2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 第1课时 Word版含答案
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学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.方程x22+m -y22-m =1表示双曲线,则m 的取值范围为( )A .-2<m <2B .m >0C .m ≥0D .|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线,∴(2+m )(2-m )>0.∴-2<m <2.【答案】 A2.设动点P 到A (-5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6,则P 点的轨迹方程是( )A.x29-y216=1B.y29-x216=1C.x29-y216=1(x ≤-3)D.x29-y216=1(x ≥3)【解析】 由题意知,轨迹应为以A (-5,0),B (5,0)为焦点的双曲线的右支.由c =5,a =3,知b 2=16,∴P 点的轨迹方程为x29-y216=1(x ≥3). 【答案】 D3.已知双曲线的中心在原点,两个焦点F 1,F 2分别为(5,0)和(-5,0),点P 在双曲线上,且PF 1⊥PF 2,△PF 1F 2的面积为1,则双曲线的方程为( )A.x22-y23=1B.x23-y22=1C.x24-y 2=1 D .x 2-y24=1【解析】由⎩⎨⎧|PF1|·|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=(25)2,⇒(|PF 1|-|PF 2|)2=16,即2a =4,解得a =2,又c =5,所以b =1,故选C. 【答案】 C4.已知椭圆方程x24+y23=1,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为( )A.2B.3 C .2D .3【解析】 椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a =1,c =2,所以双曲线的离心率为e =c a =21=2.【答案】 C5.若k >1,则关于x ,y 的方程(1-k )x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是( )A .焦点在x 轴上的椭圆B .焦点在y 轴上的椭圆C .焦点在y 轴上的双曲线D .焦点在x 轴上的双曲线【解析】 原方程化为标准方程为x2k2-11-k+yk2-1=1,∵k >1,∴1-k <0,k 2-1>0, ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线. 【答案】 C 二、填空题6.设点P 是双曲线x29-y216=1上任意一点,F 1,F 2分别是其左、右焦点,若|PF 1|=10,则|PF 2|=________.【解析】 由双曲线的标准方程得a =3,b =4. 于是c =a2+b2=5. (1)若点P 在双曲线的左支上,则|PF 2|-|PF 1|=2a =6,∴|PF 2|=6+|PF 1|=16; (2)若点P 在双曲线的右支上, 则|PF 1|-|PF 2|=6, ∴|PF 2|=|PF 1|-6=10-6=4. 综上,|PF 2|=16或4. 【答案】 16或47.已知F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件|PF 1|-|PF 2|=2m -1的动点P 的轨迹是双曲线的一支,则m 可以是下列数据中的________.(填序号)①2;②-1;③4;④-3.【解析】 设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1,则c =3,∵2a <2c =6,∴|2m -1|<6,且|2m -1|≠0,∴-52<m <72,且m ≠12,∴①②满足条件.【答案】 ①②8.已知△ABP 的顶点A ,B 分别为双曲线C :x216-y29=1的左、右焦点,顶点P 在双曲线C 上,则|sin A -sin B|sin P 的值等于________. 【导学号:18490058】【解析】 由方程x216-y29=1知a 2=16,b 2=9,即a =4,c =16+9=5.在△ABP 中,利用正弦定理和双曲线的定义知,|sin A -sin B|sin P =||PB|-|P A|||AB|=2a 2c =2×42×5=45. 【答案】 45 三、解答题9.求与双曲线x24-y22=1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程.【解】 ∵双曲线x24-y22=1的焦点在x 轴上. 依题意,设所求双曲线为x2a2-y2b2=1(a >0,b >0).又两曲线有相同的焦点, ∴a 2+b 2=c 2=4+2=6.①又点P (2,1)在双曲线x2a2-y2b2=1上, ∴4a2-1b2=1.②由①②联立得a 2=b 2=3, 故所求双曲线方程为x23-y23=1.10.已知方程kx 2+y 2=4,其中k 为实数,对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.【解】 (1)当k =0时,y =±2,表示两条与x 轴平行的直线; (2)当k =1时,方程为x 2+y 2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆;(3)当k <0时,方程为y24-x2-4k=1,表示焦点在y 轴上的双曲线;(4)当0<k <1时,方程为x24k +y24=1,表示焦点在x 轴上的椭圆;(5)当k >1时,方程为x24k+y24=1,表示焦点在y 轴上的椭圆.[能力提升]1.椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a -y22=1有相同的焦点,则a 的值为( )A.1 B.2C.2D.3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上,且a>0.∵4-a2=a+2,∴a2+a-2=0,∴a=1或a=-2(舍去).故选A.【答案】 A2.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2 B.4C.6 D.8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点,在双曲线x2-y2=1中,a=1,b=1,c=2,则|PF1|-|PF2|=2a=2,|F1F2|=22,∵|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,∴8=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·12,∴8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴8=4+|PF1||PF2|,∴|PF1||PF2|=4.故选B.【答案】 B3.已知双曲线x216-y225=1的左焦点为F,点P为双曲线右支上的一点,且PF与圆x2+y2=16相切于点N,M为线段PF的中点,O为坐标原点,则|MN |-|MO |=________.【解析】 设F ′是双曲线的右焦点,连接PF ′(图略),因为M ,O 分别是FP ,FF ′的中点,所以|MO |=12|PF ′|,又|FN |=|OF|2-|ON|2=5,由双曲线的定义知|PF |-|PF ′|=8,故|MN |-|MO |=|MF |-|FN |-12|PF ′|=12(|PF |-|PF ′|)-|FN |=12×8-5=-1.【答案】 -14.已知双曲线x216-y24=1的两焦点为F 1,F 2.(1)若点M 在双曲线上,且MF1→·MF2→=0,求点M 到x 轴的距离; 【导学号:18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C 的方程.【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上,M 点到x 轴的距离为h ,MF1→·MF2→=0, 则MF 1⊥MF 2, 设|MF 1|=m ,|MF 2|=n ,由双曲线定义知,m -n =2a =8, ① 又m 2+n 2=(2c )2=80,②由①②得m ·n =8,∴12mn =4=12|F 1F 2|·h ,∴h =255.(2)设所求双曲线C 的方程为 x216-λ-y24+λ=1(-4<λ<16), 由于双曲线C 过点(32,2), 所以1816-λ-44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去). ∴所求双曲线C 的方程为x212-y28=1.。
人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程练习题1.去掉文章中间的乱码和格式错误。
2.改写每段话:第二章圆锥曲线基础训练A组]一、选择题1.已知椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上的一点$P$ 到椭圆一个焦点的距离为 $3$,则 $P$ 到另一焦点距离为()。
A。
2B。
3C。
5D。
72.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 $18$,焦距为 $6$,则椭圆的方程为()。
A。
$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$B。
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$C。
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$D。
以上都不对3.动点 $P$ 到点 $M(1,0)$ 及点 $N(3,0)$ 的距离之差为 $2$,则点 $P$ 的轨迹是()。
A。
双曲线B。
双曲线的一支C。
两条射线D。
一条射线4.设双曲线的半焦距为 $c$,两条准线间的距离为 $d$,且 $c=d$,那么双曲线的离心率 $e$ 等于()。
A。
2B。
3C。
$\sqrt{2}$D。
$\sqrt{3}$5.抛物线 $y=10x$ 的焦点到准线的距离是()。
A。
5B。
5/2C。
5/3D。
106.若抛物线 $y=8x$ 上一点 $P$ 到其焦点的距离为 $9$,则点 $P$ 的坐标为()。
A。
$(7,\pm 14)$B。
$(14,\pm 14)$C。
$(7,\pm 2\sqrt{14})$D。
$(-7,\pm 2\sqrt{14})$二、填空题1.若椭圆 $x+my=1$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$,则它的长半轴长为 _____________。
2.双曲线的渐近线方程为 $x\pm 2y=\pm \infty$,焦距为$10$,这双曲线的方程为 _____________。
3.若曲线 $x^2y^2+2kx^2y+k^2x^2=4$ 表示双曲线,则$k$ 的取值范围是 _____________。
第二章第课时一、选择题.直线=-交抛物线=于、两点,若中点的横坐标为,则=( ).或-.-..[答案][解析]由(\\(==-))得-(+)+=,则=,即=..抛物线=的焦点关于直线--=的对称点的坐标是( ).(,-) .(,-).(,-) .(,-)[答案][解析]=⇒=,焦点为(),其关于--=的对称点为(,-)..过抛物线=的焦点的直线交抛物线于、两点,为坐标原点,则·的值是( )..-..-[答案][解析]设(,)、(,),则=(,),=(,),则·=(,)·(,)=+,又∵过焦点,则有=-=-,∴·=+=-=-,故选..过抛物线=的焦点,作一条直线与抛物线交于、两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线( ).有且仅有一条.有且仅有两条.有无穷多条.不存在[答案][解析]由定义=+=,∵=,∴这样的直线有两条..已知是过抛物线=的焦点的弦,若=,则的中点的纵坐标是( )....[答案][解析]如图所示,设的中点为(,),分别过,,三点作准线的垂线,垂足分别为′,,′,由题意得′+′==,==,又=+,∴+=,∴=..设为抛物线=的焦点,、、为该抛物线上三点,若++=,则++等于( )....[答案] [解析]设、、三点坐标分别为(,)、(,)、(,).由题意知(),因为++=,所以++=.根据抛物线定义,有++=+++++=+=.故选.二、填空题.顶点在原点,焦点在轴上的抛物线,截直线-+=所得弦长为,则抛物线方程为[答案]=或=-[解析]设所求抛物线方程为=(≠)①直线变形为=+②设抛物线截直线所得弦长为(\\(==+))消得(+)=整理得+(-)+===解得=或=-∴所求抛物线方程为=或=-..已知点为抛物线=-的焦点,为原点,点是抛物线准线上一动点,在抛物线上,且=,则+的最小值是[答案][解析]由=及抛物线定义得到准线的距离为.∴点横坐标为-,∴(-).又原点关于准线的对称点的坐标为(),所以+的最小值为:==.三、解答题.设抛物线=(>)的焦点为,经过点的直线交抛物线于、两点,点在抛物线的准线上且∥轴,证明:直线经过原点[解析]因为抛物线=(>)的焦点为(,),。
第二章第课时一、选择题.若点()在椭圆+=的外部,则的取值范围为( ).(-,).(,+∞)∪(-∞,-).(,+∞).(-∞,-)[答案][解析]因为点在椭圆+=的外部,所以+>,解得>或<-,故选..为过椭圆+=中心的弦,()为椭圆的左焦点,则△的面积最大值是( )....[答案][解析]△=△+△=·-,当、为短轴两个端点时,-最大,最大值为.∴△面积的最大值为..已知以(-)、()为焦点的椭圆与直线++=有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )....[答案][解析]设椭圆方程+=(≠>)(\\(+=+()+=))消得(+)++-=Δ=-(-)(+)=整理得+=即+=①又=,焦点在轴上∴-=②由①②解得=,=,∴长轴长为..点为椭圆+=上一点,以点及焦点、为顶点的三角形的面积为,则点的坐标为( ).(±,) .(,±).(,) .(±,±)[答案][解析]设(,),∵=,=,∴=,∴△=·==,∴=±,∵+=,∴=±.故选..过椭圆+=(>>)的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若∠=°,则椭圆的离心率为( )...[答案][解析]把=-代入椭圆方程可得=±,∴=,∴=,故+==,即=.又∵=+,∴(-)=,∴()=,即=..如图、分别是椭圆+=(>>)的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△是等边三角形,则椭圆的离心率为( )..-.[答案][解析]连接,由圆的性质知,∠=°,又∵△是等边三角形,∴∠=°,∴=,=,∴====-.故选.二、填空题.(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆+。
第二章一、选择题.在平面直角坐标系内,到点()和直线+=的距离相等的点的轨迹是( ).直线.抛物线.圆.双曲线[答案][解析]∵点()在直线+=上,故所求点的轨迹是过点()且与直线+=垂直的直线..(·山东荷泽高二检测)过点()且与轴相切的圆的圆心的轨迹为( ).圆.椭圆.直线.抛物线[答案][解析]如图,设点为满足条件的一点,不难得出结论:点到点的距离等于点到轴的距离,故点在以点为焦点,轴为准线的抛物线上,故点的轨迹为抛物线,因此选..(·广东深圳市宝安区高二期末调研)抛物线=上一点的纵坐标为,则点与抛物线焦点的距离为( )....[答案][解析]解法一:∵=,∴=·=,∴=±,∴(±),焦点坐标为(),∴所求距离为==.解法二:抛物线的准线为=-,∴到准线的距离为,又∵到准线的距离与到焦点的距离相等.∴距离为..抛物线=的焦点为,点()在此抛物线上,为线段的中点,则点到该抛物线准线的距离为( )....[答案][解析]∵点()在抛物线上,∴()=,∴=,到抛物线准线的距离为-(-)=,到准线距离为,∴到抛物线准线的距离为==..已知抛物线=(>)的准线与圆+--=相切,则的值为( )...[答案][解析]抛物线的准线为=-,将圆方程化简得到(-)+=,准线与圆相切,则-=-,∴=,故选..(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)设抛物线=上一点到轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离为( )....[答案][解析]∵点到轴的距离为,∴点到抛物线=的准线=-的距离=+=,根据抛物线的定义知点到抛物线焦点的距离为.二、填空题.抛物线=的准线方程是=,则的值为[答案]-[解析]抛物线方程化为标准形式为=,由题意得<,∴=-,∴=-,∴准线方程为==-=,∴=-..沿直线=-发出的光线经抛物线=反射后,与轴相交于点(),则抛物线的准线方程为(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)[答案]=-[解析]由直线=-平行于抛物线的轴知()为焦点,故准线方程为=-.三、解答题.若抛物线=(>)上一点到准线及对称轴的距离分别为和,求点的横坐标及抛物线方程[解析]∵点到对称轴的距离为,∴设点的坐标为().又∵点到准线的距离为,∴(\\(=,+()=.))解得(\\(=,=,))或(\\(=,=.))故当点的横坐标为时,抛物线方程为=.当点的横坐标为时,抛物线方程为=..求顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点(-)的抛物线的标准方程[解析]∵点(-)在第二象限,。
第二章 2.4 2.4.2 第2课时一、选择题1.直线y =kx -2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点,若AB 中点的横坐标为2,则k =导学号 33780596( )A .2或-2B .-1C .2D .3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=8xy =kx -2得k 2x 2-4(k +2)x +4=0,则4(k +2)k 2=4,即k =2. 2.抛物线y =14x 2的焦点关于直线x -y -1=0的对称点的坐标是导学号 33780597( )A .(2,-1)B .(1,-1)C .(14,-14)D .(116,-116)[答案] A[解析] y =14x 2⇒x 2=4y ,焦点为(0,1),其关于x -y -1=0的对称点为(2,-1).3.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点,则OA →·OB →的值是导学号 33780598( )A .12B .-12C .3D .-3[答案] D[解析] 设A (y 214,y 1)、B (y 224,y 2),则OA →=(y 214,y 1),OB →=(y 224,y 2),则OA →·OB →=(y 214,y 1)·(y 224,y 2)=y 21y 2216+y 1y 2,又∵AB 过焦点,则有y 1y 2=-p 2=-4,∴OA →·OB →=(y 1y 2)216+y 1y 2=(-4)216-4=-3,故选D.4.过抛物线y 2=4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线导学号 33780599( )A .有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条D .不存在[答案] B[解析] 由定义|AB |=5+2=7, ∵|AB |min =4,∴这样的直线有两条.5.已知AB 是过抛物线2x 2=y 的焦点的弦,若|AB |=4,则AB 的中点的纵坐标是导学号 33780600( )A .1B .2C .58D .158[答案] D[解析] 如图所示,设AB 的中点为P (x 0,y 0),分别过A ,P ,B 三点作准线l 的垂线,垂足分别为A ′,Q ,B ′,由题意得|AA ′|+|BB ′|=|AB |=4,|PQ |=|AA ′|+|BB ′|2=2,又|PQ |=y 0+18,∴y 0+18=2,∴y 0=158.6.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A 、B 、C 为该抛物线上三点,若F A →+FB →+FC →=0,则|F A →|+|FB →|+|FC →|等于导学号 33780601( )A .9B .6C .4D .3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3).由题意知F (1,0),因为F A →+FB →+FC →=0,所以x 1+x 2+x 3=3.根据抛物线定义,有|F A →|+|FB →|+|FC →|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=3+3=6.故选B.二、填空题7.顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线,截直线2x -y +1=0所得弦长为15,则抛物线方程为________.导学号 33780602[答案] y 2=12x 或y 2=-4x[解析] 设所求抛物线方程为y 2=ax (a ≠0)① 直线变形为y =2x +1② 设抛物线截直线所得弦长为AB⎩⎪⎨⎪⎧y 2=ax y =2x +1消y 得(2x +1)2=ax 整理得4x 2+(4-a )x +1=0|AB |=(1+22)[(a -44)2-4×14]=15解得a =12或a =-4∴所求抛物线方程为y 2=12x 或y 2=-4x .8.已知点F 为抛物线y 2=-8x 的焦点,O 为原点,点P 是抛物线准线上一动点,A 在抛物线上,且|AF |=4,则|P A |+|PO |的最小值是________.导学号 33780603[答案] 213[解析] 由|AF |=4及抛物线定义得A 到准线的距离为4. ∴A 点横坐标为-2,∴A (-2,4).又原点关于准线的对称点的坐标为B (4,0), 所以|P A |+|PO |的最小值为:|AB |=36+16=213. 三、解答题9.设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴,证明:直线AC 经过原点O .导学号 33780604[解析] 因为抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (p2,0),所以经过点F 的直线AB 的方程设为:x =my +p2代入抛物线方程得:y 2-2pmy -p 2=0若记A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则y 1、y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2=-p 2 因为BC ∥x 轴,且点C 在准线x =-p2上,所以点C 的坐标为(-p2,y 2),故直线CO 的斜率为:k =y 2-p 2=2p y 1=y 1x 1,即k 也是直线OA 的斜率,所以直线AC 经过原点.10.已知抛物线y 2=-x 与直线y =k (x +1)相交于A ,B 两点.导学号 33780605 (1)求证:OA ⊥OB ;(2)当△OAB 的面积等于10时,求k 的值.[解析] (1)如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=-xy =k (x +1),消去x 得,ky 2+y -k =0.设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由根与系数的关系得y 1·y 2=-1,y 1+y 2=-1k .∵A 、B 在抛物线y 2=-x 上,∴y 21=-x 1,y 22=-x 2,∴y 21·y 22=x 1x 2. ∵k OA ·k OB =y 1x 1·y 2x 2=y 1y 2x 1x 2=1y 1y 2=-1,∴OA ⊥OB .(2)设直线与x 轴交于点N ,显然k ≠0. 令y =0,得x =-1,即N (-1,0).∵S △OAB =S △OAN +S △OBN=12|ON ||y 1|+12|ON ||y 2|=12|ON |·|y 1-y 2|, ∴S △OAB =12·1·(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12(-1k)2+4. ∵S △OAB =10, ∴10=121k 2+4,解得k =±16.一、选择题1.(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线与抛物线交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则y 21+y 22的最小值为导学号 33780606( )A .4B .6C .8D .10[答案] C[解析] 当直线的斜率不存在时,其方程为x =1,∴y 21=4,y 22=4, ∴y 21+y 22=8.当直线的斜率存在时,设其方程为y =k (x -1)(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1)y 2=4x ,得ky 2-4y -4k =0, ∴y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4,∴y 21+y 22=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=16k2+8, ∵k 2>0,∴y 21+y 22>8,综上可知,y 21+y 22≥8,故y 21+y 22的最小值为8.2.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为导学号 33780607( )A.12 B .23C .34D .43[答案] D[解析] 由题意知,准线方程为x =-2,∴p =4, 抛物线方程:y 2=8x ,焦点坐标(2,0). 设过A 点的直线为y =k (x +2)+3联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=8x y =k (x +2)+3,化简得y 2-8k y +24k +16=0①∴Δ=64k 2-4(24k +16)=0,∴k =12,k =-2(舍去).将k =12代入方程①,∴y =8,∴x =8.B 点坐标为(8,8). ∴k BF =88-2=43. 3.(2016·四川理,8)设O 为坐标原点,P 是以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点,M 是线段PF 上的点,且|PM |=2|MF |,则直线OM 斜率的最大值为导学号 33780608( )A.33 B .23C.22D .1[答案] C[解析] 设P (t 22p ,t ),易知F (p2,0),则由|PM |=2|MF |,得M (p +t 22p 3,t 3),当t =0时,直线OM 的斜率k =0,当t ≠0时,直线OM 的斜率k =t p +t 22p =1p t +t 2p ,所以|k |=1p |t |+|t |2p ≤12p |t |·|t |2p=22,当且仅当p |t |=|t |2p 时取等号,于是直线OM 的斜率的最大值为22,故选C.4.已知直线y =k (x +2)(k >0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A 、B 两点,F 为C 的焦点.若|F A |=2|FB |,则k =导学号 33780609( )A.13 B .23C .23D .223[答案] D[解析] 设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x +2)y 2=8x 消去y 得,k 2x 2+4x (k 2-2)+4k 2=0, ∴x 1+x 2=4(2-k 2)k 2,x 1x 2=4.由抛物线定义得|AF |=x 1+2,|BF |=x 2+2, 又∵|AF |=2|BF |,∴x 1+2=2x 2+4,∴x 1=2x 2+2代入x 1x 2=4,得x 22+x 2-2=0, ∴x 2=1或-2(舍去),∴x 1=4, ∴4(2-k 2)k 2=5,∴k 2=89, ∵k >0,∴k =223.二、填空题5.已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点,M 是这条抛物线上的一个动点,P (3,1)是一个定点,则|MP |+|MF |的最小值是____________.导学号 33780610[答案] 4[解析] 过P 作垂直于准线的直线,垂足为N ,交抛物线于M ,则|MP |+|MF |=|MP |+|MN |=|PN |=4为所求最小值.6.在已知抛物线y =x 2上存在两个不同的点M 、N 关于直线y =kx +92对称,则k 的取值范围为________.导学号 33780611[答案] k >14或k <-14[解析] 设M (x 1,x 21),N (x 2,x 22)关于直线y =kx +92对称, ∴x 21-x 22x 1-x 2=-1k ,即x 1+x 2=-1k .设MN 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=-12k ,y 0=k ×(-12k )+92=4.因中点P 在y =x 2内,有4>(-12k )2⇒k 2>116,∴k >14或k <-14.三、解答题7.已知抛物线y 2=6x 的弦AB 经过点P (4,2),且OA ⊥ OB (O 为坐标原点),求弦AB 的长.导学号 33780612[解析] 由A 、B 两点在抛物线y 2=6x 上,可设A (y 216,y 1)、B (y 226,y 2).因为OA ⊥OB ,所以OA →·OB →=0.由OA →=(y 216,y 1),OB →=(y 226,y 2),得y 21y 2236+y 1y 2=0.∵y 1y 2≠0,∴y 1y 2=-36,①∵点A 、B 与点P (4,2)在一条直线上, ∴y 1-2y 216-4=y 1-y 2y 216-y 226, 化简得y 1-2y 21-24=1y 1+y 2,即y 1y 2-2(y 1+y 2)=-24. 将①式代入,得y 1+y 2=-6.②由①和②,得y 1=-3-35,y 2=-3+35,从而点A 的坐标为(9+35,-3-35),点B 的坐标为(9-35,-3+35),所以|AB |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=610.8.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)过点A (1,-2).导学号 33780613 (1)求抛物线C 的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ,使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于55?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. [解析] (1)将(1,-2)代入y 2=2px ,得(-2)2=2p ·1, ∴p =2.故所求的抛物线C 的方程为y 2=4x ,其准线方程为x =-1. (2)假设存在符合题意的直线l ,其方程为y =-2x +t由⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x +t ,y 2=4x .消去x 得y 2+2y -2t =0.因为直线l 与抛物线C 有公共点,所以Δ=4+8t ≥0, 解得t ≥-12.另一方面,由直线OA 与l 的距离d =55, 可得|t |5=15,解得t =±1. 综上知:t =1.所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x +y -1=0.。
第二章 2.1一、选择题1.方程(2x -y +2)·x 2+y 2-1=0表示的曲线是导学号 33780312( )A .一个点与一条直线B .两条射线和一个圆C .两个点D .两个点或一条直线或一个圆[答案] B[解析] 原方程等价于x 2+y 2-1=0,或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y +2=0x 2+y 2-1≥0,故选B.2.若方程x -2y -2k =0与2x -y -k =0所表示的两条直线的交点在方程x 2+y 2=9的曲线上,则k 等于导学号 33780313( )A .±3B .0C .±2D . 一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0,-k),由已知点(0,-k)在曲线x 2+y 2=9上,故可得k 2=9,∴k =±3.3.在直角坐标系中,方程|x|·y =1的曲线是导学号 33780314( )[答案] C[解析] 由|x|·y =1知y>0,曲线位于x 轴上方,故选C.4.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ,y)=0的解”是正确的,下列命题中正确的是导学号 33780315( )A .方程f(x ,y)=0的曲线是CB .方程f(x ,y)=0是曲线C 的方程C .方程f(x ,y)=0的曲线不一定是CD .以方程f(x ,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上[答案] C[解析] 不论方程f(x ,y)=0是曲线C 的方程,还是曲线C 是方程f(x ,y)=0的曲线,都必须同时满足两层含义:(1)曲线上的点的坐标都是方程的解;(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以A 、B 、D 错误.5.已知A(-2,0)、B(2,0),△ABC 的面积为10,则顶点C 的轨迹是导学号 33780316( )A .一个点B .两个点C .一条直线D .两条直线[答案] D[解析] 设顶点C 到边AB 的距离为d ,则12×4×d =10,∴d =5.∴顶点C 到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y=-5和y=5.6.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是导学号 33780317( )A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1 D.(x+32)2+y2=1[答案] C[解析] 设P点为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1),则有x1+32=x,y1+02=y.∴x1=2x-3,y1=2y.∵(x1,y1)在曲线x2+y2=1上,∴x21+y21=1,∴(2x-3)2+(2y)2=1即(2x-3)2+4y2=1.二、填空题7.方程y=x2-2x+1所表示的图形是________.导学号 33780318[答案] 两条射线x+y-1=0(x≤1)和x-y-1=0(x≥1)[解析] 原方程等价于y=|x-1|⇔x+y-1=0(x≤1)和x-y-1=0(x≥1).8.给出下列结论:导学号 33780319①方程yx-2=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.正确的结论的序号是________.。
第二章 2.2 2.2.1一、选择题1.设F 1、F 2为定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则动点M 的轨迹是导学号 33780342( )A .椭圆B .直线C .圆D .线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|+|MF 2|=6,|F 1F 2|=6, ∴|MF 1|+|MF 2|=|F 1F 2|, ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2.(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为导学号 33780343( )A.x 24+y 22=1 B .y 24+x 22=1C.y 216+x 24=1 D .x 216+y 24=1[答案] D[解析] 解法一:验证排除:将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ,故选D. 解法二:设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0),∴⎩⎨⎧16m =14n =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =116n =14,故选D.3.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是导学号 33780344( )A .2B .4C .8D .32[答案] B[解析] 设椭圆左焦点F ,右焦点F 1,∵2a =10,|MF|=2,∴|MF 1|=8,∵N 为MF 中点,O 为FF 1中点,∴|ON|=12|MF 1|=4.4.(2015·福建八县一中高二期末测试)“1<m<2”是“方程x 2m -1+y 23-m =1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆”的导学号 33780345( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 方程x 2m -1+y 23-m=1表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆,∴⎩⎨⎧m -1>03-m>03-m>m -1,∴1<m<2,故选C.5.中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆上的点到两焦点的距离之和为18,且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是导学号 33780346( )A.x 281+y 245=1 B .x 281+y 29=1C.x 281+y272=1 D .x 281+y236=1[答案] C[解析] 椭圆上的点到两焦点的距离之和为18知a =9,∵两个焦点将长轴长三等分,∴2c =13(2a)=6,∴c =3,∴b 2=a 2-c 2=72,故选C.6.直线2x +by +3=0过椭圆10x 2+y 2=10的一个焦点,则b 的值为导学号 33780347( ) A .-1 B .12C .-1或1D .-12或12[答案] C[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2+y 210=1,∴焦点坐标为(0,±3),当直线过焦点(0,3)时,b =-1;当直线过焦点(0,-3)时,b =1.二、填空题7.(2015·江苏泰州市姜堰区高二期中测试)椭圆x 25+y 24=1的焦点坐标是________.导学号 33780348[答案] (-1,0)、(1,0)[解析] ∵a 2=5,b 2=4,∴c 2=a 2-b 2=1, ∴椭圆x 25+y 24=1的焦点坐标是(-1,0)、(1,0).8.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为________.导学号 33780349[答案] x 24+y 23=1[解析] 由题意可得⎩⎨⎧a +c =3a -c =1,∴⎩⎨⎧a =2c =1.故b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆方程为x 24+y23=1.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a =3b ,求椭圆的标准方程.导学号 33780350[解析] 当焦点在x 轴上时,设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0).由椭圆过点。
第二章一、选择题.在方程-=中,若<,则方程的曲线是( ).焦点在轴上的椭圆.焦点在轴上的双曲线.焦点在轴上的椭圆.焦点在轴上的双曲线[答案][解析]方程-=可化为:-=,∵<,∴->,∴方程的曲线是焦点在轴上的双曲线..双曲线-=上的点到一个焦点的距离为,则到另一个焦点的距离为( ) .或...[答案][解析]∵=,∴=,由双曲线定义可得-=,由题意知=,∴-=±,∴=或. .若∈,方程+=表示焦点在轴上的双曲线,则的取值范围是( ).-<<-.<-.<-或>-.>-[答案][思路分析]由于方程表示焦点在轴上的双曲线,故+>,+<.[解析]由题意可知,(\\(+>+<)),解得-<<-..椭圆+=与双曲线-=有相同的焦点,则的值是( ).±..-.不存在[答案][解析]验证法:当=±时,=,对椭圆来说,=,=,=.对双曲线来说,=,=,=,故当=±时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在轴上,故-=+.∴=,即=±..(·福建八县一中高二期末测试)△中,(-)、(),点在双曲线-=上,则=( ).±.-.±[答案][解析]在△中,=,=,==.∴==.又∵-=±,∴=±=±..已知双曲线的左、右焦点分别为、,过的直线与双曲线的左支交于、两点,线段的长为,若=,那么△的周长是( )....[答案][解析]-==,-==,∴+-(+)=,∴+=+=,∴△的周长为++=+=.二、填空题.双曲线的一个焦点坐标是(,-),经过点(-,),则双曲线的标准方程为[答案]-=[解析]解法一:由已知得,=,且焦点在轴上,则另一焦点坐标是().因为点(-)在双曲线上,所以点与两焦点的距离的差的绝对值是常数,即=-=-=,得=,=-=-=.因此,所求的双曲线标准方程是-=.解法二:由焦点坐标知=,∴+=,∴双曲线方程为-=.∵双曲线过点(-),∴-=,∴=,=.双曲线方程为-=..已知双曲线与椭圆+=有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为,则双曲线的方程为[答案]-=[解析]椭圆的焦点为(,-),(),故可设双曲线方程为-=(>,>),且=,+=.。
选修2-1第二章 圆锥曲线与方程 附答案一、选择题1.若平面内一条直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点,则下列命题:(1)若C 是圆,则l 与C 一定相切;(2)若C 是抛物线,则l 与C 一定相切;(3)若C 是椭圆,则l 与C 一定相切;(4)若C 是双曲线,则l 与C 一定相切.其中正确的有( ).A .1 个B .2个C .3个D .4个2.过抛物线x 2=4y 的焦点且与其对称轴垂直的弦AB 的长度是( ). A .1B .2C .4D .83.双曲线1 = 4-922y x 与直线m x -y + 32=(m ∈R )的公共点的个数为( ).A .0B .1C .0或1D .0或1或24.在直角坐标平面内,已知点F 1(-4,0),F 2(4,0),动点M 满足条件:|MF 1|+|MF 2|=8,则点M 的轨迹方程是( ).A .1 = 9+1622y xB .x =0C .y =0(-4≤x ≤4)D .1= 16+1622 y x 5.已知经过椭圆1 = +522y x 的焦点且与其对称轴成45º的直线与椭圆交于A ,B 两点,则|AB |=( ).A .352 B .310C .25D .106.已知点A (3,0)、B (-3,0),|AC |-|BC |=4,则点C 轨迹方程是( ). A .1 = 5422y -xB .1 = 5422y -x (x <0)C .1 = 5422y -x (x >0)D .0 = 5422y -x (x <0)7.方程mx 2+(m +1)y 2=m (m +1),m ∈R 表示的曲线不可能是( ). A .直线B .椭圆C .双曲线D .抛物线8.若椭圆1 =9+ 1622x y 上的点到直线y =x +m 的最短距离是2,则m 最小值为( ).A .-1B .3-C . 7-D .19.直线y =x -k 与抛物线x 2=y 相交于A ,B 两点,若线段AB 中点的纵坐标为1,则k 的值为( ).A .-21 B .21C .-41D .-110.设椭圆22+10y x =1和双曲线22-8y x =1的公共焦点分别为F 1,F 2,P 是这两曲线的交点,则△PF 1F 2的外接圆半径为( ).A .1B .2C .22D .3二、填空题11.直线m y 2 = 与曲线 222218= + 9m y x m (m ∈R ,m ≠0)有 个公共点. 12.到点(-4,0)与到直线x =-425的距离之比为54的动点的轨迹方程是 .13.与14922=-y x 有相同渐近线且实轴长为10的双曲线方程是 . 14.已知△ABC 的两个顶点为A (0,0)、B (6,0),顶点C 在曲线1 = 91622y -x 上运动,则△ABC 的重心的轨迹方程是 .15.若点P ,Q 在抛物线y 2=4x 上,O 是坐标原点,且OP ·=0,则直线PQ 恒过的定点的坐标是 .16.已知正三角形ABC ,若M ,N 分别是AB ,AC 的中点,则以B ,C 为焦点,且过M ,N 的椭圆与双曲线的离心率之积为 .三、解答题 17.若过椭圆1 = +2222by ax (a >b >0)左焦点的直线与它的两个交点及其右焦点构成周长为16的三角形,此椭圆的离心率为0.5,求这个椭圆方程.18.已知直线1+ =x y k 与双曲线x 2-y 2=1的左支相交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为点M ,定点C (-2,0).(1)求实数k 的取值范围;(2)求直线MC 在y 轴上的截距的取值范围.19.若点P 在抛物线y 2=2x 上,A (a ,0), (1)请你完成下表:(2)若a ∈R ,求||PA 的最小值及相应的点P 坐标20.若点P 在以F 为焦点的抛物线y 2=2px (p >0)上,且PF ⊥FO ,|PF |=2,O 为原点.(1)求抛物线的方程;(2)若直线x -2y =1与此抛物线相交于A ,B 两点,点N 是抛物线弧AOB 上的动点,求△ABN 面积的最大值.参考答案一、选择题 1.B 2.C3.C解析:双曲线1 = 4-922y x 的渐近线方程为y =±32x 与已知直线平行或重合,而当m =0时,重合;此时,公共点个数为0;m ≠0时,公共点个数为1.4.C 5.A 6. B 7.D 8.C 9.A10.D解析:由椭圆与双曲线的定义可得1||PF 与2||PF 的方程组,进一步可知△PF 1F 2为直角三角形.二、填空题 11.2.12.1 = 9+2522y x .13.1 = 9-2522y x 或1 = 4225-2522x y . 14.1 = 162 922y --x )((y ≠0). 15.(4,0). 16.2. 三、解答题 17.1 = 12+1622y x .解:如图,由椭圆定义可知|BF 1|+|BF 2|=2a ,|AF 1|+|AF 2|=2a .△ABF 2的周长=|AB |+|BF 2|+|AF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16.∴a =4, 又∵ e =ac=0.5,(第17题)∴ c =2,∴ b =3= 222-c a . 椭圆方程为1 = 12+1622y x .18.(1)1<k <2.解:把直线y =k x +1代入双曲线x 2-y 2=1整理有 (1-k 2)x 2-2k x -2=0,∵设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由韦达定理可知x 1+x 2=2-12k k <0, ① x 1·x 2=2-12k->0. ②且 ∆=(-2k )2-4(1-k 2)·(-2)=4k 2-8 k 2+8>0得 -2<k <2.③ ∴ 1<k <2.(2)∵ M ⎪⎭⎫ ⎝⎛2+ 2+2121y y ,x x , M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1+-1 -1222k k k k ,,即M ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-11 -1k k k ,. ∴MC :y =2++212k k -x +2++222k k -.在y 轴线截距为y m =2++222k k -,当k ∈(1,2),有y m >2或y m <-2-2. 19.(1)(2)当a ≤1时,|P A |的最小值=|a |,相应的点P (0,0);当a >1时,|P A |的最小值=12-a ,相应的点P (a -1,±22-a ). 20.(1)x y 4=2;(第18题)O解:由PF ⊥FO ,|PF |=2可知当x =2p时,y =2. 即2p ·2p=4,∴ p =2. ∴抛物线方程为y 2=4x . (2)510.解:由(1)可知,直线AB 过焦点F (1,0). 把直线x -2y =1代入抛物线y 2=4x . 有x 2-18 x +1=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). |AB |=21-41+1x x =2058 25=-4+ 41+ 121221= ·)( ·x x x x . 设N (x 0,20x ),点N 到AB 的距离h =51400-x -x .S △ABN =21·|AB |·h =21·20·51400-x -x .当0x =2时,S △ABN 取得最大值,此时S △ABN =105.(第20题)。
第二章 2.2 2.2.2 第2课时一、选择题1.若点P(a,1)在椭圆x 22+y 23=1的外部,则a 的取值范围为导学号 33780406( )A .(-233,233) B .(233,+∞)∪(-∞,-233) C .(43,+∞) D .(-∞,-43) [答案] B[解析] 因为点P 在椭圆x 22+y 23=1的外部,所以a 22+123>1,解得a>233或a<-233,故选B.2.AB 为过椭圆x 2a 2+y 2b2=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的左焦点,则△AFB 的面积最大值是导学号 33780407( )A .b 2B .bcC .abD .ac[答案] B[解析] S △ABF =S △AOF +S △BOF =12|OF|·|y A -y B |, 当A 、B 为短轴两个端点时,|y A -y B |最大,最大值为2b. ∴△ABF 面积的最大值为bc.3.已知以F 1(-2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为导学号 33780408( )A .32 B .2 6 C .27 D .4 2 [答案] C[解析] 设椭圆方程mx 2+ny 2=1(m ≠n>0)⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2+ny 2=1x +3y +4=0消x 得(3m +n)y 2+83my +16m -1=0Δ=192m 2-4(16m -1)(3m +n)=0整理得3m +n =16mn即3n +1m=16 ① 又c =2,焦点在x 轴上∴1m -1n=4 ②由①②解得m =17,n =13, ∴长轴长为27. 4.点P 为椭圆x 25+y 24=1上一点,以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1,则P 点的坐标为导学号 33780409( )A .(±152,1) B .(152,±1) C .(152,1) D .(±152,±1)[答案] D[解析] 设P(x 0,y 0),∵a 2=5,b 2=4,∴c =1,∴S △PF 1F 2=12|F 1F 2|·|y 0|=|y 0|=1,∴y 0=±1, ∵x 205+y 204=1, ∴x 0=±152.故选D. 5.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为导学号 33780410( )A.22 B .33。
第二章 2.4 2.4.2 第1课时一、选择题1.(2015·河南洛阳市高二期末测试)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=10,则弦AB的长度为导学号 33780566 ( )A.16 B.14C.12 D.10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F,则|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=10+2=12.2.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,则AB长是导学号 33780567( ) A.2 B.4C.8 D.1[答案] C[解析] 抛物线x2=-8y,通径为|-8|=8,∴选C.3.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为导学号 33780568( )A.18 B.24C.36 D.48[答案] C[解析] 设抛物线方程y 2=2px(p>0) |AB|即通径为∴2p =12,∴p =6,点P 到AB 的距离为P =6,∴S △ABP =12×12×6=36.4.已知过抛物线y 2=6x 焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是导学号 33780569( ) A.π6或5π6 B .π4或3π4C.π3或2π3 D .π2[答案] B[解析] 解法一:∵抛物线y 2=6x ,∴2p =6,∴p2=32, 即焦点坐标F(32,0)设所求直线方程为y =k(x -32)与抛物线y 2=6x 消去y ,得k 2x 2-(3k 2+6)x +94k 2=0设直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ∴x 1+x 2=3k 2+6k 2∵直线过抛物线y 2=6x 焦点,弦长为12. ∴x 1+x 2+3=12,∴x 1+x 2=9 即3k 2+6k 2=9,解得k2=1 k =tan α=±1,∵α∈[0,π) ∴α=π4或3π4解法二:弦长|AB|=2psin 2α(α为直线AB 倾斜角)∴12=6sin 2α,∴sin 2α=12sin α=±22,∴α∈[0,π),∴α=π4或α=3π4.5.(2015·安庆高二检测)设抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点,则OA →·OB→的值是导学号 33780570( )A.34 B .-34C .3D .-3[答案] B[解析] 抛物线y 2=2x 焦点(12,0)当直线AB 斜率不存在时,。
第二章一、选择题.设、为定点,=,动点满足+=,则动点的轨迹是( ).椭圆.直线.圆.线段[答案][解析]∵+=,=,∴+=,∴点的轨迹是线段..(·黑龙江哈师大附中高二期中测试)中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点()、()的椭圆方程为( )+=.+=+=.+=[答案][解析]解法一:验证排除:将点()代入验证可排除、、,故选.解法二:设椭圆方程为+=(>,>),∴(\\(==)),∴(\\(=()=())),故选..已知椭圆+=上的点到该椭圆一个焦点的距离为,是的中点,为坐标原点,那么线段的长是( ) ....[答案][解析]设椭圆左焦点,右焦点,∵=,=,∴=,∵为中点,为中点,∴==..(·福建八县一中高二期末测试)“<<”是“方程+=表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的( ).必要不充分条件.充分不必要条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件[答案][解析]方程+=表示的曲线是焦点在轴上的椭圆,∴(\\(->->->-)),∴<<,故选..中心在原点,焦点在轴上,椭圆上的点到两焦点的距离之和为,且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( ).+=+=+=.+=[答案] [解析]椭圆上的点到两焦点的距离之和为知=,∵两个焦点将长轴长三等分,∴=()=,∴=,∴=-=,故选..直线++=过椭圆+=的一个焦点,则的值为( )..-.-或.-或[答案] [解析]椭圆方程化为标准形式为+=,∴焦点坐标为(,±),当直线过焦点()时,=-;当直线过焦点(,-)时,=.二、填空题.(·江苏泰州市姜堰区高二期中测试)椭圆+=的焦点坐标是[答案](-)、()[解析]∵=,=,∴=-=,∴椭圆+=的焦点坐标是(-)、()..已知椭圆中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和,则椭圆的标准方程为[答案]+=[解析]由题意可得(\\(+=-=)),∴(\\(==)).故=-=,所以椭圆方程为+=.三、解答题.已知椭圆的中心在原点,且经过点(),=,求椭圆的标准方程[解析]当焦点在轴上时,设其方程为+=(>>).由椭圆过点(),知+=,又=,解得=,=,故椭圆的方程为+=.当焦点在轴上时,设其方程为+=(>>).由椭圆过点(),知+=,又=,联立解得=,=,故椭圆的方程为+=.故椭圆的标准方程为+=或+=..已知点(-,),是圆:(-)+=(为圆心)上一动点,线段的垂直平分线交于,求动点的轨迹方程[解析]如图所示,由题意知,。
第二章 2.3 2.3.2 第2课时一、选择题1.(2015·贵州安顺高二检测)已知双曲线方程为x 2-y 24=1,过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点,则l 的条数为导学号 33780504( )A .4B .3C .2D .1[答案] B[解析] 由双曲线的方程知,点P (1,0)为双曲线的一个顶点,过点P (1,0)有一条直线l 与双曲线相切,有两条直线与渐近线平行,这三条直线与双曲线只有一个公共点.2.(2016·山东济宁高二检测)直线l 经过P (1,1)且与双曲线x 2-y 22=1交于A 、B 两点,如果点P 是线段AB 的中点,那么直线l 的方程为导学号 33780505( )A .2x -y -1=0B .2x +y -3=0C .x -2y +1=0D .不存在[答案] D[解析] 当斜率不存在时,方程为x =1,与双曲线相切不符合题意,当斜率存在时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入双曲线方程得⎩⎨⎧x 21-y 212=1.x 22-y222=1,两式相减的x 21-x 22=12(y 21-y 22),整理求出k =2,则直线方程为y =2x -1,联立直线方程与双曲线方程后检验Δ<0,方程无解,所以不存在.3.若直线y =kx +2与双曲线x 2-y 2=6的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围是导学号 33780506( )A .(-153,153) B .(0,153) C .(-153,0) D .(-153,-1) [答案] D[思路分析] 直线与双曲线右支交于不同两点,则由直线与双曲线消去y 得到的方程组应有两正根,从而Δ>0,x 1+x 2>0,x 1x 2>0,二次项系数≠0.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2x 2-y 2=6,得(1-k 2)x 2-4kx -10=0.由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧1-k 2≠0Δ=16k 2+40(1-k 2)>04k1-k 2>010k 2-1>0,解得-153<k <-1. 4.若ab ≠0,则ax -y +b =0和bx 2+ay 2=ab 所表示的曲线只可能是下图中的导学号33780507( )[答案] C[解析] 方程可化为y =ax +b 和x 2a +y 2b =1.从B ,D 中的两椭圆看a ,b ∈(0,+∞),但B中直线有a <0,b <0矛盾,应排除;D 中直线有a <0,b >0矛盾,应排除;再看A 中双曲线的a <0,b >0,但直线有a >0,b >0,也矛盾,应排除;C 中双曲线的a >0,b <0和直线中a 、b 一致.应选C.5.(2016·浙江杭州高三模拟)设离心率为e 的双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,直线l 过点F 且斜率为k ,则直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是导学号 33780508( )A .k 2-e 2>1B .k 2-e 2<1C .e 2-k 2>1D .e 2-k 2<1[答案] C[解析] 直线l 与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是直线l 的斜率-b a <k <ba,两边平方得,k 2<b 2a 2=c 2-a2a2=e 2-1,即e 2-k 2>1.6.设P 是双曲线x 2a 2-y 29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3,则|PF 2|=导学号 33780509( )A .1或5B .6C .7D .9[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0, ∴b a =32,∵b =3,∴a =2. 又||PF 1|-|PF 2||=2a =4, ∴|3-|PF 2||=4.∴|PF 2|=7或|PF 2|=-1(舍去). 二、填空题7.已知直线l :x -y +m =0与双曲线x 2-y 22=1交于不同的两点A 、B ,若线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,则m 的值是________.导学号 33780510[答案] ±1[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +m =0x 2-y 22=1,消去y 得x 2-2mx -m 2-2=0.Δ=4m 2+4m 2+8=8m 2+8>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则x 1+x 2=2m ,y 1+y 2=x 1+x 2+2m =4m ,∴线段AB 的中点坐标为(m,2m ),又∵点(m,2m )在圆x 2+y 2=5上,∴5m 2=5,∴m =±1.8.(2016·安徽合肥高二检测)过双曲线x 220-y 25=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为5,这样的直线有________条.导学号 33780511[答案] 1[解析] 依题意得右焦点F (5,0),所以过F 且垂直x 轴的直线是x =5,代入x 220-y 25=1,得y =±52,所以此时弦长为52×2= 5.当不垂直于x 轴时,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比5长.因为两顶点间距离为45,即左右两支上的点的最短距离是45,所以如果交于两支的话,弦长不可能为5,故只有一条.三、解答题9.(2015·福建八县一中高二期末测试)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4,且过点(-3,26).导学号 33780512(1)求双曲线方程和其渐近线方程;(2)若直线l :y =kx +2与双曲线C 有且只有一个公共点,求实数k 的取值范围.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=49a 2-24b2=1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1b 2=3.∴双曲线方程为x 2-y 23=1,其渐近线方程为y =±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2x 2-y 23=1,得(3-k 2)x 2-4kx -7=0,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3-k 2≠0Δ=16k 2+28(3-k 2)=0, ∴k 2=7,∴k =±7.当直线l 与双曲线C 的渐近线y =±3x 平行,即k =±3时,直线l 与双曲线C 只有一个公共点,∴k =±7或k =±3.10.(2016·山东荷泽高二检测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为3,点(3,0)是双曲线的一个顶点.导学号 33780513(1)求双曲线的方程;(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线l ,直线l 与双曲线交于不同的A ,B 两点,求AB 的长.[解析] (1)∵双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为3,点(3,0)是双曲线的一个顶点,∴ca =3,a =3,解得c =3,又c 2=a 2+b 2,b =6, ∴双曲线的方程为x 23-y 26=1.(2)双曲线x 23-y 26=1的右焦点为F 2(3,0),∴直线l 的方程为y =33(x -3), 联立⎩⎨⎧x 23-y 26=1,y =33(x -3),得5x 2+6x -27=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-65,x 1x 2=-275,所以|AB |=1+13·(-65)2-4×(-275)=1635.一、选择题1.已知F 1、F 2是两个定点,点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF 1⊥PF 2,e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有导学号 33780514( )A.1e 21+1e 22=4 B .e 21+e 22=4C.1e 21+1e 22=2 D .e 21+e 22=2[答案] C[解析] 设椭圆长半轴长为a ,双曲线实半轴长为m ,则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ①||PF 1|-|PF 2||=2m ②①2+②2得:2(|PF 1|2+|PF 2|2)=4a 2+4m 2, 又|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2代入上式得4c 2=2a 2+2m 2, 两边同除以2c 2得2=1e 21+1e 22,故选C.2.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255a ,其离心率e的取值范围为导学号 33780515( )A .[3,+∞)B .[5,+∞)C .(1,3]D .(1,5][答案] D[解析] 依题意(a,0)到渐近线bx +ay =0的距离不大于255a , ∴|ba +0|b 2+a 2≤255a ,解得e ≤5,又e >1,∴1<e ≤5,故选D.3.已知实数4、m 、9构成一个等比数列,则圆锥曲线x 2m +y 2=1的离心率为导学号 33780516( )A.306 B .7 C.306或7 D .56或7[答案] C[解析] ∵4、m 、9成等比数列,∴m 2=36,∴m =±6.当m =6时,圆锥曲线方程为x 26+y 2=1,其离心率为306;当m =-6时,圆锥曲线方程为y 2-x 26=1,其离心率为7,故选C. 4.F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点,过点F 1的直线l 与双曲线的左.右两支...分别交于A 、B 两点.若△ABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为导学号 33780517( )A.2 B .3 C. 5 D .7[答案] D[解析] 如图,由双曲线的定义知,|AF 2|-|AF 1|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a ,∴|AB |=|BF 1|-|AF 1|=|BF 1|-|AF 1|+|AF 2|-|BF 2|=(|BF 1|-|BF 2|)+(|AF 2|-|AF 1|)=4a ,∴|BF 2|=4a ,|BF 1|=6a , 在△BF 1F 2中,∠ABF 2=60°,由余弦定理,|BF 1|2+|BF 2|2-|F 1F 2|2=2|BF 1|·|BF 2|·cos60°, ∴36a 2+16a 2-4c 2=24a 2,∴7a 2=c 2, ∵e >1,∴e =ca =7,故选D.二、填空题5.设F 1、F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2的最小内角为30°,则C 的离心率为________.导学号 33780518[答案]3[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|+|PF 2|=6a |PF 1|-|PF 2|=2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|=4a|PF 2|=2a,又|F 1F 2|=2c ,∴|PF 2|最小.由余弦定理(4a )2+4c 2-4a 22×4a ×2c=cos30°,∴23ac =3a 2+c 2,等式两边同除以a 2得e 2-23e +3=0, ∴e = 3.6.双曲线x 29-y 216=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,若PF 1⊥PF 2,则点P 到x轴的距离为__________.导学号 33780519[答案] 3.2[解析] 设|PF 1|=m ,|PF 2|=n (m >n ),∴a =3,b =4,c =5.由双曲线的定义知,m -n =2a =6,又PF 1⊥PF 2.∴△PF 1F 2为直角三角形. 即m 2+n 2=(2c )2=100.由m -n =6,得m 2+n 2-2mn =36, ∴2mn =m 2+n 2-36=64,mn =32. 设点P 到x 轴的距离为d , S △PF 1F 2=12d |F 1F 2|=12|PF 1|·|PF 2|,即12d ·2c =12mn .∴d =mn 2c =3210=3.2, 即点P 到x 轴的距离为3.2. 三、解答题7.已知曲线C :x 2-y 2=1和直线l :y =kx -1.导学号 33780520 (1)若l 与C 有两个不同的交点,求实数k 的取值范围;(2)若l 与C 交于A 、B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为2,求实数k 的值.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -1x 2-y 2=1,得(1-k 2)x 2+2kx -2=0.∵直线与双曲线有两个不同的交点,∴⎩⎪⎨⎪⎧1-k 2≠04k 2+8(1-k 2)>0, 解得-2<k <2,且k ≠±1,∴k 的取值范围为(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2). (2)结合(1),设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).则x 1+x 2=-2k1-k 2,x 1x 2=-21-k 2, ∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·(-2k 1-k 2)2+81-k 2=(1+k 2)(8-4k 2)(1-k 2)2.∵点O 到直线l 的距离d =11+k 2, ∴S △AOB =12|AB |d =128-4k 2(1-k 2)2=2,即2k 4-3k 2=0. ∴k =0或k =±62.∴适合题意的k 的取值为0、62、-62. 8.已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点.导学号 33780521 (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值;(2)是否存在这样的实数a ,使A 、B 两点关于直线y =12x 对称?若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax +13x 2-y 2=1,消去y 得,(3-a 2)x 2-2ax -2=0.①依题意⎩⎪⎨⎪⎧3-a 2≠0Δ>0,即-6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2a3-a 2③x 1x 2=-23-a 2④∵以AB 为直径的圆过原点,∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2+y 1y 2=0,但y 1y 2=a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+1, 由③④知,∴(a 2+1)·-23-a 2+a ·2a 3-a 2+1=0. 解得a =±1且满足②.(2)假设存在实数a ,使A 、B 关于y =12x 对称,则直线y =ax +1与y =12x 垂直,∴a =-2.直线l 的方程为y =-2x +1. 将a =-2代入③得x 1+x 2=4. ∴AB 中点横坐标为2, 纵坐标为y =-2×2+1=-3.但AB 中点(2,-3)不在直线y =12x 上.即不存在实数a ,使A 、B 关于直线y =12x 对称.。
第二章第课时一、选择题.如果方程+=表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( ).(,+∞).(-∞,-).(,+∞)∪(-∞,-).(,+∞)∪(-,-)[答案][解析]由于椭圆的焦点在轴上,所以(\\(>++>)),即(\\((+((-(>>-)),解得>或-<<-,故选..椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为( ).[答案][解析]由题意,得=,∴==..椭圆:+=和椭圆:+=(<<)有( ).等长的长轴.相等的焦距.相等的离心率.等长的短轴[答案][解析]依题意知椭圆的焦点在轴上,对于椭圆:焦距==,对于椭圆:焦距==,故选..(·大纲全国理,)已知椭圆:+=(>>)的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交于、两点,若△的周长为,则的方程为( )+=.+=+=.+=[答案][解析]根据条件可知=,且=,∴=,=,=,椭圆的方程为+=..已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( )..[答案][解析]依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故=,-=,∴=..已知={},、∈,则方程+=表示焦点在轴上的椭圆的概率为( )..[答案][解析]∵、∈,∴不同的方程+=共有个.由题意<,∴=时,=、、;=时,=、;=时,=,共个,∴所求概率==.二、填空题.已知椭圆的焦点在轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为,焦距为,则此椭圆的标准方程为[答案]+=[解析]由已知,==,∴=,=,∴=-=-=,∴椭圆的标准方程为+=..已知椭圆的短半轴长为,离心率<≤.则长轴长的取值范围为[答案](][解析]∵=,∴=-,又==-≤,∴≥,∴≤,又∵->,∴>,∴<≤,故长轴长<≤.三、解答题.已知椭圆+(+)=(>)的离心率=,求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标[解析]椭圆方程可化为+=,∵-=>,∴>.即=,=,==.由=得,=,∴=.∴椭圆的标准方程为+=,∴=,=,=.∴椭圆的长轴长为,短轴长为;两焦点坐标分别为(-,)、(,);四个顶点分别为(-)、()、(,-)、(,)..已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,它到轴的距离等于短半轴长的,求椭圆的离心率。
第二章 2.3 2.3.1一、选择题1.在方程mx 2-my 2=n 中,若mn <0,则方程的曲线是导学号 33780440( ) A .焦点在x 轴上的椭圆 B .焦点在x 轴上的双曲线 C .焦点在y 轴上的椭圆 D .焦点在y 轴上的双曲线[答案] D[解析] 方程mx 2-my 2=n 可化为:y 2-n m -x 2-n m=1,∵mn <0,∴-nm>0,∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线.2.双曲线x 225-y 29=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为导学号 33780441( )A .22或2B .7C .22D .2[答案] A[解析] ∵a 2=25,∴a =5,由双曲线定义可得||PF 1|-|PF 2||=10,由题意知|PF 1|=12,∴|PF 1|-|PF 2|=±10,∴|PF 2|=22或2.3.若k ∈R ,方程x 2k +3+y 2k +2=1表示焦点在x 轴上的双曲线,则k 的取值范围是导学号 33780442( )A .-3<k <-2B .k <-3C .k <-3或k >-2D .k >-2 [答案] A[思路分析] 由于方程表示焦点在x 轴上的双曲线,故k +3>0,k +2<0.[解析] 由题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧k +3>0k +2<0,解得-3<k <-2.4.椭圆x 24+y 2m 2=1与双曲线x 2m 2-y 22=1有相同的焦点,则m 的值是导学号 33780443( )A .±1B .1C .-1D .不存在[答案] A[解析] 验证法:当m =±1时,m 2=1, 对椭圆来说,a 2=4,b 2=1,c 2=3. 对双曲线来说,a 2=1,b 2=2,c 2=3, 故当m =±1时,它们有相同的焦点. 直接法:显然双曲线焦点在x 轴上, 故4-m 2=m 2+2. ∴m 2=1,即m =±1.5.(2015·福建八县一中高二期末测试)△ABC 中,A (-5,0)、B (5,0),点C 在双曲线x 216-y 29=1上,则sin A -sin Bsin C=导学号 33780444( )A.35 B .±35C .-45D .±45[答案] D[解析] 在△ABC 中,sin A =|BC |2R ,sin B =|AC |2R ,sin C =|AB |2R =102R. ∴sin A -sin B sin C =|BC |-|AC |2R 102R =|BC |-|AC |10.又∵|BC |-|AC |=±8, ∴sin A -sin B sin C =±810=±45.6.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,线段AB 的长为5,若2a =8,那么△ABF 2的周长是导学号 33780445( )A .16B .18C .21D .26[答案] D[解析] |AF 2|-|AF 1|=2a =8,|BF 2|-|BF 1|=2a =8,∴|AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=16, ∴|AF 2|+|BF 2|=16+5=21,∴△ABF 2的周长为|AF 2|+|BF 2|+|AB |=21+5 =26. 二、填空题7.双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),经过点A (-5,6),则双曲线的标准方程为________.导学号 33780446[答案] y 216-x 220=1[解析] 解法一:由已知得,c =6,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是(0,6). 因为点A (-5,6)在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ,即 2a =|(-5)2+(6+6)2-(-5)2+(6-6)2|=|13-5|=8,得a =4,b 2=c 2-a 2=62-42=20.因此,所求的双曲线标准方程是y 216-x 220=1.解法二:由焦点坐标知c =6,∴a 2+b 2=36, ∴双曲线方程为y 2a 2-x 236-a 2=1.∵双曲线过点A (-5,6),∴36a 2-2536-a 2=1,∴a 2=16,b 2=20. 双曲线方程为y 216-x 220=1.8.已知双曲线与椭圆x 227+y 236=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,则双曲线的方程为________.导学号 33780447[答案] y 24-x 25=1[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,-3),F 2(0,3),故可设双曲线方程为y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0),且c =3,a 2+b 2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A (15,4)、B (-15,4),由点A 在双曲线上知,16a 2-15b2=1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2=916a 2-15b 2=1,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4b 2=5.∴所求曲线的方程为y 24-x 25=1.三、解答题9.已知双曲线经过两点M (1,1)、N (-2,5),求双曲线的标准方程.导学号 33780448 [解析] 设所求双曲线的标准方程为mx 2+ny 2=1(mn <0),将点M (1,1)、N (-2,5)代入上述方程,得到⎩⎪⎨⎪⎧m +n =14m +25n =1,解得⎩⎨⎧m =87n =-17.所以所求双曲线的标准方程为x 278-y 27=1.10.如图所示,已知定圆F 1:x 2+y 2+10x +24=0,定圆F 2:x 2+y 2-10x +9=0,动圆M 与定圆F 1、F 2都外切,求动圆圆心M 的轨迹方程.导学号 33780449[解析] 圆F 1:(x +5)2+y 2=1,∴圆心F 1(-5,0),半径r 1=1.圆F 2:(x -5)2+y 2=42,∴圆心F 2(5,0),半径r 2=4. 设动圆M 的半径为R ,则有 |MF 1|=R +1,|MF 2|=R +4,∴|MF 2|-|MF 1|=3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支,且a =32,c =5.∴b 2=c 2-a 2=914.∴双曲线方程为4x 29-4y 291=1(x ≤-32).一、选择题1.已知F 1(-8,3),F 2(2,3)为定点,动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,当a =3和a =5时,P 点的轨迹分别为导学号 33780450( )A .双曲线和一条直线B .双曲线的一支和一条直线C .双曲线和一条射线D .双曲线的一支和一条射线 [答案] D [解析] |F 1F 2|=(-8-2)2+(3-3)2=10a =3时,|PF 1|-|PF 2|=6<10 ∴P 点轨迹为靠近F 2的双曲线一支 a =5时,|PF 1|-|PF 2|=10=|F 1F 2| ∴P 点轨迹为靠近F 2的一条射线.2.已知双曲线x 225-y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18,N 是MF 2的中点,O 为坐标原点,则|NO |等于导学号 33780451( )A.23 B .1 C .2 D .4[答案] D[解析] NO 为△MF 1F 2的中位线,所以|NO |=12|MF 1|,又由双曲线定义知,|MF 2|-|MF 1|=10,因为|MF 2|=18,所以|MF 1|=8,所以|NO |=4,故选D.3.设F 1、F 2是双曲线x 2-y 224=1的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且3|PF 1|=4|PF 2|,则△PF 1F 2的面积等于导学号 33780452( )A .4 2B .8 3C .24D .48[答案] C[解析] 由3|PF 1|=4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=8,|PF 2|=6,又c 2=a 2+b 2=1+24=25,∴c =5,∴|F 1F 2|=10,∴△PF 1F 2为直角三角形,S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|=24.4.设F 为双曲线x 216-y 29=1的左焦点,在x 轴上F 点的右侧有一点A ,以F A 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M 、N ,则|FN |-|FM ||F A |的值为导学号 33780453( )A.25 B .52C.54 D .45[答案] D[解析] 对点A 特殊化,不妨设点A 为双曲线的右焦点,依题意得F (-5,0),A (5,0), |FN |-|NA |=8,|FM |=|NA |, 所以|FN |-|FM |=8,|FN |-|FM ||F A |=810=45,选D.二、填空题5.已知F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________.导学号 33780454[答案] 9[解析] ∵F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,∴a =2,b =23,c =4,F (-4,0),右焦点H (4,0) 由双曲线定义|PF |+|P A |=2a +|PH |+|P A |≥2a +|AH | =4+(4-1)2+(0-4)2=96.(2015·潍坊高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上一点,且PF →·PF 2→=0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为________.导学号 33780455[答案] x 24-y 2=1[解析] 双曲线焦点在x 轴上,|F 1F 2|=2c =2 5 由双曲线定义||PF 1|-|PF 2||=2a ∴|PF 1|2-2|PF 1|·|PF 2|+|PF 2|2=4a 2 ① ∵PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=2∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20代入①式 ∴a 2=4,又c =5,∴b 2=c 2-a 2=1 ∴双曲线方程x 24-y 2=1.三、解答题7.当0°≤α≤180°时,方程x 2cos α+y 2sin α=1表示的曲线怎样变化?导学号 33780456 [解析] (1)当α=0°时,方程为x 2=1,它表示两条平行直线x =1和x =-1. (2)当0°<α<90°时,方程为x 21cos α+y 21sin α=1.①当0°<α<45°时,0<1cos α<1sin α,它表示焦点在y 轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x 2+y 2= 2.③当45°<α<90°时,1cos α>1sin α>0,它表示焦点在x 轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y 2=1,它表示两条平行直线y =1和y =-1.(4)当90°<α<180°时,方程为y 21sin α-x 21-cos α=1,它表示焦点在y 轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x 2=-1,它不表示任何曲线.8.在△ABC 中,A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ,B (-1,0)、C (1,0),求满足sin C -sin B =12sin A 时,顶点A 的轨迹,并画出图形.导学号 33780457 [解析] ∵sin C -sin B =12sin A ,∴c -b =12a =12×2=1,即|AB |-|AC |=1<|BC |=2.∴动点A (x ,y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线 ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′=12c ′=2b ′2=c ′2-a ′2,∴⎩⎨⎧a ′=12b ′=32.∴A 点轨迹方程为x 214-y 234=1.由于c >b 就是|AB |>|AC |,可知A 点的轨迹是双曲线的右支,还需除去点(12,0)如图所示.。
第二章 2.2 2.2.2 第1课时一、选择题1.如果方程x 2a 2+y 2a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是导学号 33780376( )A .(3,+∞)B .(-∞,-2)C .(3,+∞)∪(-∞,-2)D .(3,+∞)∪(-6,-2) [答案] D[解析] 由于椭圆的焦点在x 轴上,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a +6a +6>0,即⎩⎪⎨⎪⎧(a +2)(a -3)>0a >-6,解得a >3或-6<a <-2,故选D.2.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率e 为导学号 33780377( ) A.12 B .13C.14 D.22[答案] A[解析] 由题意,得a =2c ,∴e =c a =12.3.椭圆C 1:x 225+y 29=1和椭圆C 2:x 29-k +y 225-k =1 (0<k <9)有导学号 33780378( )A .等长的长轴B .相等的焦距C .相等的离心率D .等长的短轴 [答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上,对于椭圆C 1:焦距=225-9=8,对于椭圆C 2:焦距=2(25-k )-(9-k )=8,故选B.4.(2014·大纲全国理,6)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为导学号 33780379( )A.x 23+y 22=1 B .x 23+y 2=1C.x 212+y 28=1 D .x 212+y 24=1[答案] A[解析] 根据条件可知c a =33,且4a =43,∴a =3,c =1,b =2,椭圆的方程为x 23+y 22=1.5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为导学号 33780380( )A.13 B .12C.33D .22 [答案] D[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故b =c ,a 2-c 2=c 2,∴e =22. 6.已知A ={1,2,4,5},a 、b ∈A ,则方程x 2a 2+y 2b 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为导学号 33780381( )A.34 B .38C.316 D .12[答案] B[解析] ∵a 、b ∈A ,∴不同的方程x 2a 2+y 2b 2=1共有16个.由题意a 2<b 2,∴a =1时,b =2、4、5;a =2时,b =4、5; a =4时,b =5,共6个,∴所求概率P =616=38.二、填空题7.已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为________.导学号 33780382[答案] y 216+x 2=1[解析] 由已知,2a =8,2c =215,∴a =4,c =15,∴b 2=a 2-c 2=16-15=1, ∴椭圆的标准方程为y 216+x 2=1.8.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________.导学号 33780383[答案] (2,4][解析] ∵b =1,∴c 2=a 2-1,又c 2a 2=a 2-1a 2=1-1a 2≤34,∴1a 2≥14,∴a 2≤4, 又∵a 2-1>0,∴a 2>1, ∴1<a ≤2,故长轴长2<2a ≤4. 三、解答题9.已知椭圆x 2+(m +3)y 2=m (m >0)的离心率e =32,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.导学号 33780384[解析] 椭圆方程可化为x 2m +y 2mm +3=1,∵m -m m +3=m (m +2)m +3>0,∴m >mm +3.即a 2=m ,b 2=mm +3,c =a 2-b 2=m (m +2)m +3. 由e =32得,m +2m +3=32,∴m =1. ∴椭圆的标准方程为x 2+y 214=1,∴a =1,b =12,c =32.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为F 1(-32,0)、F 2(32,0);四个顶点分别为A 1(-1,0)、A 2(1,0)、B 1(0,-12)、B 2(0,12).10.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,它到x 轴的距离等于短半轴长的23,求椭圆的离心率.导学号 33780385[解析] 解法一:设焦点坐标为F 1(-c ,0)、F 2(c,0),M 是椭圆上一点,依题意设M 点坐标为(c ,23b ).在Rt △MF 1F 2中,|F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2, 即4c 2+49b 2=|MF 1|2,而|MF 1|+|MF 2|=4c 2+49b 2+23b =2a ,整理,得3c 2=3a 2-2ab . 又c 2=a 2-b 2,3b =2a .∴b 2a 2=49.∴e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=1-b 2a 2=59,∴e =53.解法二:设M (c ,23b ),代入椭圆方程,得c 2a 2+4b 29b 2=1,∴c 2a 2=59,∴c a =53,即e =53.一、选择题1.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为导学号 33780386( )A .8、6B .4、3C .2、3D .4、2 3[答案] B[解析] 椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a =4,最短的弦为2b 2a =2×32=3,故选B.2.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|︰|PF 2|=2︰1,则△F 1PF 2的面积等于导学号 33780387( )A .5B .4C .3D .1[答案] B[解析] 由椭圆方程,得a =3,b =2,c =5,∴|PF 1|+|PF 2|=2a =6,又|PF 1|︰|PF 2|=2︰1,∴|PF 1|=4,|PF 2|=2,由22+42=(25)2可知,△F 1PF 2是直角三角形,故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12×4×2=4,故选B. 3.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ,左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为导学号 33780388( )A.14 B .55C.12 D .5-2[答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点,F 1、F 2分别为左右焦点,∴|AF 1|=a -c ,|F 1F 2|=2c ,|BF 1|=a +c ,又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a -c )(a +c )=4c 2,即a 2=5c 2,所以离心率e =55. 4.(2015·辽宁沈阳二中高二期中测试)焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为32,则m 的值为导学号 33780389( )A .1B .2C .3D .4[答案] D[解析] 椭圆的方程mx 2+y 2=1化为标准方程为x 21m+y 2=1,由题意得,a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e =ca=1-1m =32,∴m =4. 二、填空题5.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________.导学号 33780390[答案] x 236+y 29=1[解析] 设椭圆G 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0),半焦距为c ,则⎩⎪⎨⎪⎧2a =12c a =32,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =6c =33.∴b 2=a 2-c 2=36-27=9, ∴椭圆G 的方程为x 236+y 29=1.6.椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时,△F AB 的面积是________.导学号 33780391[答案] 3[解析] 如图,当直线x =m ,过右焦点(1,0)时,△F AB 的周长最大,由⎩⎪⎨⎪⎧x =1x 24+y 23=1,解得y =±32,∴|AB |=3.∴S =12×3×2=3.三、解答题7.已知点P (x 0,y 0)是椭圆x 28+y 24=1上一点,A 点的坐标为(6,0),求线段P A 中点M 的轨迹方程.导学号 33780392[解析] 设M (x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 0+62=xy 0+02=y,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -6y 0=2y,∵点P 在椭圆x 28+y 24=1上,∴x 208+y 204=1.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -6y 0=2y ,代入x 208+y 204=1,得(2x -6)28+(2y )24=1,即(x -3)22+y 2=1为所求.8.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2,离心率e =22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2.导学号 33780393(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A 、B 是直线l :x =22上的不同两点,若AF 1→·BF 2→=0,求|AB |的最小值.[解析] (1)由题意得:⎩⎪⎨⎪⎧e =c a =22a 2=b 2+c2S =12×(2a )×(2b )=42,解得:⎩⎪⎨⎪⎧a =2b =2c =2.所以椭圆的标准方程为:x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1、F 2的坐标分别为F 1(-2,0)、F 2(2,0),设直线l :x =22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22,y 1)、B (22,y 2),则AF 1→=(-32,-y 1)、BF 2→=(-2,-y 2),由AF 1→·BF 2→=0得y 1y 2+6=0,即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB |=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥26,当y 1=6、y 2=-6时取等号,所以|AB |的最小值是2 6.。