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A ．7k =B ．6k ≤ 6．已知数列{}n a 满足*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，定义：使乘积123...k a a a a ，为正整数的*()k k ∈N 叫做“期盼数”，则在区间[1,2011]内所有的“期盼数”的和为（ ） A ．2 036B ．4 076C ．4 072D ．2 026二、填空题：本大题共4小题，每小题6分． n++，则数列10．“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……，则第50个数对是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分10分）给出四个等式：11=；14(12)-=-+；149123-+=++；14916(1234)......-+-=-+++．猜测第*()n n ∈N 个等式，并用数学归纳法证明．12．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且n S 满足：2,n S n n n +=+∈N ．等比数列{}n b 满足：21log 02n n b a +=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n T ． 13．（本小题满分15分）已知函数21()()1f x x a x a=-++，0a >．（Ⅰ）当12a =时，解不等式()0f x ≤； （Ⅱ）比较1a 与的大小；11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)(1)12⨯+-⨯=右边=， 左边=右边，等式成立．（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立 即22221212(1)1234...(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k --+-+-++-=-+-+． 则当1n k =+时，222212212(1)1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]()(1)[(1)](1)22kk k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=， 又1221a ==⨯，∴2n a n =由21log 02n n b a +=得1()2n n b = （Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==01221111111()2()3()...(1)()()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）121111111()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2） (1)(2)-得12111()11111121()()...()()()122222212nn n n n T n n --=++++-⨯=-⨯- ∴114()(2)2n n T n -=-+． 13．解：（Ⅰ）当12a =时，有不等式23()102f x x x =-+≤，∴1()(2)02x x --≤，∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤； （Ⅱ）∵1(1)(1)a a a a a+--=且0a >∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1a a=；（Ⅲ）∵不等式1()()()0f x x x a a=--≤当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤；当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤；当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．福建省2016届高考数学（理科）-专题练习 数列、不等式、算法初步及推理与证明解 析一、选择题．1．【解析】由等差数列的性质可得4681012240a a a a a ++++=，解得848a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，()911888112332333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．2．【解析】因为21102,4,n n a a a n +=-=所以214a a -=，解得198a =，由累加方法求得数列22298n a n n =-+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而982n n =解得249n =，当n=7时，na n 由最小值263．【解析】∵4a 与14a 的等比中项为，∴8=，∴711288a a a +≥⨯=，∴7112a a +的最小值为8．4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O与直线l2=，所以目标函数的最小值为92，故选（B ）5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为)2(log 1+=+n a n n ，所以()()()1232lg 2lg3lg 4lg5....log 2lg 2lg3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++L L ，又因为123..ka a a a L 为整数，所以k+2必须是2的n 次幂，即22n k =-，又[]1,2011k ∈，所以1222011n ≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：()()()()21123410222222222229202612--+-+-+-=-⨯=- ，故选择D 二、填空题．7．【解析】由已知，111411,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111124[()()...()]4()233412222nn n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+， 又因为22,b b a a >>，所以22b a b a +>+，所以a b +最大．9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需m m y x x y 2822min+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得882282≥⋅≥+y x x y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列， ，，，……依此类推；由于9(19)129452⨯++++==，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．三、解答题．(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(11．【解析】由归纳推理不难写出第个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：＝()n n *∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。
限时·规范·特训[A 级 基础达标]1. [2015·宁波调研]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋3)(x ＋y )≥00≤x ≤4表示的平面区域是( )A. 矩形B. 三角形C. 直角梯形D. 等腰梯形解析：由(x －y ＋3)(x ＋y )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3≥0x ＋y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0x ＋y ≤0，且0≤x ≤4，故所求平面区域为等腰梯形．选D.答案：D2. [2014·湖北高考]若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值是( )A. 2B. 4C. 7D. 8解析：画出可行域如图(阴影部分)．设目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2解得A (3,1)，当目标函数过A (3,1)时取得最大值，∴z max ＝2×3＋1＝7，故选C.答案：C3. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A. 3 2B. 6 2C. 6D. 3解析：不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B (4,4)，A (1,1)，C(2,0)∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC ＝12×2×4－12×2×1＝3.故选D. 答案：D4. [2015·汕头模拟]设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A. 1，－1B. 2，－2C. 1，－2D. 2，－1解析：首先画出|x |＋|y |≤1表示的平面区域为阴影部分． x ＋y ＝1，x ＋y ＝－1，x －y ＝1，x －y ＝－1这四条直线的交点为(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1,0)，由图象可知，当过点(0,1)时，x ＋2y 取得最大值2，过点(0，－1)时，x ＋2y 取得最小值－2.答案：B5. 若变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≤0x －y ＋4≥0y ≥a ，且2x －y 的最大值为－1，则a 的值为( )A. 0B. 1C. －1D. 2解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，因为2x －y 的最大值为－1，所以2x －y ＝－1与阴影部分的交点为阴影区域的一个顶点，由图象可知，当直线2x －y ＝－1经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－1x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，故a ＝－1.答案：C6. [2015·福州市质检]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z＝(x ＋1)2＋y 2的最大值为( )A. 80B. 4 5C. 25D. 172解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x ＋1)2＋y 2可看作点(x ，y )到点P (－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P (－1,0)的距离最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋5＝0，得A 点的坐标为(3,8)，代入z＝(x ＋1)2＋y 2，得z max ＝(3＋1)2＋82＝80.答案：A7. [2014·北京高考]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．解析：约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0表示的平面区域如图中阴影部分，作出基本直线l 0：3x ＋y ＝0，经平移可得z ＝3x ＋y 在点A (0,1)处取得最小值，其最小值为1.答案：18. 已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z的最大值为________．解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最大值，最大值是z ＝2×2－(－1)＝5.答案：59. [2015·四川成都模拟]实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是________．解析：由x ，y 满足的约束条件画出可行域，如图所示．目标函数z ＝y －1x 表示区域内的动点(x ，y )与定点A (0,1)连线的斜率，由图可知k AB ＝－1是z 的最小值，故z 的取值范围是[－1,1)．答案：[－1,1)10. 当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3. ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3. 则z 的最大值为－k 3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－43k ， 令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.11. [2015·绵阳模拟]实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示．(1)z ＝y x 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在)．而由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝2，得B (1,2)，则k OB ＝21＝2. ∴z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方．因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＝0，得A (0,1)， ∴|OA |2＝(02＋12)2＝1， |OB |2＝(12＋22)2＝5.∴z 的最大值为5，没有最小值． 故z 的取值范围是(1,5]．12. [2015·徐州模拟]某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？解：设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，用料面积为z ， 则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．z ＝2x ＋3y 变成y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)．两种金属板各取5张时，用料面积最省．[B 级 知能提升]1. [2014·广东高考]若变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则z＝2x ＋y 的最大值等于( )A. 7B. 8C. 10D. 11解析：由约束条件画出如图所示的可行域，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .当直线y ＝－2x ＋z 过点A 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x ＋2y ＝8得A (4,2)，∴z max ＝2×4＋2＝10.故答案为C.答案：C2. [2014·课标全国卷Ⅰ]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A. －5B. 3C. －5或3D. 5或－3解析：画出可行域，由目标函数z ＝x ＋ay 得y ＝1a x ＋z a .由图可知当－1≤－1a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.又直线y ＝－1a x ＋z a 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，均符合题意，故选C.答案：C3. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋z m ，若m <0，则－1m >0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m <0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.答案：14. [2015·黄山模拟]设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．。
11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)(1)12⨯+-⨯=右边=， 左边=右边，等式成立．（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立 即22221212(1)1234...(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k --+-+-++-=-+-+． 则当1n k =+时，222212212(1)1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]()(1)[(1)](1)22kk k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，又1221a ==⨯，∴2n a n =由21log 02n n b a +=得1()2n n b =（Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==01221111111()2()3()...(1)()()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）121111111()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2）(1)(2)-得12111()11111121()()...()()()122222212nn n n n T n n --=++++-⨯=-⨯- ∴114()(2)2n n T n -=-+．13．解：（Ⅰ）当12a =时，有不等式23()102f x x x =-+≤，∴1()(2)02x x --≤，∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤；（Ⅱ）∵1(1)(1)a a a a a+--=且0a >∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1a a=；（Ⅲ）∵不等式1()()()0f x x x a a=--≤当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤；当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤；当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．福建省2016届高考数学（理科）-专题练习 数列、不等式、算法初步及推理与证明解 析一、选择题．1．【解析】由等差数列的性质可得4681012240a a a a a ++++=，解得848a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，()911888112332333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．2．【解析】因为21102,4,n n a a a n +=-=所以214a a -=，解得198a =，由累加方法求得数列22298n a n n =-+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而982n n =解得249n =，当n=7时，na n 由最小值263．【解析】∵4a 与14a 的等比中项为，∴8=，∴711288a a a +≥=，∴7112a a +的最小值为8．4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O 与直线l=，所以目标函数的最小值为92，故选（B ）OxyA11 -133 l5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为)2(log 1+=+n a n n ，所以()()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5....log 2lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++，又因为123..k a a a a 为整数，所以k+2必须是2的n 次幂，即22nk =-，又[]1,2011k ∈，所以1222011n≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：()()()()21123410222222222229202612--+-+-+-=-⨯=- ，故选择D 二、填空题．7．【解析】由已知，111411,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111124[()()...()]4()233412222nn n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+， 又因为22,b b a a >>，所以22b a b a +>+，所以a b +最大．9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需m m y x x y 2822m i n+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得882282≥⋅≥+yxx y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列， ，，，……依此类推；由于9(19)129452⨯++++==，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．三、解答题．(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(11．【解析】由归纳推理不难写出第个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：＝()n n *∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。
【3 年高考】（新课标） 2016 版高考数学一轮复习11.1 推理与证明A 组2012— 2014 年高考·基础题组1.(2014 北京 ,8,5 分) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级, 挨次为“优异”“合格”“不合格” . 若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙 , 且此中起码有一门成绩高于乙 ,则称“学生甲比学生乙成绩好” . 假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 而且不存在语文成绩同样、数学成绩也同样的两位学生, 那么这组学生最多有 ( )A.2 人B.3 人C.4 人D.5 人2.(2012 辽宁 ,12,5 分 ) 若 x∈[0,+ ∞), 则以下不等式恒建立的是()A.e x≤1+x+x 2B. ≤1-x+x 2C.cos x ≥1-x 2D.ln(1+x) ≥x-x 23.(2013 陕西 ,14,5 分 ) 察看以下等式12=112-2 2 =-312-2 2 +32=612-2 2 +32-4 2=-10照此规律 , 第 n 个等式可为.4.(2012 陕西 ,11,5 分 ) 察看以下不等式1+<,1++<,1+++<,照此规律 , 第五个不等式为.．．．5.(2014 湖北 ,22,14 分 ) π为圆周率 ,e=2.718 28 为自然对数的底数 .(1)求函数 f(x)= 的单一区间 ;(2) 求 e3,3 e,e π , πe ,3 π , π3这 6 个数中的最大数与最小数;(3) 将 e3,3 e,e π , πe ,3 π , π3这 6 个数按从小到大的次序摆列, 并证明你的结论 .6.(2014 江苏 ,23,10 分 ) 已知函数0 n n-1 *f (x)=(x>0), 设 f (x) 为 f (x) 的导数 ,n ∈N .(1) 求 2f 1+f 2的值 ;*(2) 证明 : 对随意的n∈N, 等式 =都建立 .7.(2012 天津 ,18,13 分 ) 已知 {a } 是等差数列 , 其前 n 项和为 S ,{b } 是等比数列 , 且n n na =b =2,a +b =27,S4 -b =10.1 1 4 4 4(1)求数列 {a n} 与 {b n} 的通项公式 ;(2) 记 T =a b +a * *b + +a b ,n ∈N, 证明 T +12=-2a +10b (n ∈N).nn 1 n-1 21 n n nn8.(2012课标全国,21,12分)已知函数f(x) 知足 f(x)=f '(1)e x-1 -f(0)x+x2.(1)求 f(x) 的分析式及单一区间 ;(2)若 f(x) ≥x2+ax+b, 求(a+1)b 的最大值 .9.(2013江苏,19,16分)设{a n}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),S n 是其前n 项的和 .记 b n=,n ∈N* , 此中 c 为实数 .(1)若 c=0, 且 b1,b 2,b 4成等比数列 , 证明 :S nk=n2S k (k,n ∈N* );(2)若 {b n} 是等差数列 , 证明 :c=0.B 组2012— 2014 年高考·提高题组1.(2012江西,5,5分)以下命题中,假命题为()A. 存在四边相等的四边形不．是正方形B.z 1,z 2∈C,z 1+z2为实数的充足必需条件是z1,z 2互为共轭复数D.对于随意 n∈N,++ +都是偶数+2.(2013 湖北 ,14,5 分 ) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数. 如三角形数1,3,6,10, , 第 n 个三角形数为 =n2+n. 记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k ≥3), 以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式 :三角形数2N(n,3)=n +n,正方形数N(n,4)=n 2 ,五边形数N(n,5)=n 2-n,六边形数N(n,6)=2n 2-n,能够推断N(n,k) 的表达式 , 由此计算N(10,24)=.3.(2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,此中 f '(x)是f(x)的导函数 .(1)令 g1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n(x)),n ∈N+ , 求 g n(x) 的表达式 ;(2)若 f(x) ≥ag(x) 恒建立 , 务实数 a 的取值范围 ;(3)设 n∈N+, 比较 g(1)+g(2)+ +g(n) 与 n-f(n) 的大小 , 并加以证明 .4.(2013江西,21,14分)已知函数f(x)=a,a为常数且a>0.(1)证明 : 函数 f(x) 的图象对于直线 x=对称 ;(2) 若 x 知足 f(f(x ))=x , 但 f(x ) ≠x, 则称 x 为函数 f(x) 的二阶周期点 . 假如 f(x) 有两个0 0 0 0 0 0二阶周期点 x ,x , 试确立 a 的取值范围 ;1 2(3) 对于 (2) 中的 x ,x2 和 a, 设 x 为函数 f(f(x)) 的最大值点 ,A(x , f(f(x1))),B(x ,1 3 1 2f(f(x ))),C(x3 ,0). 记△ ABC的面积为 S(a), 议论 S(a) 的单一性 .25.(2013重庆,22,12分)对正整数n, 记 I n={1,2,,n},P n=.(1)求会合 P7中元素的个数 ;(2) 若 P n的子集 A 中随意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀少集” .求n的最大值,．．使 P n能分红两个不订交的稀少集的并.6.(2012 安徽 ,21,13分 ) 数列 {x } 知足 x =0,x*n+1=-+x +c(n ∈N ).n1n(1) 证明 :{x n } 是递减数列的充足必需条件是 c<0;(2) 求 c 的取值范围 , 使 {x n } 是递加数列 .7.(2014 北京 ,20,13 分 ) 对于数对序列 P:(a 1,b 1),(a2,b 2), ,(a n ,b n ), 记T 1(P)=a 1+b 1,T k (P)=b k +max{T k-1 (P),a 1+a 2+ +a k }(2 ≤k ≤n), 此中 max{T k-1 (P),a 1+a 2+ +a k } 表示 T k-1 (P) 和 a 1+a 2+ +a k 两个数中最大的数 .(1) 对于数对序列 P:(2,5),(4,1), 求 T 1 (P),T 2(P) 的值 ;(2) 记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数 , 对于由两个数对 (a,b),(c,d) 构成的数对序列P:(a,b),(c,d)和 P':(c,d),(a,b), 试分别对 m=a 和 m=d 两种状况比较T 2(P) 和 T 2(P')的大小 ;(3) 在由五个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)构成的全部数对序列中, 写出一个数对序列 P 使 T 5(P) 最小 , 并写出 T 5(P) 的值 .( 只需写出结论 )A 组2012— 2014 年高考·基础题组1.B设学生人数为n, 因为成绩评定只有“优异”“合格”“不合格”三种状况, 所以当n≥4时 , 语文成绩起码有两人同样, 若此两人数学成绩也同样, 与“随意两人成绩不全相同”矛盾 ; 若此两人数学成绩不一样 , 则此两人有一人比另一人成绩好 , 也不知足条件 . 所以:n<4, 即 n≤3. 当 n=3 时 , 评定结果分别为“优异 , 不合格”“合格 , 合格”“不合格 , 优秀” , 切合题意 , 故 n=3, 选 B.2.C对于A,分别画出y=e x,y=1+x+x 2在[0,+ ∞) 上的大概图象( 如图 ), 知 e x≤1+x+x 2不恒成立,A 错;对于 B, 令 f(x)=1-x+x 2,则 f '(x)=+·-+x =.∴x∈时 , f '(x)<0, f(x)为减函数,x∈时 , f '(x)>0, f(x)为增函数.∴f(x) 最小值为f, f=×1- ×+×2=×=<1,B 错 ;对于 C, 联合图象 ( 如图 ) 知正确 ;对于 D, 当 x=4 时 ,ln 5<ln e 2 2=2=4- ×4,D 错 . 应选 C.3. 答案2222 n-1 2 n-1·1-2 +3-4 + +(-1) ·n=(-1)分析左侧为平方项的 (-1) n-1倍的和 , 右侧为 (1+2+3+ +n) 的 (-1) n-1倍 , 用数学概括法证明建立 .4.答案 1+++++<分析先察看左侧 , 第一个不等式为 2 项相加 , 第二个不等式为 3 项相加 , 第三个不等式为 4 项相加 , 则第五个不等式应为 6 项相加 , 右侧分子为分母的 2 倍减 1, 分母即为所对应项数 , 故应填 1+++++<.5.分析 (1) 函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞).因为 f(x)=,所以 f '(x)=.当 f '(x)>0, 即 0<x<e 时 , 函数 f(x) 单一递加 ; 当 f '(x)<0, 即 x>e 时 , 函数 f(x) 单一递减 .故函数 f(x) 的单一递加区间为 (0,e), 单一递减区间为 (e,+ ∞).(2) 因为 e<3<π , 所以 eln 3<elnπ , πln e< πln 3,即 ln 3 eeππ<ln π ,ln e<ln 3 .xx, 可得 ee33ππ于是依据函数 y=ln x,y=e ,y= π 在定义域上单一递加3 <π <π ,e <e <3 .3πe3故这 6 个数的最大数在 π 与 3之中 , 最小数在 3 与 e 之中 .由 e<3<π 及 (1) 的结论 , 得 f( π )<f(3)<f(e), 即 <<.由<, 得 ln π 3<ln 3 π , 所以 3π >π 3;由<, 得 ln 3 e <ln e 3, 所以 3e <e 3. 综上 ,6 个数中的最大数是3π , 最小数是 3e .(3) 由 (2) 知,3 e <π e <π 3<3π,3 e <e 3.又由 (2) 知 ,<, 得 π e <e π .故只需比较 e 3 与 π e 和 e π 与 π3 的大小 .由(1) 知 , 当 0<x<e 时, f(x)<f(e)=,即<.在上式中 , 令 x=, 又 <e, 则 ln<, 进而 2-ln π <, 即得 ln π>2- . ①由①得 ,eln π >e>2.7×>2.7 ×(2 -0.88)=3.024>3,即 eln π >3, 亦即 ln π e >ln e 3, 所以e 3<πe .又由①得 ,3lnπ >6->6-e> π, 即 3ln π>π , 所以 e π<π 3.综上可得 ,3 e <e 3<π e <e π <π 3<3π, 即 6 个数从小到大的次序为 3e ,e 3, π e ,e π , π 3,3 π . 6. 分析 (1) 由已知 , 得 f 1(x)=f' 0(x)='=-, 于是 f 2(x)=f' 1(x)='-'=--+,所以 f 1=-, f 2=-+.故 2f12=-1.+f(2) 证明 : 由已知 , 得 xf(x)=sin x,等式两边分别对x 求导 , 得 f (x)+xf '0 (x)=cos x,即 f (x)+xf (x)=cos x=sin,近似可得0 12f 1 (x)+xf (x)=-sin x=sin(x+π ),23f 2 (x)+xf (x)=-cos x=sin,34f 3(x)+xf (x)=sin x=sin(x+2 π ).4下边用数学概括法证明等式 nf n-1n*(x)+xf (x)=sin 对全部的 n ∈N 都建立 .(i) 当 n=1 时 , 由上可知等式建立 .(ii) 假定当 n=k 时等式建立 , 即 kf k-1 (x)+xf k (x)=sin.因为 [kf k-1 (x)+xf k (x)]'=kf ' k-1 (x)+f k (x)+xf ' (x)=(k+1)fk (x)+xf(x),'=cos ·'=sin, 所以kk+1(k+1)f k (x)+xf k+1(x)=sin.所以当 n=k+1 时 , 等式也建立 .综合 (i),(ii) 可知等式 nf n-1 (x)+xf n (x)=sin 对全部的 *n ∈N 都建立 .令 x=, 可得 nf n-1 +f n =sin(n ∈N * ).所以 =(n ∈N * ).7. 分析 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 等比数列 {b n } 的公比为 q. 由 a 1=b 1=2, 得 a 4=2+3d,b 4=2q 3,S 4=8+6d. 由条件 , 得方程组解得n*(2) 证明 :证法一 :由(1) 得 T n =2a n +22a n-1 +23a n-2 + +2n a 1, ①2 3 n n+1 ②2T =2 a +2 an-1 + +2 a +2 a .nn21由② - ①, 得 T =-2(3n-23nn+2n+2n1)+3 ×2+3×2+ +3×2+2=+2 - 6n+2=10×2 -6n-10.n而-2a +10b -12=-2(3n-nn*1)+10×2- 12=10×2-6n-10,故 T +12=-2a +10b ,n ∈N .nnnnn证法二 : 数学概括法(i) 当 n=1 时 ,T 1+12=a 1b 1+12=16,-2a 1+10b 1=16, 故等式建立 ; (ii) 假定当 n=k 时等式建立 , 即 T k +12=-2a k +10b k , 则当 n=k+1 时 , 有:T k+1 =a k+1b 1+a k b 2+a k-1 b 3+ +a 1b k+1=a k+1 b 1+q(a k b 1+a k-1 b 2 + +a 1b k )=a k+1 b 1+qT k=a k+1 b 1+q(-2a k +10b k -12)=2a k+1 -4(a k+1 -3)+10b k+1-24=-2a k+1 +10b k+1-12,即 T k+1 +12=-2a k+1+10b k+1. 所以 n=k+1 时等式也建立 .由(i) 和 (ii)*可知 , 对随意 n ∈N ,T n +12=-2a n +10b n 建立 .8. 分析(1) 由已知得 f '(x)=f '(1)ex-1-f(0)+x, 所以 f '(1)=f '(1)-f(0)+1,即 f(0)=1.又 f(0)=f '(1)e -1, 所以 f '(1)=e.进而 f(x)=ex-x+x 2.因为 f '(x)=ex-1+x, 故当 x ∈(- ∞,0) 时 , f '(x)<0;当 x ∈(0,+ ∞) 时 , f '(x)>0.进而 , f(x) 在 (- ∞,0) 上单一递减 , 在(0,+ ∞) 上单一递加 . (2) 由已知条件得 e x - (a+1)x ≥b. ①(i) 若 a+1<0, 则对随意常数 b, 当 x<0, 且 x< 时 , 可得 e x -(a+1)x<b, 所以①式不建立 .(ii) 若 a+1=0, 则 (a+1)b=0.(iii)若 a+1>0, 设 g(x)=e x -(a+1)x,则 g'(x)=e x -(a+1).当 x ∈(- ∞,ln(a+1)) 时 ,g'(x)<0;当 x ∈(ln(a+1),+ ∞) 时 ,g'(x)>0.进而 g(x) 在 (- ∞,ln (a+1)) 上单一递减 , 在(ln(a+1),+ ∞) 上单一递加 .故 g(x) 有最小值 g(ln(a+1))=a+1-(a+1) ·ln(a+1).2等价于 b ≤a+1 - (a+1) ·ln(a+1). ②所以 f(x) ≥x +ax+b所以 (a+1)b ≤(a+1) 2-(a+1) 2ln(a+1).22设 h(a)=(a+1) -(a+1) ln(a+1),所以 h(a) 在 (-1,-1)上单一递加 , 在 (- 1,+ ∞) 上单一递减 , 故 h(a) 在 a=-1 处获得最大值 .进而 h(a) ≤, 即(a+1)b ≤.当 a=-1,b= 时, ②式建立 , 故 f(x) ≥x 2+ax+b.综合得 ,(a+1)b 的最大值为 .(1) 由 c=0, 得 b n ==a+d.又因为 b 1,b 2,b 4 成等比数列 , 所以 =b 1b 4, 即=a, 化简得 d 2-2ad=0. 因为 d ≠0, 所以 d=2a.所以 , 对于全部的*2m ∈N ,有 S =ma.m进而对于全部的*22 22k,n ∈N , 有 S =(nk)a=n k a=n S .nkk(2) 设数列 {b } 的公差是 d , 则 b =b +(n-1)d1, 即 =b +(n-1)dn1n11对于全部的 n ∈N * , 有 n 3 +n 2+cd 1n=c(d 1-b 1). 令 A=d 1-d,B=b 1 -d 1-a+d,D=c(d 1-b 1), 则对于全部的 n ∈N * , 有 An 3 +Bn 2+cd 1n=D.(*)在(*) 式中分别取 n=1,2,3,4, 得*1, n ∈N , 代入 S n 的表达式 , 整理得 ,A+B+cd 1=8A+4B+2cd 1=27A+9B+3cd 1=64A+16B+4cd 1,进而有由② , ③得 A=0,cd 1=-5B, 代入方程① , 得 B=0, 进而 cd 1=0.即 d 1-d=0,b 1-d 1-a+d=0,cd 1=0.若 d 1=0, 则由 d 1-d=0, 得 d=0,与题设矛盾 , 所以 d 1≠0.又因为 cd 1=0, 所以 c=0.B 组 2012— 2014 年高考·提高题组1.B不是正方形的菱形四边相等 , 故 A 是真命题 . 若 z 1=1+i,z 2=2-i, 则 z 1+z 2∈R,但 z 1 与 z 2不是共轭复数 , 故 B 为假命题 . 假定 x,y 都不大于 1, 即 x ≤1, 且 y ≤1, 则有 x+y ≤2与 x+y>2 矛盾 ,故 C 是真命题 . 因++ +=2 n 为偶数 , 故 D 是真命题 , 应选 B. 2. 答案1 000分析 由 N(n,3)=n 2+n, N(n,4)=n 2+n, N(n,5)=+n, N(n,6)=n 2+n,2≥3.推断 N(n,k)=n - n,k2进而 N(n,24)=11n -10n,N(10,24)=1 000. 3. 分析由题设得 ,g(x)=(x ≥0).(1) 由已知 , 得 g 1(x)=,g 2(x)=g(g 1(x))==,g 3(x)=,, 可得 g n (x)=.下边用数学概括法证明 .①当 n=1 时,g 1(x)=, 结论建立 .②假定 n=k 时结论建立 , 即 g k (x)=.那么 , 当 n=k+1 时 ,g k+1 (x)=g(g k (x))===,即结论建立 .(2) 已知 f( x) ≥ag(x) 恒建立 , 即 ln(1+x) ≥恒建立 .设φ (x)=ln(1+x)-(x ≥0),即φ '(x)=-=,当 a≤1时 , φ '(x) ≥0( 仅当 x=0,a=1 时等号建立 ),∴φ (x) 在[0,+ ∞) 上单一递加, 又φ (0)=0,∴φ (x) ≥0在[0,+ ∞) 上恒建立,∴a≤1时,ln(1+x) ≥恒建立 ( 仅当 x=0 时等号建立 ).当 a>1 时 , 对 x∈(0,a -1] 有φ '(x)<0,∴ φ (x)在(0,a-1]上单一递减,∴ φ (a-1)<φ (0)=0. 即 a>1 时 , 存在 x>0, 使φ (x)<0, 故知 ln(1+x) ≥不恒建立 ,综上可知 ,a 的取值范围是(- ∞,1].(3)由题设知 g(1)+g(2)+ +g(n)=++ +, n-f(n)=n-ln(n+1),比较结果为g(1)+g(2)++g(n)>n-ln(n+1).证明以下 :证法一 : 上述不等式等价于 ++ +<ln(n+1),在(2) 中取 a=1, 可得 ln(1+x)>,x>0.令 x=,n ∈N+, 则 <ln.下边用数学概括法证明.①当 n=1 时,<ln 2,结论建立.②假定当n=k 时结论建立 , 即++ +<ln(k+1).那么 , 当 n=k+1 时 ,++ ++<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论建立 .由①②可知 , 结论对 n∈N+建立 .证法二 : 上述不等式等价于 ++ +<ln(n+1),在(2) 中取 a=1, 可得 ln(1+x)>,x>0.令 x=,n ∈N+, 则 ln>.故有 ln 2-ln 1>,ln 3-ln 2>,ln(n+1)-ln n>,上述各式相加可得ln(n+1)>+++.结论得证 .证法三 : 如图 ,dx 是由曲线 y=,x=n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积, 而+++是图中所示各矩形的面积和 ,∴++ +>dx=dx=n-ln(n+1),结论得证 .4. 分析 (1) 证明 : 因为 f=a(1-2|x|), f=a(1-2|x|),有 f=f,所以函数 f(x) 的图象对于直线 x=对称 .(2) 当 0<a<时 , 有 f(f(x))=所以 f(f(x))=x只有一个解 x=0, 又 f(0)=0,故 0 不是二阶周期点 .当 a=时 , 有 f(f(x))=所以 f(f(x))=x 有解集 , 又当 x ≤时 , f(x)=x,故中的全部点都不是二阶周期点 .当 a>时 , 有 f(f(x))=所以 f(f(x))=x有四个解 0,,,, 又 f(0)=0, f=, f ≠, f ≠, 故只有 , 是 f(x) 的二阶周期点 .综上所述 , 所求 a 的取值范围为 a>. (3) 由 (2) 得 x 1=,x 2=,因为 x 3 为函数 f(f(x))的最大值点 ,所以 x 3=或 x 3=.当 x 3=时 ,S(a)=, 求导得 :S'(a)=-, 所以当 a ∈时 ,S(a) 单一递加 , 当 a ∈时 ,S(a) 单一递减 ; 当 x 3=时 ,S(a)=, 求导得 :S'(a)=,因 a>, 进而有 S'(a)=>0,所以当 a ∈时 ,S(a) 单一递加 .5. 分析(1) 当 k=4 时 , 中有 3个数与 I 7中的 3 个数重复 , 所以 P 7 中元素的个数为 7×7-3=46.(2) 先证 : 当 n ≥15 时,P n 不可以分红两个不订交的稀少集的并 . 若否则 , 设 A,B 为不订交的稀少集, 使 A ∪B=P n ? I n . 不如设 1∈A, 则因 1+3=22, 故 3?A, 即 3∈B. 同理 6∈A,10∈B, 又推得 15∈A, 但 1+15=42, 这与 A 为稀少集矛盾 .再证 P 切合要求 . 当 k=1 时 ,=I 14 可分红两个稀少集之并 , 事实上 , 只需取14A ={1,2,4,6,9,11,13},B={3,5,7,8,10,12,14},则 A,B为稀少集 , 且 A ∪B =I14.111111当 k=4 时 , 集中除整数外剩下的数构成集, 可分解为下边两稀少集的并 :A =,B =.22当 k=9 时 , 集中除正整数外剩下的数构成集 ,,,, ,,, 可分解为下边两稀少集的并 :A 3=,B = .3最后 , 集 C= m ∈I 14,k ∈I 14 , 且 k ≠1,4,9 中的数的分母均为无理数 , 它与 P 14 中的任何其余数之和都不是整数 , 所以 , 令 A=A 1∪A 2∪A 3∪C,B=B 1∪B 2∪B 3. 则 A 和 B 是不订交的稀少集 , 且A ∪B=P 14.综上 , 所求 n 的最大值为 14.3年高考新课标2016版高考数学一轮复习111推理与证明. 11 / 1111 / 116. 分析 (1) 证明 : 先证充足性 , 若 c<0, 因为 x n+1=-+x n +c ≤ x n +c<x n , 故 {x n } 是递减数列 ; 再证必需性 , 若 {x n } 是递减数列 , 则由 x 2<x 1 可得 c<0.(2)(i) 假定 {x n } 是递加数列 .2由 x 1=0, 得 x 2=c,x 3=-c +2c.由 x 1<x 2<x 3, 得 0<c<1.由 x n <x n+1=-+x n +c 知 , 对随意 n ≥1都有 x n <, ①注意到 -x n+1=-x n -c+=(1--x n )(-x n ), ②由①式和②式可得 1--x n >0, 即 x n <1-,由②式和 x n ≥0还可得 , 对随意 n ≥1都有-x n+1≤(1 -)(-x n ). ③频频运用③式 , 得 -x n ≤(1 -) n-1 (-x 1)<(1-) n-1 .x n <1- 和 -x n <(1-) n-1 两式相加 , 知 2-1<(1-) n-1 对随意 n ≥1建立 . 依据指数函数 y=(1-) x 的性质 , 得 2- 1≤0,c ≤, 故 0<c ≤. (ii) 若 0<c ≤, 要证数列 {x n } 为递加数列 , 即 x n+1-x n =-+c>0. 即证 x n <对随意 n ≥1建立 .下边用数学概括法证明当 0<c ≤时 ,x n <对随意 n ≥1建立 . a. 当 n=1 时,x 1=0<≤, 结论建立 .b. 假定当 n=k(k ∈N * ) 时结论建立 , 即 x k <.因为函数 f(x)=-x 2+x+c 在区间内单一递加 , 所以 x k+1=f(x k )<f()=, 这就是说当 n=k+1 时, 结论 也建立 .故 x n <对随意 n ≥1建立 .所以 ,x n+1=x n -+c>x n , 即{x n } 是递加数列 .由(i)(ii) 知 , 使得数列 {x n } 单一递加的 c 的范围是 .7. 分析 (1)T 1(P)=2+5=7,2 1 (P),2+4}=1+max{7,6}=8.T (P)=1+max{T 2(2)T (P)=max{a+b+d,a+c+d},2T (P')=max{c+d+b,c+a+b}.当 m=a 时 ,T 2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为 a+b+d ≤c+b+d, 且 a+c+d ≤c+b+d, 所以 2 2 T (P) ≤T (P'). 当 m=d 时 ,T 2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为 a+b+d ≤c+a+b, 且 a+c+d ≤c+a+b, 所以 T 2 (P) ≤T (P'). 2 所以不论 m=a 仍是 m=d,T 2(P) ≤T (P') 都建立 .2(3) 数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2) 的 T 5(P) 值最 小,T 1(P)=10,T 2(P)=26,T 3(P)=42,T 4(P)=50,T 5(P)=52.11。
第六章 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式基础盘查一 两个实数比较大小的方法 (一)循纲忆知1．了解现实世界和日常生活中的不等关系； 2．了解不等式(组)的实际背景． (二)小题查验 判断正误(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现( ) (2)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种( ) (3)若ab ＞1，则a ＞b ( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 基础盘查二 不等式的基本性质 (一)循纲忆知掌握不等式的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性( ) (4)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒a d ＞bc ( )(5)若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(人教A 版教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ； (4)a ＞b ＞0⇒1a 2________1b2.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜考点一 比较两个数(式)的大小|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]两个实数比较大小的法则[题组练透]1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜3．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1.∴当a >1时，a ＋2>31－a；当a <1时，a ＋2<31－a.[类题通法]比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．考点二 不等式的性质|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.[提醒] 不等式两边同乘数c 时，要特别注意“乘数c 的符号”．[典题例析]1．(2013·天津高考)设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件．2．(2015·西宁二模)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞bc，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．[类题通法](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．[演练冲关]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，选C. 2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值．考点三 不等式性质的应用|(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变] [典型母题]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10].[题点发散1] 若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4，求f (－2)的取值范围．解：由本例知f (－2)＝f (1)＋3f (－1)． 又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10， 故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)．[题点发散2] 若本例条件不变，求2a －3b 的取值范围． 解：设2a －3b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52，所以2a －3b ＝－12(a ＋b )＋52(a －b )＝－12f (1)＋52f (－1)∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴－2≤－12f (1)≤－1，52≤52f (－1)≤5，∴12≤2a －3b ≤4. 故2a －3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，4. [题点发散3] 若本例条件变为：已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y 的取值范围．解：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2， 而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5，即lg x 2y的取值范围是[－1,5]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．一、选择题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ，故选B. 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2015·西安检测)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析： 选D 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.4．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 1a <1b 成立，即b －a ab <0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．5．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.6．(2015·北京平谷模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析：选D ∵ab ＞0，bc －ad ＞0， ∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确； ∵ab ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；∵bc －ad ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．故选D. 二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确命题的序号是__________．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③8．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)9．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，有b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，有b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，无解．综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1) 三、解答题11．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. 证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2.又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2. 12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法基础盘查 一元二次不等式 (一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． (二)小题查验 1．判断正误(1)不等式ax 2＋x －1＞0一定是一元二次不等式( )(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合( )(3)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集为R 时，ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立( )(4)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1，x 2，且x 1＜x 2，则ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}x |x ＜x 1或x ＞x 2()答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 3．(人教A 版教材例题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅4．已知集合A ＝{}x |－5＜x ＜1，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案：－1 1考点一 一元二次不等式的解法|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]设一元二次不等式为ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，其中Δ＝b 2－4ac ，x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根且x 1＜x 2.(1)当a ＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x |x ＜x 1，或x ＞x 2}；若Δ＝0，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠－b 2a ； 若Δ＜0，则不等式的解集为R .(2)当a ＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}； 若Δ＝0，则不等式的解集为∅； 若Δ＜0，则不等式的解集为∅.[题组练透]1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.2．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．考点二 一元二次不等式恒成立问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[多角探明]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6.所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0， 所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＜0或0＜m ＜67. 角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．考点三 一元二次不等式的应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．[类题通法]求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．[演练冲关]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成(要求售价不能低于成本价)．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x ＝20(10－x )(50＋8x ) 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得x ≤2. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.一、选择题1．(2014·大纲卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}，故选C.2．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.3．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，94.故选B.4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( ) A ．[80,125) B ．(80,125) C ．(－∞，80)D ．(125，＋∞) 解析：选A 由5x 2－a ≤0，得－ a5≤x ≤ a 5， 而正整数解是1,2,3,4， 则4≤a5＜5， ∴80≤a ＜125. 故选A.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则： y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间． 故选C.6．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞， 二、填空题7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}8．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则a 的值为________． 解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}， ∴1－a ＜0，即a ＞1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6＜0，a －1＞0， 其解集为{x |－3＜x ＜1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎨⎧a ＞1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.答案：39．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是________台．解析：由题意知3 000＋20x －0.1x 2－25x ≤0， 即0.1x 2＋5x －3 000≥0， ∴x 2＋50x －30 000≥0， ∴(x －150)(x ＋200)≥0. 又x ∈(0,240)， ∴150≤x ＜240，即生产者不亏本时的最低产量为150台． 答案：15010．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， 解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础盘查一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (二)小题查验 1．判断正误(1)二元一次不等式的解是由x 和y 两部分构成的有序实数对(x ，y )( )(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集( ) (3)原点能判断二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0所表示的平面区域( )(4)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方( ) (5)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0( )(6)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2．(人教A 版教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B基础盘查二 线性规划中的基本概念 (一)循纲忆知会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(线性约束条件、线性目标函数等概念)．(二)小题查验 1．判断正误(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x 或y 的值( ) (2)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(人教A 版教材练习改编) 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案：3考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0. (1)直线与平面内的点直线l 把直角坐标平面内的所有点分成三类：在直线上的点；在直线上方区域内的点；在直线下方区域内的点．(2)不等式表示的区域：以不等式的解(x ，y )为坐标的所有点构成的区域，即为不等式表示的区域．[题组练透]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]求目标函数的最值要明确几个概念(1)约束条件：由变量x ，y 组成的不等式(组)；(2)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)； (3)目标函数：关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等； (4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )；(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．[多角探明]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y的最小值为 ________.解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1.答案：1角度二：求非线性目标的最值3．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13. 4．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4]解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．角度三：求线性规划中的参数5．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.6．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.[类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点三 线性规划的实际应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[类题通法]1．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[演练冲关]A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700. 故最大利润是1 700元．答案：1 700一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝ OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D 如图作可行域，z ＝ OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.。
