2015-2016学年浙江省杭州市高一(下)期末数学试卷(解析版)

宁海中学 高一期中考试数学试题卷一．选择题（每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，已知120a =，前n 项和为n S 且813S S =，当n S 取得最大时n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．12D ．10或112．关于x 的不等式，2|1||2|1x x a a -+-≤++的解集为空集，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（1，2）D ．(,1)-∞-3．已知5sin()413x π+=-，则sin 2x 的值等于（ ）A ．120169B ．119169C ．120169-D ．119169-4．在ABC ∆中2cos 22B a c c+=（a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC ∆的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5．在数列{}n a 中，1112,n(1)n n a a a l n+==++，则n a 等于（ ）A ．2n l n +B ．2(1)n n l n +-C ． 2n nl n +D ．1n n l n ++ 6．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．32 B ．53 C ．256D ．不存在 7．设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立是（ ）A ．|1||5|6x x --+≤B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D≥ 8．数列{}n a 的通项公式为2n a kn n =+满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．11(,)317--B ．11(,)917--C ．11(,)311--D ．11(,)911-- 二．填空题（第9题每空2分，10－12题每空3分，13－15题每空4分，共36分） 9．α为第三象限角，3cos 25α=-，则s i n 2_______α=，tan(2)_________4πα+=，在以sin 2α为首项，tan(2)4πα+为公差的等差数列{}n a 中，其前n 项和达到最大时__________.n =10．设,a b 都是正数，且22260a b a b +--=，则11a b+的最小值为__________，此时ab 值为__________.11．在四边形ABCD 中，已知,AD DC AB BC ⊥⊥,1,2,120AB AD BAD ==∠=︒，则______,_______.BD AC ==二O 一 五学年第 二 学 期12．已知数列{}n a 满足111,31nn n a a a a +==+，则_________n a =，若1n n nb a a +=，则n b 的前n 项和为_____________.13．数列{}n a 的前n 项和为n S 数列{}n a 的各项按如下规则排列11212312,,,,,,,23344455, 341,,,556若存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，则__________.k a =14．已知αβ、均为钝角，sin αβ==，则_________.αβ+= 15．关于x 的不等式229|3|x x x kx ++-≥在[1，5]上恒成立，则实数k 的取值范围为____________. 三．解答题16．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17．已知实数a 满足不等式|2|2a +<，解关于x 的不等式(1)(1)0.ax x +->18．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A 、B 、C 所对边，且2sin (2)sin a A b c B =+(2)sin c b C ++. （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.19．设a R ∈函数2() (||1)f x ax bx a x =+-≤. （1）若|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤求证5|()|4f x ≤； （2）当1b =，若()f x 的最大值为178，求实数a 的值.20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+数列是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1111,,22n n n b b b n++==，记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式及前n 项和； （2λ≤恒成立，求实数λ的取值范围.宁海中学 高一期中考试数学答案一．选择题（每题5分，共40分）二．填空题（9、10、11、12每题6分，其余每题4分共36分） 9.45 17- 6 10. 11.12.132n -31n n + 13. 57 14. 74π15. (]10.6-三．解答题：（第16题14分，其余各题均15分，共74分.） 16．解（1）2()2sin cos 2cos 2cos 21f x x x x Sin x x =+=++2)14x =++二O 一 五学年第 一 学 期552()sin()124244f πππ∴=+=+=（2）())4f x x π=+ T π∴=222242k x k πλλππ-≤+≤+K Z ∈388k x k ππππ∴-≤≤+ K Z ∈单调递增区间为3,88k k πλππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ K Z ∈ 17．解(2)2a +< 40a ∴-<<(1)(1)0a x x +-= 11x ∴= 21x a=- 1110a a a++=> 1a <-或0a >41a ∴-<<-当的不等式解集为1(,1)a -当10a -<<的不等式解集为1(1,)a-当0a =时 不等式解集为∅ 18．解（1）由条件的222222a b bc c bc =+++ 222a b c bc ∴=++又2222a b c bc =+- c o s A 1c o s2A ∴=- 120A =︒ （2）120A =︒ 60BC ∴+=︒1sin sin sin sin(60)sin sin 2B C B B B B B ∴+=+︒-=-1sin sin(60)2B B B =+=+︒ 060B ︒<<︒ 6060120B ∴︒<+︒<︒ ∴当30B =︒时 sin sin B C +的最大值为1 19．（1）证：(0)1f a =≤ (1)1f b =≤22()(1)1f x a x bx a x b x ∴=-+≤-+ 21x x =-+ 11x -≤≤ 2215()1()24f x x x x ∴=-+=--+5()4f x ∴≤（2）解：1b =当1a ≤时 5()4f x ≤()f x 的最大值为178矛盾 1a ∴> 当1a >时1( 1.0)2a -∈- ()f x ∴在1(1,)2a--是减函数 1(,1)2a -是增函数(1)1f = (1)1f -=- max ()(1)1f x f ∴==不符题意当1a <-时 1(10,1)2a -- ()f x ∴在1(1,)2a--是增函数在1(,1)2a -是减函数 m a x1117()()248f x f a a a ∴=-=--= 28217a a --= 即281720a a ++= 18a ∴=-或2a =-1a <- 2a ∴=-20．解：（1）{}nS 是公差为1的等差数列 (1)n +-2132a a a =+ 212333a a a a S ∴=++=2133()S S S ∴-= ))222312⎡⎤∴+-=⎢⎥⎣⎦11)(4)a =+110a ∴-= 11a ∴= n =2n S n = 21n a n =- *n N ∈1112n n b b n n +=+ 112b = 1()2n n b n ∴= 1()2nn b n ∴= 可得222n n n T +∴=-（2）令2()2nn nf n +==222111(1)(1)2(2)(1)(1)()2222n n n n n n n n n n n n f n f n +++++++-++-++-=-==- 3n ∴≥时 (1)()0f n f n +-< 2n <时 (1)()0f n f n +-> (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>m a x3()(2)(3)2f n f f ∴=== 32λ∴≥。

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

杭州市2015年各类高中招生文化模拟考试数学试卷参考公式：直棱柱的体积公式：V Sh =（S 为底面积，h 为高）；圆锥的全面积（表面积）公式：2S rl r ππ=+全（r 为底面半径，l 为母线长） 圆柱的全面积（表面积）公式：222S rh r ππ=+全（r 为底面半径，h 为高）一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。

1． 设a b .则21b a-的值为（ ）1 1 1 12． 如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A B C D ．9cm 3． 如图，1∠的正切值为（ ）A BC ．3D ．24． 下列命题是真命题的有（ ）①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

A.1个B.2个C.3个D.4个5． 《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ）图1 图2 A ．2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．264327x y x y +=⎧⎨+=⎩6． 若不等式27125ax x x +->+对11a -≤≤恒成立，则x 的取值范围是（ ）A. 23x ≤≤B. 11x -<<C. 11x -≤≤D. 23x << 7． 一同学在n 天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午； （2）当下午下雨时，上午是晴天； （3）一共有5个下午是晴天； （4）一共有6个上午是晴天。

2015年浙江省高考数学试题及答案(理科)【解析版】2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]考点： 交、并、补集的混合运算．专题：集合． 分析： 求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答： 解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0， 解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2）， 故选：C ．点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ． 8cm 3B ．12cm 3 C ．D ．考点： 由三视图求面积、体积．专题： 空间位置关系与距离．分析： 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答： 解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评： 本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ） A ． a 1d ＞0，dS 4＞0 B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点： 等差数列与等比数列的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号． 解答： 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C 在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转析：化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于E，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d （A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card （A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立， 故选：A 点评： 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ．f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令|x+1|=t，t≥0，则f（t2﹣1）=t；令t2﹣1=x，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f（x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确． 故选：D ． 点评： 本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α 考点： 二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析： 由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答： 解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π， 由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ） 点评： 本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a =．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．点评： 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ． 考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析： 根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 解答： 解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0， 即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3． 故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R ，，则x0= 1，y 0=2，|=2．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y ，，t），∴|﹣（|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故|==2故答案为：1；2；2点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析： （1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=． （2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2， 又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π），∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2． ∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析： （1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答： （1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，）， =（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1， 又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ； （2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ）， 由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，易知|a|+|b|=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f （x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m ×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m 2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点纵坐标为n，∴S△OAB ==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB =，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB 取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *） （1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *）， 又∵a 2=a 1﹣=，∴==2，又∵a n ﹣a n+1=，∴a n ＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n ∈N *）；（2）由已知，=a n ﹣a n+1，=a n ﹣1﹣a n ，…，=a 1﹣a 2， 累加，得S n =++…+=a 1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立； 当n ≥2时，=．下面证明：≥a n ≥（n ≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k 时也成立，则a k+1=﹣+， 由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥， a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n ≥2，均有≥a n ≥， ∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（ ） A ．[0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．8cm 3 B ．12cm 3 C ．D ．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（ ）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（ ） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（ ）A ．B ．C．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（ ）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ． 命题①和命题②都成立B ． 命题①和命题②都不成立 C ． 命题①成立，命题②不成立 D ． 命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（ ） A ． f （sin2x ）=sinx B ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（ ）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= ，f （x ）的最小值是 ．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．。

浙江高一高中数学单元试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，，集合，那么与集合的关系是（）A．B．C．D．2.设是全集，集合都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．3.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．C．D．4.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．B．C．D．6.若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）A．函数是奇函数B．函数是奇函数C．函数是奇函数D．函数是奇函数7.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内容高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）A．B．C．D．8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_______.2.，，，且，求实数的取值范围3.已知函数，则在区间上的最大值为_______.4.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________．5.已知边长为1的正方形（如图），是对角线上的点，连接延长交或其延长线于，设，为和的面积之和，则关于的函数关系是_______.6.关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为________.三、解答题1.已知函数的定义域为集合，，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.2.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并加以说明；（2）若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的表达式；若不存在，请说明理由.3.设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数，都有；（2）当时，；（3）；（1）求和的值；（2）如果不等式成立，求的取值范围；（3）如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.浙江高一高中数学单元试卷答案及解析一、选择题1.设，，集合，那么与集合的关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,即，，即a=3，b=π，故x∈M，y M，故选：B.2.设是全集，集合都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为，故选：B.3.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数为奇函数，故.4.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数，又因为当时，f(x)为增函数，所以f(x)在R上是增函数.又因为,所以,所以a 的取值范围为(-2,1).【考点】分段函数的奇偶性的判断，函数的单调性，解一元二次不等式.点评：判断出此分段函数是奇函数，并且是在R上的增函数是解本小题的关键，下一步就可把不等式转化为一般不等式来解即可.5.函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数的定义域为则对函数，应有1⩽⩽4,解得1⩽x⩽16，故选D.点睛：解决复合函数定义域的要点有两个：一是定义域指的是函数中的范围，二是对于同一对应法则作用范围一样，即括号中的范围是一样的.6.若函数是奇函数，函数是偶函数，则（）A．函数是奇函数B．函数是奇函数C．函数是奇函数D．函数是奇函数【答案】C【解析】令h（x）=f（x）．g（x）∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）∴h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）．g（x）=-h（x）∴h（x）=f（x）．g（x）是奇函数,故选C【考点】函数奇偶性，单调性点评：本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用，属于基础试题，令h（x）=f（x）．g（x），由已知可知f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），然后检验h（-x）与h（x）的关系即可判断.7.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内容高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，故选A.【考点】旋转体.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，都有，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又因为，，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得．故选B．【考点】函数的性质二、填空题1.已知含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_______.【答案】-1【解析】有三个实数的集合,既可表示为,也可表示为，可得b=0,a=−1,则=−1+0=−1，故答案是：−1.2.，，，且，求实数的取值范围【答案】【解析】解：因为,说明B与A是无交集，因此利用交集为空集求解参数的范围，再在实数集内求解其补集，则为所求3.已知函数，则在区间上的最大值为_______.【答案】【解析】∵0<x⩽2，∴(当且仅当x=1，时取“=”).故答案为：.点睛：本题考查了分式型函数的最值问题，这类问题的一般解法就是先分离再换元整理，本题中分子的次数为一次，分母的次数为二次，已经不能再分离，分子分母同时除以容易利用均值不等式找到此式子的最小值（或者利用对勾函数的性质也可以得到），进而得到原函数的最大值.4.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________．【答案】（﹣1，3）【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．5.已知边长为1的正方形（如图），是对角线上的点，连接延长交或其延长线于，设，为和的面积之和，则关于的函数关系是_______.【答案】【解析】在正方形中，点A到BD的距离为.故.又，则，故.即：.得：.所以6.关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】原方程等价于=，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示：平移直线，可得当时，两图象有4个不同的公共点相应地方程有4个不相等的实数根，综上所述，可得实数的范围为0< 4.故答案为：.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.三、解答题1.已知函数的定义域为集合，，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)先求出集合A，化简集合B，根据根据集合的运算求，；(2)若A∪C=R，则可以比较两个集合的端点，得出参数所满足的不等式解出参数的取值范围．试题解析：（1）函数，可知集合，所以，则，即；若，则有；2.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并加以说明；（2）若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的表达式；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）比较和，讨论可得奇偶性；（2）讨论函数对称轴和定义域的位置关系求最值即可.试题解析：（1），则有，当时，，所以此时为偶函数；当时，且，所以此时为非奇非偶函数；（2），对称轴，当时，即，在上单调递增，所以有，所以，；当，在上先递减再递增，此时，则有两种情况：①，此时无解；②，此时无解；当时，在上单调递减，所以有，所以，；综上所述，存在这样的函数，有两个，分别是和.3.设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数，都有；（2）当时，；（3）；（1）求和的值；（2）如果不等式成立，求的取值范围；（3）如果存在正数，使不等式有解，求正数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）可得，再由，可得；（2）根据条件将不等式变形为，又，再证明函数的单调性得;（3）由第二问可得：有解即可，只需要.试题解析：（1）因为对于正数，都有，又，所以令，有，则；再令，有；（2）已知，，根据题干给出的条件有：，而当，时，有，则，于是；当时，，取，且，则令，代入等式得：，所以函数单调递减，那么，解得：；（3）由第二问可得：有解即可，只需要，所以.点睛：根据知识：若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.。

2015-2016学年浙江省杭州市拱墅区育才中学八年级（下）期末数学模拟试卷一、选择题：1．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO．请你再添一个条件，就能推出四边形ABCD是菱形，则下列条件不符合的是（）A．BD平分∠ABC B．AB＝AD C．AC⊥BD D．OB＝OA2．（3分）如图，点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积为8，若点A 对应的数是﹣2，则B对应的数是（）A．2﹣2B．2﹣2C．2D．2+23．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为8cm，则△DOE的周长是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm4．（3分）将一个五边形从一个顶点出发分成两个多边形，这两个多边形的内角和度数不可能的是（）A．180°和540°B．180°和360°C．360°和360°D．360°和540°5．（3分）下列命题：①矩形的对角线互相平分；②一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形；③连接矩形四边中点所得的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．其中的真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④6．（3分）如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB•BC＝5，则四边形ABCD的面积是（）A．2.5B．C．3.5D．7．（3分）在▱ABCD中，两条邻边的长分别为a、b，其中a＝6，若关于x的方程x2+（b ﹣2）x+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则▱ABCD的周长为（）A．12或18B．16或20C．12或16D．18或208．（3分）如图，直线y＝﹣x+a﹣1与双曲线y＝交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，a的值为（）A．0B．1C．2D．39．（3分）如图，已知直线l∥AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB＝CD＝5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABCD的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BCA′＝180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3或7．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④10．（3分）如图，线段MN在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣2，﹣4），（3，﹣4），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段MN上运动，该抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），下列结论中：①c≥﹣3；②当x＞4时，y随x的增大而增大；③若点C的横坐标的最小值为﹣4，则点D的横坐标最小值为0，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设：．12．（4分）如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ＝；（2）第n个矩形的边长分别是．13．（4分）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴和y轴的垂线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝2.4，则k的值为．14．（4分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，0），（7，﹣8），当3≤x≤7时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是．15．（4分）如图，菱形ABCD的对角线长分别为a，b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，然后再以四边形A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，可得到四边形A2014B2014C2014D2014，它的面积用含a，b的代数式表示为．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C处同时出发相向而行，到C，A时停止运动．若两动点的速度均为1cm/s，AB＝14cm，BC＝18cm，AC＝24cm，经t秒后，四边形GFHE为矩形，则此时t的值为．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分．）17．（12分）（1）计算：①﹣﹣+；②﹣÷﹣（2）2（2）解方程：①（y﹣2）（y+1）＝y+1；②（x﹣5）（3x﹣2）＝10．18．（6分）果树改良实验基地育有甲、乙两个品种的杨梅树各100棵，到了收获季，为了分析收成情况，分别从两个品种中随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．（1）分别计算两个品种样本产量的平均数，并分别估算出基地这两个品种杨梅的总产量．（2）试通过计算说明，哪个品种的杨梅产量较稳定？19．（8分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？20．（8分）如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AO＝MH．（1）求k的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．21．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）若BD＝BF，求EF2的长；（3）若∠ADE＝2∠BFE，求证：HF＝HE+HD．22．（10分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，OA＝1，OB＝，以AB为边在第二象限作□ABCD，∠DAB＝75°．（1）若BC＝AB，求点D的坐标；（2）在（1）的情况下，若反比例函数y＝的图象经过D点，求证：点C不在反比例函数y＝的图象上；（3）问是否存在m，使得BC＝mAB，且C、D两点均在反比例函数y＝的图象上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．23．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．①求实数k的值；②求二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的解析式；③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m 的函数关系式；④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市拱墅区育才中学八年级（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO．请你再添一个条件，就能推出四边形ABCD是菱形，则下列条件不符合的是（）A．BD平分∠ABC B．AB＝AD C．AC⊥BD D．OB＝OA【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABO与△CDO中，，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，A、∵BD平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∴∠CBO＝∠COD，∴CB＝CD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；故A正确；B、∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；故B正确；C、AC⊥BD，AO＝CO，∴AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；故C正确；D、∵OB＝OA，只能判定四边形是平行四边形，故选：D．2．（3分）如图，点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积为8，若点A 对应的数是﹣2，则B对应的数是（）A．2﹣2B．2﹣2C．2D．2+2【解答】解：∵正方形的面积为8，∴AB＝＝2．设B点表示的数为x，∵点A对应的数是﹣2，∴x+2＝2，解得x＝2﹣2．故选：A．3．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为8cm，则△DOE的周长是（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∴O是BD中点，又∵E是CD中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝BC，即△DOE的周长＝△BCD的周长，∴△DOE的周长＝△DAB的周长．∴△DOE的周长＝×8＝4cm．故选：C．4．（3分）将一个五边形从一个顶点出发分成两个多边形，这两个多边形的内角和度数不可能的是（）A．180°和540°B．180°和360°C．360°和360°D．360°和540°【解答】解：①将五边形沿对角线剪开，得到1个三角形1个四边形，两个多边形的内角和分别为：180°，360°；②将五边形从一顶点剪向对边，得到2个四边形，两个多边形的内角和分别为：360°，360°；③将五边形从一顶点剪向邻边，得到1个三角形1个五边形，两个多边形的内角和分别为：180°，540°；故这两个多边形的内角和不可能是360°和540°．故选：D．5．（3分）下列命题：①矩形的对角线互相平分；②一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形；③连接矩形四边中点所得的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．其中的真命题是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：①矩形的对角线互相平分，正确；②一组对边和一组对角相等的四边形是平行四边形，错误，如图所示：AB＝CD，∠B＝∠D，AC＝AC，无法得出△ABC≌△ADC，∴BC不一定等于AD，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，∴一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误；③连接矩形四边中点所得的四边形是菱形，正确；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确．故选：C．6．（3分）如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB•BC＝5，则四边形ABCD的面积是（）A．2.5B．C．3.5D．【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∴AE＝1，AF＝2，∴BC•AE＝AB•AF，即BC＝2AB．又AB•BC＝5，∴AB＝，∴四边形ABCD的面积是：AB•AF＝2AB＝．故选：D．7．（3分）在▱ABCD中，两条邻边的长分别为a、b，其中a＝6，若关于x的方程x2+（b ﹣2）x+b﹣1＝0有两个相等的实数根，则▱ABCD的周长为（）A．12或18B．16或20C．12或16D．18或20【解答】解：∵关于x的方程x2+（b﹣2）x+b﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝（b﹣2）2﹣4（b﹣1）＝0，即b2﹣6b+8＝0；解得b＝2或b＝4．①当b＝2时，▱ABCD的周长为2（6+2）＝16；②当b＝4时，▱ABCD的周长为2（6+4）＝20．故选：B．8．（3分）如图，直线y＝﹣x+a﹣1与双曲线y＝交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，a的值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：直线y＝﹣x+a﹣1与双曲线y＝交于A，B两点，则线段AB的长度取最小值时，∴a﹣1＝0，a＝1，故选：B．9．（3分）如图，已知直线l∥AB，l与AB之间的距离为2．C、D是直线l上两个动点（点C在D点的左侧），且AB＝CD＝5．连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC．下列说法：①四边形ABCD的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BCA′＝180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3或7．其中正确的是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】解：①∵AB＝CD＝5，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积＝2×5＝10；故①正确；②∵四边形ABDC是平行四边形，∵A′与D重合时，∴AC＝CD，∵四边形ABDC是平行四边形，∴四边形ABDC是菱形；故②正确；③连结A′D，如图，∵△ABC沿BC折叠得到△A′BC，∴CA′＝CA＝BD，AB＝CD＝A′B，在△A′CD和△A′BD中，∴△A′CD≌△A′BD（SSS），∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠CBA＝∠2，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∴∠1＝∠4，∴A′D∥BC，∴∠CA′D+∠BCA′＝180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a，b，当∠CBD＝90°，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠BCA＝90°，∴S△A′CB＝S△ABC＝×2×5＝5，∴S矩形A′CBD＝10，即ab＝10，而BA′＝BA＝5，∴a2+b2＝25，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝45，∴a+b＝3，当∠BCD＝90°时，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠CBA＝90°，∴BC＝2，而CD＝5，∴（a+b）2＝（2+5）2＝49，∴a+b＝7，∴此矩形相邻两边之和为3或7．故④正确．故选：D．10．（3分）如图，线段MN在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣2，﹣4），（3，﹣4），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段MN上运动，该抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），下列结论中：①c≥﹣3；②当x＞4时，y随x的增大而增大；③若点C的横坐标的最小值为﹣4，则点D的横坐标最小值为0，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①当顶点移动到（0，﹣4）时，函数解析式为y＝ax2﹣4，c＝﹣4，∴①错误；②当顶点移动到（3，﹣4）时，对称轴为x＝3，由图象可知当x＞3时，y随x的增大而增大，②正确；③当顶点移动到（﹣2，﹣4）时，函数解析式为y＝a（x+2）2﹣4，点C的坐标为（﹣4，0），4a﹣4＝0，a＝1，解析式为：y＝x2+4x，与x轴另一个交点D坐标为（0，0），∴③正确，故选：C．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设：四边形中四个角都小于90度．【解答】解：反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设：四边形中四个角都小于90度．故答案为：四边形中四个角都小于90度．12．（4分）如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30．则（1）PQ＝5；（2）第n个矩形的边长分别是10×，5×．【解答】解：（1）∵AM⊥MB，且M为CD的中点，AM＝MB，∴∠DAM＝∠DMA，∴AD＝DM＝CD，又已知矩形ABCD的周长为30，所以CD＝10，所以PQ＝故答案为5，（2）由第一问求得：第一个矩形的长为：10，宽为5，又点P、Q是AM、BM的中点，所以之后得到的矩形长宽比例为2：1，在△ABM中，PQ＝5，则宽为，则可得出：第n个矩形的边长分别是10×，5×，故答案为10×，5×，13．（4分）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴和y轴的垂线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝2.4，则k的值为 3.2．【解答】解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，k），（2，，（3，），（4，）．∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3＝[（k﹣）+（﹣）+（﹣）]×1＝＝2.4，解得：k＝3.2，故答案为：3.2．14．（4分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，0），（7，﹣8），当3≤x≤7时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是﹣≤a＜0或0＜a≤．【解答】解：把（3，0），（7，﹣8）代入解析式得，，②﹣①得，b＝﹣2﹣10a，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝+5，当a＞0时，+5≥7，y随x的增大而减小，即0＜a≤，当a＜0时，+5≤3，y随x的增大而减小，即﹣≤a＜0，故答案为：﹣≤a＜0或0＜a≤．15．（4分）如图，菱形ABCD的对角线长分别为a，b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，然后再以四边形A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，可得到四边形A2014B2014C2014D2014，它的面积用含a，b的代数式表示为ab．【解答】解：∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，∴S四边形ABCD＝ab；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，∴四边形A2014B2014C2014D2014的面积为：ab，故答案为：ab．16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C处同时出发相向而行，到C，A时停止运动．若两动点的速度均为1cm/s，AB＝14cm，BC＝18cm，AC＝24cm，经t秒后，四边形GFHE为矩形，则此时t的值为3或21．【解答】解：连接GH，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点G，H分别是AB，CD的中点，∴BG＝CH，BG∥CH，∴四边形BCHG是平行四边形，∴GH＝BC＝18，当EF＝GH＝18时，平行四边形GFHE是矩形，分两种情况：①AE＝CF＝t，EF＝24﹣2t＝18，解得：t＝3；②AE＝CF＝t，EF＝24﹣2（24﹣t）＝18，解得：t＝21；综上所述：当t为3s或21s时，四边形EGFH为矩形；故答案为：3或21．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分．）17．（12分）（1）计算：①﹣﹣+；②﹣÷﹣（2）2（2）解方程：①（y﹣2）（y+1）＝y+1；②（x﹣5）（3x﹣2）＝10．【解答】解：（1）①原式＝2﹣3﹣+＝﹣；②原式＝+1﹣﹣12＝13；（2）①移项得：（y﹣2）（y+1）﹣（y+1）＝0，（y+1）（y﹣2﹣1）＝0，y+1＝0，y﹣2﹣1＝0，y1＝﹣1，y2＝3；②（x﹣5）（3x﹣2）＝10，整理得：3x2﹣17x＝0，x（x﹣17）＝0，x＝0，x﹣17＝0，x1＝0，x2＝17．18．（6分）果树改良实验基地育有甲、乙两个品种的杨梅树各100棵，到了收获季，为了分析收成情况，分别从两个品种中随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．（1）分别计算两个品种样本产量的平均数，并分别估算出基地这两个品种杨梅的总产量．（2）试通过计算说明，哪个品种的杨梅产量较稳定？【解答】解：（1）＝（50+36+40+34）＝40千克，＝（36+40+48+36）＝40千克；∴甲、乙两品种的产量总和为：100×2×40＝8000千克．（2）S2甲＝[（50﹣40）2+（36﹣40）2+（40﹣40）2+（34﹣40）2]＝38，S2乙＝[（36﹣40）2+（40﹣40）2+（48﹣40）2+（36﹣40）2]＝24，∴S2甲＞S2乙，∴乙品种的杨梅产量稳定．19．（8分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【解答】解：（1）根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4×），即y＝﹣x2+24x+3200；（2）由题意，得﹣x2+24x+3200＝4800．整理，得x2﹣300x+20000＝0．解这个方程，得x1＝100，x2＝200．要使百姓得到实惠，取x＝200元．∴每台冰箱应降价200元；（3）对于y＝﹣x2+24x+3200＝﹣（x﹣150）2+5000，当x＝150时，y最大值＝5000（元）．所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．20．（8分）如图，直线y＝x+1与x轴交于点B，y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AO＝MH．（1）求k的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交于点B，y轴交于A点，∴A（0，1），B（﹣1，0），∴OA＝1，OB＝1，∵AO＝MH．∴MH＝2OA＝2，∵MH⊥x轴，OA⊥x轴，∴OA∥MH，∴△AOB∽△MHB，∴，∴，∴BH＝2，∴OH＝BH﹣OB＝1，∴M（1，2），∵点M在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝1×2＝2；（2）如图，设点P（0，a），∴P A＝|a﹣1|，∵点P、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形，且MH∥y轴，∴P A＝MH＝2，∴|a﹣1|＝2，∴a＝3或a＝﹣1，∴P的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．21．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）若BD＝BF，求EF2的长；（3）若∠ADE＝2∠BFE，求证：HF＝HE+HD．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，且FD⊥DE，∴∠ADE＝90°﹣∠EDC＝∠CDF，AD＝DC，∠A＝∠DCF＝90°，在AED与△CFD中，，∴△AED≌△CFD（AAS）；（2）解：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF．又∵BD＝BF＝，∴AE＝CF＝BF﹣BC＝﹣1，∴BE＝AB﹣AE＝1﹣（﹣1）＝2﹣，∴EF2＝BE2+BF2＝（）2+（2﹣）2＝8﹣4；（3）证明：如图，在FE上截取一段FI，使得FI＝EH，∵由（1）知，△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°＝∠DBC，∵∠DHE＝∠BHF，∴∠EDH＝∠BFH（三角形的内角和定理），在△DEH和△DFI中，，∴△DEH≌△DFI（SAS），∴DH＝DI，又∵∠HDE＝∠BFE，∠ADE＝2∠BFE，∴∠HDE＝∠BFE＝∠ADE，∵∠HDE+∠ADE＝45°，∴∠HDE＝15°，∴∠DHI＝∠DEH+∠HDE＝60°，即△DHI为等边三角形，∴DH＝HI，∴HF＝FI+HI＝HE+HD，即HF＝HE+HD．22．（10分）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，OA＝1，OB＝，以AB为边在第二象限作□ABCD，∠DAB＝75°．（1）若BC＝AB，求点D的坐标；（2）在（1）的情况下，若反比例函数y＝的图象经过D点，求证：点C不在反比例函数y＝的图象上；（3）问是否存在m，使得BC＝mAB，且C、D两点均在反比例函数y＝的图象上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点D作DE⊥OA于E，在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝，∴AB＝2，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝60°，∵∠DAB＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAB﹣∠OAB＝45°，∵BC＝AB，∴BC＝×2＝2，在Rt△ADE中，DE＝AE＝2，∴OE＝OA+AE＝3，∴D（﹣3，2）；（2）如图2，由（1）知，D（﹣3，2），∵在反比例函数y＝的图象经过D点，∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的解析式为y＝﹣，过点C作CF⊥OB，由（1）知，∠OAB＝60°，∴∠OBA＝90°﹣∠OAB＝30°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD＝2，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝105°，∴∠CBF＝180°﹣∠OBA﹣∠ABC＝45°，在Rt△BCF中，BC＝2，∴CF＝BF＝2，∴OF＝OB+BF＝2+，∴C（﹣2，2+），∴﹣2×（2+）≠﹣6，∴点C不在反比例函数y＝﹣的图象上；（3）假设存在，同（1）的方法得，D（﹣m﹣1，m），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝﹣m（m+1）同（2）的方法得，点C（﹣m，m+），∵点C在反比例函数图象上，∴k＝﹣m（m+），∴﹣m（m+1）＝﹣m（m+），∵BC＝mAB，∴m≠0，∴﹣m（m+1）＝﹣m（m+）不成立，即：不存在m，使得BC＝mAB，且C、D两点均在反比例函数y＝的图象上．23．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的图象与反比例函数图象相交于点A，B，已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．①求实数k的值；②求二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的解析式；③设抛物线与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不能重合），过E点作EF∥OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S于m 的函数关系式；④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：①把A（1，4）代入得：k＝xy＝4，答：实数k的值是4．②过B作BM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，过A作AH⊥x轴于H，两线BN和AH交于Q，设OM＝c，ON＝d，c＞0，d＞o，则：S＝S△ABQ﹣S△AOH﹣S△BNO﹣S矩形ONQH，即：3＝（1+c）（4+d）﹣×1×4﹣cd﹣d×1，cd＝k＝4，解得：c＝2，d＝2，∴B（﹣2，﹣2），把A（1，4）和B（﹣2，﹣2）代入抛物线得：，解得：，∴y＝x2+3x，答：二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的解析式是y＝x2+3x．③把y＝0代入y＝x2+3x得：x2+3x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3，∴D（﹣3，0），即OD＝3，∵B（﹣2，﹣2），∴由勾股定理得：OB＝2，∵EF∥OB，∴△DFE∽△DBO，∴＝，∴＝，∴EF＝2﹣m，过F作FC⊥x轴于C，根据相似三角形的对应高之比等于相似比得：＝，∴＝，FC＝S＝S△EDB﹣S△EDF＝DE×BM﹣FC×DE，即S＝﹣m2+m，∴S与m的函数关系S＝﹣m2+m．④S＝﹣m2+m．当m＝时，S最大，是，∴，答：在③的基础上，S存在最大值，S的最大值是，此时E点的坐标是（﹣，0）．。

杭州数学试题及答案高一一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 0答案：A2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B3. 若直线l的方程为y = 3x + 2，且与x轴交于点(a, 0)，则a的值为？A. -2/3B. 2/3C. -2D. 2答案：A4. 函数y = sin(x)的周期为？A. 2πB. πC. 4πD. 1答案：A5. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求第10项a_10的值。

A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A6. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -4)，且经过点(0, 3)，求a的值。

A. -3B. -6C. 3D. 6答案：B7. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为？A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i答案：A8. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，求向量a与b的数量积。

A. -1B. 1C. 5D. -5答案：A9. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y = ±(2/3)x，求a与b的关系。

A. a = 2bB. a = 3bC. b = 2aD. b = 3a答案：A10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。

A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，求第5项b_5的值。

2015-2016学年浙江省温州中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知平面向量，且，则可能是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（4，﹣2）D．（﹣1，﹣2）2．已知函数，若f（x0）=2，则x0=（）A．2或﹣1 B．2 C．﹣1 D．2或13．已知函数f（x）=sin（2x+），为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．已知，且，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣5．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：46．已知函数，对任意的x1，x2∈ D．C．是奇函数或是偶函数D．以上都不对8．已知函数f（x）=为偶函数，方程f（x）=m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，2）9．已知函数，则=（）A ．B ．C ．D ．10．设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°= ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），若当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x，则f （3）= ．13．已知ω为正整数，若函数f （x ）=sin （ωx ）在区间上不单调，则最小的正整数ω= ．14．设α为锐角，若，则的值为 ．15．已知集合M={（a ，b ）|a≤﹣1，且 0＜b≤m}，其中m ∈R ．若任意（a ，b ）∈M ，均有alog 2b ﹣b ﹣3a≥0，求实数m 的最大值 ．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f （x ）=lg （x 2﹣3x ）的定义域为集合A ，函数的定义域为集合B （其中a ∈R ，且a ＞0）． （1）当a=1时，求集合B ；（2）若A∩B≠∅，求实数a 的取值范围．17．在等腰直角△ABC 中，，M 是斜边BC 上的点，满足（1）试用向量来表示向量；（2）若点P 满足，求的取值范围．18．已知函数，（a 为常数且a ＞0）．（1）若函数的定义域为，值域为，求a 的值；（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），，（m，n]，的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．19．设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（1）若a+b=3，当x∈时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在区间上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省温州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知平面向量，且，则可能是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（4，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴2x﹣y=0，经过验证只有D满足上式．∴可能为（﹣1，﹣2）．故选：D．2．已知函数，若f（x0）=2，则x0=（）A．2或﹣1 B．2 C．﹣1 D．2或1【考点】函数的值．【分析】利用分段函数性质求解．【解答】解：∵函数，f （x0）=2，∴x0≤0时，，解得x0=﹣1；x0＞0时，f（x0）=log2（x0+2）=2，解得x0=2．∴x0的值为2或﹣1．3．已知函数f（x）=sin（2x+），为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数y=f （x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得函数g（x）=sin2（x﹣+）=sin2x的图象，故选：A．4．已知，且，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，求出cosα的值，再由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则tanα===﹣，5．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP 的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．【解答】解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．6．已知函数，对任意的x1，x2∈D．C．是奇函数或是偶函数D．以上都不对【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】因为f（x）=sinx，或f（x）=cosx，所以他不是周期函数，也不是奇函数或偶函数，故排除A、C；通过举反例可得B不对，从而得出结论．【解答】解：由（f（x）﹣sinx）（f（x）﹣cosx）=0恒成立，可得f（x）=sinx，或f（x）=cosx，故函数f（x）不是周期函数，也不是奇函数或偶函数，故排除A、C．假设当x=kπ，k∈z时，f（x）=sinx；当x=kπ+π，k∈z时，f（x）=cosx，那么f（x）的值域就不是，因为它永远不能取到±1，故选项B不对，故选：D．8．已知函数f （x ）=为偶函数，方程f （x ）=m 有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，﹣1） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（1，2）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题可以先根据函数的奇偶性求出参数a 、b 、c 的值，再通过函数图象特征的研究得到m 的取值范围，得到本题结论．【解答】解：∵函数f （x ）=为偶函数，∴当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）=f （﹣x ）=a （﹣x ）2+2x ﹣1=ax 2+2x ﹣1． ∵当x ＜0时， f （x ）=x 2+bx+c ， ∴a=1，b=2，c=﹣1．∴f（x ）=，当x=0时，f （x ）=﹣1， 当x=1时，f （1）=﹣2，∵方程f （x ）=m 有四个不同的实数解， ∴﹣2＜m ＜﹣1． 故选B ． 9．已知函数，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意得到tan （x+）=，展开后求得tanx ，代入万能公式得答案．【解答】解：由tan （x+）=，得，解得tanx=．∴=sin2x=．故选：C ．10．设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．【考点】向量的三角形法则．【分析】当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立；由k=0，可得x||≤λ||，即有λ≥x 恒成立，由x≤1，可得λ≥1；再由绝对值和向量的模的性质，可得≤1，则有≥1，即λ≥k．即可得到结论．【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立；当k=0时，即有=，则有，即为x||≤λ||，即有λ≥x 恒成立，由x≤1，可得λ≥1；当k≠0时，≠，由题意可得有=||，当k ＞1时，＞|﹣|，由|﹣x|≤|﹣|＜||，可得：≤1，则有≥1，即λ≥k．即有λ的最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=0 ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据题意，利用余弦的和差公式可得cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°，利用特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：根据题意，原式=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°=0，故答案为：0．12．定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），若当x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3）= 2 ．【考点】函数的值．【分析】化简f（3）=f（2+1）=f（1），从而解得．【解答】解：f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1）=21=2，故答案为：2．13．已知ω为正整数，若函数f（x）=sin（ωx）在区间上不单调，则最小的正整数ω= 2 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得ω•＜，且ω•＞，由此求得最小正整数ω的值．【解答】解：∵ω为正整数，函数f（x）=sin（ωx）在区间上不单调，∴ω•＜，ω•＞，∴＜ω＜3，则最小的正整数ω=2，故答案为：2．14．设α为锐角，若，则的值为．【考点】二倍角的余弦．【分析】先设β=α+，根据sinβ求出cosβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到cos（2α+）的值．【解答】解：设β=α+，α为锐角，β=α+∈（，），∵sinβ=＜=sin，可得β为锐角，可求cosβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=1﹣2sin2β=，∴cos（2α+）=cos（2α+﹣）=cos（2β﹣）=cos2βcos+sin2βsin=．故答案为：．15．已知集合M={（a，b）|a≤﹣1，且 0＜b≤m}，其中m∈R．若任意（a，b）∈M，均有alog2b ﹣b﹣3a≥0，求实数m的最大值 2 ．【考点】对数的运算性质．【分析】如图所示，由alog2b﹣b﹣3a≥0，化为：．由于≥﹣m，b≤m时，可得log2m≤3﹣m．结合图形即可得出．【解答】解：如图所示，由alog2b﹣b﹣3a≥0，化为：．∵≥﹣m，b≤m时，∴log2m≤3﹣m．当m=2时取等号，∴实数m的最大值为2．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f（x）=lg（x2﹣3x）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B（其中a∈R，且a＞0）．（1）当a=1时，求集合B；（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）函数=，令﹣x2+4x﹣3≥0，解出其定义域为集合B=．（2）当a＞0时，由﹣x2+4ax﹣3a2≥0，化为x2﹣4ax+3a2≤0，解得B=．函数f（x）=lg（x2﹣3x），由x2﹣3x＞0，解得定义域为集合A=（﹣∞，0）∪（3，+∞），利用A∩B≠∅，即可得出．【解答】解：（1）函数=，令﹣x2+4x﹣3≥0，化为x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，其定义域为集合B=．（2）当a＞0时，由﹣x2+4ax﹣3a2≥0，化为x2﹣4ax+3a2≤0，解得a≤x≤3a．∴B=．函数f（x）=lg（x2﹣3x），由x2﹣3x＞0，解得x＜0，或x＞3，可得定义域为集合A=（﹣∞，0）∪（3，+∞），∵A∩B≠∅，所以3a＞3，解得a＞1．17．在等腰直角△ABC中，，M是斜边BC上的点，满足（1）试用向量来表示向量；（2）若点P满足，求的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由题意画出图形，直接利用向量加法的三角形法则得答案；（2）设，由题意求得，然后直接展开向量数量积求得的取值范围．【解答】解：（1）如图，∵，∴==；（2）设，∵，∴，则．18．已知函数，（a为常数且a＞0）．（1）若函数的定义域为，值域为，求a的值；（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），，（m，n]，的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=a[+sin（2x+）]，由已知函数的值域可得a值．（2）由题意可得要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=a（sinxcosx++cos2x）=a（sin2x++cos2x）=a[+sin（2x+）]，∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈，∴+sin（2x+）∈，∵由已知可得函数值域为，∴a=1；（2）由题意可得，即要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得19．设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（1）若a+b=3，当x∈时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在区间上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）分离参数得到，结合基本不等式的性质得到a的范围即可；（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）≥0，即a（x﹣1）≥﹣（x2+3）．当x=1时，恒成立；当x∈（1，2]时，得，令t=x﹣1∈（0，1]，≤﹣7 综上：有a≥﹣7．（2）要使|f（x）|＞2在区间上无解，必须满足，即由，相加得：﹣4≤8+2a≤4⇒﹣6≤a≤2再由，相加得：﹣4≤16+2a≤4⇒﹣10≤a≤﹣6可以解得：a=﹣6，代入不等式组，得到b=7．检验a=﹣6，时，|f（x）|≤2在区间上恒成立所以满足题意的是实数对（a，b）只有一对：（﹣6，7）．。

2015-2016学年某某省某某市余杭区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3，5} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y=log2x B．y=x﹣C．y=﹣x3D．y=tanx4．把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y=sin（3x﹣）B．y=sin（3x+）C．y=sin（3x﹣）D．y=sin（3x+）5．若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A． B．C． D．6．函数f（x）=5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（0，1] D．（0，+∞）7．函数f（x）=的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若a+b＞0，则有（）A．f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b） B．f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）9．若log a2＜log b2＜0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜110．函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]11．若sin（α+β）=，则为（）A．5 B．﹣1 C．6 D．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）=3sin（x+），则f（x）的周期是；f（π）=．14．若tanα=2，则=；sinα•cosα=．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是．16．若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值X围是．17．已知f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则a的取值X围是．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）某某数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，某某数m的取值X围．21．已知函数f（x）=2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）=，，求cos2x0的值．22．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．2015-2016学年某某省某某市余杭区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3，5} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由全集U及A，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴∁U A={1，3，6，7}，故选：C．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】作图题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据底数与指数（对数）函数单调性即可判断．【解答】解：a＞1时，函数y=a x与y=log a x的均为增函数，故选：B．【点评】本题考查的知识是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，熟练掌握底数与指数（对数）函数单调性的关系是解答本题的关键．3．下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．y=log2x B．y=x﹣C．y=﹣x3D．y=tanx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可判断出A错误，可判断y=x和y=在（0，1）内单调递增便可判断B错误，而根据奇函数和减函数的定义即可判断出C正确，根据y=tanx 的图象便可判断出D错误．【解答】解：A．根据y=log2x的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x和在（0，1）内都单调递增，∴在（0，1）内单调递增，∴该选项错误；C．y=﹣x3为奇函数，且x增大时，y减小，∴该函数在（0，1）内单调递减，∴该选项正确；D．由y=tanx的图象知该函数在（01，1）内单调递增，∴该选项错误．故选C．【点评】考查奇函数图象的对称性，一次函数和反比例函数的单调性，奇函数和减函数的定义，清楚y=log2x和y=tanx的图象．4．把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式（）A．y=sin（3x﹣）B．y=sin（3x+）C．y=sin（3x﹣）D．y=sin（3x+）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个长度单位，所得曲线的对应函数式为y=sin[3（x﹣）]=sin（3x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A． B．C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinθ，代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：∵﹣＜θ＜0且cosθ=，∴sinθ=﹣=﹣，∴cos（θ﹣）=cosθ+sinθ=+=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．6．函数f（x）=5|x|的值域是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（0，1] D．（0，+∞）【考点】指数函数的图象变换．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】在x上加绝对值的图象表明去掉绝对值后的原函数图象只保留x＞0部分，然后关于y轴对称后得到的图象就是填绝对值的图象．【解答】解：∵y=5x为指数函数，且其图象是过（0，1），单调递增的，而y=5|x|的左侧图象是指数函数y=5x的图象中y轴右侧的图象关于y轴对称后产生的新的图象，具体图象如下：故选：B．【点评】本题主要考查指数函数图象，和在x上填绝对值后的图象特点．属于基础题．7．函数f（x）=的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出分段函数的图象，数形结合可得．【解答】解：作出分段函数f（x）=的图象（如图），数形结合可得最大值为4，故选：D．【点评】本题考查函分段函数图象，准确作图是解决问题的关键，属中档题．8．已知函数f（x）是R上的增函数，对实数a，b，若a+b＞0，则有（）A．f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b） B．f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）C．f（a）﹣f（b）＞f（﹣a）﹣f（﹣b）D．f（a）﹣f（b）＜f（﹣a）﹣f（﹣b）【考点】函数单调性的性质．【专题】证明题．【分析】先利用不等式的性质将a+b＞0转化为两实数的大小形式，再利用函数f（x）的单调性，比较函数值的大小，最后利用同向不等式相加性得正确不等式【解答】解：∵a+b＞0，∴a＞﹣b，b＞﹣a∵函数f（x）是R上的增函数∴f（a）＞f（﹣b），f（b）＞f（﹣a）∴f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）故选 A【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用函数的单调性比较大小的方法，转化化归的思想方法9．若log a2＜log b2＜0，则a，b满足的关系是（）A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的性质求解．【解答】解：∵log a2＜log b2＜0=log a1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，∵2＞1，要使log b2＜0∴0＜b＜1∵log a2＜log b2＜0，∴a＞b，且0＜a＜1，∴0＜b＜a＜1．故选：D．【点评】本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．10．函数y=sinx+tanx，x∈[﹣，]的值域是（）A．[﹣，] B．[﹣2，2] C．[﹣﹣1，] D．[﹣﹣1，+1]【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用函数的单调性求得函数值域．【解答】解：∵函数y=sinx+tanx在x∈[﹣，]上为增函数，∴，．故选：D．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是基础题．11．若sin（α+β）=，则为（）A．5 B．﹣1 C．6 D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】由两角和差的正弦公式，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，相除求得的值．【解答】解：由题意可得sinαcosβ+cosαsinβ=，sinαcosβ﹣cosαsinβ=，解得sinαcosβ=，cosαsinβ=，∴=5，故选A．【点评】本题考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，求出sinαcosβ=，cosαsinβ=，是解题的关键．12．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，则满足f[f（a）+]=的实数a的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函方程转化为f（t）=，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设t=f（a）+，则条件等价为f（t）=，若x≤0，则﹣x≥0，∵当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1，∴当﹣x≥0时，f（﹣x）=﹣（﹣x﹣1）2+1=﹣（x+1）2+1，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣（x+1）2+1=f（x），即f（x）=﹣（x+1）2+1，x≤0，作出函数f（x）的图象如图：当x≥0时，由﹣（x﹣1）2+1=，得（x﹣1）2=，则x=1+或x=1﹣，∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（t）=得解为t1=1+或t2=1﹣，t3=﹣1﹣，t4=﹣1+；由t=f（a）+得，若t1=1+，则f（a）+=1+，即f（a）=+＞1，此时a无解，若t2=1﹣，则f（a）+=1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若t3=﹣1﹣，则f（a）+=﹣1﹣，即f（a）=﹣﹣∈（﹣∞，0），此时a有2个解，若t4=﹣1+，则f（a）+=﹣1+，即f（a）=﹣+∈（﹣∞，0），此时a有2个解，故共有2+2+2=6个解．故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合数形结合进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二．填空题（本大题共6小题，单空每小题6分，多空每小题6分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置．）13．若函数f（x）=3sin（x+），则f（x）的周期是4π；f（π）=．【考点】正弦函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用三角函数的周期公式可求周期，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵f（x）=3sin（x+），∴f（x）的周期T==4π，f（π）=3sin（+）=3sin=3sin=．故答案为：4π，．【点评】本题主要考查了三角函数的周期公式，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．14．若tanα=2，则=2；sinα•cosα=．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==tanα=2，sinα•cosα===，故答案为：2；．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是16．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为：R，所以2R+2R=16，所以R=4，扇形的弧长为：8，半径为4，扇形的面积为：S=×8×4=16故答案为：16．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．16．若函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值X围是（﹣12，0）．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，得到，解得即可．【解答】解：∵f（x）=3x2﹣5x+a的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，即解得﹣12＜a＜0，故a的取值X围为（﹣12，0），故答案为：（﹣12，0）．【点评】本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键．17．已知f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则a的取值X围是﹣4＜a＜0．【考点】对数函数的图象与性质；复合函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】若f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，则内函数t=4﹣ax在区间[﹣1，3]上是增函数，且恒为正，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（4﹣ax）在区间[﹣1，3]上是增函数，故内函数t=4﹣ax在区间[﹣1，3]上是增函数，且恒为正，故，解得：﹣4＜a＜0，故答案为：﹣4＜a＜0．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，则f（log29）等于．【考点】函数的周期性；函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据题意，算出f（x+2）=f（x），得f（x）是最小正周期为2的周期函数．从而算出f（log29）=f（log2）．由x∈（0，1]时f（x）=2x，结合f（x+1）f（x）=1算出f（log2）==，即可得到所求的函数值．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）===f（x），可得f（x）是最小正周期为2的周期函数∵8＜9＜16，2＞1∴log28＜log29＜log216，即log29∈（3，4）因此f（log29）=f（log29﹣2）=f（log2）∵f（log2）==而f（log2）==，∴f（log29）=f（log2）==故答案为：【点评】本题给出函数满足的条件，求特殊自变量对应的函数值．着重考查了函数的周期性及其证明、对数的运算法则和函数性质的理解等知识，属于中档题．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．）19．函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一段如图所示（1）求此函数的解析式；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代点结合角的X围可得φ，可得解析式；（2）由和三角函数的最值可得．【解答】解：（1）由图象可得A=，由=﹣﹣（﹣）=可得周期T=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），∵，∴又0＜φ＜π，∴，故，可得，∴此函数的解析式为：；（2）∵，∴，∴f（x）在即x=0时取得最大值，f（x）在即时取得最小值．【点评】本题考查三角函数的图象和解析式，涉及三角函数的最值，属中档题．20．已知函数f（x）=为奇函数．（1）某某数a的值；（2）试判断函数的单调性并加以证明；（3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，某某数m的取值X围．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．【专题】证明题；综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由单调性的定义可得；（3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1．【解答】解：（1）由函数为奇函数可得f（0）==0，解得a=﹣1；（2）由（1）可得f（x）===1﹣，可得函数在R上单调递增，下面证明：任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＜0，∴函数f（x）=R上的增函数；（3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题．21．已知函数f（x）=2x﹣1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若f（x0）=，，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数可得解析式f（x）=2sin（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+，即可解得f（x）的单调递减区间．（2）由（1）及，则可求，由，可求2x0+∈[，]，解得cos（2x0+）=﹣，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．2分）【解答】（本题满分为12分）解：（1）由f（x）=2x﹣1得：f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．…由2kπ≤2x+≤2kπ+得k≤x≤k，（k∈Z）．所以函数f（x）的单调递减区间是[k，k]，（k∈Z）．…（2）由（1）知，，又由已知，则．…因为，则2x0+∈[，]，因此，所以cos（2x0+）=﹣，…于是cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=（﹣）×+=．…【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，两角差的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）求得∴∠DCQ+∠BCP=，即可判断∠PCQ的大小；（3）表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值．【解答】解：（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，…化简得：y=（0＜x＜1）…（2）tan∠DCQ=1﹣y，tan∠BCP=1﹣x，…tan（∠DCQ+∠BCP）==1 …∵∠DCQ+∠BCP∈（0，），∴∠DCQ+∠BCP=，∴∠PCQ=﹣（∠DCQ+∠BCP）=，（定值）…（3）S=1﹣﹣（1﹣x）﹣（1﹣y）=（x+y﹣xy）=•…令t=2﹣x，t∈（1，2），∴S=•（t+）﹣1，∴t=时，S的最小值为﹣1．…【点评】本题考查三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。