2) ．（)012≠-+-=a x ax y2.2 二次函数在特定区间内的值域(最值)二次函数在特定区间内的值域(最值)求解的步骤：①先画出原函数在实数集Ｒ上的图象；②再在①的基础上画出它在特定区间内的图象；③ 根据图象得出该二次函数在特定区间内的值域(最值)．例2.2.1求下列二次函数在特定区间内的值域：(1))21(2≤≤-=x x y ；(2))2(32≥+-=x x y ；(3))12(122<<---=x x x y ．解：(1)值域[]4,0． (2)值域]1,(--∞． (3)值域⎪⎭⎫⎢⎣⎡-9,89． 例2.2.2求二次函数)21(2)(2≤≤--=x ax x x f 的最小值．解：二次函数对称轴a x =．当1-<a 时，如图2.2.2(1)，a f x f 21)1()(min +=-=； 当21≤≤-a 时，如图2.2.2(2)，2min )()(a a f x f -==； 当2>a 时，如图2.2.2(3)，a f x f 44)2()(min -==．图2.2.2(1) 图2.2.2(2) 图2.2.2(3) 例2.2.3求二次函数)2(4)(2+≤≤+-=a x a x x x f 的最大值． 解：二次函数对称轴2=x ，开口向下．当0<a 时，如图2.2.3(1)，2max 4)2()(a a f x f -=+=；图2.2.3(1) 图2.2.3(2) 图2.2.3(3) 当20≤≤a 时，如图2.2.3(2)，4)2()(max ==f x f ；当2>a 时，如图2.2.3(3)，2max 4)()(a a a f x f -==．例 2.2.4 已知函数)0(3)12()(2≠--+=a x a ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为１，求实数a 的值．解：由于二次函数的最值必在端点或对称轴处取得，先由158)2(=-=a f 得43=a ，由12343)23(=--=-a f 得310-=a ， 由14)12(12)221(2=---=-aa a a a f 得223±-=a ． 经经验得适合条件的43=a ，或223--=a ． 课后作业2.2１．分别画出下列函数的图象：(1) )1232->-=x x x y （；(2))21(22≤<-+-=x x x y ； (3))1,2(422-<>++-=x x x x y 或．（１） （２） （３） ２．分别画出下列函数的图象：(1) )0(13212≤++-=x x x y ； (2) )31(342≤<--=x x x y ； (3) )1(12->+--=x x x y ．（１） （２） （３）３．求下列函数的值域：(1))11(12≤≤-++-=x x x y ； (2))421(142<≤--=x x x y ； (3))11(1622≤≤-+-=x x x y ．４．若二次函数)31(3)(2≤≤-+-=x m x x x f 的最大值为2 ，求m 的值．５．若二次函数)0(152)(2m x x x x f ≤≤-+-=的最大值为817，求m 的取值范围．６．求下列函数的值域：(1)1424++-=x x y ；(2)124++=x x y ．７．求函数)11(1324≤≤-+-=x x x y 的值域．８．求函数)3(42<≤-=x m x x y 的值域．9．求二次函数)21(12)(2≤≤-+-=x ax x x f 的最小值．10．求函数)20(122≤≤-+-=x ax x y 的值域．11．若函数)10(8512≤≤+++-=x a ax x y 的最大值为25，求实数a ．12．若0>a ，函数)11(12≤≤-++--=x b ax x y 的最大值为0 ，最小值为－４，求实数b a , 的值．13．求函数)11(132+≤≤-+-=a x a x x y 的值域．14．已知21,x x 是方程0622=++-a ax x 的两实根, 求2221)1()1(-+-x x 的最小值．15．若函数)5(462+≤≤+-=a x a x x y 的最大值为20，求实数a 的值．16．若函数)10(2≤≤-+=x a x ax y 的最大值为817，求实数a 的值．2.3函数m x a y -=(m a ,为常数，且0≠a )的图象和性质2.3.1 函数x y =与函数x y =的图象关系．把函数x y =的图象在x 轴下方部分翻转到x 轴上方即得函数x y =的图象．2.3.2 函数x y =与函数m x y -=的图象关系．把函数x y =的图象向右（0>m ）或向左（)0<m 平移m 个单位即得函数m x y -=的图象．2.3.3 函数x y =与函数x a y =(0>a )的图象关系．把函数x y =的图象中的折线的倾斜度变化一下 即得函数x a y =(0>a )的图象．思考题：①函数x y =与函数x a y =(0<a )的图象关系；②函数m x y -=与函数m x a y -=的图象关系．例2.3.1 解不等式x x -≥32．解：法一 讨论法 0≥x 时，1,32≥-≥x x x ；0≤x 时，3,32-≤-≥-x x x ；综上所述，原不等式的解集是{}13≥-≤x x x 或．法二 图象法 在同一坐标系下画出函数x y 2= 与x y -=3的图象，由x x -=32得1=x ；由x x -=-32 得3-=x ；如右图，得不等式的解集是{}13≥-≤x x x 或．例2.3.２ 解不等式22-≤x x ．解：法一 讨论法 2≥x 时，,22-≤x x 得2-≤x 不合；20<≤x 时，,22x x -≤得32≤x ，此时，320≤≤x ；0<x 时，,22x x -≤-得2-≥x ，此时，02<≤-x ；综上所述，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-322x x ．法二 图象法 在同一坐标系下画出函数x y 2= 与2-=x y 的图象，由x x -=22得32=x ；由x x -=-22 得2-=x ；如右图，得不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-322x x ． 法三 平方法 两边平方得 22)2()2(-≤x x ，0)2()2(22≤--x x ，0)23)(2(≤-+x x ，得不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-322x x ．例 2.3.3 解下列不等式：(1) 5132<-≤x ； (2)235>-x ． 解：（1）2135-≤-<-x 或5132<-≤x ，134-≤<-x 或633<≤x ， 所以不等式的解集是)2,1[]31,34( --． （2）先化为253>-x ，253>-x 或253-<-x ，即73>x 或33<x ，所以不等式的解集是),37()1,(∞+∞- ．例2.3.4 讨论函数1-=x y 与函数x a y =(a 为常数，且0≠a )图象的交点个数． 解：当0<a 时，如图2.3.3(1), 两图象交点0个；当0<a 时，如图2.3.3(1), 两图象交点0个；当10<<a 或1>a 时，如图2.3.3(2), 2.3.3(3) 两图象交点2个； 当1=a 时，如图2.3.3(4), 两图象交点1个．图2.3.3(1) 图2.3.3(2) 图2.3.3(3) 图2.3.3(4)课后作业2.3１．分别画出下列函数的图象：(1) 3-=x y ； (2) 12+=x y ．２．分别解下列不等式：(1) 3≥x ； (2)2<x ．３．分别解下列不等式：(1) 221≤-<x ； (2)312>+x ．４．分别解下列不等式：(1) 143<-x ； (2)352≥-x ．５．分别解下列不等式：(1) 13+>x x ； (2)522-≥-x x ．６．分别解下列不等式：(1) 123+≤-x x ； (2)x x -<+112．７．分别解下列不等式：(1) 113>+-x x ； (2)452≤-+x x ．８．分别解下列不等式：(1) 212+>-x x ； (2) 113-≤+x x ．９．解关于x 的不等式：a x x +>2(a 为常数)．10．解关于x 的不等式：32-≥-x a x (a 为常数)．11．解关于x 的不等式：a x x -<2(a 为常数，且0≠a )．2.4函数n x b m x a y -+-=(n m b a ,,,为常数，且0≠ab )的图象和性质例2.4.1 画出函数21-+-=x x y 的图象． 解：当2≥x 时，32-=x y ，当21<≤x 时，1=y ，当1<x 时，x y 23-=，如右图例2.4.2 画出函数21---=x x y 的图象． 解：当2≥x 时，1=y ， 当21<≤x 时，32-=x y ， 当1<x 时，1-=y ，如右图例2.4.3 画出函数212-+-=x x y 的图象． 解：当2≥x 时，43-=x y ，当21<≤x 时，x y =， 当1<x 时，x y 34-=，如右图例2.4.4 画出函数212---=x x y 的图象．解：当2≥x 时，x y =， 当21<≤x 时，43-=x y ， 当1<x 时，x y -=，如右图思考题：函数n x b m x a y -+-=的图象如何画最简便?课后作业2.4１．分别画出下列函数的图象：(1)21++-=x x y ； (2)3212-++=x x y ．２．分别画出下列函数的图象：(1)12+--=x x y ； (2)x x y 343--=．３． 若不等式a x x ≥+-2对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．４．若不等式a x x 232212++<+-对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．５．若存在实数x ，使得不等式a x x >--3成立，求实数a 的取值范围．６． 分别画出下列函数的图象：(1)221-++=x x y ； (2)22+-=x x y ．７．分别画出下列函数的图象：(1)13+-=x x y ； (2)x x y 22--=．８．若不等式a x x >+--214对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．2.5 “耐克函数”a a x a x y ,0(>+=为常数)与a a xax y ,0(<+=为常数)的图象和性质 2.5.1 函数的图象与性质“耐克函数”a a xax y ,0(>+=为常数)的图象， 因它的图象像个勾形，又俗称＂打图2.5（１） 图2.5（２）勾函数＂，也称为＂双勾函数＂．如图2.5（１）．函数a a xax y ,0(<+=为常数)在↑-∞)0,(，在↑∞+),0(，如图2.5（２）．例2.5.1 求函数)0,21(2≠≤<-+=x x xx y 且的值域．解：如右图，可知函数的值域是()[)∞+-∞-,223, ．例2.5.2 画函数xx y 2-=的图象． 解：由0=y 得2±=x ，函数在()↑∞+,0↑-∞)0,(，图象如右图．2.5.2 函数a a xax y ,0(<+=为常数)单调性的证明 先证明函数a a xax y ,0(<+=为常数)在()∞+,0单调递增．设021>>x x ，则212121221121))(()()(x x x x a x x x ax x a x y y --=+-+=-, 因为021>>x x ,所以021>x x ,021>-x x ；又0<a ,所以021>-a x x , 从而021>-y y ，即21y y >，由定义可知，函数a a xax y ,0(<+=为常数)在()∞+,0单调递增．思考题：你能证明函数a a xax y ,0(<+=为常数)在)0,(-∞单调递增吗？课后作业2.5分别求下列函数的值域： １．(1) )4(9≥+=x x x y ； (2) )1(41-<+=x xx y ．２．(1) )0,42(4≠≤<-+=x x x x y 且； (2) )21(13≥-<+=x x xx y 或．３．(1) )2(14>-+=x x x y ； (2) )0(34<--=x x xy ．４．(1) )1(114≠-+=x x x y ； (2) 1(128<-+=x x x y ，且)21≠x５．(1) )3(234>--=x x x y ； (2) )0(314<--=x x xy ．６．(1) 1522++=x x y ； (2) 2322++=x x y ．７．xx y 5-=(1>x )．８．xx y -+=213(3≥x )．yx第三章 一元二次不等式3.1一元二次不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax (其中0≠a )的解法一元二次不等式的一般形式是02>++c bx ax 或02<++c bx ax (其中0≠a ) .解一元二次不等式，应结合对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象进行记忆，必须熟练掌握．3.1.1如图 3.1.1（1）,若判别式042>-=∆ac b ，设对应的一元二次方程02=++c bx ax 两个实根21,x x ，其中21x x <，则当0>a 时，不等式02>++c bx ax 的解集是{}12x x x x x <>或，不等式02<++c bx ax 的解集是{}21x x x x <<；如图3.1.1（2）,当判别式042=-=∆ac b ，且0>a 时，不等式02>++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈a b x R x x 2,且，不等式02<++c bx ax 的解集是∅；如图3.1.1（3）,当判别式042<-=∆ac b ，且0>a 时，不等式02>++c bx ax 的解集是Ｒ，不等式02<++c bx ax 的解集是∅．图3.1.1（1）0>∆ 图3.1.1（2）0= 图3.1.1（3）0<∆3.1.2如图 3.1.2（1）,若判别式042>-=∆ac b ，设对应的一元二次方程02=++c bx ax 两个实根21,x x ，其中21x x <，则当0<a 时，不等式02>++c bx ax 的解集是{}21x x x x <<，不等式02<++c bx ax 的解集是{}12x x x x x <>或；如图3.1.2（2）,当判别式042=-=∆ac b ，且0<a 时，不等式02>++c bx ax 的解集是∅，不等式02<++cbxax的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈abxRxx2,且；如图3.1.2（3）,当判别式042<-=∆acb，0<a时，不等式02>++cbxax等式02<++cbxax的解集是Ｒ．图3.1.2（1）0>∆图3.1.2（2）0=∆图3.1.2（3）0<∆思考题：不等式02≥++cbxax和02≤++cbxax的解集分别是什么？3.1.3一元二次不等式和一元二次方程都是一元二次函数的特殊情况．一元二次方程)0(2≠=++acbxax的根21,xx就是一元二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象与x轴交点的横坐标；一元二次不等式02>++cbxax的解就是一元二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象在x轴上方的点对应的横坐标；一元二次不等式02<++cbxax的解就是一元二次函数)0(2≠++=acbxaxy的图象在x轴下方的点对应的横坐标．一元二次不等式、一元二次方程和一元二次函数是密切联系的，应该进行联系记忆与应用．3.1.4解一元二次不等式02>++cbxax或02<++cbxax(其中0≠a) 的标准步骤是：①先求判别式acb42-=∆．当0>∆时, 求出对应的一元二次方程)0(2≠=++acbxax的两个实根21,xx；②画出二次函数的草图；③根据图像和不等式的类型得它的解集．例3.1.1 解下列一元二次不等式：(1)06722<+-x x ；(2) 0342>+-x x ．解：(1) 062449>⨯⨯-=∆,对应方程06722=+-x x 的两个根为23,221==x x ,根据对应二次函数图象开口向上, 得不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<223x x ． (2)对应方程0342=+-x x 的两个根为3,121==x x ,根据对应二次函数图象开口向上, 得不等式解集为{}31><x x x 或 ．例3.1.2 解下列一元二次不等式：(1)07522<+-x x ；(2)0752<-+-x x ； (3)05432≤++-x x ．解：(1)03172425<-=⨯⨯-=∆,根据对应二次函数图象开口向上, 得解集为∅．(2) 03)7()1(425<-=-⨯-⨯-=∆,对应二次函数图象开口向下, 得解集为Ｒ．(3)对应方程05432=++-x x 的两个根为3192±=x ,根据对应二次函数图象开口向下, 得不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≥-≤31923192x x x 或．例3.1.3 解一元二次不等式：5432≤-<-x x ． 解：法一 54)2(32≤--<-x ，9)2(12≤-<x ，得123-<-≤-x 或321≤-<x ，从而得原不等式的解集是[)(]5,31,1 -．法二 先分别求出直线3-=y ，5=y 与函数x x y 42-=的图象的交点的横坐标．由542=-x x ，得5=x 或1-=x ， 由342-=-x x ，得3=x 或1=x ，如图，由图象可知原不等式的解集是[)(]5,31,1 -．例 3.1.4 若一元二次不等式02≥++c bx ax 的解集是{}41≤≤x x ,解不等式02<++c ax bx ．解：根据抛物线的开口与解集的关系可知0<a ，且对应的对应的一元二次方程02=++c bx ax 的两个实根4,121==x x ，依韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧===-=+,4,52121a c x x a b x x ⎩⎨⎧=-=⇒,4,5a c a b 代入得0452<++-a ax ax ， 即有0452<--x x ，从而得不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-154x x ．课后作业3.1分别解下列一元二次不等式：１．(1)042>-x ； (2) 0232≤-x ．２．(1)022>--x x ； (2) 0322≥+--x x ．３．(1)0752>++x x ； (2)0432<+-x x ； (3)0162≥--x x ．４．(1)0652>--x x ； (2) 0742>--x x ．５．(1) 08232≤+--x x ； (2)0432≥-+-x x ．６．(1)0682≤--x x ； (2) 0622≥+--x x ；７．(1) 01422>+-x x ； (2)091242>+-x x ； (3) 0962≤+-x x ．８．(1)06722≥++x x ； (2) 0962≤+-x x ．９．(1)0252042<+-x x ； (2) 0151482>+--x x ．10．(1)01032>-+x x ； (2) 099102<-+x x ．11．(1)0252≤++-x x ； (2)02322<-+-x x ．12．(1)01232>+-x x ； (2)061362≤+-x x ．13．(1)0362≤--x x ； (2) 0162492≥-+-x x ．14．(1)02632>+-x x ； (2) 0622<-+x x ．15．(1) 0532≤--x x ； (2)01692>+-x x ．16．(1) 05442≥--x x ； (2) 04922>+-x x ．17．(1)02322≤-+x x ； (2) 01262>--x x ．18．(1)0141332≤+-x x ； (2)0313102≤++-x x ．19．(1)514212<--≤x x ； (2)1332>+->x x ．20．若一元二次不等式0)1(2>--+c x b x 的解集是{}31-<>x x x 或，求不等式022≥+-b x cx 的解．21．若一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2131x x，求不等式 02<++a bx cx 的解．3.2 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论(讨论应要求一步到位，避免讨论中又有讨论),讨论时考虑以下几个方面: ①一元二次不等式，对应的一元二方程是否有根，需要讨论方程的判别式Δ的正负或零；②一元二次不等式，对应的一元二方程有两不等实根，则需要讨论两根的大小，先考虑两根相等；③应对一元二次不等式的二次项的系数的正负进行分类讨论．例3.2.1已知a 为实常数,解下列关于x 的不等式：(1) 012>++ax x ； (2) 0)()2(222≥+-++a a x a x ．解: (1) 42-=∆a , 由0=∆得2±=a . 当2±=a 时, 解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠2a x x ； 当2>a 或2-<a 时, 不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+->---<242422a a x a a x x 或；当22<<-a 时, 解集是R .(2) 先用十字相乘法把不等式化为0)1)(2(≥++-a x a x ,由0)1(2>---a a得32->a . 当32->a 时,不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥--≤21a x a x x 或；当32-=a 时,不等式的解集是R ；当32-<a 时,不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--≥21a x a x x 或. 例3.2.2已知a 为实常数,解下列关于x 的不等式：0122<+-x ax . 解： a 44-=∆,由0=∆得1=a .当0>∆且0≠a 时,对应方程的两个根aax -±=112,1. 当0<a 时, 不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-->-+<a a x a a x x 1111或；当0=a 时, 不等式即为021<-x ,解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ； 当10<<a 时, 不等式的解集⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-->>-+a a x a a x 1111；当1≥a 时, 不等式的解集是∅．例3.2.3 当a 为何值时, 关于x 的不等式01)3()9(22<-+--x a x a 对任意实数恒成立?解:当0392=+=-a a ，即3-=a 时，适合，3=a 显然不合；当092≠-a 时， 要使关于x 的不等式01)3()9(22<-+--x a x a 对任意实数恒成立，须满足⎩⎨⎧<-++=∆<-,0)9(4)3(,09222a a a 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-,593,33a a 得593<<-a ； 综上所述，a 的取值范围是593<≤-a ．课后作业3.2已知: a 为实常数 , 分别解下列关于x 的不等式： １．0)1(2<++-a x a x ．２．0)33()2(2>+--+a x a x .３． 03222≤-+a ax x ．４． 033)12(22<+-++a a x a x ．６． 01242≤+-ax x ．７． 01)2(2>++-x a x ．８．0222>+-a x x ．９．03)16(22>-++-a x a x ．10．012>--+a x ax ．11．012>+--a x ax ．12．0)1(22≤++-a x a ax ．13．02)12(2≥++-x a ax ．15．022>--a x ax .16．01422≤+++a x ax .17．0)14(4)1(2>+-+-a ax x a .18．若关于x 的不等式06)1(22>++-x a ax 对任意实数恒成立，求a 的取值范围．19． 已知不等式0622<+-k x kx （常数0≠k ）．(1) 如果不等式的解集是{}2,3->-<x x x 或，求常数k 的值； (2) 如果不等式的解集是实数集R ，求常数k 的取值范围．3.3 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的研究一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的研究，一般有两种方法：一是利用韦达定理(只适用于两个根与0的关系)，如类型1，2，3等；二是利用对应的二次函数c bx ax x f ++=2)(的四要素(开口, 对称轴, 判别式, 根的范围的端点值)进行研究, 如类型4，5，6，7，8，9，10，11，12等．类型１：两根均为不同正根⎝⎛>=>-=+>-=∆⇔.0,0,0421212a c x x a bx x ac b例3.3.1若关于x 的方程)0(01)21(2≠=+-+a x a ax 的两根均为正根，求a 的取值范围．解： ⎝⎛>=>-=+≥--=∆，01,012,04)21(21212a x x a a x x a a 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>-≤+≥，，或，或0021232232a a a a a 得232+≥a ．类型2：两根均为不同负根⎝⎛>=<-=+>-=∆⇔．0,0,0421212a cx x a bx x ac b例3.3.2 若关于x 的方程)0(01)21(2≠=+-+a x a ax 的两根均为负根，求a 的取值范围．解： ⎝⎛>=<-=+≥--=∆.01,012,04)21(21212a x x a a x x a a 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-≤+≥，，，或021*******a a a a 得2320-≤<a ．y类型3：两根为一正一负021<=⇔acx x ．例3.3.3 若关于x 的方程)0(01)21(2≠=+-+a x a ax 的两根异号，求a 的取值范围． 解：0121<=ax x 得0<a ．类型４：两根均为大于m 的不同根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆⇔．0)(,2,042m f a m a b ac b例3.3.4已知方程0)3(42=++-a x ax )0(≠a 有两个大于１的不等实根，求实数a 的取值范围．解：⎪⎩⎪⎨⎧>+-=∆>>-=0)3(416,12,0)12()1(a a aa a af ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<<>⇒,14,20,021a a a a 或得121<<a ．类型５：两根均为小于m 的不同根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅<->-=∆⇔．0)(,2,042m f a m a b ac b例 3.3.5 若关于x 的方程)0(0)3(42≠=++-a a x ax 的两根均小于２，求a 的取值范围．解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅<≥+-=∆0)55()2(220)3(416a a f a aa a ，，⎪⎩⎪⎨⎧<><≤≤⇒，或＞，或１－４0110,a a a a a 得04<≤a －．类型６：两根中一根小于m ，另一根大于m 0)(<⋅⇔m f a例3.3.6若关于x 的方程)0(0)3(42≠=++-a a x ax 的两根中一根小于－２，另一根大于－2 ，求a 的取值范围．解：0)115()2(<+=-a a af ，得0511<<-a ． 类型7：两根均为),(n m 内的不同根()n m <⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<><-<>-=∆⇔．，0)(0)(,2,042n af m af n a b m ac b例3.3.7已知方程015)34(22=++-x a x 的两不等根均在区间)5,2(内，求实数a 的取值范围．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-=>++-=<+<>-+=∆,015)34(550)5(015)34(28)2(,54342,0120)342a f a f a a ，（得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<<--<->,25,817,417454330243302a a a a a ，或 得实数a 的取值范围是81743302<<-a ． 类型8：两根均为),(n m 外的不同 根()n m <⎩⎨⎧<<⇔．，0)(0)(n af m af例3.3.8若关于x 的方程)0(015)34(2≠=++-a x a ax 的两根中一根小于1，另一根大于3 , 求a 的取值范围．解：⎩⎨⎧<-=<-=0)36()3(0)312()1(a a af a a af ，⎩⎨⎧<><>⇒，或，或0204a a a a 得4>a 或0<a ．类型9：两根中一根在),(11n m ，另一根在),(22n m (2211n m n m <≤<) ⎩⎨⎧<<⇔.0)()(,0)()(2211n f m f n f m f例3.3.9若关于x 的方程)0(015)34(2≠=++-a x a ax 的两根中一根在(1, 2)，另一根在(3, 5) , 求a 的取值范围．解：⎩⎨⎧<⋅-=<--=05)36()3()3(0)49)(312()2()1(a a f f a a f f ，⎪⎩⎪⎨⎧<><<⇒，或，02449a a a 得449<<a ．类型10：两根中至少有一根大于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆⇔0)(,2,042m f a m a b ac b 或0)(≤⋅m f a (等式应独立验证).例3.3.10已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个大于１的实根，求实数a 的取值范围．类型11：两根中至少有一根小于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅<->-=∆⇔0)(,2,042m f a m a b ac b 或0)(≤⋅m f a (等式应独立验证)． （此类问题也可转化为函数值域问题）例3.3.11已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一个小于2的实根，求实数a 的取值范类型12：两根中至少有一根在),(n m 内()n m <例3.3.12已知方程0)3(42=++-a x ax 至少有一根在)5,2(内，求实数a 的取值范课后作业3.3１．若关于x 的方程03)12(2=-++-a x a x 有两个不等正根，求实数a 的取值范围．２．若关于x 的方程012=++-a ax x 有两个不等负根，求实数a 的取值范围．３．若关于x 的方程014)2(2=+++-a x x a 有一正一负的两根，求实数a 的取值范围．４．已知关于x 的方程023222=---a x ax 的一根大于１，另一根小于１，求实数a的取值范围．５．已知关于x 的方程0)320(2=-+-a ax x 的两个不同根21,x x 满足2131x x <<<,求实数a 的取值范围．６．已知关于x 的方程012)2(2=-+-+a x a x 的两个不同根21,x x 满足21021<<<<x x , 求实数a 的取值范围．７．已知关于x 的方程07)25()3(2=++-+x a x a 在()1,0和()3,2各有一根，求实数a 的取值范围．。

2018年初高中数学衔接练习第01课数与式部分一、选择题：1、下列说法中正确的是( )A.正整数、负整数统称为整数B.正分数和负分数统称为分数C.零既可以是正整数，也可以是负整数D.一个有理数不是正数就是负数2、下列运算结果正确的是( )A.a2+a3=a5B.a2•a3=a6C.a3÷a2=aD.(a2)3=a53、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A.|a|＜|b|B.a＞﹣bC.b＞aD.a＞﹣24、下列计算错误的有( )①(2x+y)2=4x2+y2；②(3b﹣a)2=9b2﹣a2；③(﹣3b﹣a)(a﹣3b)=a2﹣9b2④(﹣x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；⑤(x﹣)2=x2﹣x+.A.1个B.2个C.3个D.4个5、下列结论正确的是( )A.若a2=b2，则a=bB.若a>b，则a2>b2C.若a，b不全为零，则a2+b2>0D.若a≠b，则 a2≠b2.6、计算的结果是( )A. +B.C.D.﹣7、如图数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中各点位置，下列正确的是( )A.(a﹣1)(b﹣1)＞0B.(b﹣1)(c﹣1)＞0C.(a+1)(b+1)＜0D.(b+1)(c+1)＜08、若(x﹣5)(2x﹣n)=2x2+mx﹣15，则m、n的值分别是( )A.m=﹣7，n=3B.m=7，n=﹣3C.m=﹣7，n=﹣3D.m=7，n=39、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=3，那么a＋b的值为( )A. 2B.±2C.4D.±110、有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是( )A. B. C. D.811、已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系是 ( )A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c>b>aD.b＞c＞a12、为了求1+2+22+23+…+22016的值，可令S=1+2+22+23+…+22016，则2S=2+22+23+24+…+22017，因此2S ﹣S=22017﹣1，所以1+2+22+23+…+22016=22017﹣1.仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52016的值是( )A.52016﹣1B.52017﹣1C.D.二、填空题：13、如果(x+3)(x+a)=x2﹣2x﹣15，则a= .14、已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于.15、计算：2 015×2 017－2 0162＝__________.16、计算： .17、当a=，b=时，代数式的值是_________.18、设,,,…, ，设，则S=_________ (用含n的代数式表示，n为正整数).三、计算题：19、计算：20、化简：21、化简：22、化简：(﹣)÷.参考答案1、B2、C3、C4、D5、C6、B7、D8、C9、D；10、A11、C12、D13、答案为：﹣5.14、答案为：4.15、答案为：－116、答案为：117、答案为：18、答案为：.19、原式=-620、原式=10a+8221、原式22、原式=.。