高考数学全真模拟试题四扫描版

2020年高考数学全真模拟试卷（四）第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知在△ABC 中，AB=，AC=BC=，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 62.已知AB u u u v=(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r =A. -3B. -2C. 2D. 33.若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4. “43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =AB AC ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A.B.32C. 36.若复数2(1i z ii =-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --7.已知数列{a n }中，12a =，111n n a a ＋－－3=，若n a 1000≤，则n 的最大取值为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 78.若非零向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，向量2a b +r r 与b r 垂直，则a r 与b r 的夹角为（ ） A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°9.已知2333211,,log 32a b cπ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a，b，c的大小关系为( )A. a b c>> B. a c b>>C. c a b>> D. c b a>>10.在△ABC中，5sin13A=，3cos5B=，则cos C=（）A.5665B.3365- C.5665或1665- D.1665-11.已知函数()sin3cosf x a x x=-的图像的一条对称轴为直线56xπ=，且12()()4f x f x⋅=-，则12x x+的最小值为( )A.3π- B. 0 C.3πD.23π12.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A.23B.43C.13D.16第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.设正三棱锥P -ABC 的高为H ，且此棱锥的内切球的半径R =17H ，则22H PA ＝_______．14.下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的方程为22sin()2804a πρρθ-++-=，若曲线C 上总存在两，则实数a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若5(1)9P ξ≥=，则6(2)27P η≥=；④已知n 为满足1232727272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()nx x -的展开式中，系数最大的项为第6项. 15.已知0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()2sin 2cos 2cos 1sin αβαβ=+，则下列结论正确的是（ ） A. 22παβ-=B. 22παβ+=C. 2παβ+=D. 2παβ-=16.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1()3AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则BP BC ⋅=u u u v u u u v ______. 三、解答题（本题共7道小题，每小题10分，共70分）17.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AC 、BB 1的中点.（Ⅰ）证明：BD ∥平面AEC 1；（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角1A EC B --的余弦值.18.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为522525x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝－（t 为参数）． （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 垂直的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值． 19.在△ABC 中，3sin 2sin ,tan 35A B C ==.（1）求cos2C ；（2）若1AC BC -=，求△ABC 的周长.20.已知函数()y f x =与函数xy a =(0,a >且1)a ≠图象关于y x =对称 （Ⅰ）若当[]0,2x ∈时，函数(3)f ax -恒有意义，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a =时，求函数())(2)g x f x f x =⋅最小值． 21.已知函数()2cos 3cos )f x x x x =+． （I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标； （II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．22.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ()a b A a b => . （Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围.23..某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？试卷答案1.B【分析】由余弦定理可得，2cos6BAC∠=，再根据数量积的定义可求出AO AB⋅u u u r u u u r，AC AB⋅u uu r u u u r，然后依据AO x AB y AC=+u u u r u u u r u u u r，利用数量积运算性质计算AO AB⋅u u u r u u u r，即可求出。

2023届山东省高考模拟练习（四）数学试题一、单项选择题：本题共8个小题 每小题5分 共40分。

在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}24=<A x x 集合{}2320B x x x =-+< 则A B =( ) A.∅B.{}12x x <<C.{}24<x xD.{}14x x <<2.若复数z 满足i (23)72i z ⋅-=+ 则复数z 的虚部为( ) A.52B.72-C.52i D.7i 2-3.已知向量()2,9m =-a ()1,1=-b 则“3m =-”是“//a b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图 用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统 当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是12、23、23已知在系统正常工作的前提下 求只有K 和1A 正常工作的概率是( )A.49B.34C.14 D.195.已知数列{}n a 为等差数列 首项10a > 若100410051a a <- 则使得0n S >的n 的最大值为( ) A.2007B.2008C.2009D.20106.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A > 0ω> π||2ϕ<)的部分图象如图所示 π()6f -=( )A.12-B.1-C.12D.37.若正实数x y 满足1x y += 且不等式241312m m x y +<++有解 则实数m 的取值范围是( ). A.3m <-或32m > B.32m <-或3m > C.332m -<<D.332m -<<8.记{},max ,,p p q p q q q p≥⎧=⎨>⎩ 设函数()221max e 1,2x f x x mx -⎧⎫=--+-⎨⎬⎩⎭ 若函数()f x 恰有三个零点 则实数m 的取值范围的是( ) A.(2,2-B.(9,22,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.99,2,44⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.((),22,-∞-+∞二、多项选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数1z =，则2z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A ．()6,2-B ．()3,2-C ．()()6,31,2--⋃D ．][()6,31,2--⋃3．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A ．803πB ．703p C ．20πD ．563π4．已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A ．27B ．272C ．12D ．115．若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．34B ．12C ．13D ．146．已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）7．已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A ．6B ．5C ．4D ．38．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．()1-B．⎛ ⎝⎭C．2⎫⎪⎪⎣⎭D．)1,1-二、多选题9．若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A ．π36B ．7π36C ．19π36D ．5π36-10．某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人都选择长跑的概率为127B ．三人都不选择长跑的概率为23C ．至少有两人选择跳绳的概率为427D ．在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为5711．设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A ．点C 到平面PAB 的距离为2B ．直线AB 与PCC ．若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD ．直线PM 与平面ABC三、填空题13．函数()()313xxk f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.14．已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.15．由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.16．已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.四、解答题17．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x 天的滑雪人数y （单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y （百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y 关于x 的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ .18．如图，四边形ABCD 中，150,60,B D AB AD ABC ∠∠====的面积为(1)求AC ；(2)求ACD ∠.19．设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.20．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11A C 的中点.(1)求证：BP ⊥平面11A EC ；(2)求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的方程；(2)若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.(1)求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；(2)判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.参考答案：1．C【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())2221122z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C 2．D【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D.3．D【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4．B【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,[(4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为2222123111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B 5．D【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅=,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅22cos 0a a b θ=-= .21cos 42a a b θ∴== .故选：D.6．B【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7．B【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22Tπ=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8．D【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.9．BCD【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10．AD【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD 11．ABC【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e 1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2ek G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠= ，AB AC ==6ABC π∴∠=，在Rt BCD 中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠D 正确.故选：BCD.13．1【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k kf x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14．【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15．78【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816．13≤3>讨论，得出()g x 在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a 的值即可得出答案.【详解】()22ag x x x+=+- ，()()(2222221x x x a a g x x x x-+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a <≤时，则()0g x '>在()3,+∞上恒成立，则()g x 在[)3,+∞上单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag +==，解得1a =，3>时，即7a >时，当x ∈⎡⎣时，()0g x '<，()g x 单调递减，当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴在[)3,+∞上的最小值为22,2ga ===，舍去，综上所述：1a =，故答案为：1.17．ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,ab ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x yy =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18．(1)(2)π4【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【详解】（1）在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=可得4BC =，由余弦定理2222cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =（2）在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得sin sin AD D ACD AC ∠∠==∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19．(1)2n n a =(2)7【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用分组求和法求解.【详解】（1）因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.（2）令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+- ⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20．(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA =，()2,2,4BP =-- ，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC.（2）解：由（1）可知()2,2,4BP =-- 可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则11sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅=，故直线1B C 与平面11A EC 21．(1)2214x y -=(2)证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】（1）因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c ，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；（2）由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22．(1)14ln 2=+y (2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =转化为()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【详解】（1）()()4e 122xf x x x =+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；（2）有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---x x x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--= ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。

2023年高考数学模拟试题(四)参考答案 一㊁选择题1.B 2.B 3.A4.D 提示:由题得c =(1+k ,2+k ),又b ʅc ,则b ㊃c =1+k +2+k =0,得k =-32㊂5.B 提示:设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则πl =2πˑ2,解得l =22㊂6.A 提示:由频率之和为1,即(0.1+a +0.4+0.25+0.1)ˑ1=1,解得a =0.15,则学党史读书时间的平均数为9.5ˑ0.10+10.5ˑ0.15+11.5ˑ0.40+12.5ˑ0.25+13.5ˑ0.10=11.60(小时)㊂7.A 提示:因为X ~B (n ,p ),所以E (X )=n p =2,D (X )=n p (1-p )=1,解得n =4,p =12,则Y ~N (4,σ2),所以P (Y >8)=P (Y <0)=p 2=14,所以P (4<Y <8)=12P (0<Y <8)=121-14-14=14㊂8.D 提示:由a n +2=a n +1+a n ,得a 2+a 3+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 4+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 6+a 7+a 9+ +a 59= =a 58+a 59=a 60,所以k =60㊂9.A提示:由题意可知5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2ɪZ ,所以ω=43(k 2-2k 1)-23,又T =2πω>2π,所以0<ω<1,所以ω=23,φ=2k 1π+π12,因为φ<π,所以φ=π12㊂10.C 提示:不妨设0<x 1<x 2,则x 1-x 2<0,有x 2f (x 1)-x 1f (x 2)>0,又x 1x 2>0,所以f (x 1)x 1-f (x 2)x 2>0,即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2㊂设g (x )=f (x )x ,则g (x 1)>g (x 2),所以g (x )在(0,+ɕ)上单调递减,故f (x )x>2等价于g (x )>g (2),所以x ɪ(0,2)㊂11.D 提示:设内切圆与P F 1,P F 2,F 1F 2的切点分别为M ,N ,T ,则由切线长定理可得P M=P N ,F 1M=F 1T ,F 2N =F 2T ,因为P F 1-P F 2=F 1M -F 2M =F 1N -F 2T =2a ,F 1F 2=F 1T+F 2T=2c ,所以F 2T =c -a ,则点T 的坐标为(a ,0),故点I 的横坐标为定值a ,所以A 正确㊂因为F 1F 2=2b 2a ,所以2c =2b 2a =2c 2-2a2a,化简得c 2-a c -a 2=0,即e 2-e -1=0,解得e =1ʃ52,因为e >1,所以e =1+52,所以B 正确㊂设әP F 1F 2的内切圆半径为r ,由双曲线的定义可得P F 1-P F 2=2a ,|F 1F 2|=2c ,因为S әI P F =12㊃P F 1㊃r ,S әI P F =12P F 2㊃r ,S әI F F =12㊃2c ㊃r ,又S әI P F =S әI P F +λS әI F F,所以12P F 1㊃r =12P F 2㊃r +λ㊃12㊃2c ㊃r ,所以λ=P F 1-P F 22c =a c =1e =5-12,所以C 正确㊂当P F 2ʅx 轴时,可得P F 2=b2a=c =12F 1F 2,此时t a n øP F 1F 2=12,所以øP F 1F 2ʂ30ʎ,所以D 错误㊂综上可得,答案为D ㊂12.C 提示:令f (x )=l n xx,则f '(x )=1-l n xx 2,易知f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减㊂由π>e ,f (π)< 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月f (e ),即l n ππ<l n e e,即e l n π<πl n e ,即l n πe<l n e π,所以πe <e π㊂在同一坐标系中作出图1y =(2)x与y =x 的图像,如图1所示,可知在(2,4)内恒有x >(2)x,所以π>(2)π,所以πe >(2π)e=(2)e π㊂综上可知,c <b <a ㊂二㊁填空题13.-35 提示:3s i n α+2c o s α2s i n α-c o s α=3t a n α+22t a n α-1=-1+2-23-1=-35㊂14.4 提示:因为A B =23,且圆的半径为r =23,所以圆心0,0 到直线m x +y +3m -3=0的距离为r 2-A B 22=3㊂由3m -3m 2+1=3,解得m =-33,代入直线l 的方程,得y =33x +23,所以直线l 的倾斜角为30ʎ,在梯形A B D C 中,由平面几何知识可得C D =A Bc o s 30ʎ=4㊂15.168 提示:①对E ,F ,G ,H 涂4种颜色,对于剩下的A ,B ,C ,D 各剩2种颜色,且相邻的都含一种颜色是相同的,即当某个点取一种颜色时,其他点的颜色是确定的,那么A ,B ,C ,D 共有2种情况,共有A 44ˑ2=48(种);②对E ,F ,G ,H 涂3种颜色,对于E ,F ,G ,H 从4种颜色中取3种,即C 34,从这3种颜色中取1种来作重复的一种,即C 13=3,再对这4种颜色进行排列,重复的那种只能在对角,有2个对角,再对其他不重复的2种进行排列A 22=2,即2A 22=4,对于剩下的A ,B ,C ,D 同①一样,各剩2种颜色,当其中一点取1种颜色时,其他点颜色是确定的,共有2种,故共有C 34㊃C 13㊃2A 22㊃2=4ˑ3ˑ2ˑ2ˑ2=96(种);③E ,F ,G ,H 涂2种颜色,则选2种颜色涂在对角位置,有C 24ˑ2=12(种),A ,B ,C ,D 共2种颜色,故共有C 24ˑ2ˑ2=24(种)㊂综上,涂色方法共有48+96+24=168(种)㊂16.29π 提示:易知三棱锥P A C D 的三组对棱分别相等,则该三棱锥可以理解为由正方体六个面的面对角线构成,且其外接球即为正方体的外接球,设该正方体的长,宽,高分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2=13,b 2+c 2=25,c 2+a 2=5,则外接球的半径R 满足2R =a 2+b 2+c 2,所以4R 2=a 2+b 2+c 2=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]=29,故外接球的表面积为4πR 2=29π㊂三㊁解答题17.(1)由等差数列的性质可得S 5=5a 3,则a 3=5a 3,所以a 3=0㊂设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2a 4=(a 3-d )(a 3+d )=-d 2,S 4=(a 3-2d )+(a 3-d )+a 3+(a 3+d )=-2d ,所以-d 2=-2d ,又d ʂ0,故d =2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n -6㊂(2)由(1)可得a 1=-4,则S n =n ˑ-4 +n n -1 2ˑ2=n 2-5n ㊂由S n >a n ,得n 2-5n >2n -6,解得n <1,或n >6㊂又n ɪN *,故n 的最小值为7㊂18.(1)由题知B D =C D =2,则B D 2+C D 2=B C 2,所以B D ʅC D ㊂又P D 2+C D2=P C 2,所以P D ʅC D ㊂又P D ɘB D =D ,所以C D ʅ平面P B D ㊂又C D ⊂平面P D C ,所以平面P B D ʅ平面P D C ㊂图2(2)以D 为坐标原点,射线D B ,D C 分别为x 轴,y 轴的正半轴,建立如图2所示的空间直角坐标系D x yz ,则D (0,0,0),C (0,2,0),E 22,22,0,P 22,0,22,所以D E ң=22,22,0,D P ң=22,0,22,参考答案与提示高考数学 2023年7-8月P C ң=-22,2,-22㊂设平面P D E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃D E ң=22x +22y =0,n ㊃D P ң=22x +22z =0,令x =1,得n =(1,-1,-1)㊂设直线P C 与平面P D E 所成角为θ,则s i n θ=c o s <P C ң,n >=P C ң㊃n |P C ң||n |=63,故直线P C 与平面P D E 所成角的正弦值为63㊂19.(1)设 获三等奖 为事件A ,由题意得P (A )ȡ59,又因为P (A )=A 3nn3=(n -1)(n -2)n 2,所以(n -1)(n -2)n2ȡ59,整理得4n 2-27n +18ȡ0,解得n ȡ6,或n ɤ34(舍),所以n 的最小值为6㊂(2)设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为108,60,18,根据题意得P (ξ=108)=C 1663=136,P (ξ=60)=C 26C 12C 1363=1536=512,P (ξ=18)=C 36A 3363=2036=59㊂所以ξ的分布列为表1㊂表1ξ1086018P 13651259所以E (ξ)=108ˑ136+60ˑ512+18ˑ59=38㊂20.(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2+y 2b2=1(a >b >0)㊂由题意得2a =4,1a 2+94b2=1,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x24+y 23=1㊂(2)设直线l :x =m y -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂联立x =m y -1,3x 2+4y 2=12,消去y 整理得(3m 2+4)y 2-6m y -9=0,Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4㊂设әP Q R 的面积为S ,则S =2S әP O Q=2ˑ12|O F 1||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m3m 2+42-4㊃-93m 2+4=12m 2+13m 2+4㊂令m 2+1=t (t ȡ1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ȡ1)㊂令f (t )=3t +1t(t ȡ1),则f '(t )=3-1t2>0,所以f (t )在[1,+ɕ)上为增函数,所以f (t )m i n =f (1)=4,所以S 的最大值为124=3,此时m =0㊂故当m =0,即直线l 的方程为x =-1时,әP Q R 的面积有最大值,且最大值为3㊂21.(1)当a =e 时,f (x )=x -e l n x +(x -e )2,则f '(x )=(2x +1)(x -e)x㊂令f '(x )>0,得x >e ;令f '(x )<0,得x <e ㊂故函数f x 的单调递增区间为(e ,+ɕ),单调递减区间为(0,e)㊂(2)求导得f '(x )=l n a -ax+2(x -e)=2x 2+(l n a -2e )x -ax㊂令t (x )=2x 2+(l n a -2e )x -a =0,因 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月为Δ=(l n a -2e )2+8a >0,所以方程2x 2+(l n a -2e )x -a =0有两个不相等的实根x 1,x 2(x 1<x 2)㊂又x 1x 2=-a2<0,所以x 1<0<x 2㊂令x 0=x 2,得到表2:表2x (0,x 0)x 0(x 0,+ɕ)f '(x )-0+f (x )减极小值增所以f (x )存在极值点x 0,即存在x 0使得2x 20+(l n a -2e )x 0-a =0成立,所以存在x 0使得a -x 0l n a =2x 20-2e x x 0对任意的a >0有解,因此需要讨论等式左边的关于a 的函数㊂记u (t )=t -x 0l n t ,则u '(t )=1-x 0t㊂令u '(t )=0,得t =x 0,易知u (t )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+ɕ)上单调递增,所以当t =x 0时,u (t )m i n =u (x 0)=x 0-x 0l n x 0,所以需要2x 20-2e x 0=a -x 0l n a ȡx 0-x 0l n x 0,即2x 20-(2e +1)x 0+x 0l n x 0ȡ0,即2x 0+l n x 0-(2e +1)ȡ0㊂令v (t )=2t +l n t -(2e +1),则u (t )在(0,+ɕ)上单调递增,且v x 0 ȡv (e )=0,所以需要x 0ȡe ,故x 0的最小值为e㊂22.(1)将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入x22+y 2=1,整理得ρ=21+s i n 2θ㊂(2)方法1:由题意知,直线l 经过点F (-1,0),设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将x =-1+t ,y =t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-2t -1=0,则t 1+t 2=23,t 1t 2=-13㊂所以|MN |=2|t 1-t 2|=2ˑ(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂方法2:将直线l 的参数方程化为标准形式为x =-1+22t ,y =22t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-22t -2=0㊂设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=223,t 1t 2=-23㊂所以MN =t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂23.(1)方法1:因为|f (x )|=||x -1|-|x -2||ɤ|(x -1)-(x -2)|=1,所以-1ɤf (x )ɤ1,即f (x )的值域为[-1,1]㊂方法2:由题意得f x =x -1-x -2=-1,x ɤ1,2x -3,1<x <2,1,x ȡ2,则易知f x 的值域为-1,1 ㊂(2)方法1:由基本不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2=1+b 22a 2+a 22b2ȡ2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂因为f (x )+x -2+2x -3=|x-1|+|2x -3|,所以|x -1|+|2x -3|ɤ2,等价于x ȡ32,x -1+2x -3ɤ2,或1<x <32,x -1+3-2x ɤ2,或x ɤ1,1-x +3-2x ɤ2,解得32ɤx ɤ2,或1<x <32,或23ɤx ɤ1,则实数x 的取值范围为23,2㊂方法2:由柯西不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2ȡ22+222=2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂余下同方法1㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。

2023年普通高等学校招生考试模拟试题数学(四)本试卷共 4 页 ,22题 。

全卷满分 150分 。

考试用时 120分钟。

注意事项:1.答题前 ,先将自己的姓名 、考号等填写在试题卷和答题卡上 ,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置 。

2.选择题的作答:选出每小题答案后 ,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 。

写 在试题卷 、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。

3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内 。

写在试题卷 、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 。

4.考试结束后 ,请将本试题卷和答题卡一并上交 。

一 、选择题:本题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40分 。

在每小题给出的四个选项中 ,只有 一 项是符合题目要求的。

1.已知集合 A = (x l x 2 -3x -4>0},B = (x l - 2<x ≤a },若 A U B =R ,则实数 a 的取值范 围为A.[1,+o )B.(1,+o )C.[4,+o )D.(4,+o ) 2.设复数x 满足x (2-i ) =1+b i (b ∈R ) ,若 x 为纯虚数 ,则 x =A.-iB.iC.-5iD.5i 3.已知 tan a =2,则 cos 2a --的值为A.1 B.4 C.- 3 D.- 14.山东烟台某地种植的苹果按果径 X (单位:mm ) 的大小分级 ,其中 X ∈(80,100]的苹果为特 级 ,且该地种植的苹果果径 X ~N (85,25) .若在某一次采摘中 ,该地果农采摘了 2 万个苹果 , 则其中特级苹果的个数约为(参考数据:若 X ~N (以,G 2 ) ,则 P (以-G <X ≤以+G ) ~0.682 7, P (以- 2G <X ≤以+2G ) ~0.9545,P (以-3G <X ≤以+3G ) ~0.9973)A.3 000B.13654C.16800D.19946 5.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中 ,提出了 一 些新的高阶等差数 列 ,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列 ,如数列 2,4,7,11,16,从第二项起 ,每 一 项与前一项的差组成新数列 2,3,4,5,新数列 2,3,4,5 为等差数列 ,则称数列 2,4,7,11,16为 二阶等差数列 ,现有二阶等差数列(a n },其前七项分别为 2,2,3,5,8,12,17,则该数列的第 20 项为A.173B.171C.155D.1516.已知椭圆 C :+ =1(a >b >0) 的左 、右焦点分别为 F 1 ,F 2 ,A 为左顶点 ,B 为短轴的 一 个 端点 ,若l BF 1 l ,l F 1F 2 l ,l AF 2 l 构成等比数列 ,则椭圆 C 的离心率为 A. BC^ D.1+8^7.已知点 P 在棱长为a 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的外接球 O 的球面上 ,当过 A ,C ,P 三点 的平面截球O 的截面面积最大时 ,此平面截正方体表面的截线长度之和 L 为 A.(2+2^ B.(2+2^ C.(2+^ D.(2+^8.已知抛物线 E :y 2 =8x F 的直线1与圆 M 交于C ,D两点 ,交抛物线 E 于 A ,B 两点 ,点 A ,C 位于x 轴上方 ,则满足l AC l =l BD l 的直线1的方程为 A.x =1 B.x =2C.x - 2y - 2=0或 x +2y - 2=0D.x =2或 x - 2y - 2=0或 x +2y - 2=0二 、选择题:本题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20分 。

2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷数学（四）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数1z =-，则2z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数2z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为1z =-，所以())222112z ==-+=--，所以2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,--位于第三象限.故选：C2.已知全集{62}U xx =-<<∣，集合{}2230A x x x =+-<∣，则U ðA=（）A.()6,2-B.()3,2-C.()()6,31,2--⋃ D.][()6,31,2--⋃【答案】D 【解析】【分析】计算出集合B ，由补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}}{223031A xx x x x =+-<=-<<∣，U ðA=][()6,31,2--⋃.故选：D .3.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上､下底面圆的圆心，且36AC AB ==，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（）A.803π B.703p C.20πD.563π【答案】D 【解析】【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.【详解】已知底面圆的半径2r =，由36AC AB ==，则2,4AB BC ==，故该陀螺的体积2215633V BC r AB r πππ=⋅+⋅⋅=.故选：D.4.已知一组数据：123,,x x x 的平均数是4，方差是2，则由12331,31,31x x x ---和11这四个数据组成的新数据组的方差是（）A.27B.272C.12D.11【答案】B 【解析】【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.【详解】因为一组数据1x ，2x ，3x 的平均数是4，方差是2，所以22212312311()4,4)(4)(4)]233x x x x x x ++=-+-+-=，所以22212312312,(4)(4)(4)6x x x x x x ++=-+-+-=，所以12331,31,31x x x ---，11的平均数为12312311[11(31)(31)(31)][113()3]1144x x x x x x +-+-+-=+++-=，所以12331,31,31x x x ---，11的方差为22221231[(1111)(312)(312)(312)]4x x x -+-+-+-22212311279[(4)(4)(4)]96424x x x =⨯-+-+-=⨯⨯=故选：B5.若非零向量,a b 满足()22,2a b a b a ==-⊥ ，则向量a 与b夹角的余弦值为（）A.34B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【分析】求出1,2a b ==，根据()2a b a -⊥ 可得()20a b a -⋅= ,代入化简求解夹角余弦值即可.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为()22,2a b a b a ==-⊥ ，所以1,2a b==，()2a b a ∴-⋅ 22cos 0a a b θ=-=.21cos 42a a b θ∴== .故选：D .6.已知圆221:(2)(3)4O x y -+-=，圆222:2270O x y x y +++-=，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A.4条 B.3条C.2条D.0条【答案】B 【解析】【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.【详解】由圆()()221:234O x y -+-=，则圆心()12,3O ，半径12r =；由圆222:2270O x y x y +++-=，整理可得()()22119x y +++=，则圆心()21,1O --，半径23r =；由12125O O r r ===+，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.故选：B.7.已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则函数()f x 在区间[]0,10π上的零点个数为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求()0f x =的根解不等式即可.【详解】由题意知，37π2π(3π433T =--=，解得：4πT =，22T π=，方法1：∴作出函数图象如图所示，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数为5.方法2：∴()0f x =，解得：2π2π,Z 3x k k =-+∈，∴2π02π10π3k ≤-+≤，Z k ∈，解得：11633k ≤≤，Z k ∈，∴1,2,3,4,5k =，∴()f x 在区间[0,10π]上的零点个数共有5个.故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率12PF e PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A.()1- B.20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.2,12⎫⎪⎪⎣⎭D.)1,1-【答案】D【解析】【分析】由题意可知12PF e PF =，结合椭圆的定义解得221aPF e =+，再由2a c PF a c -≤≤+求解.【详解】因为12PF e PF =，所以12PF e PF =，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，解得221aPF e =+，因为2a c PF a c -≤≤+，所以21aa c a c e -≤≤++，两边同除以a 得2111e e e -≤≤++，解得1e ≥-，因为01e <<11e ≤<，所以该离心率e的取值范围是1,1)故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若π1tan tan 231tan ααα-⎛⎫-=⎪+⎝⎭，则α的值可能为（）A.π36 B.7π36C.19π36D.5π36-【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意可得：π1tan πtan(2tan()31tan 4αααα--==-+，然后利用正切函数的性质即可求解.【详解】因为πtantan 1tan π4tan()π1tan 41tan tan 4ααααα--==-++⋅，则ππtan(2)tan()34αα-=-，所以ππ2π,34k k αα-=+-∈Z ，解得：π7π,336k k α=+∈Z ，当0k =时，7π36α=；当1k =时，19π36α=；当1k =-时，5π36α-=；故选：BCD .10.某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A.三人都选择长跑的概率为127B.三人都不选择长跑的概率为23C.至少有两人选择跳绳的概率为427D.在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为57【答案】AD 【解析】【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.【详解】由已知三人选择长跑的概率为111133327⨯⨯=，故A 正确.三人都不选择长跑的概率为222833327⨯⨯=，故B 错误.至少有两人选择跳绳的概率为231111127C 33333327⨯⨯+⨯⨯=，故C 错误.记至少有两人选择跳远为事件A ，所以()231111127C 33333327P A =⨯⨯+⨯⨯=.记丙同学选择跳远为事件B ，所以()12111215C 3333327P AB ⎛⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为()()()57P AB P B A P B ==，故D 正确.故选：AD11.设函数()()()1ln 1(0)f x x x x =++>，若()()11f x k x >--恒成立，则满足条件的正整数k 可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意可得()()()()1ln 1110g x x x k x =++--+>，利用导数结合分类讨论解决恒成立问题.【详解】若()()11f x k x >--恒成立，则()()()()()111ln 1110f x k x x x k x --+=++--+>恒成立，构建()()()()1ln 111g x x x k x =++--+，则()()ln 12g x x k '=++-，∵0x >，故()ln 10x +>，则有：当20k -≥，即2k ≤时，则()0g x '>当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()010g x g >=>，即2k ≤符合题意，故满足条件的正整数k 为1或2；当20k -<，即2k >时，令()0g x '>，则2e 1k x ->-，故()g x 在()20,e1k --上单调递减，在()2e 1,k --+∞上单调递增，则()()22e1e 0k k g x g k --≥-=->，构建()2e k G k k -=-，则()21e0k G k --'=<当2k >时恒成立，故()G x 在()2,+∞上单调递减，则()()210G k G <=>，∵()()233e 0,44e 0G G =->=-<，故满足()()02G k k >>的整数3k =；综上所述：符合条件的整数k 为1或2或3，A 、B 、C 正确，D 错误.故选：ABC.12.已知三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面2,4,,3ABC PA BAC AB AC M π∠====是边BC 上一动点，则（）A.点C 到平面PAB 的距离为2B.直线AB 与PC 所成角的余弦值为2114C.若M 是BC 中点，则平面PAM ⊥平面PBCD.直线PM 与平面ABC 所成的最大角的正切值为433【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可得答案；对于B ，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；对于C ，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；对于D ，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.【详解】对于A ，在平面ABC 内，过C 作CD AB ⊥，如下图所示：PA ⊥ 平面ABC ，且CD ⊂平面ABC ，PA CD ∴⊥，CD AB ⊥ ，PA AB A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，CD \^平面PAB ，则C 到平面PAB 的距离为CD ，23BAC π∠=，AB AC ==，6ABC π∴∠=，在Rt BCD中，sin sin 3CD CB CBA CBA =⋅∠=∠=，故A 错误；对于B ，在平面ABC 内，过A 作AE AB ⊥，且E BC ⊂，易知,,AB AE AP 两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则()0,0,0A，()B，()C ，()0,0,4P ，得()AB =，()4PC =-，(6AB PC ⋅==-，AB =PC ==则21cos ,14AB PC AB PC AB PC⋅==⋅ ，故B 正确；对于C ，作图如下：在ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点，则AM BC ⊥，PA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，AM PA A = ，,AM PA ⊂平面AMP ，BC ∴⊥平面AMP ，BC ⊂ 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面AMP ，故C 正确，对于D ，作图如下：PA ⊥ 平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，PA AM ∴⊥，则在Rt PAM 中，tan PAAMP AM∠=，当AM 取得最小值时，tan AMP ∠取得最大值，当M 为BC 的中点时，由C 可知，AM BC ⊥，AM 取得最小值为sin 6AB π⋅=则tan AMP ∠取得最大值为433，故D 正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，则实数k 的取值为__________.【答案】1【解析】【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数()()313xx k f x x k -=∈+⋅R 为奇函数，必有0k >，则()()3·31331331313x x x x x x x xk k k k f x f x k k k k -------===-=-=+⋅++⋅+⋅，于是得22223·31x x k k -=-恒成立，即21k =，解得：1k =.故答案为：1.14.已知抛物线28y x =的焦点为F ，抛物线上一点P ，若5PF =，则POF ∆的面积为______________.【答案】【解析】【分析】先根据抛物线定义得P 点坐标，再根据三角形面积公式求解.【详解】因为5PF =，所以2253,24,||P P P P x x y y +=∴===，因此POF ∆的面积为11||||=22P y OF ⨯【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.15.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有__________个.【答案】78【解析】【分析】能被5整除的三位数末位数字是5或0，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论.【详解】能被5整除的三位数说明末尾数字是5或0当末尾数字是5时，百位数字除了0有6种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有6636⨯=种方法；当末尾数字是0时，百位数字有7种不同的选法，十位有6种不同的选法，根据分步乘法原理一共有7642⨯=种方法；则一共有364278+=种故答案为：7816.已知0a >，函数()22ag x x x+=+-在[)3,+∞上的最小值为2，则实数=a __________.【答案】1【解析】3≤与3>讨论，得出()g x在[)3,+∞上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.【详解】()22ag x xx+=+-，()()(2222221x xx aag xx x x+-+=∴+'=-=，3≤时，即07a<≤时，则()0g x'>在()3,+∞上恒成立，则()g x在[)3,+∞上单调递增，()g x∴在[)3,+∞上的最小值为()5323ag+==，解得1a=，3>时，即7a>时，当x∈⎡⎣时，()0g x'<，()g x单调递减，当)x∈+∞时，()0g x'>，()g x单调递增，()g x∴在[)3,+∞上的最小值为22,2g a===，舍去，综上所述：1a=，故答案为：1.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y（单位：百人）的数据.天数代码x12345滑雪人数y（百人）911142620经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ˆˆ,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑.【答案】ˆ 3.7 4.9yx =+；9.【解析】【分析】根据表中数据及平均数公式求出ˆˆ,a b，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.【详解】由题意可知，1234535x ++++==，911142620165y ++++==，所以()()()()()()()()5113916231116331416iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-∑()()()()432616532016+-⨯-+-⨯-()()()()()27150211024=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯145010837=++++=()()()()()()5222222113233343534101410ii x x =-=-+-+-+-+-=++++=∑，所以()()()51521373.710iii i i x x y y bx x ==--===-∑∑ ，ˆˆ16 3.73 4.9ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的回归方程为ˆ 3.7 4.9yx =+.因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即3.7 4.935x +>，解得30.18.143.7x >≈,所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第9天开始盈利.18.如图，四边形ABCD中，150,60,,3B D AB AD ABC ∠∠==== 的面积为.（1）求AC ；（2）求ACD ∠.【答案】（1）（2）π4【解析】【分析】（1）在ABC 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；（2）在ACD 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.【小问1详解】在ABC 中，由ABC的面积111sin 222S AB BC B BC =⨯⨯∠=⨯⨯=4BC =，由余弦定理22232cos 121624522AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⨯⨯∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，即AC =【小问2详解】在ACD 中，由正弦定理sin sin AC ADD ACD=∠∠，可得3278sin 223sin 2AD D ACD AC ⨯∠∠===，∵AD AC <，则60ACD D ∠<∠=︒，故π4ACD ∠=.19.设数列{}n a 的前n 项和为()*,226n n n S S a n n =+-∈N.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列112n n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和127258m T =，求m 的值.【答案】（1）2n n a =（2）7【解析】【分析】（1）当2n ≥时，构造11228n n S a n --=+-，与条件中的式子，两式相减，得122n n a a -=-，转化为构造等比数列求通项公式；（2）由（1）可知()()1111222222n n n n n n n b a a ++++==++，利用裂项相消求和法求解.【小问1详解】因为226n n S a n =+-，所以当1n =时，1124S a =-，解得14a =．当2n ≥时，11228n n S a n --=+-，则11222n n n n S S a a ---=-+，整理得122n n a a -=-，即()1222n n a a --=-．所以数列{}2n a -是首项为2，公比为2的等比数列，所以12222n n n a --=⨯=．所以22n n a =+.【小问2详解】令()()111112211222222222n n n n n n n n n b a a +++++⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，数列{}n b 的前m 项和1111111112+4661010142222m m m T +⎛⎫=-+-+-+-⎪++⎝⎭ ，111112=2422222m m ++⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭，则112127222258m +-=+，则12222258m +=+，则122567m m +=⇒=.m 的值为7.20.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 、P 分别是1DD 、11AC 的中点.（1）求证：BP ⊥平面11A EC ；（2）求直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，即可得证；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()4,4,0B ，()14,4,4B ，()2,2,4P ，()10,4,4C ，()14,0,4A ，()0,4,0C ，所以()10,4,2EC = ，()14,0,2EA = ，()2,2,4BP =--，所以10EC BP ⋅= ，10EA BP ⋅=，所以1EC BP ⊥，1EA BP ⊥，又11EC EA E = ，11,EC EA ⊂平面11A EC ，所以BP ⊥平面11A EC .【小问2详解】解：由（1）可知()2,2,4BP =--可以为平面11A EC 的法向量，又()14,0,4B C =--，设直线1B C 与平面11A EC 所成角为θ，则113sin 6B C BP B C BPθ⋅==⋅= ，故直线1B C 与平面11A EC 所成角的正弦值为36.21.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，一个焦点到该渐近线的距离为1.（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 的右顶点为A ，直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,M N 两点(,M N 不是左右顶点），且0AM AN ⋅=.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y -=（2）证明过程见解析，定点坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由渐近线方程求出12b a =，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出c =，从而求出2,1a b ==，得到双曲线方程；（2）:l y kx m =+与2214x y -=联立，求出两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅= 列出方程，求出103m k =-或2m k =-，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问1详解】因为渐近线方程为20x y -=，所以12b a =，焦点坐标(),0c 到渐近线20x y -=1=，解得：c =，因为2225a b c +==，解得：2,1a b ==，所以双曲线C 的方程为2214x y -=；【小问2详解】由题意得：()2,0A ，:l y kx m =+与2214x y -=联立得：()222148440k x kmx m ----=，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,1414km m x x x x k k --+==--，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()()11221212122,2,24AM AN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++()()()()()122222222124048142421441kx x km x km m k x mkm m k k++-++--++=+⋅+-⋅+-=-，化简得：22201630k km m ++=，解得：103m k =-或2m k =-，当103m k =-时，10:3l y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过点10,03⎛⎫⎪⎝⎭，当2m k =-时，():2l y k x =-恒过点()2,0A ，此时,M N 中有一点与()2,0A 重合，不合题意，舍去，综上：直线l 过定点，定点为10,03⎛⎫⎪⎝⎭，【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22.已知函数()()e 4ln 2xf x x x =++-.（1）求函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程；（2）判断函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）14ln 2=+y （2）有两个零点，理由见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；（2）令()0f x =，转化为()()2=e<xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，利用导数得到()g x 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.【小问1详解】()()4e 122xf x x x=+-<-'，所以切线斜率为()00e 10204'=+-=-f ，()()00e 04ln 2014ln 2=++-=+f ，所以切点坐标为()0,14ln 2+，函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线方程为14ln 2=+y ；【小问2详解】有两个零点，理由如下，令()()e 4ln 20=++-=xf x x x ，可得()e 4ln 2=---xx x ，判断函数()f x 的零点个数即判断()()2=e <xt x x 与()()()4ln 22=---<g x x x x 图象交点的个数，因为()=e xt x 为单调递增函数，()0t x >，当x 无限接近于-∞时，()t x 无限接近于0，且()22=e t ，由()421=022+'=-+=--x g x x x，得2x =-，当22x -<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()224ln40-=-<g ，()3333e 2e 24lne e 100--=+-=->g ，()110g =-<，43314ln ln 0222⎛⎫=--== ⎪⎝⎭g ，且当x 无限接近于2时()g x 无限接近于+∞，所以()=e xt x 与()()4ln 2=---g x x x 的图象在0x <时有一个交点，在02x <<时有一个交点，综上函数()f x 有2个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解。

2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷04（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）参考答案题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 B B C B D A 题 号 7 8 9 10 11 12 答 案CBABDBCACABD1．B 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．B 【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅. 故选：B.3．C 【详解】如图，EB ＋FC ＝EB ＋BC ＋FC ＋CB ＝EC ＋FB ＝12AC ＋12AB ＝()12AC AB +122AD AD =⨯=. 故选：C.4．B 【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l ππ=解得22l =故选：B.5．D 【详解】()()()239111x x x ++++++的展开式中2x 的系数是22222349C C C C ++++因为11m m m nn n C C C -++=且2323C C =，所以2232323334C C C C C +=+=，所以222233234445C C C C C C ++=+=，以此类推，2222323234999101098120321C C C C C C C ⨯⨯++++=+===⨯⨯.故选：D.6．A 【详解】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．7．C 【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==， 故||1MN r =-，所以228||2(1)5DE r r r =--=，即21650250r r -+=， 解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-， 将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k ++==， 解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=． 故选：C ．8．B 【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+， 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，0f x ，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x -==+'， 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ， 故选：B. [方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c <=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c =∴综上，b<c<a ， 故选：B.9．ABD 【详解】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB +，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD ，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ．10．BC 【详解】对于A 选项，直线1:0l ax y +=过定点()0,0A ，A 错；对于B 选项，直线2l 的方程可化为()()110x a y +-+=，由1010x y +=⎧⎨+=⎩可得11x y =-⎧⎨=-⎩，故定点()1,1B --，B 对；对于C 选项，()110a a ⨯+⨯-=，所以，12l l ⊥，所以，PA PB ⊥， 线段AB 的中点为11,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且2AB 122PE AB ==所以，点P 的轨迹是以点E 2的圆， 所以，点P 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即220x y x y +++=，C 对；对于D 选项，设点(),P x y ，(),PA x y =--，()1,1PB x y =----， 所以，()232,32PA PB x y +=----， 所以，()()22222223232333PA PB x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记点22,33F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则23PA PB PF +=，因为PF PE EF =+且EF ⎛=- ，所以，22PF PE EF PE EF =+≤+=+=， 所以，2322PA PB PF +=≤E 、P 、F 三点共线且点E 在线段FP 上时，等号成立，故2PA PB +的最大值为D 错. 故选：BC.11．AC 【详解】设直线y x a =+与曲线1e21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ，由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=即4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max =C 正确； 对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC12．ABD 【详解】(1)f x +为偶函数，故(1)(1)f x f x +=-+，令52x =得：753()(1)()222f f f =-+=-，(1)f x -为奇函数，故(1)(1)f x f x -=---，令12x =得：311()(1)()222f f f -=--=--，其中1131244f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，所以1373()(24)22ff f ⎛⎫-=- -⎪⎝⎭=-=，A 正确； 因为(1)f x -为奇函数，所以()f x 关于()1,0-对称，又(1)f x +为偶函数，则()f x 关于1x =对称，所以()f x 周期为428⨯=，故()()71f x f x =+-，所以()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+，从而(7)f x +为奇函数，B 正确； 2()1f x x =-+在(1,0)x ∈-上单调递增，又()f x 关于()1,0-对称，所以()f x 在()2,0-上单调递增，且()f x 周期为8，故()f x 在(6,8)上单调递增，C 错误； 根据题目条件画出()f x 与lg y x =-的函数图象，如图所示：其中lg y x =-单调递减且lg121-<-，所以两函数有6个交点，故方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解，D 正确. 故选：ABD 13．47【详解】7个车位都排好车辆，共有77A 种方法，满足题意的排法等价于7辆车排列，满足其中三辆中恰有两辆车停放在相邻车位， 则首先排列余下的四辆车，有44A 种方法， 然后从3辆车中挑出2辆车排列好之后进行捆绑，3辆车看作2个元素插入4辆车的5个空位中，共有2235A A 种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：4224357747A A A p A ==. 14．4【详解】因为23AB =且圆的半径为23r =，所以圆心()0,0到直线330mx y m ++=2232AB r ⎛⎫- ⎪⎝⎭23331m m -=+，解得3m =l 的方程，得33y =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4 15．【详解】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为 16．3【详解】如图所示，过点E 作OD 的垂线，交OA 的延长线于点P ， 交OD 于N ，过A 作AM 垂直PN ，垂足为M ， 可知2,====AP AE PM ME EN ，P 的轨迹为圆，而13EN PN =由伸缩变换可知，E 的轨迹为椭圆1C ，116,2=+==-=a OA AE b OA AE ；所以1==c 所以椭圆1C的离心率为111===c e a 延长AC 至K ，使4OA AK ==，则∠=∠AOK AKO ， 过OK 作直线l ，过点C 作1l l ⊥，交OA 于P ，交l 于N ﹐过A 作AM 垂直PN ，垂足为M ，所以∥AM l ，可得∠=∠=∠=∠PAM AOK AKO MAK ， 所以AM 即是PAC △中PAC ∠角平分线，又是PC 边上的高 可得,,==AP AC PM MC由43AB =及1BC =，易知5,3==AP AC57===AM AC MC NK CK CN ，75,4173==+CN OP PN . 故P 的轨迹为圆，717CN PN =，由伸缩变换可知， C 的轨迹为椭圆2C ， 22517574,43333=+==+==-=-=a OA AC OP b OA AC 222224153=-=c a b 所以椭圆2C 的离心率为222415415317173===c e a .2241517．(1)26n a n =-；(2)7.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-+++=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.18．(1)b =【详解】分析：（1）在式子cos cos B C b c +=余弦定理后可得b =（2）由cos 2B B =经三角变换可得3B π=，然后运用余弦定理可得2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，从而得到3ac ≤，故得1sin 2S ac B =≤详解：(1)由题意及正、余弦定理得22222222a c b a b c abc abc +-+-+=整理得222a abc =，∴b =（2）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴sin(+=16B π）， ∵()0,B π∈， ∴62B ππ+=，∴3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， ∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，3ac ∴≤，当且仅当a c ==∴11sin 322S ac B =≤⨯=．∴ABC ∆． 19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)(Ⅲ)见解析.【详解】(Ⅰ)由于P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则P A ⊥CD ， 由题意可知AD ⊥CD ，且P A ∩AD =A ， 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面P AD .(Ⅱ)以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD ,AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A P C D ， 由13PF PC =可得点F 的坐标为224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，由12PE PD =可得()0,1,1E ， 设平面AEF 的法向量为：(),,m x y z =，则 ()()()224224,,,,0333333,,0,1,10m AF x y z x y z m AE x y z y z ⎧⎛⎫⋅=⋅=++=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩， 据此可得平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-， 很明显平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =， 13cos ,31m n m n m n⋅<>===⨯⨯， 二面角F -AE -P 的平面角为锐角，故二面角F -AE -P 3(Ⅲ)易知()()0,0,2,2,1,0P B -，由23PG PB =可得422,,333G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则422,,333AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，注意到平面AEF 的一个法向量为：()1,1,1m =-，其0m AG ⋅=且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内. 20．(1)126295；(2)90.【详解】（1）解：由题意得()111842260C C 1261C 295P X ===； （2）解：能完成活动的概率为1836010=，不能完成活动的概率为4276010=， 由题得Y 可以取0，100，200，300，则 ()0303373430C 10001001P Y ⎛⎫⎛=⎫⎪=⎪⎝⎭⎝⎭=， ()12133********C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2123371189200C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33337127300C 1000010P Y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=⎭==， 所以Y 的分布列为：则Y 的数学期望为()441189270+100+200+300901000100010001000E Y =⨯⨯⨯⨯=． 21．(1)2213x y -=(2)存在，5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，49-【详解】（1）解：不妨设点A 在第一象限AOF α∠=，则2AOBα∠=. 因为OA AB ⊥，则cos2OA OB α=，sin 2AB OB α=.由已知，cos2sin 2OB OB OB αα+，即cos 212αα+=，即22cos cos ααα=.因为cos 0α≠，则cos αα，即tan α=因为α为渐近线OA 的倾斜角，则b a =3a b .2，则a =1b =.所以双曲线C 的方程是2213x y -=.（2）解：解法一：设点(),0M m ，222MP MQ PQ λ+-=.当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，代入2213x y -=，得y =不妨设点2,P ⎛ ⎝，Q ⎛ ⎝，则()222122222833m m m λ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦.当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213xy -=，得x =不妨设点()P ，)Q，则(((222226m m m λ=+-=-.令222228263m m m -+=-，解得53m =，此时250426699m λ=-=-=-.当直线l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得()22233ty y +-=，即()223410t y ty -++=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243ty y t +=--，12213y y t =-. 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()22222211221255133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222211221211133ty y ty y y y t ⎛⎫⎛⎫=+++++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()22222121212221139t t y y y y y y t =+++++--+ ()()()()()()()22222211122222216182282262221393999333333t t t t t t t y y y y t t t t ++--=++++=-+=+=+----224399=-+=-.所以存在定点5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22249MP MQ PQ +-=-为定值.解法二：当直线l 不与x 轴重合时，设了的方程为2x ty =+，代入2213x y -=，得()22233ty y +-=，即()223t y -410ty ++=.设点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12243ty y t +=--，12213y y t =-. 在△PMO 中，由余弦定理，得2222cos 2MP MQ PQ MP MQ PMQ MP MQ +-=∠=⋅， 设点(),0M m ，则()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()()()()22222121222421122233t m t t y y t m y y m m t t -+=++-++-=-+--- ()()22223312113mt m m t ---+=-，令()223121133m m m -+=-，得53m =，此时2239MP MQ m ⋅=-=-， 22249MP MQ PQ +-=-.当直线l 与x 轴重合时，则点P ，Q 为双曲线的两顶点，不妨设点()P ，)Q .对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2222225550463399MP MQ PQ ⎛⎛+-=+-=-=- ⎝⎝. 所以存在定点5,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22249MP MQ PQ +-=-为定值.22．(1)单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e) (2)证明见解析，0x 的最小值是e ．【详解】（1）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =-+-，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e),(0)x x x x f x x x x x x +--+-+-='=-=>令()0f x '>，得e x >； 令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)．（2）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x af x a x x x+--=-+'-=令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+--=，因为2(ln 2e)80a a ∆=-+>， 所以方程22(ln 2e)0x a x a +--=，有两个不相等的实根()1212,x x x x <， 又因为1202ax x =-<， 所以120x x <<， 令02x x =，列表如下:所以存在0x 使得2002(ln 2e)0x a x a +--=成立，所以存在0x 使得200022e ln x xx a x a -=-，所以存在0x 使得2000ln 22e a x a x xx -=-对任意的0a >有解，因此需要讨论等式左边的关于a 的函数，记0()ln u t t x t =-， 所以0()1x u t t=-'， 当00t x <<时，()0,()u t u t <'单调递减； 当0t x >时，()0,()u t u t >'单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =-的最小值为()0000ln u x x x x =-．所以需要200000022e ln ln x x a x a x x x -=-≥-，即需要200002(2e 1)ln 0x x x x -++≥，即需要002(2e 1)ln 0x x -++≥， 即需要002ln (2e 1)0x x -+≥+因为()2ln (2e 1)v t t t =+-+在(0,)+∞上单调递增，且()0()0v x v e ≥=， 所以需要0e x ≥， 故0x 的最小值是e ．。

2020年高考全真模拟卷（4）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =--<，(){|2}B x y lg x ==-，则A B =I ( ) A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(2,2)-D ．∅2．已知复数z 满足(2)12-=+i z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．0D ．i3．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )ABC ．72D ．524．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．436．双曲线22C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则∆=OPF S ( ) A ．14B ．12C ．1D ．27．已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．在内接于球O 的四面体ABCD 中，有AB CD t ==，6AD BC ==，7AC BD ==，若球O 的最大截面的面积是554π，则t 的值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ，若π3g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A B ．C D 10．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．911．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点．下列结论：①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．①B ．③C ．①③D ．①②③12．现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--． 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a v 、b v 满足3a =v ，()1,2b =v ，2a b ⋅=v v ，则2a b -=v v ．14．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若60B =︒，2b =，则sin A 的值为______．15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16．（2019·河北高三（文））已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值．18．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD ．（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积．19．（12分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少． 每周运动的总时长不少于14小时为运动较多． （1）根据题意，完成下面的2×2列联表：（2）能否有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？ 附：K 2()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（n ＝a +b +c +d ）20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ ∆的面积为16（O为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()2ln f x x ax x =-+．(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间． (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---．（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点()00,P x y ，求证：PA PB PM PN ⋅=⋅．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()1f x x a x =-+-． （1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|60}A x x x =--<，(){|2}B x y lg x ==-，则A B =I ( ) A ．(2,3) B ．(2,3)- C ．(2,2)- D ．∅【答案】A【解析】2{|60}{|23}A x x x x x =--<=-<<Q ，(){|2}{|2}B x y lg x x x ==-=>，∴ {|23}{|2}(2,3)A B x x x x ⋂=-<<⋂>=，故选A ．2．已知复数z 满足(2)12-=+i z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．i【答案】A【解析】因为()212i z i -=+，所以()()()()122125z 2225i i i ii i i i +++====--+，所以虚部为1，故选A ． 3．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( ) A．62+ B．62- C ．72D ．52【答案】C【解析】Q 1(2)sin(2)sin662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，故选C ．4．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确：对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确；对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确；对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误，故选D ．5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2-，则tan2α=（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】D【解析】因为角α的终边经过点()1,2-，由三角函数定义可得2tan 21α-==-，根据正切的二倍角22tan tan21tan ααα=-，代入可得()()2224tan 2312α⨯-==--，故选D ． 6．双曲线22C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则∆=OPF S ( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】因为双曲线方程为22C:2x y -=，所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ，因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限； 又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形，所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ，所以112∆=⋅=OPF p S OF y ，故选C ．7．已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D ．8．在内接于球O 的四面体ABCD 中，有AB CD t ==，6AD BC ==，7AC BD ==，若球O 的最大截面的面积是554π，则t 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【解析】将四面体放入到长方体中，AB 与CD ，AD 与BC ，AC 与BD 相当于一个长方体的相对面的对角线，设长方体的长，宽，高分别是,,a b c 则22222222276a b t b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，∴ ()2222285a b c t ++=+，球O 的最大截面的面积是554π，球的最大截面即是过球心的大圆，设球的半径为R 则2554R ππ=，∴2(2)55,2R R ==∴2222(2)R a b c =++，255285t ∴⨯=+，解得：5t =，故选A ．9．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x，若π3g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )AB．CD【答案】B【解析】由周期为π，可得=2ω．由图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称， 可得ππ2π()62k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，结合0πϕ<<，可得5π=6ϕ． 所以5π()sin 26f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，5π()sin 6g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ5πsin 336g A A ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ5π426f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．10．圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．9【答案】B【解析】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立，故选B ． 11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点．下列结论：①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．① B ．③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED ．故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确；若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误；延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点．根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点，1CEM DD A ∆∆:，所以多面体1CEM DD A-是棱台．且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝．故③正确． 综上所述，正确的序号为①③，故选C ．12．现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--． 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【答案】C【解析】直线2y x =的斜率为2k =，①若()22x f x e =-，则由()2e 2xf x '==，得0x =，点()0,0在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；②若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得()2x k k π=∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；③若()13f x x x =+，则由()2132f x x'=-=，得1x =±，()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上， 所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切；④若()32f x x x =--，则由()2312f x x '=-=，得1x =±，其中()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切，故直线2y x =与其相切的共有3条，故选C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a v 、b v 满足3a =v ，()1,2b =v ，2a b ⋅=v v ，则2a b -=v v ．【解析】由题意可得222125b =+=r ，因此，2a b -====r r14．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若60B=︒，2b =，则sin A 的值为______．【答案】14【解析】由正弦定理得sin sin c C B b ===2b =，所以b c >，角C为锐角，cos C ==则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+=+=15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c=，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=,故答案为：2213620x y +=． 16．（2019·河北高三（文））已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是 ． 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由xy e =的图像与ln y x =的图像可得，ln >x e x 恒成立，所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于xy e =与ln y x =之间，作出其大致图像如下，由图像可得，只需<<OA OB k a k ．设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e xy '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线xy e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ，所以1a e e <<，故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21517a a +=，1055S =．数列{}n b 满足2log n n a b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +的前n 项和n T 满足3218n T S =+，求n 的值．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有1121517104555a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，则n a n =．又2log n n a b =，即2n a n b =，所以2nn b =．（2）依题意得：1212(...)(...)n n n T a a a b b b =+++++++23(123...)(222...2)n n =+++++++++()212(1)212nn n -+=+-1(1)222n n n ++=+-． 又3232(132)18185462S ++=+=，则1(1)25482n n n +++=， 因为1(1)()22n n n f n ++=+在*n N ∈上为单调递增函数，所以8n =． 18．（12分）如图，在五面体ABCDFE 中，侧面ABCD 是正方形，ABE ∆是等腰直角三角形，点O 是正方形ABCD 对角线的交点EA EB =，26AD EF ==且//EF AD ．（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）若侧面ABCD 与底面ABE 垂直，求五面体ABCDFE 的体积． 【解析】（1）取AB 的中点M ，连接OM 、EM ，Q 侧面ABCD 为正方形，且AC BD O =I ，O ∴为AC 的中点，又M Q 为AB 的中点，//OM BC ∴且12OM BC =， //EF BC Q 且12EF BC =，//OM EF ∴，所以，四边形OFEM 为平行四边形，//OF EM ∴． OF ⊄Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，//OF ∴平面ABE ．（2）取AD 的中点G ，BC 的中点H ，连接GH 、FG 、FH ，Q 四边形ABCD 为正方形，AD AB ∴⊥．Q 平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD I 平面ABE AB =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥底面ABE ，易知3EF =，AE BE ==(2192ABES ∆=⨯=，9327ABE GHF ABE V S EF -∆=⋅=⨯=，M Q 为AB 中点，EA EB =，EM AB ∴⊥，AD ⊥Q 平面ABE ，EM ⊂平面ABE ，EM AD ∴⊥，AB AD A =Q I ，AB 、AD ⊂平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD ．//OF EM Q ，OF ∴⊥平面ABCD ，且3OF EM ==，1633183F CDGH V -∴=⨯⨯⨯=，因此，271845ABCDFE V =+=五面体．19．（12分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．每周运动的总时长不少于14小时为运动较多． （1）根据题意，完成下面的2×2列联表：（2）能否有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？ 附：K 2()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++（n ＝a +b +c +d ）【解析】（1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为12+10+8=30，运动较多的人数为2+1+1=4； 无肠胃病的老年人中运动较少的人数为3+2+1=6，运动较多的人数为2+4+4=10． 故2×2列联表如下：（2）()225046301013.89210.82834161436K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关．20．（12分）已知直线2x p =与抛物线C ：()220y px p =>交于P ，Q 两点，且POQ ∆的面积为16（O为坐标原点）． （1）求C 的方程．（2）直线l 经过C 的焦点F 且l 不与x 轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，试问在x 轴上是否存在点E ，使AB DE为定值？若存在，求该定值及E 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）将2x p =代入22y px =，得2y p =±，所以POQ ∆的面积为21244162p p p ⨯⨯==． 因为0p >，所以2p =，故C 的方程为24y x =．（2）由题意设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，所以212244||k AB x x p k+=++=． 因为线段AB 的中点的横坐标为212222x x k k ++=，纵坐标为2k ， 所以线段AB 的垂直平分线的方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，令0y =，得223x k =+，所以D的横坐标为223k +， 设(),0E t ，则()2223223t k DE t k k-+=+-=，()224432AB k DE t k +∴=-+， 所以当且仅当32t -=，即1t =时，AB DE为定值，且定值为2，故存在点E ，且E 的坐标为()1,0．21．（12分）设函数()2ln f x x ax x =-+．(1)若当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间． (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()212142f x f x ax x a >---．【解析】（1）()()21212,0x ax f x x a x x x-+'=-+=>．1x =Q 时，()f x 取得极值，()0,31f a ∴'==，()()()2211231 x x x x f x x x---+'∴==， 解()0f x '>得102x <<或1x >，解()0f x '<得112x <<，()f x ∴的单调增区间为10,,(1,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()()221,0x ax f x x x-+'=>，()f x Q 存在两个极值点，∴方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，212180,02a x x ∆=->=>，1202a x x +=>，a ∴> ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x -+-+--=--2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+--，∴所证不等式()()212142f x f x ax x a >---等价于2121ln ln 4x x x x a ->-，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，()()21ln 1t h t t t -=-+，()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，()h t ∴在(1,)+∞上递增， ()()10h t h ∴>=，2212111ln 21x x x x x x -∴>+成立，()()212142f x f x a x x a ∴>---成立． （二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数）．（1）写出曲线C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）已知倾斜角互补的两条直线1l ，2l ，其中1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，1l 与2l 交于点()00,P x y ，求证：PA PB PM PN ⋅=⋅．【解析】由4y m =，得4y m =，代入24x m =，得24y x =，即24y x =，∴C 的普通方程为24y x =，表示开口向右，焦点为()1,0F 的抛物线．（2）设直线1l 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为πα-， 则直线1l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），与24y x =联立得()222000sin2sin 4cos 40t y t y x ααα+-+-=，设方程的两个解为1t ，2t ，则2001224sin y x t t α-=，∴2001224sin y x PA PB t t α-⋅==， 则2200002244sin ()sin y x y x PM PN παα--⋅==-，∴PA PB PM PN ⋅=⋅．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()1f x x a x =-+-． （1）若()2f a <，求a 的取值范围；（2）当[],x a a k ∈+时，函数()f x 的值域为[]1,3，求k 的值． 【解析】（1）()12f a a =-<，得212a -<-<， 即13a -<<，∴a 的取值范围是()1,3-；（2）当1a …时，函数()f x 在区间[],a a k +上单调递增， 则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得2a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得1k =，当1a <时，()21,11,121,x a x f x a a x x a x a --⎧⎪=-<<⎨⎪-++⎩…„，则()()min 11f x f a a ==-=⎡⎤⎣⎦，得0a =，()()max []213f x f a k a k =+=+-=，得2k =． 综上所述，k 的值为1或2．。

2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：集合､常用逻辑用语､不等式､三角函数､平面向量､解三角形､函数与导数､数列､立体几何､解析几何.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{1},3,2,1,0,1,2,3A xx B ==---∣ ，，则A B ⋂=（）A.{}3,2,1,0--- B.{}2,1,0,1-- C.{}1,0,1,2- D.{}1,0,1-2.若函数()13221x x a f x x ++=⋅+为R 上的偶函数，则实数a 的值为（）A.-2 B.2 C.1 D.-13.已知211sin2cos 22αα+=，则tan α=（）A.0 B.4 C.-4 D.0或44.已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，从该数列中抽取出一个以原次序组成的首项为4，公比为2的等比数列12,,,,m k k k a a a ，其中11k =，则数列{}n k 的通项公式为（）A.21n n k =- B.21n k n =+C.22n n k =- D.21n k n =-5.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中5,1,,0918A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A.3ω=B.3πϕ=-C.直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴D.11,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心6.已知函数()22e 4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知圆C 过点()()1,1,5,3，且直线:l x y +=0被圆C 所截得的弦长为若圆C 的圆心在y 轴右侧，则圆C 的面积为（）A.16πB.25πC.36πD.49π8.“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, ，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（）A.1012B.1016C.1912D.1916二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知0a b >>，则下列不等式正确的是（）A.11a b b a +>+ B.sin sin a b a b ->-C.2a ab > D.22c c a b<10.已知向量()((sin ,cos ,,a b c θθ=== ，则（）A.若a ∥b ，则3πθ=B.b 在c 方向上的投影向量为12cC.存在θ，使得a 在c b -方向上投影向量的模为1D.a b - 的取值范围为[]1,311.已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在6x π=处取得最大值()2,f x 的最小正周期为π，则下列结论正确的是（）A.()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.将()y f x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到2cos y x =的图象D.将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到2cos y x =的图象12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()sin 1g x xf x =-为奇函数，()()32h x f x =+的图象关于点()0,1对称，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于1x =对称B.函数()y f x =的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.函数()y f x =的一个周期为4D.20241()2024i f i ==∑三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线C 的焦距为__________.14.已知向量,a b满足||4,||2,||4a b a b a b λ==-=⋅=- ，则λ=__________.15.等差数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T ，且9133S T =，则57a b =__________.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为1,2M 为C 上任意一点，且12MF F 的周长为6，若直线():11l y k x =-+经过定点N ，则1MN MF +的最小值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求A 的大小；（2）若AD 为BC 上的高，且2AD =，求ABC 面积的最小值.18.（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AD ==，点M 为AB 的中点，点N 是1BB 上靠近1B 的三等分点，1BD 与1B D 交于点O .（1）求证：OM ∥平面11BCC B ；（2）若1CO B D ⊥，求点N 到平面COM 的距离.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()212122,7n n nS n S n n a +-+=+=.（1）求n S ；（2）若5nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ABC ∠∠== ，2222AD PA AB BC ====，点E 为PB 的中点.（1）证明：PB DE ⊥；（2）求直线BD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线1l ：()12y k x =+与直线()22:2l y k x =+与抛物线C 分别交于点,P Q 和点,R S .（1）若112k =，求PQF 的面积；（2）若直线PS 与RQ 交于点A ，证明：点A 在定直线上.22.已知函数()2ln f x x x ax =-.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式()()2e 1xf x a a x x >+--恒成立，求实数a 的取值范围.2023-2024学年海南省高考全真模拟卷（四）数学·答案1.D2.A3.D4.Α5.C6.A7.B8.C9.ABC10.BCD 11.ABD 12.ACD13.14.2或52-15.13316.317.解：（1）因为sin sin 3a B b A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合正弦定理得，sin sin sin sin ,3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为sin 0B >，所以sin sin 3A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1sin sin 22A A A =+，所以tan A =又()0,A π∈，所以3A π=.（2）由题意得，11sin 22ABC S BC AD bc A =⋅= ，故34a bc =.由余弦定理，得2222cos abc bc A =+-，22223216b c b c bc bc bc bc ∴=+--= ，163bc ∴ ，当且仅当b c =时取等号，ABC ∴ 面积的最小值为1163432323⨯⨯=.18.解：（1）连接11,AD BC .易知,O M 分别为线段1,BD AB 的中点，所以OM ∥1AD .又11AB D C =且AB ∥11D C ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以1AD ∥1BC ，故OM ∥1BC ，又OM ⊄平面111,BCC B BC ⊂平面11BCC B ，故OM ∥平面11BCC B.（2）连接11,B C C N .由题易知1BC =易知O 为1B D 的中点，又1CO B D ⊥，所以1CD B C ==以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则4(0,(2,(1,2,3C M O N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()1,,2,CO CM == .设平面COM 的法向量为()111,,m x y z =，则0,0,m CO m CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111110,20,x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令11x =，则111y z ==，可得()m = .因为42,0,3CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故点N 到平面COM 的距离为53CN m d m ⋅== .19.解：（1）依题意，()()2112221,n n nS n S n n n n +-+=+=+故121n n S S n n+-=+，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.而21212212S S a a --==，又27a =，解得13a =，故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项为3，则()31221n S n n n=+-⋅=+，则22n S n n =+.（2）由（1）可知，当1n =时，113a S ==；当2n时，()221122(1)141,3n n n a S S n n n n n a -=-=+----=-=也满足该式，故()*41n a n n =-∈N，故()415n n b n =-⋅，则()1233575115415n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ，()234153575115415n n T n +=⋅+⋅+⋅++-⋅ 两式相减得，12445454n T -=⋅+⋅+⋅()3115454155(24)510n n n n n ++++⋅--⋅-=-⋅- ，故()121552n n n T +-⋅+=20.解：（1）法一：连接AE ，在Rt PAB 中，,,.PA AB PE EB PB AE ==∴⊥PA ⊥ 底面,ABCD PA AD ∴⊥.又在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，,PA AB ⊂平面,PAB PA AB A ⋂=，AD ∴⊥平面,PAB AD PB ∴⊥，而,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面ADE ，PB ∴⊥平面ADE ，PB DE ∴⊥.法二：PD BD ===,,PD BD PE BE =∴==又PB DE ∴⊥.（2）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，()()1,2,0,1,1,0,BD DC ∴=-=- ()0,2,1DP =- .设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，0,0,20,0,n DC x y y z n DP ⎧⋅=-=⎧⎪⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 令即令1x =，则()1,1,2n = ，设直线BD 与平面PCD 所成角为θ，则30sin |cos ,|30||||n BD n BD n BD θ⋅=〈〉=== .即直线BD 与平面PCD所成角的正弦值为30.21.解：（1）依题意，()1,0F ，联立()24,12,2y x y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2880y y -+=.设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ，故8,8P Q P Q y y y y +==，故P Q PQ y =-==，点()1,0F 到直线1l的距离d =，故12PQF S =⨯= .（2）设222312123,,,,,444y y y P y Q y R y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，244,4y S y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立()122,4,y k x y x ⎧=+⎨=⎩得211480k y y k -+=，则128y y =.同理可得，348y y =.则直线241112241:444y y y PS y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭-，化简得，()141440x y y y y y -++=，①同理可得，直线()2323:4RQ x y y y y y -++=0，②联立①②消去y 可得，()()()()2314142323144y y y y y y y y x y y y y +-+=⎡⎤+-+⎣⎦()()12323412413423144y y y y y y y y y y y y y y y y +--=⎡⎤+-+⎣⎦()()3241231488882,4y y y y y y y y +--==⎡⎤+-+⎣⎦故点A 在直线2x =上.22.解：（1）当1a =时，()2ln ,0f x x x x x =->，所以()ln 12f x x x =+-'，令()()ln 12,0m x f x x x x =-'=+>，可得()1122x m x x x -=-='，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,m x m x '>单调递增；当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,m x m x '<单调递减，所以当12x =时，()m x 取得极大值，也为最大值，且111ln 11ln 0222m ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，所以()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）由()()2e 1xf x a a x x >+--，得2e ln x a x x x x <-+，即2ln ex x x x x a -+<在()0,∞+上恒成立.令()()2ln ,0,ex x x x x h x x ∞-+=∈+，可得()()()12ln e xx x x h x ---='，令()2ln x x x ϕ=--，可得()111x x x xϕ-=-='，令()0x ϕ'>，可得1x >；令()0x ϕ'<，可得01x <<，所以()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，又()3333e e 2lne e 10ϕ----=--=+>()112ln110,ϕ=--=-<()442ln422ln20,ϕ=--=->所以在()3e ,1-中存在唯一的1x 使得()10x ϕ=，在()1,4中存在唯一的2x 使得()20x ϕ=，即有11222ln 0,2ln 0x x x x --=--=.因为()x ϕ在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以当10x x <<时，()0x ϕ>；当11x x <<时，()0x ϕ<；当21x x <<时，()0x ϕ<；当2x x >时，()0x ϕ>.又()()()12ln e xx x x h x ---='()()1,0xx x x ϕ-=>e ，所以当10x x <<时，()0h x '<；当11x x <<时，()0h x '>；当21x x <<时，()0h x '<；当2x x >时，()0h x '>，所以()h x 在()10,x 单调递减，在()1,1x 单调递增，在()21,x 单调递减，在()2,x ∞+单调递增，所以()0,1x ∈时，()h x 的极小值为()1211111ln ,ex x x x x h x -+=()1,x ∞∈+时，()h x 的极小值为()2222222ln .e x x x x x h x -+=因为11222ln 0,2ln 0x x x x --=--=，可得1122ln 2,ln 2x x x x -=-=，所以1122ln ln 22e e ,e e x x x x --==，12212e e e ,x x x x ==即所以12212e e e x x x x -==.代入11ln 2x x =-和22ln 2x x =-，则有()()1121111112e e x x x x x x x h x --+==-=2e --，同理可得()22e h x -=-，所以()()12h x h x =，所以2min 21()e e h x -=-=-，所以21e a <-，即实数a 的取值范围为21,e ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

全国高考数学模拟试卷（4套）试卷一：基础能力测试一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数 $ f(x) = \sqrt{3x 1} $ 在区间 $[0, 2]$ 上有定义，则 $ x $ 的取值范围是：A. $[0, 1]$B. $[0, 2]$C. $[1, 2]$D. $[1, 3]$2. 已知集合 $ A = \{x | x^2 3x + 2 = 0\} $，则集合 $ A $ 的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若 $ a, b $ 是方程 $ x^2 4x + 3 = 0 $ 的两个根，则$ a + b $ 的值是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数 $ f(x) = 2x^3 3x^2 + x $，则 $ f'(1) $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 55. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x $ 的值是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，则第10项 $ a_{10} $ 的值是：A. 29B. 30C. 31D. 327. 若 $ \sin 45^\circ = x $，则 $ x $ 的值是：A. $ \frac{\sqrt{2}}{2} $B. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{\sqrt{2}} $8. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则 $ f^{1}(x) $ 的表达式是：A. $ x $B. $ \frac{1}{x} $C. $ x $D. $ \frac{1}{x} $9. 若 $ a^2 = b^2 $，则 $ a $ 和 $ b $ 的关系是：A. $ a = b $B. $ a = b $C. $ a = b $ 或 $ a = b $D. $ a $ 和 $ b $ 无关10. 已知等比数列 $ \{a_n\} $ 的首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ q = 2 $，则第5项 $ a_5 $ 的值是：A. 8B. 16C. 32D. 64二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 $ x^2 5x + 6 = 0 $，则 $ x $ 的值是 ________。