《空间向量的数量积运算》课后训练2

空间向量的数量积与向量积练习题在学习空间向量的数量积与向量积时，我们需要通过练习题来提高自己的理解和运用能力。

下面，我们将给出一些关于空间向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

练习一：计算给定向量的数量积已知向量A = (-3, 2, 1) ，向量B = (4, -1, 5)，求向量A与向量B的数量积。

解答：根据数量积的定义，向量A与向量B的数量积为：A·B = AX * BX + AY * BY + AZ * BZ。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A·B = (-3) * 4 + 2 * (-1) + 1 * 5 = -12 - 2 + 5 = -9。

练习二：计算给定向量的向量积已知向量A = (1, 2, -3) ，向量B = (4, -1, 2)，求向量A与向量B的向量积。

解答：根据向量积的定义，向量A与向量B的向量积为：A × B = (AY * BZ - AZ * BY , AZ * BX - AX * BZ , AX * BY - AY * BX)。

将向量A与向量B的坐标代入公式中，得到：A ×B = (2 * 2 - (-3) * (-1) , (-3) * 4 - 1 * 2 , 1 * (-1) - 2 * 4) = (4 - 3, -12 - 2, -1 - 8) = (1, -14, -9)。

练习三：判断两个向量的数量积与向量积的关系已知向量A = (1, -2, 3) ，向量B = (2, 4, 6)，求向量A与向量B的数量积与向量积，并判断两者之间的关系。

解答：首先，计算向量A与向量B的数量积：A·B = (1) * 2 + (-2) * 4 + 3 * 6 = 2 - 8 + 18 = 12。

然后，计算向量A与向量B的向量积：A ×B = (-2 * 6 - 3 * 4, 3 * 2 - 1 * 6, 1 * 4 - (-2) * 2) = (-12 - 12, 6 - 6, 4 + 4) = (-24, 0, 8)。

向量的数量积课后习题答案向量的数量积课后习题答案在学习数学的过程中，向量的数量积是一个重要的概念。

通过掌握向量的数量积，我们可以更好地理解向量的性质和应用。

下面是一些向量的数量积的课后习题及其答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 已知向量a = (2, 3)和向量b = (4, -1)，求向量a和向量b的数量积。

解：向量a和向量b的数量积可以通过向量的坐标进行计算。

根据数量积的定义，我们有：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2代入向量a和向量b的坐标，我们有：a ·b = 2 * 4 + 3 * (-1) = 8 - 3 = 5所以，向量a和向量b的数量积为5。

2. 已知向量a = (3, -2, 1)和向量b = (1, 4, -3)，求向量a和向量b的数量积。

解：同样地，我们可以通过向量的坐标进行计算。

根据数量积的定义，我们有：a · b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3代入向量a和向量b的坐标，我们有：a ·b = 3 * 1 + (-2) * 4 + 1 * (-3) = 3 - 8 - 3 = -8所以，向量a和向量b的数量积为-8。

3. 已知向量a = (1, 2, 3)和向量b = (4, 5, 6)，求向量a和向量b之间的夹角。

解：夹角可以通过向量的数量积来计算。

根据数量积的定义，我们有：cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)其中，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。

向量的模可以通过向量的坐标进行计算。

对于向量a和向量b，我们有：|a| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14|b| = √(4^2 + 5^2 + 6^2) =√(16 + 25 + 36) = √77代入向量a和向量b的数量积和模，我们有：cosθ = (-8) / (√14 * √77)通过计算，我们可以得到cosθ的值。

《空间向量的数量积运算》同步学案情境导入如图,已知在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AE =EA 1,D 1F =12FC 1,如何确定BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角?自主学习自学导引1.已知两个非零向量a,b ,在空间任取一点O ,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则_______叫做向量a,b 的夹角,记作⟨a ,b ⟩.如果⟨a ,b ⟩=π2,那么向量a,b _______,记作________. 2.已知两个非零向量a,b ,则_______叫做a,b 的数量积,记作a ⋅b .3.空间向量的数量积的运算律(1)(λa )⋅b =_______,λ∈R ;(2)a ⋅b =________(交换律);(3)(a +b )⋅c =________(分配律).4.如图(1),在空间,向量a 向向量b 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ,向量c =________,向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量.类似地,可以将向量a 向直线l 投影(图(2)).如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到向量A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量_______称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.答案1.∠AOB互相垂直a⟂b2.|a||b|cos⟨a,b⟩3.(1)λ(a⋅b)(2)b⋅a(3)a⋅c+b⋅c4.|a|cos⟨a,b⟩b|b|A′B′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗预习测评1.下列命题中正确的是( )A.(a⋅b)2=a2⋅b2B.|a⋅b|⩽|a||b|C.(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)D.若a⟂(b−c),则a⋅b=a⋅c=02.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a−2b+3c|=( )A.14B.√14C.4D.23.已知|a|=3,|b|=2,a⋅b=−3,则⟨a,b⟩=_______.4.如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,则(1)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=_______;(2)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=_______;(3)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=________.答案1.B解析:对于A ,左边=|a|2|b|2cos 2⟨a ,b ⟩,右边=|a|2|b|2,所以左边⩽右边,故A 错误.对于B ,因为a ⋅b =|a||b|cos ⟨a ,b ⟩,−1⩽cos ⟨a ,b ⟩⩽1,所以|a ⋅b|⩽|a|⋅|b|,故B 正确.对于C ,数量积不满足结合律,所以C 错误.对于D ,于a⟂(b −c )可得a ⋅(b −c )=0,所以a ⋅b −a ⋅c =0,所以a ⋅b =a ⋅c ,但a ⋅b 与a ⋅c 不一定等于零,故D 错误.2.B解析:因为|a −2b +3c|2=(a −2b +3c )⋅(a −2b +3c)=|a|2+4|b|2+9|c|2=14,所以|a −2b +3c|=√14.3.120∘解析:因为cos ⟨a ,b ⟩=a⋅b |a||b|=−33×2=−12,所以⟨a ,b ⟩=120∘.4.(1)45∘(2)135∘(3)90∘解析:(1)因为A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩.又∠CAB =45∘,所以⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=45∘.(2)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=180∘−⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=135∘.(3)⟨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=90∘.新知探究探究点1空间向量的夹角的定义和数量积的定义、运算律知识详解1.已知两个非零向量a,b ,在空间任取一点O ,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则∠AOB 叫做向量a,b 的夹角,记作⟨a ,b ⟩.如果⟨a ,b ⟩=π2,那么向量a,b 互相垂直,记作a⟂b .2.已知两个非零向量a,b ,则|a||b|cos ⟨a ,b ⟩叫做a ,b 的数量积,记作a ⋅b ,即a ⋅b =|a||b|cos ⟨a ,b ⟩.3.空间向量的数量积的运算律(1)(λa )⋅b =λ(a ⋅b ),λ∈R ;(2)a ⋅b =b ⋅a (交换律);(3)(a +b )⋅c =a ⋅c +b ⋅c (分配律).典例探究例1如图所示,已知正四面体OABC 的棱长为1,点E,F 分别是OA,OC 的中点.求下列向量的数量积:(1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 解析:根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.答案:(1)由于正四面体的棱长为1,所以|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.又ΔOAB 为等边三角形,所以∠AOB =60∘,于是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |.cos∠AOB =1×1×cos60∘=12.(2)由于E,F 分别是OA,OC 的中点,所以EF //12AC 且EF =12AC ,于是EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×1×1×cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×1×1×cos120∘=−14. (3)(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+12−2×12+12+1−2×12=1. 变式训练1如图,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,AB =AA 1=2,AD =4,E 为侧面AB 1的中心,F 为A 1D 1的中点.试计算:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(3)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .答案:设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,设|a|=|c|=2,|b|=4,a ⋅b =b ⋅c =c ⋅a =0.(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=b ⋅[12(c −a )+b]=|b|2=42=16. (2)BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(c −a +12b)⋅(a +c )=|c|2−|a|2=22−22=0.(3)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=[12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=[12(c −a )+12b]⋅(12b +a)=12(−a +b +c )⋅(12b +a)=−12|a|2+14|b|2=2. 探究点2利用数量积求模知识详解求两点间的距离或某条线段的长度的方法:先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=a ⋅a ,通过向量运算去求|a|,即得所求距离或长度.典例探究例2如图所示,在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1,且彼此的夹角都是60∘,求对角线AC 1和BD 1的长.解析:将向量AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来,再用数量积的定义运算.答案:因为AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+1+2(cos60∘+cos60∘+cos60∘)=6.所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,即对角线AC 1的长为√6.同理,|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+1+2(cos60∘−cos60∘−cos60∘)=2. 所以|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,即对角线BD 1的长为√2. 变式训练2如图所示,在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,M,N 分别是A 1B,B 1C 1上的点,且BM =2A 1M,C 1N =2B 1N .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c .(1)试用a,b,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC =90∘,∠BAA 1=∠CAA 1=60∘,AB =AC =AA 1=1,求MN 的长.答案:(1)由图形知MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c −a )+a +13(b −a )=13a +13b +13c. (2)因为(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2a ⋅b +2b ⋅c +2a ⋅c =1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a +b +c|=√5,所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a +b +c|=√53, 所以MN 的长为√53.探究点3利用数量积解决垂直问题知识详解1.证明线线垂直的方法:证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0,从而可判断两直线是否垂直.2.证明与空间向量a,b,c 有关的向量m,n 垂直的方法:先用向量a,b,c 表示向量m,n ,再判断向量m,n 的数量积是否为0.典例探究例3如图,在四面体OABC 中,OB =OC,AB =AC ,求证:OA⟂BC .解析:证明OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可. 答案:因为OB =OC,AB =AC,OA =OA ,所以ΔOAC ≅ΔOAB ,所以∠AOC =∠AOB .又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOC −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =0, 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA⟂BC . 变式训练3已知在四面体ABCD 中,AB⟂CD ,AC⟂BD ,求证:AD⟂BC .答案:因为AB⟂CD,AC⟂BD ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟂BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 从而AD⟂BC .易错易混解读例 如图所示,在四面体ABCD 中,∠BCD =90∘,CD =3,BC =4,M,N 分别为AB,AD的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =_______.错解:由题易知BD =5,cos∠BDC =35,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×5×3×cos∠BDC =92. 错因分析:错解中没有正确理解两向量的夹角,误认为∠BDC 是BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角.正解:由题易知BD =5,cos∠BDC =35,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=12×5×3×cos (π−∠BDC )=−92. 纠错心得:向量的夹角定义中,必须把两向量移至共起点,如下图所示,∠AOB 是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角,而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为∠AOB 的补角.课堂检测1.已知|a|=3,|b|=4,⟨a ,b ⟩=120∘,则|2a −b|=( )A.2B.76C.2√19D.42.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a +b )⋅b =0,则a 与b 的夹角为( )A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘3.如图,在三棱锥A −BCD 中,DA,DB,DC 两两垂直,且DB =DC,E 为BC 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.3B.2C.1D.04.在四面体ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.0B.√32C.1D.无法确定答案:1.C解析:|2a −b|2=4a 2+b 2−4a ⋅b =4×9+16−4×3×4×cos120∘=76,所以|2a −b|=√76=2√19.2.C11 / 11解析:由(2a +b )⋅b =2a ⋅b +b 2=0,可得2|a|⋅|b|cos ⟨a ,b ⟩+b 2=0,则cos ⟨a ,b ⟩=−b 22|a||b|=−12,故a 与b 的夹角为120∘. 3.D解析:本题主要考查空间向量数量积的运算.由题意知,DE⟂BC ,所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.4.A解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ .BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 课堂小结。

3.1.3 空间向量的数目积运算课时操练·促提高A 组1.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1B1C1D 1中 ,= ()A.0B. -C.-1D.1分析 :=|| ·||·cos∠ D1AC=× cos 60 =°1.答案 :D2.若 a,b 均为非零向量,则“a与b共线”是“a·b=| a|| b|”的 ()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件分析 :当a与b共线时 ,a与b可能同向 ,也可能反向 ,所以不必定有a·b=|a||b|;但当 a·b=|a||b|时,a 与 b 必定同向 ,即a与b共线 .答案 :B3.已知 a,b 均为空间中的单位向量,它们的夹角为60°,那么 |a+3b| 等于 ()A. B. C. D.4222分析 :|a+3b| =|a| +6a·b+9|b| = 1+ 6×1×1×cos 60 +°9= 13,故 |a+3b|=.4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为A. = 2a2a,体对角线 AC 1和 BD1订交于点O,则有 ()2B.aC.a2D.=a22分析 :∵,∴ =a×a×cos 45 °=a ,故 A 不正确=|| ·||cos<>= ||·||=a 2,故 B 不正确 .a2,故 C 正确 .=-a 2,故 D 不正确 ..答案 :C5.在正方体ABCD-A 1B1 C1D 1中 ,E 是上底面的中心 ,则 AC 1与 CE 的地点关系是()A. 重合B. 垂直C.平行D. 没法确立分析 :),于是 = () =·0--0+ 0-0-+ 1-0-0= 0,故,即 AC1与 CE 垂直 .答案 :B6.在空间四边形OABC 中 ,OB=OC ,∠ AOB= ∠ AOC= ,则 cos<> 等于 ()A. B. C.- D.0分析 :cos<>==== 0.答案 :D7.已知|a|=| b|= 1,a 与 b 的夹角为60°,则 (a+ b) ·(a-2b)=.222222分析 :(a+b) ·(a-2b)=a -2a·b+b·a-2b =|a| -a·b-2|b| = 1 -1×1×cos 60 -°2×1 =-.答案 :-8.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB= 1,AD= 2,AA1= 3,∠BAD= 90°,∠BAA1=∠DAA1= 60°,则AC1的长为.分析 :由于 ,所以 ||2= ()2=||2 +|| 2+|| 2+ 2()=1+ 4+ 9+2= 23,故 AC1的长为 .答案 :9.已知在空间四边形OABC 中 ,∠ AOB= ∠ BOC= ∠ AOC,且 OA= OB=OC ,M,N 分别是 OA ,BC 的中点 ,G 是 MN 的中点 ,求证 :OG ⊥ BC.证明 :如图 ,连结 ON,设∠ AOB= ∠ BOC= ∠ AOC=θ ,=a,= b,= c,则 |a|=| b|=| c|.∵)== (a+ b+c), = c-b,∴(a+ b+ c) ·(c-b)=(a·c-a·b+ b·c-b2+ c2-b·c)=(|a|2cos θ-|a|2cos θ-| a|2+| a|2) = 0,∴OG⊥ BC.10.如图,BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B= 90°的等腰直角三角形,?ABB 1A1,?BB1C1C 的对角线都分别互相垂直且相等 ,若 AB=a ,求异面直线 BA1与 AC 所成的角 .解:由于 = () ·()==0-a2+ 0+ 0=-a2, 且 ||=a ,||=a ,所以 cos<>===-.所以的夹角是120°,故直线 BA 1与 AC 所成的角为60°.B 组1.已知空间向量a,b,c 知足 a+ b+ c= 0,|a|= 2,|b|= 3,|c|= 4,则 a 与 b 的夹角为()A.30 °B.45 °C.60 °D. 以上都不对分析 :∵a+ b+ c= 0,∴a+ b=- c.2222∴(a+ b) =| a| +| b| +2a·b=| c| .∴a·b=.∴cos< a,b>=.答案 :D2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且知足= 0,= 0,= 0,则△ BCD是 ()A. 钝角三角形B. 锐角三角形C.直角三角形D. 不确立分析 := () ·()=> 0,同理 ,可证 > 0,> 0.所以△BCD 的每个内角均为锐角,故△ B CD是锐角三角形.答案 :BE 为OA中点,F为BC 的中3.在三棱锥O-ABC 中 ,OA ⊥OB,OA⊥ OC,∠ BOC= 60°,OA=OB=OC= 2,若点,则 EF=.分析 :∵) -,∴||2= )2=+ 2-2-2).又由已知得 ||=||=||= 2, =2×2×=2,∴||2= (4+ 4+ 4+ 4)= 4.∴||= 2,即 EF= 2.答案 :24.如图,已知正四周体ABCD 中,AE=AB ,CF=CD ,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为.分析 :因四周体 ABCD 是正四周体 ,极点 A 在底面 BCD 内的射影为△ BCD 的垂心 ,所以 BC⊥DA ,AB⊥ CD.设正四周体的棱长为4,则 = () ·()= 0++ 0= 4×1×cos 120 °+1×4×cos 120 °=- 4,BF=DE= ,所以异面直线 DE 与 BF 的夹角θ的余弦值为 cos θ=.答案 :5.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB= 1,∠BCA= 90°,棱AA1=2,N为A1A的中点,(1)求的长 ;(2)求 cos<> 的值 .解:(1) ∵AA1= 2,N 为此中点 ,∴AN= 1.由已知得 NA⊥ AC,NA⊥ BC,又 ,∴|| 2=+ 2+ 2+ 2= 3.∴||=.(2)∵,∴= () ·()==|| ·||·cos 135 +°0+ 0+2=×1×+2 = 3.又∵||= ,||= ,∴c os<>==.6.如图,PA垂直于矩形ABCD 所在的平面 ,M,N 分别是 AB,PC 的中点 .(1)求证 :MN ⊥ CD.(2)若∠ PDA= 45°,求证 :MN⊥平面 PCD.证明 :(1)设 = a,= b,= c,则==)==)= (b+c), 故(b+ c) ·(-a) =-(a·b+ a·c).∵四边形 ABCD 是矩形 ,PA⊥平面 ABCD ,∴a⊥b,a⊥ c.∴a·b= a·c= 0.∴= 0 .∴,故 MN⊥ CD.(2)由 (1) 知 ,MN ⊥ CD,(b+c),∵=b- c,∴(b+ c) ·(b-c) = (|b|2-|c|2).∵PA⊥平面 ABCD ,∴PA⊥ AD.又∵∠PDA= 45°,∴P A=AD ,∴|b|=| c|.∴=0,∴,∴MN⊥ PD.∵C D,PD? 平面 PCD ,且 CD∩PD=D ,∴MN⊥平面 PCD.。

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积仍然是向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.()(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．() 2.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．122C．－122D．－123.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·1()5b＝－36，则a与b的夹角为()A．60°B．120°C．135°D．150°4.(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4B．3C．2D．05.已知|a|＝2，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．6.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．答案1、××××√2、B3、B4、B5、06、194,321.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为()A.π6 B.π4C.π3D.π22.已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°,c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为()A.－6B.6C.3D.－33.已知|a |＝3，|b|＝5，a ·b ＝－12，e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ·CD ＝________．5.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝1，则|a ＋b |＝________．6.若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )，且|a |＝32，则λ＝________．7.已知|a |＝1,|b |＝2.(1)若a ∥b ,求a·b ；(2)若a ，b 的夹角为60°,求|a ＋b |；(3)若a －b 与a 垂直,求a 与b 的夹角．答案1、C 2、B 3、512-e4、223a -5、36、21-7、(1)2-(2)23+(3)︒45。

空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是( ) A ．a ·a ＝|a |B ．m (λa )·b ＝(mλ)a ·b (m ，λ∈R )C ．a ·(b ＋c )＝(b ＋c )·aD ．a 2b ＝b 2a解析：选ABC ∵a ·a ＝|a |2，∴a ·a ＝|a |，故A 正确． m (λa )·b ＝(mλa )·b ＝mλa ·b ＝(mλ)a ·b ，故B 正确．a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ，(b ＋c )·a ＝b ·a ＋c ·a ＝a ·b ＋a ·c ＝a ·(b ＋c )，故C 正确．a 2·b ＝|a |2·b ，b 2·a ＝|b |2·a ，故D 不一定正确．2．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0，|e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF―→的值为( ) A ．a 2 B ．12a 2 C ．14a 2D ．34a 2解析：选C AE ―→·AF ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.4．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱的长度都为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2B ． 3C ． 5D ．7解析：选C 由于EF ―→＝EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→，所以|EF ―→|＝(EA ―→＋AA 1―→＋A 1F ―→)2＝1＋4＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0－12＝5，即EF 的长是 5.5.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144解析：选C 因为PC ―→＝P A ―→＋AB ―→＋BC ―→，所以PC ―→2＝P A ―→2＋AB ―→2＋BC ―→2＋2P A ―→·AB ―→＋2P A ―→·BC ―→＋2AB ―→·BC ―→＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC ＝12.6．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________. 解析：|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a ·b ＋192＝242，∴2a ·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝530－46＝484，故|a －b |＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB ―→·AE―→＝________. 解析：AE ―→＝AA 1―→＋AD ―→＋12AB ―→，AB ―→·AE ―→＝AB ―→·AA 1―→＋AB ―→·AD ―→＋12AB ―→2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是________．解析：a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22＝1－1×1×12－2＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22 ＝1－2＋4＝ 3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－323＝－12.∴〈a ，b 〉＝120°. 答案：120°9.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈CE ―→，AF ―→〉的余弦值；C 1E ―→ (2)求证：BD 1⊥EF .解：(1)AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋12AA 1―→， CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→＝AA 1―→＋12CD ―→＝AA 1―→－12AB ―→. 因为AB ―→·AD ―→＝0，AB ―→·AA 1―→＝0，AD ―→·AA 1―→＝0，所以CE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1―→－12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12 AA 1―→ ＝12. 又|AF ―→|＝|CE ―→|＝52，所以cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25. (2)证明：因为BD 1―→＝BD ―→＋DD 1―→＝AD ―→－AB ―→＋AA 1―→， EF ―→＝ED 1―→＋D 1F ―→＝－12(AB ―→＋AA 1―→)，所以BD 1―→·EF ―→＝0，所以BD 1―→⊥EF ―→.即BD 1⊥EF . 10.如图，正四棱锥P -ABCD 的各棱长都为a . (1)用向量法证明：BD ⊥PC ； (2)求|AC ―→＋PC―→|的值． 解：(1)证明：∵BD ―→＝BC ―→＋CD―→， ∴BD ―→·PC ―→＝(BC ―→＋CD ―→)·PC ―→＝BC ―→·PC ―→＋CD ―→·PC ―→ ＝|BC ―→||PC ―→|·cos 60°＋|CD ―→||PC ―→|cos 120° ＝12a 2－12a 2＝0. ∴BD ⊥PC .(2)∵AC ―→＋PC ―→＝AB ―→＋BC ―→＋PC―→， ∴|AC ―→＋PC ―→|2＝|AB ―→|2＋|BC ―→|2＋|PC ―→|2＋2AB ―→·BC ―→＋2AB ―→·PC ―→＋2BC ―→·PC ―→＝a 2＋a 2＋a 2＋0＋2a 2cos 60°＋2a 2cos 60°＝5a 2，∴|AC ―→＋PC―→|＝5a .1．[多选]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则下列命题正确的是( )A ．(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝3AB ―→2B ．A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝0 C ．AD 1―→与A 1B ―→的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB ―→·AA 1―→·AD ―→| 解析：选AB 如图所示，(AA 1―→＋AD ―→＋AB ―→)2＝(AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1C 1―→)2＝AC 1―→2＝3AB ―→2； A 1C ―→·(A 1B 1―→－A 1A ―→)＝A 1C ―→·AB 1―→＝0；AD 1―→与A 1B ―→的夹角是D 1C ―→与D 1A ―→夹角的补角，而D 1C ―→与D 1A ―→的夹角为60°，故AD 1―→与A 1B ―→的夹角为120°；正方体的体积为|AB ―→||AA 1―→||AD ―→|.综上可知，A 、B 正确． 2．设空间上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB ―→＋DC ―→－2DA ―→)·(AB ―→－AC―→)＝0，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选B 因为DB ―→＋DC ―→－2DA ―→＝(DB ―→－DA ―→)＋(DC ―→－DA ―→)＝AB ―→＋AC ―→，所以(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝|AB ―→|2－|AC ―→|2＝0，所以|AB ―→|＝|AC―→|，即△ABC 是等腰三角形． 3.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为________，B 1C ―→·A 1P ―→＝________.解析：法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C ―→与A 1P ―→所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C ―→与A 1P ―→所成角的大小为60°.因此B 1C ―→·A 1P ―→＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C ―→·A 1P ―→＝(A 1A―→＋)·⎝⎛⎭⎪⎫AD ―→＋12AB ―→ ＝AD ―→2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝1，从而〈B 1C ―→，A 1P ―→〉＝60°.答案：60° 14.在四面体OABC 中，各棱长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，求异面直线OE 与BF 所成角的余弦值．解：取OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. 又∵OE ―→＝12(a ＋b )，BF ―→＝12c －b ， ∴OE ―→·BF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12|b |2＝－12.又|OE ―→|＝32，|BF ―→|＝32，∴cos 〈OE ―→，BF ―→〉＝OE ―→·BF ―→|OE ―→||BF―→|＝－23，∵异面直线夹角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，∴异面直线OE 与BF 所成角的余弦值为23.5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°，∴AC ―→·CD ―→＝0， 同理可得AC ―→·BA ―→＝0. ∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°. 又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD―→， ∴|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．∴当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4， 此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2， 此时B ，D 间的距离为 2.。

1.1.2 空间向量的数量积运算A 级——基础过关练1.在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，〈A ′B →，B ′D ′→〉＝ ( )A.30°B.60°C.90°D.120°2.若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0，则△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.斜三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形3.已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，以A 为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为 ( ) A.6B. 6C.3D. 34.已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°5.设a ，b ，c 为非零向量，则(a ·b )·c ( ) A.是三个向量的数量积 B.是与a 共线的向量 C.是与c 共线的向量 D.无意义6.已知非零向量b 在非零向量a 方向上的投影为零，则向量a ，b 的关系是 ( ) A.a ∥b B.a ⊥b C.a 与b 相交 D.a 与b 重合7.(多选)(2023年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的是 ( ) A.|a ·b |＝|a |·|b | B.|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2C.(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D.(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c8.如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠ADC ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝6，则线段PC 的长为________.9.如图，在四面体ABCD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则MN →·DC →＝________.10.如图，已知正四面体OABC 的棱长为1，求： (1)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (2)|OA →＋OB →＋OC →|.B 级——能力提升练11.已知|a|＝32，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，若m ⊥n ，则λ＝ ( ) A.－1B.－32C.－2D.112.(多选)如图，在四面体ABCD 中，各棱长均为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是 ( )A.2BA →·AC →B.2AD →·BD →C.2EF →·CB →D.2FG →·AC →13.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，下面给出命题： ①|A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→|2＝3|A 1B 1→|2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°； ④此正方体体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 其中错误命题的序号是__________.14.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°.(1)若c ＝λa ＋⎝⎛⎭⎪⎫3－λ22b (λ∈R )，且b ·c ＝0，则λ的值为________；(2)向量a ＋b 在b 方向上的投影数量为________.15.如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝ 2.设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量AC →，BD 1→；(2)若∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝120°，求直线AC 与BD 1所成的角.答案1【答案】D 【解析】连接BD ，A ′D ，因为B ′D ′∥BD ，△A ′BD 为正三角形，所以∠A ′BD ＝60°，由向量夹角的定义可知〈A ′B →，BD →〉＝120°，即〈A ′B →，B ′D ′→〉＝120°.故选D.2【答案】A 【解析】∵BO →＋OC →＝BC →，OC →－OA →＝AC →，∴BC →·AC →＝0.∴BC ⊥AC .∴△ABC 一定是直角三角形.故选A.3【答案】B 【解析】如图，由题意可知AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.故选B.4【答案】C 【解析】AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1.∵|AB →|＝2，|CD →|＝1，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a 与b 所成的角是60°.故选C.5【答案】C 【解析】由a ，b ，c 为非零向量可得a ·b ＝||a ||b ·cos 〈a ，b 〉，显然a ·b 为数量，设为t ，则(a ·b )·c ＝t c ，即有(a ·b )·c 是与c 共线的向量，故A ，B ，D 均错误，C 正确.故选C.6【答案】B 【解析】非零向量b 在非零向量a 方向上的投影为|b |·cos 〈a ，b 〉＝0，又因为b ≠0，故|b |≠0.所以有cos 〈a ，b 〉＝0，得〈a ，b 〉＝π2，故a ⊥b .故选B.7【答案】BD 【解析】对于A 选项，|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，故A 错误；对于B 选项，|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2·a ·b ＋b 2，故B 正确；对于C 选项，(a ·b )·c 与c 共线，a ·(b ·c )与a 共线，故C 错误；对于D 选项，由数量积的运算律知(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ，故D 正确.故选BD.8【答案】7 【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，AD ，DC ⊂平面ABCD ，故PA ⊥AD ，PA ⊥DC .又因为PC →＝PA →＋AD →＋DC →，所以|PC →|2＝(PA →＋AD →＋DC →)2＝|PA →|2＋|AD →|2＋|DC →|2＋2PA →·AD →＋2AD →·DC →＋2DC →·PA →＝62＋42＋32＋2|AD →||DC →|cos 120°＝61－12＝49，所以|PC →|＝7，即PC 的长为7. 9【答案】－14 【解析】MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14.10解：(1)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(2)|OA →＋OB →＋OC →| ＝ (OA →＋OB →＋OC →)2＝OA →2＋OB →2＋OC →2＋2(OA →·OB →＋OB →·OC →＋OA →·OC →)＝12＋12＋12＋2(1×1×cos 60°)×3 ＝ 6.11【答案】B 【解析】m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa·b ＋a·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ.因为m ⊥n ，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－32.12【答案】BD 【解析】依题意，四面体ABCD 是正四面体，对于A ，〈BA →，AC →〉＝120°，2BA →·AC →＝2a 2cos 120°＝－a 2，A 不是；对于B ，〈AD →，BD →〉＝60°，2AD →·BD →＝2a 2cos 60°＝a 2，B 是；对于C ，因为E ，F 是AB ，AD 的中点，则2EF →＝BD →，而〈BD →，CB →〉＝120°，2EF →·CB →＝BD →·CB →＝a 2cos 120°＝－12a 2，C 不是；对于D ，因为F ，G 是AD ，DC 的中点，则2FG →＝AC →，2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，D 是.故选BD.13【答案】③④ 【解析】①因为|A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→|＝|A 1C →|＝3|A 1B 1→|，故①正确；②因为A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝(A 1B 1→＋A 1D 1→＋A 1A →)·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1B 1→2＋A 1B 1→·A 1D 1→－A 1A →·A 1D 1→－A 1A →2＝0，故②正确；③AD 1与A 1B 两异面直线的夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°；④因为AB →·AA 1→＝0，故④错误，正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD →|.14【答案】(1)－2或 3 (2)32 【解析】(1) b ·c ＝λa ·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－λ22b 2＝λcos 60°＋3－λ22＝－λ2＋λ＋62＝0，所以λ＝－2或λ＝3.(2)向量a ＋b 在b 方向上的投影数量为(a ＋b )·b ||b ＝12＋11＝32.15解：(1)由向量的加减运算法则知 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，BD 1→＝AD 1→－AB →＝b ＋c －a . (2)由题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝2， 〈a ，b 〉＝90°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝120°， AC →·BD 1→＝(a ＋b )·(b ＋c －a )＝a·c －a 2＋b 2＋b·c ＝1·2·cos 120°－1＋1＋1·2cos 120°＝－22－22＝－ 2. 因为|AC →|＝ 2. |BD 1→|＝(b ＋c －a )2＝b 2＋c 2＋a 2＋2(b·c －a·b －a·c ) ＝1＋2＋1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝4＝2， 所以cos 〈AC →，BD 1→〉＝AC →·BD 1→|AC →||BD 1→|＝－22·2＝－12.所以〈AC →，BD 1→〉＝120°， 即AC 与BD 1所成的角为60°.。