高中数学人教B版必修四1.3.2《余弦函数图像和性质一》word导学案

必修四正切函数图像及性质教学设计教学背景1．学生已经有了学习正弦函数和余弦函数的图象与性质的经验，因此可以应用对比、类比的方法进行研究，将已有经验迁移到对正切函数性质与图象的研究中；2．学生已经掌握了正切函数的定义、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了知识的保障，在此基础上，进一步研究其性质和图象，体会研究函数方法，也是为解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备．教学目标1．知识与技能：通过对正切函数的图象与性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．2．过程与方法：在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．3．情感态度与价值观：通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏中心对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．重点难点教学重点：正切函数的图象与性质的简单应用．教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．课时安排1课时错误!导入新课直接导入常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．复习回顾1.什么是角ɑ的正切线？在直角坐标系中，设单位圆与轴正半轴的交点为A1,0，任意角α的终边与单位段AT为角α的正切线。

圆交于点P，过点A1,0作轴的垂线，与角的终边或终边的延长相交于T点，则tan=AT2诱导公式()=+x πtan ()=-x tan知识探究1正切函数的图像思考1：正切函数的定义域是什么？思考2：正切函数=tan 是否为周期函数？2诱导公式()=+x πtan ()=-x tan思考3：类比正弦函数图像的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图像，具体应如何操作？ 教师引导学生用单位圆上的正切线来作正切函数在开区间－错误!，错误!内的图象，如图1根据正切函数的周期性，把图1向左、右扩展，得到正切函数＝tan ，∈－错误!＋π，错误!＋π∈Z 的图象，我们称正切曲线，如图2可以看出，正切曲线是由通过点错误!＋π，0∈Z 且与轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．图1图22正切函数的性质下面让学生结合图像自己探究正切函数＝tan的性质：1定义域正切函数的定义域是{α|α≠π＋错误!，∈Z}，而不是{α≠错误!＋2π，∈Z}，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应适时提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．2值域由多媒体课件演示正切线的变化规律，从图3或正切线可以看出，在区间－错误!，错误!内，当小于错误!，并且无限接近错误!时，tan可无限地增大，且它的值可比指定的任何正数都大．我们把这种情况，记作tan→＋∞读作“tan趋向于正无穷大”；当大于－错误!，并且无限接近－错误!时，tan可无限地减小，且它的绝对值可比指定的任何正数都大，我们把这种情况，记作tan→－∞读作“tan趋向于负无穷大”．这就是说，tan可以取任意实数值，没有最大值，也没有最小值．因此，函数＝tan的值域是实数集R3周期性由诱导公式tan＋π＝tan，∈R，≠错误!＋π，∈Z，可知，正切函数是周期函数，周期是π4奇偶性由诱导公式tan－＝－tan，∈R，≠错误!＋π，∈Z可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．5单调性通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在－错误!，错误!内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在每一个开区间－错误!＋π，错误!＋π，∈Z内都是增函数．错误!思考1：正切函数在整个定义域上是不是增函数？正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间0，π上就没有单调性，这一点务必让学生理解透彻，课后的思考与讨论提到了这一点．思考2：一条平行于轴的直线与正切曲线相邻两支的交点的距离为多少？题型探究例1 求函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的定义域。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第1课时余弦函数的图象与性质1.会用“五点法”、“图象变换法”作余弦函数和y＝A cos(ωx＋φ)的图象.(重点)2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.(难点)[基础·初探]教材整理1余弦函数的图象阅读教材P51内容，完成下列问题.把正弦函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度就得到余弦函数y＝cos x 的图象，该图象叫做余弦曲线.图1-3-5用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A.0，π2，π，3π2，2πB.0，π4，π2，3π4，πC.0，π，2π，3π，4πD.0，π6，π3，π2，2π3【解析】令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.【答案】 B教材整理2余弦函数的性质阅读教材P52～P53内容，完成下列问题.1.余弦函数的性质：函数y＝cos x定义域R值域[－1,1]奇偶性偶函数周期性以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期单调性当x∈[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)时，递增；当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减最大值与最小值当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－12.，ω＞0)的周期T＝2πω.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦函数y＝cos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条.()(2)余弦函数y＝cos x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.()(3)在区间[0,3π]上，函数y＝cos x仅在x＝0时取得最大值1.()(4)函数y＝cos x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数.()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]用“五点法”作余弦型函数的图象用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图.【精彩点拨】在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.【自主解答】列表：x 0π2π32π2πcos x 10－10 12＋cos x 3212 31.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点.2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.[再练一题]1.用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0,2π]的简图.【解】按五个关键点列表，描点画出图象(如图).x 0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3－2cos x13531求余弦型函数的单调区间求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间.【导学号：72010027】【精彩点拨】 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 化为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6形式，故只需求y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调递减区间即可. 【自主解答】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，令z ＝x －π6，则y ＝cos z ，即2k π≤z ≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴2k π≤x －π6≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋76π，k ∈Z .故函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋76π，k ∈Z .1.求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (其中A ≠0，w >0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.2.具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间.[再练一题]2.(2016·南京高一检测)求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间.【解】 y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.结合y ＝|cos x |的图象.由k π－π2≤x－π4≤k π(k ∈Z )得k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z ).所以函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).有关三角函数的最值问题已知函数y 1＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin 3bx 的最大值.【精彩点拨】 欲求函数y 的最大值，须先求出a ，b ，为此可利用函数y 1的最大、最小值，结合分类讨论求解.【自主解答】 ∵函数y 1的最大值是32，最小值是－12. 当b >0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.当b <0时，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.因此y ＝－2sin 3x 或y ＝2sin 3x . 函数的最大值均为2.1.对于求形如y ＝a cos x ＋b 的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当x 有具体范围限制时，需考虑cos x 的范围.2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解.[再练一题]3.(2016·日照高一检测)函数y ＝sin 2x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4的值域为________.【解析】 设cos x ＝t ，因为－π4≤x ≤π4，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以y ＝1－cos 2x ＋cos x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，故当t ＝22， 即x ＝±π4时，y max ＝1＋22； 当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋22. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋22 [探究共研型]与正弦、余弦函数图象有关的零点问题 【提示】 在同一坐标系内分别作出y ＝sin x ，y ＝x 图象可知在x ∈[0,1]内，sin x <x 没有交点，当x >1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.探究2 函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内有多少个零点？【提示】 令f (x )＝0，所以x ＝cos x 分别作出y ＝x ，y ＝cos x 可知两函数只有一个交点，所以f (x )在[0，＋∞)内只有一个零点.判断方程x4－cos x ＝0根的个数.【精彩点拨】 当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【自主解答】 设f (x )＝x4，g (x )＝cos x ，在同一直角坐标系中画出f (x )与g (x )的图象，如图：由图可知，f (x )与g (x )的图象有三个交点，故方程x4－cos x ＝0有三个根.1.求f (x )－A sin x ＝0(A ≠0)或f (x )－A cos x ＝0(A ≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y ＝－1与y ＝1之间，只需考虑－A ≤f (x )≤A 的x 的范围，在该范围内f (x )的图象与A sin x 或A cos x 的图象的交点的个数即方程根的个数.2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解. [再练一题]4.求下列方程解的个数：(1)方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________. (2)方程sin x ＝lg x 的解的个数是__________.【解析】 (1)作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.(2)建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象.描出点⎝ ⎛⎭⎪⎫110，－1，(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示.由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个. 【答案】 (1)2 (2)31.函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A.关于直线x ＝1对称 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称【解析】 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C.【答案】 C2.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x2 B.y ＝sin 2x C.y ＝cos x4D.y ＝cos 4x【解析】 ∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4. 【答案】 D3.(2016·济南高一检测)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0172π是( )【导学号：72010028】A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.即是奇函数又是偶函数【解析】 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0172π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋1 008π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2 0172π是偶函数.【答案】 B4.(2016·山东省实验中学高一检测)函数y ＝cos(－x )，x ∈[0,2π]的单调递减区间是________.【解析】 y ＝cos(－x )＝cos x ，其单调递减区间为[0，π]. 【答案】 [0，π]5.用五点法作出函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图. 【解】 列表：x 0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121我还有这些不足：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高一检测)已知函数f (x )＝－cos x ，下面结论错误．．的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为2π B.函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C.函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D.函数f (x )是奇函数【解析】 ∵f (x )＝－cos x 的图象即为函数f (x )＝cos x 的图象绕x 轴翻转而成的，∴A 、B 、C 均正确，函数f (x )应是偶函数，故选D.【答案】 D2.(2016·南昌高一检测)函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A.2k π(k ∈Z ) B.3π C.πD.2π【解析】 因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝|cos x |的图象知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π，故选C.【答案】 C3.函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( ) A.－1,3 B.－1,1 C.0,3D.0,1【解析】 ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x ∈[－1,3]的最小值为－1，最大值为3.【答案】 A4.下列关系式中正确的是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11°【解析】 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°＝cos 78°，sin 11°＝cos 79°. 由余弦函数的单调性得cos 79°<cos 78°<cos 10°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.【答案】 C5.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4 【解析】 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.【答案】 A二、填空题6.函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________. 【解析】 ∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12. 【答案】 ±127.利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是__________.【解析】 画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]上的图象如图所示.cos x >0的区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π 8.(2016·徐州高一检测)函数y ＝lg(3－2cos x )的定义域为________.【解析】 由题意知3－2cos x ＞0，即cos x ＜32，所以π6＋2k π＜x ＜11π6＋2k π(k ∈Z )，即函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，11π6＋2k π(k ∈Z ). 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，11π6＋2k π(k ∈Z ) 三、解答题9.判断下列函数的奇偶性，并求它们的周期.(1)y ＝3cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2，x ∈R . 【导学号：72010029】【解】 (1)把2x 看成一个新的变量u ，那么cos u 的最小正周期为2π，这就是说，当u 增加到u ＋2π且必须至少增加到u ＋2π时，函数cos u 的值重复出现.而u ＋2π＝2x ＋2π＝2(x ＋π)，所以当自变量x 增加到x ＋π且必须至少增加到x ＋π时，函数值重复出现，因此，y ＝3cos 2x 的周期为π.∵y ＝f (x )＝3cos 2x ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ，∴y ＝3cos 2x 为偶函数.(2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2的周期 T ＝2π34＝8π3.∵x ∈R ，且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2 ＝sin 34x ，∴f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34x ＝－sin 34x ＝－f (x )，∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋3π2为奇函数. 10.求函数y ＝sin 2x ＋a cos x －12a －32的最大值为1时a 的值.【解】 y ＝1－cos 2x ＋a cos x －12a －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12. 因为cos x ∈[－1,1]，要使y 最大，则必须满足⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22最小. ①当a 2<－1，即a <－2时，若cos x ＝－1，则y max ＝－32a －32.由题设，令－32a －32＝1，得a ＝－53>－2(舍去)；②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，若cos x ＝a 2，则y max ＝a 24－a 2－12.由题设，令a 24－a 2－12＝1，得a ＝1±7(舍去正值)；③当a 2>1，即a >2时，若cos x ＝1，则y max ＝a 2－32，由题设，令a 2－32＝1，得a ＝5.综上所述a ＝5或a ＝1－7.[能力提升]1.(2016·潍坊高一检测)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的( ) A.最小正周期为2πB.图象关于y 轴对称C.图象关于原点对称D.图象关于x 轴对称【解析】 函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的周期为：2π2＝π. 所以A 不正确；函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝sin 2x ，当x ＝0时，函数取得0，函数关于原点对称，故B 不正确，D 不正确.【答案】 C2.(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.【解析】 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ≤π，所以φ＝π6.【答案】 π63.已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【解】 (1)∵f (x )的周期T ＝π，故2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z ).。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质
一．学习要点：余弦函数、正切函数的图象与性质
二．学习过程：
1．余弦函数的图象
2．余弦函数的性质
（1）定义域： ．
（2）值域：
当 时，max 1y =．
当 时，min 1y =-．
（3）周期：
余弦类函数()cos y A x ωϕ=+的最小正周期公式：
（4）奇偶性： 余弦曲线cos y x =的对称轴方程为: ；中心的坐标为
（5）单调性：
余弦函数cos y x =在 上是减函数; 余弦函数cos y x =在 上是增函数．
例1求下列函数的最大值或最小值：(1) 3cos 1y x =-+； (2)2
1cos 32y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．
例2判断下列函数的奇偶性：
(1) cos 2y x =+； (2)sin cos y x x =．
例3求函数12cos 3
4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期．
3．正切函数的图象
4．正切函数的性质
（1）定义域： ．
（2）值域：
（3）周期性：
正切类函数()tan y A x ωϕ=+最小正周期公式：
（4）奇偶性：
正切曲线tan y x =的对称中心的坐标为
（5）单调性：
例4求函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的定义域．
例5求下列函数的周期：
(1) tan 3y x =； (2)5tan 2
x y =
二．课堂练习：教材53页、57页练习 三．课后作业：。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)明目标、知重点 1.会用“五点法”作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.3.理解正弦曲线与余弦曲线的联系.正弦函数、余弦函数的图象、性质对比R R探究点一余弦函数的图象思考如何快速做出余弦函数的图象？答(1)依据诱导公式cos x＝sin⎝⎛⎭⎫x＋π2，要得到y＝cos x的图象，只须把y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度即可.余弦函数的图象叫做余弦曲线，图象如图所示：(2)在精确度要求不高时，要画出y＝cos x，x∈的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x ，x ∈的图象.探究点二 余弦函数的性质思考1 观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1？余弦函数的周期性如何？答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.思考3 观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 在整个定义域R 上，余弦函数不是单调函数.为研究余弦函数y ＝cos x 的变化情况，我们先选取一个周期区间来研究余弦函数单调情况，再借助周期推而广之. 函数y ＝cos x ，x ∈的图象如图所示：观察图象可知：当x ∈时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 例1 求函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间. 解 y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝3cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π(k ∈Z )，解得4k π－43π≤x ≤4k π＋23π(k ∈Z )，∴函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－43π，4k π＋23π(k ∈Z ). 反思与感悟 确定函数y ＝A cos(ωx ＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx ＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域. 跟踪训练1 求函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2)的单调递增区间.解 根据复合函数“同增异减”的规律，即求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递减区间，同时x 应使cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z ). 整理得4k π＋2π3≤x <4k π＋5π3(k ∈Z ).∴函数y ＝log 12cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫4k π＋2π3，4k π＋5π3(k ∈Z ). 例2 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的值域. 解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数值域为⎣⎡⎦⎤－14，154. 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型：(1)将三角函数式化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式，结合有界性求最值；(2)将三角函数式化为关于cos x (或sin x )的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.跟踪训练2 已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值. 解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1， 综上可知，实数a 的值为2或－1. 探究点三 正弦曲线、余弦曲线的对称性思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于y 轴对称. 思考2 上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？ 答 正弦函数是R 上的奇函数，余弦函数是R 上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 均对一切x ∈R 恒成立.小结 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们的图象如图所示：研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论：(1)正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )；且正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z ). 例3 已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.(1)在该函数的对称轴中，求离y 轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最小正值. 解 (1)令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，解得：x ＝k π2－π3，k ∈Z (k ∈Z ).令k ＝0，x ＝－π3；令k ＝1，x ＝π6.∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的对称轴中离y 轴最近的一条对称轴的方程是x ＝π6. (2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y ＝f (x )， 则f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋2π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－2φ. ∵y ＝f (x )的图象关于原点(0,0)对称， ∴f (0)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2φ＝0.∴2π3－2φ＝k π＋π2，k ∈Z .解得：φ＝π12－k π2(k ∈Z ). 令k ＝0，得：φ＝π12.∴φ的最小正值是π12.反思与感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：(1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于x ＝x 0对称⇔f (x 0)＝A 或－A . (2)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或A cos(ωx ＋φ))的图象关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0.跟踪训练3 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向右平移φ个单位，正好关于y 轴对称，求φ的最小正值.解 由题意平移后的函数为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－φ， 它是偶函数，因此，当x ＝0时，cos ⎝⎛⎭⎫4π3－φ取得最大值1或最小值－1，故4π3－φ＝2n π或(2n ＋1)π (n ∈Z )， 即4π3－φ＝k π (k ∈Z ).∴φ＝4π3－k π (k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小正值π3.1.函数f (x )＝cos 4x ，x ∈R 是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数答案 C2.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 A解析 由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称知，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，即3cos ⎝⎛⎭⎫8π3＋φ＝0. ∴8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z ). ∴φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z ).|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3.已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系. 解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图.由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .4.试比较cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π的大小. 解 cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π ＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π.1.余弦函数y ＝cos x (x ∈R )是偶函数，而且是周期函数，最小正周期为2π.与y ＝A sin(ωx ＋φ)一样，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期也是2π|ω|.2.与正弦曲线类似，函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象通过变换得到，变换规律相同.3.在研究y ＝A cos(ωx ＋φ)的性质时，注意采用整体代换的思想.如，它在ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值，在ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )时取得最小值.一、基础过关1.若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C 2.函数y ＝2－cos x的单调递增区间是( )A. (k ∈Z )B. (k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2 (k ∈Z ) D. (k ∈Z )答案 D解析 令u ＝－cos x ，则y ＝2u ， ∵y ＝2u 在u ∈(－∞，＋∞)上是增函数， ∴y ＝2－cos x 的增区间，即u ＝－cos x 的增区间， 即v ＝cos x 的减区间 (k ∈Z ).3.下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A.y ＝sin(2x ＋π2)B.y ＝cos(2x ＋π2)C.y ＝sin(x ＋π2)D.y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合.故选A.4.要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A.向左平移π8个单位B.向右平移π8个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位. 5.函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 6.方程x 2＝cos x 的实数解有________个. 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解.7.判断下列函数的奇偶性并求最小正周期. (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx －π2； (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π.解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＝sin πx ， ∴f (－x )＝sin(－πx )＝－sin πx ＝－f (x ). f (x )是奇函数.最小正周期T ＝2ππ＝2. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋32π＝－cos 23x ， ∴f (－x )＝f (x ).f (x )是偶函数.最小正周期T ＝2π23＝3π. 二、能力提升8.在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 B.⎝⎛⎦⎤π4，π2∪⎝⎛⎦⎤5π4，3π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，π2 D.⎝⎛⎭⎫5π4，7π4答案 A解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图象，观察图象易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. 9.设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________. 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈与y ＝cos x ，x ∈的图象，如图所示：观察图象知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.10.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于________.答案 23解析 首先由图象可知所求函数的周期为2π3，故ω＝2π2π3＝3.将⎝⎛⎭⎫11π12，0代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点， ∴11π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . ∴φ＝－9π4＋2k π.令φ＝－π4，代入解析式得f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4， 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－A cos π4＝－23， ∴f (0)＝A cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝A cos π4＝23. 11.已知函数f (x )＝lg cos 2x .(1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性；(3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性.解 (1)要使函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即－π2＋2k π<2x <π2＋2k π，k ∈Z ， －π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z . 由于在定义域内0<cos 2x ≤1，∴lg cos 2x ≤0，∴函数的值域为(－∞，02·(－x )0,24，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.。

4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)教学目的：知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操。

教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：单调性的理解与应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体教学过程：一、复习引入：运用五点作图法画出正、余弦函数的图形?请学生观察出定义域、值域、周期？二、探究新知：1.奇偶性（偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？）请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)正弦函数的图形图形观察：图像关于原点(0,0)轴对称；定义分析：sin()sin x x -=- ()()f x f x ∴-=- ∴ 函数sin y x =是奇函数。

(2) 余弦函数的图形图形观察：图像关于y 轴对称； 定义分析：cos()cos x x -= ()()f x f x ∴-= ∴ 函数cos y x =是偶函数。

注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：其定义域关于原点对称； 2.单调性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象在那些区间是上升，在那些区间下降？其特点是什么？（1） 正弦函数3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出：当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐上升，sin y x =的值由－1增大到1.当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐下降，sin y x =的值由1减小到－1. 结合周期性可知：2,T k k Z π=∈在每一个闭区间2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上都是减函数，其值从1减小到－1.（2） 余弦函数[]cos ,,y x x ππ=∈-的图象上可看出：当[],0x π∈-时，曲线逐渐上升，cos y x =的值由－1增大到1. 当[]0,x π∈时，曲线逐渐下降，cos y x =的值由1减小到－1. 结合周期性可知：2,T k k Z π=∈余弦函数在每一个闭区间[]2,2()k k k Z πππ-+∈上都是增函数，其值从－1增大到1； 余弦函数在每一个闭区间[]2,2()k k k Z πππ+∈上都是减函数，其值从1减小到－1. 注意：在正、余函数的单调性中，每一个闭区间（不同的k Z ∈）分别为增或减函数。

1.3.2余弦函数的图象与性质教学设计一、教学内容分析:“余弦函数的图象与性质”是高中人教B 版《数学》必修4第一章基本初等函数（Ⅱ）第三节的内容。

是在学习了三角函数定义、诱导公式及正弦函数的图象与性质的基础上引入的，是对学习了正弦函数图象与性质后的一个很好的方法的应用,又是对后面正切函数的图象与性质的学习,起了更进一步的知识基础和方法储备.这使得余弦函数的图象与性质的教学起到了呈上启下的作用.它与正弦函数一样也是数学中重要的数学模型之一,是研究度量几何的基础,又是研究自然界周期变化规律的最强有力的数学工具.二、学生学习情况分析：本部分内容是在学生学习了三角函数定义，诱导公式及正弦函数的图象和性质的基础上引入的。

学生可类比正弦函数来学习本节内容。

整体说来，学生学起来会比较轻松。

但学生在探究出了余弦函数的图象和性质之后,会暂时出现混淆的状态,所以需要在授课中引导学生时刻和正弦函数作对比,区分记忆.对余弦函数的性质的应用，学生需要在练习中时刻与正弦函数类比，有个逐步熟练的过程。

三、设计思想本节课的设计遵循从已知到未知的原则，时刻抓住正弦与余弦间的联系,由问题引入新课题。

运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握余弦函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

四、教学目标1.会利用"图象变换法"和”五点法”作余弦函数的图象；掌握余弦函数的主要性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）。

并掌握性质的应用；2.培养学生自主探索与合作学习的能力，同时也培养学生应用类比、化归以及数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；3. 让学生亲身经历数学的研究过程，使学生在学习活动中获得成功感，感受数学的魅力；体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度；从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情。

正切函数的性质与图象教学设计一、教材分析（一）本质《正切函数的性质与图象》是高中《数学》必修4第一章第四单元第三节的内容，他前承正弦函数、余弦函数的图象与性质，后启三角函数图象的平移伸缩变换。

本节课主要内容是从已学正切函数的相关知识（诱导公式、正切线等）的基础上，类比研究正弦函数、余弦函数图象与性质的方法，研究正切函数的主要性质,然后在此基础上描绘出函数的大致图象,再由图象完善函数的性质。

本节课从性质入手研究图象，是为了让学生更好得体会研究函数方法的多样性，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想能够体现的更加全面。

（二）地位与作用本节课是继正弦函数、余弦函数之后的又一三角函数，它与正弦函数、余弦函数一样，是重要的三角函数之一，学习本节内容既是对前面正弦函数、余弦函数图象和性质知识的延展，也是为学习后续知识作了铺垫学习正切函数有利于学生进一步掌握研究函数的基本方法，有利于学生掌握解决函数问题时，采用由性质到图象的不同的学习方法，并运用到今后的函数学习中去。

体现了新课程“注重培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力，进一步发展学生的数学实践能力”的要求。

二、教学目标分析利用类比思想方法研究正切函数的性质，然后根据性质画出正切函数的图象；掌握正切函数的性质和图象，学会画正切函数的简图，并会用正切函数的性质和图象解决相关问题。

由于在此之前学生已经学习了正切函数的定义，诱导公式、正切线等相关数学知识，且在前一节有了研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，基于此，要达成本节课的教学目标并不难，但本节是高中阶段由函数性质研究函数图象的第一课，这种方法学生自己恐怕想不到，所以在研究方法上教师要及时的给予引导，并告诉他们，之所以如此处理，主要是为了给他们提供研究数学问题更多的视角。

普兰店市第一高一年级数学导学案
1.3.2余弦函数的图象和性质
编制人：潘刚校对：姜淑敏2015.3.27 学习目标：掌握余弦函数的图象和性质
重点：余弦函数的图象及其主要性质
难点：利用正弦函数和诱导公式画出余弦曲线
活动一：知识回顾
1.正弦函数图象画法
2.正弦函数的图象和性质
活动二：余弦函数的图象怎样画？与正弦函数有无关系
活动三：余弦函数的性质
活动四：正余弦函数有哪些相同和不同的性质？
活动五：
例：画出函数[]π2,0,1cos ∈-=x x y 的简图，并讨论性质
例2：求下列函数的最大值和最小值
（1）1cos 3+-=x y （2）321cos 2
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=x y
例3：判断下列函数的奇偶性
（1）2cos +=x y （2）x x y cos sin ⋅=
思考：x y cos =与ϕωϕω,,(),cos(A x A y +=为常数）之间的关系。

人教版高中必修4(B版)1.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质课程设计课程概述本课程介绍了余弦函数和正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等性质。

通过对两种函数的图像进行分析，让学生了解函数的周期性和单调性，掌握其在几何中应用的方法。

教学目标1.理解余弦函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.理解正切函数的定义、图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.掌握余弦函数和正切函数在几何中的应用。

教学重点1.余弦函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；2.正切函数的图像、定义域、值域、奇偶性等基本性质；3.余弦函数和正切函数在几何中的应用。

教学内容余弦函数的图像余弦函数的图像是一条连续的波浪线，其形状与正弦函数的图像非常相似。

但是，余弦函数的图像在x轴上的交点较正弦函数的图像靠左，也就是说，余弦函数的最大值出现在x轴的0.5个周期之后。

余弦函数的基本性质1.定义域：$(-\\infty,+\\infty)$；2.值域：[−1,1]；3.周期：$2\\pi$；4.奇偶性：偶函数。

正切函数的图像正切函数的图像是一条连续的直线，其形状与余切函数的图像非常相似。

但是，正切函数的图像在x轴上的交点位于每个周期的中点。

正切函数的基本性质1.定义域：$\\{x|x\ eq k\\pi+\\frac{\\pi}{2}(k\\inZ)\\}$；2.值域：$(-\\infty,+\\infty)$；3.周期：$\\pi$；4.奇偶性：奇函数。

余弦函数和正切函数的应用1.余弦函数在三角函数的解析式中有广泛的应用；2.正切函数在物理、工程学等领域中有广泛的应用。

教学方法1.讲解结合举例；2.图像分析结合图形实例。

教学过程第一部分：余弦函数的图像和性质步骤一：引入余弦函数与正弦函数都是高中数学中常见函数，本课程我们将重点学习余弦函数的图像和性质，来了解余弦函数在几何中的应用。

步骤二：分析余弦函数的图像通过一组数据$(0,\\frac{\\pi}{2},\\pi,\\frac{3\\pi}{2},2\\pi)$，绘制出余弦函数的图像，通过展示余弦函数的图像，让学生了解余弦函数的周期性和单调性，同时，与正弦函数的图像进行比较，突出两者之间的异同点。

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(1)
一、 学习目标
1、理解余弦函数的性质，能正确使用“五点法”“几何法”“图象变换法”画出余
弦函数的图象。

2、通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；
培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。

二、 学习重点、难点：
重点是余弦函数的性质与图象，用“五点法”作函数()ϕω+=x A y cos 的图象，并求这个函数的最大值、最小值、周期及单调区间。

难点是余弦函数的图象与正弦函数的图象之间的关系以及
()ϕω+=x A y cos 的图象画法。

三、 学习方法：
本节学习方法选用类比法，通过与正弦函数的图象与性质的类比得出余弦函数的性质，从而达到温故知新的学习效果。

四、学习过程：
性质：1、定义域：R
x∈2、值域：[]1,1-
y y的最大
∈
值为1，最小值为1
-
3、周期：π2
4、奇偶性：偶函数，图象关。