三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考数学(文)试题 Word版含解析

2020年湖南省株洲市潇湘双语学校高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行下面的程序框图，如果输入a=1，b=1，则输出的S=（）A．54 B．33 C. 20 D．7参考答案：C执行程序框图，；；，结束循环，输出，故选C.2. 双曲线的左右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分，则该双曲线的离心率是A．B．2 C．D．5参考答案：C3. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A．5 B．6C．7 D．8参考答案：C4. 已知数集，设函数f（x）是从A到B的函数，则函数f（x）的值域的可能情况的个数为（）A．1 B．3 C．8 D．7参考答案：D5. 设是由直线和所围成的矩形区域，是内函数图象上方的点构成的区域，向中随机投一点，则该点落入（阴影部分）中的概率为（）A． B． C．D．参考答案：C6. 函数的图象A．关于原点对称 B．关于直线对称C．关于轴对称 D．关于轴对称参考答案：D略7. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.参考答案：B8. 已知则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C.充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A9. 已知命题有成立；命题，恒有成立，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．参考答案：C10. 对于R上可导的任意函数，若满足，则必有A． B．C． D．参考答案：A当时，，此时函数递减。

当时，，此时函数递增，即当，函数取得极小值同时也是最小值，所以，即，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知垂直，则λ等于．参考答案：考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．3794729解答：解：∵∴①∵即②即12λ﹣18=0解得故答案为：．12. 已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是参考答案：因为直线与圆相切，所以．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得或．13. 设x ，y 满足，则z=2x ﹣y 的最大值为3，则m=．参考答案：考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x ﹣y 的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答： 解：由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=2x ﹣z ，由平移可知当直线y=2x ﹣z ，经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最小，此时z 取得最大值3，由，解得，即A （，）．将A 的坐标代入x ﹣y+m=0，得m=y ﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14. 在平行四边形中， ， ，，则参考答案：15. 若△ABC 的边满足且C =60°，则的值为 .参考答案：16. 已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y+1）2=1交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为 ．参考答案：x ﹣y ﹣1=0考点：圆与圆的位置关系及其判定；相交弦所在直线的方程． 专题：直线与圆．分析：将两个方程相减，即可得到公共弦AB 的方程，然后根据半弦长与弦心距及圆半径，构成直角三角形，满足勾股定理，易求出公共弦AB 的长．解答： 解：圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣1）2+（y+1）2=1交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为： x 2+y 2﹣1﹣[（x ﹣1）2+（y+1）2﹣1]=0即x ﹣y ﹣1=0故答案为：x ﹣y ﹣1=0．点评：本题考查的知识点是圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，其中将两个圆方程相减，直接得到公共弦AB 的方程可以简化解题过程． 17. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。

三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 22*{2,1,0,1},{|,},B x x a a =--=≤∈N ，若A ⊆B,则a 的最小值为 A.1B.2C.3D.42.设i 是虚数单位，5,32,aiai a i+∈=-+R 则a= A. -2B. -1C.1D.23.已知函数32,0(),log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则3(())3f f =2.2A1.2B3.log 2C - 3.log 2D4.已知向量(3,2),(5,AB AC ==-u u u r u u u r1),则向量AB 与BC uuu r 的夹角为 A.45°B.60°C.90°D.120°5.α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则//αβ”是“//m β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。

问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15，则输入的k 的值为。

A.45B.60C.75D.1007.要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像A.向左平移2π个单位B.向左平移712π个单位 C.向右平移12π单位 D.向右平移3π个单位 8.阅读名著,品味人生,是中华民族的优良传统.2020年寒假期间,学生李华计划每周一至周五的每天阅读一个小时中国四大名著:《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》,其中每天阅读一种,每周每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有A.120种B.240种C.480种D.600种9.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,a= 1,4csinA-3cosC,△ABC 的面积为3,2,则c= AB.4C.5D 10.定义在R 上的奇函数f(x)满足f(-3-x)+ f(x-3)=0.若f(1)=1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+ f(3) +…+ f(2020)=A. -1B.0C.1D.211.已知12F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 交C 于A ，B 两点,O 为坐标原点,若122,||||OA BF AF BF ⊥=,则C 的离心率为A.2BCD 12.已知A,B 是函数2,0()ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点,若曲线y= f(x)在点A 、B 处的切线重合,则实数a的最小值是A. -11.2B -1.2C D.1二、填空题:本题共4小题，每小题分,共20分。

三湘名校教育联盟·2020届高三第二次大联考文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，UA =（ ）A. {}2,7B. {}1,2,7C. {}2,7,8D. {}1,2,7,8【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得UA .【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以UA ={}2,7.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数12iz i-=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z ，进而求得z 对应点所在象限.【详解】依题意()()()122i i z i i i -⋅-==--⋅-，所以2z i =-+，对应点为()2,1-，在第二象限. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3. 已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A.2B.12C. 3log 2-D. 3log 2【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式先计算3f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再计算3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】12331=log log 32f -==-⎝⎭，所以121=222f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】本题主要考查分段函数求值，属于基础题.4. 若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为（ ）B. 2C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到221a m ，2b m =，1c =，从而得到2m =，再求长轴长即可.【详解】因为椭圆C ：22211x y m m +=-，焦点()0,1，所以221a m ，2b m =，1c =，即211m m ，解得2m =或1m =-（舍去）.所以a ==故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.5. α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用线面判定定理、面面平行的性质定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，若//αβ，则//m β，所以//αβ是//m β的充分条件；若//m β不能推出//αβ，故不是充分条件∴//αβ是//m β的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了线面、面面之间的关系，属于基础题.6. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）A. 45B. 60C. 75D. 100【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7. 已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A.2223B.1123C.2021D.1021【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到21n a n =-，从而得到1111122121n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项法求前10项的和即可. 【详解】因为511113124271252a a a d a a a a d d -=+-==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和等于11111111101+12335192122121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：D【点睛】本题主要考查裂项法求和，同时考查等差数列的通项公式，属于简单题.8. 以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据方差表示的意义选出正确选项.【详解】方差表示数据波动性的大小、稳定程度.由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B 选项. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图估计方差的大小，属于基础题. 9. 设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ） A. 2e - B. 1e-C. 2D. 2e【答案】D 【解析】 【分析】 利用()'fx 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x fx e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=. 故选：D【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题. 10. 已知函数()cos |sin |f x x x =-，有下列四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 是周期函数③()f x 在[],0π-上是增函数 ④()f x 在[],ππ-上恰有两个零点 其中所有正确结论的编号有（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②④D. ①③④【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 的奇偶性、周期性、单调性和零点对四个结论逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=+=，所以()f x 是周期为2π的周期函数，故②正确.当[],0x π∈-时，sin 0x ≤，所以()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[],0π-上先减后增，③错误.当[],x ππ∈-时，令()0f x =，得cos sin x x =，所以tan 1x =±，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点12,44x x ππ=-=，所以④正确.综上所述，正确结论的编号有①②④. 故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点，属于中档题.11. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-，()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.12. 正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O的球面上，AB =则1B 到平面1A BC的距离为（ ） A. 1B.65C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离.【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin 3a R R A π===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =12AA ===.在三角形1A BC中，11A B AC ===，而BC =，所以三角形1A BC的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C A B A C B B B V V --=得11311232232h⨯⨯=⨯，解得65h =. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．【答案】2 【解析】 【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14. 已知向量(3,2)AB =，(5,1)AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为______． 【答案】90︒ 【解析】 【分析】利用向量夹角公式，计算出向量0AB BC ⋅=，由此判断出向量AB 与BC 的夹角为90︒.【详解】由于()2,3BC AC AB =-=-，所以()()3,22,30AB BC ⋅=⋅-=，所以向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故答案为：90【点睛】本小题主要考查向量坐标的线性运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n a S +=，则7S =______．【答案】1274【解析】 【分析】 利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩证得数列{}n a 是等比数列，由此求得7S 的值.【详解】由于32n n a S +=，当1n =时11232,16a a ==.当2n ≥时113232n n n n a S a S --+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()11120,22n n n n a a a a n ---==≥.所以数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，所以77116112721412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：1274【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.16. 已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为__________.7【解析】 【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接2EF ，设1F A x =，根据双曲线定义可得2x a =，再由勾股定理可得到227c a =，进而得到e 的值.【详解】解：取AB 中点E ，连接2EF ， 则由已知可得12BF EF ⊥，1F A AE EB == 设1F A x =，则由双曲线定义可得22AF a x =+，12322BF BF x a x a -=--=，即2x a =，在12Rt F EF 中， 由勾股定理可得()()()2224232a ac +=，则7ce a==.7【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的定义，考查了基本运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1O 是11A C 的中点，E 是BC 的中点.（1）证明：平面1O AB ⊥平面11B EC ； （2）证明：1//C E 平面1O AB . 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由1BB AB ⊥，AB BC ⊥证得AB ⊥平面11BCC B ，由此证得平面1O AB ⊥平面11B EC .（2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ，通过证明四边形11EFO C 是平行四边形，证得11//O F C E ，由此证得：1//C E 平面1O AB .【详解】（1）∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1BB AB ⊥，AB BC ⊥， 又1BB BC B =，且1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B∴AB ⊥平面11BCC B ，即AB ⊥平面11B EC .因为AB 平面1O AB ，所以平面1O AB ⊥平面11B EC .（2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ， 则//EF AC ，12EF AC =，111//2O C AC ，1112O C AC =， 所以11//EF O C ，且11EF O C =∴11EFO C 是平行四边形，∴11//O F C E ， ∵1O F ⊂平面1O AB ，且1C F 平面1O AB ，∴1//C F 平面1O AB .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 18. 疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，选定2000个样本分成三组，测试结果如“下表:A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x ，y z +的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，求C 组应抽取多少个? （3）已知465y ≥，30z ≥，求疫苗能通过测试的概率. 【答案】（1）660x =，y z +=500（2）90（3）23【解析】 【分析】（1）根据“在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效概率”列方程，解方程求得x 的值，进而求得y z +的值.（2）根据C 组占总数的比例，求得C 组抽取的个数.（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. ∴0.332000x=，∴660x =， ()20006737766090500y z +=-+++=.（2）应在C 组抽取的个数为500360902000⨯=. （3）由题意疫苗有效需满足7790200010%z ++≤⨯，即33z ≤，C 组疫苗有效与无效的可能情况有(465,35) (466,34)(467,33) (468,32)()469,31()470, 30，共6种结果，有效的可能情况有(467,33) (468,32)()469,31()470, 30， 共4种结果， ∴疫苗能通过测试的概率4263P ==. 【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题. 19. ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆半径为R ，面积21sin 6S R B =，()2cos 3A C -=.（1）求B ；（2）若3b =，求a c +的值.【答案】（1）23B π=（2）a c += 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和与差的余弦公式，求得()cos A C +的值，由此求得A C +的大小，进而求得B 的大小.（2）根据正弦定理求得R ，由此求得ac ，结合余弦定理列方程，求得228a c +=，化简后求得a c +的值. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得211sin sin 26ac B R B =，即2112sin 2sin 26R A R C R ⨯⨯=，∴1sin sin 12A C =， ∵()2cos cos cos sin sin 3A C A C A C -=+=， ∴7cos cos 12A C =， ∴()1cos cos cos sin sin 2A C A C A C +=-=，()0,A C π+∈∴3A C π+=，23B π=. （2）2sin b R B ==，R 2113ac R ==， 由已知及余弦定理得2222292cos 1b a c ac B a c ==+-=++，228a c +=， ∴()222210a c a c ac +=++=，a c +=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题.20. 在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y=的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】 【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2.【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=， 同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+.∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-， ∴直线AB 过定点1(,2)2.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21. 设函数()xae f x x=，0a ≠. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若22a e ≥，证明：()ln 0x f x -<. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数()'fx ，对a 分成0,0a a <>两种情况进行分类讨论，求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()ln x ae F x x x=-，利用导数证得()F x 的最大值小于零，由此证得不等式成立.【详解】（1）()'2(1)x ae x f x x-=，0x ≠， 若0a <，则当1x <且0x ≠时，()'0fx <，当1x >时，()'0f x >，∴()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 若0a <，则()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）令()ln x ae F x x x =-（0x >），则()()2'211xx x x a x e axe ae F x x x x---=-=， 当01x <≤时，()'0F x >，()F x 单调递增，∴()()10F x F ae ≤=-<，当1x >时，()()()2'1[]1x a x xF x e x a x -=-⋅--， 令()()1xx g x e a x =--，则()()2'101x g x e a x =+>-，()222220ae g e a a-=-=≥（22a e ≥），由于22a e ≥，所以222,11ae ae ≥-≥，所以，存在m 使得22222111112111ae ae m ae ae ae -+<<==+≤---.由2211ae m ae <<-得()21m e a m >-. 故取()1,2m ∈，且使()21m e a m >-，即()21m e a m -<--，而2m e e <，所以有()()2201m mg m e e e a m =-<-=-.∵()()20g m g ⋅<，∴()g x 存在唯一零点()01,2x ∈， ∴()F x 有唯一的极值点且为极大值点、最大值点()01,2x ∈， 由()00g x =可得()0001x x ea x =-，∴()0001ln 1F x x x =--，∵()()020'01101F x x x =+>-，∴()0F x 为()1,2上的增函数， ∴()()202ln 2ln 2102ae F x F <=-≤-<（22a e ≥），∴()0F x <. 综上可知，当 22a e≥时，()ln 0x f x -<. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=.（1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点,M N 到l 的距离都为3？若存在，求12θθ-的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）4ρ=，43250x y +-=；（2）存在，1243πθθ-=. 【解析】 【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12θθ-的值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=，直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l 的距离32543d ==+.∴由图像可知，存在这样的点,M N则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴1243πθθ-=. 【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23. 已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()2a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

三湖名校教育联盟·2023届高三第二次大联考科目：数学（试题卷）注意事项：1.本试题卷共6页，共22个小题。

总分150分，考试时间120分钟。

2.接到试卷后，请检查是否有缺页、缺题或字迹不清等问题。

如有，请及时报告监考老师。

3.答题前，务必将自己的姓名、考号写在答题卡和l 该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、考号和平斗目。

4.作答时，请将答案写在答题卡上。

在草稿纸、试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交囚。

姓名准考证号率元首飞考试JI顶利！绝密食启用前三湘名校教育联盟•2023届高三第二次大联考数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的－1.已知集合A ={x l x 1-5.:i_·-6�0,xE R } ,ff!IJ C.A =A.（一1,6)B.(-6, 1)C.(2,3) D .[-6,1]+t 2.已知α，b E R,i 为虚数单位，若一一.，.－＝l-2i ,Y !IJ l a 十b i l =2+,A. 3B. 5C.9D.253.从I ,2，…J这丸个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为I －3A4 8一. 9 ，、7·－-· 18 。

!1. 364.已知定义在E R上的函数J(x ）满足J(-x)=-J(x),f(x+2)=-f(2-x ），且当:r E<-2,2)时，只x）＝川－3x ，则函数f(.2－）在［－6,6］上的零点个数为A.9 B.] 1c.13D.155.函数f（川＝Asin (w 2+g,) (w>O, O ＜ψ＜旧的部分图象如l到所示，则下列说法正确的是A. f(x)=2sin(fx咔）yB.E画数f （川的单i古iJ:i差t('j区间为［6阳－2,6阳＋l]CkEZ)C .函数f(x）在区｜可［一缸，2π］上有且仅有5个零点D丽数g(:r)=f(x)+f(.1+1)的最大街为2../35 26.设α＝τ一·－；；：：.，b=2一In 2,c ＝在一τ，贝I J‘’、fe“Jlx)=As i 叫，，，x ＋ψ）...A.α＞b>cB. c ＞α＞bC. c >b ＞α。

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，U A =ð（ ）A ．{}2,7B ．{}1,2,7C ．{}2,7,8D ．{}1,2,7,82．已知复数12iz i-=，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 24．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为（ ）A ．3B ．2C ．22D ．235．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45 B ．60C ．75D ．1007．已知等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，则数列11{}n n a a +的前10项的和为（ ） A ．2223B ．1123C ．2021 D ．10218．以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e10．已知函数()cos |sin |f x x x =-，有下列四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 是周期函数③()f x 在[],0π-上是增函数 ④()f x 在[],ππ-上恰有两个零点 其中所有正确结论的编号有（ ） A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O 的球面上，AB =则1B 到平面1A BC 的距离为（ ）A ．1B ．65C ．5D第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．14．已知向量(3,2)AB =u u u r ，(5,1)AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为______．15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n a S +=，则7S =______．16．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为_____．三、解答题17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1O 是11A C 的中点，E 是BC 的中点.（1）证明：平面1O AB ⊥平面11B EC ； （2）证明：1//C E 平面1O AB .18．疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发.为测试疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，选定2000个样本分成三组，测试结果如“下表:已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33.（1）求x ，y z +的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，求C 组应抽取多少个? （3）已知465y ≥，30z ≥，求疫苗能通过测试的概率.19．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其外接圆半径为R ，面积21sin 6S R B =，()2cos 3A C -=. （1）求B ；（2）若3b =，求a c +的值.20．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.21．设函数()xae f x x=，0a ≠.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若22a e ≥，证明：()ln 0x f x -<. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.参考答案1．A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得U A ð. 【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以U A =ð{}2,7.故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z ，进而求得z 对应点所在象限. 【详解】 依题意()()()122i i z ii i -⋅-==--⋅-，所以2z i =-+，对应点为()2,1-，在第二象限.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，先求得f ⎝⎭的值，再求得3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log3332f-⎛===-⎝⎭，12122f f f-⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题. 4．D【解析】【分析】利用交点坐标求得m的值，由此求得C的长轴长.【详解】由于方程22211x ym m+=-为椭圆，且焦点()0,1在y轴上，所以22210111mmm mm m>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=⎩，解得2m=，所以a==2a=故选：D【点睛】本小题主要考查根据椭圆焦点坐标求参数，考查椭圆长轴长的求法，属于基础题.5．A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．B【解析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键． 7．D 【解析】 【分析】根据已知条件求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法求得数列11{}n n a a +的前10项的和. 【详解】依题意等差数列{}n a 满足5127a a -=，35a =，所以11114271252a d a a a d d +-==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭.所以数列11{}n n a a +的前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L . 故选：D 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查裂项求和法，属于基础题. 8．B 【解析】 【分析】根据方差表示的意义选出正确选项. 【详解】方差表示数据波动性的大小、稳定程度.由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B 选项.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图估计方差的大小，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】 利用()'fx 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】 依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】根据()f x 的奇偶性、周期性、单调性和零点对四个结论逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由于()()()()cos sin cos sin f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，故①正确.由于()()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x f x πππ+=+-+=+=，所以()f x 是周期为2π的周期函数，故②正确.当[],0x π∈-时，sin 0x ≤，所以()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，且3,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[],0π-上先减后增，③错误. 当[],x ππ∈-时，令()0f x =，得cos sin x x =，所以tan 1x =±，且,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点12,44x x ππ=-=，所以④正确.综上所述，正确结论的编号有①②④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性和零点，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.12．B 【解析】 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin 3a R R A ===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =所以侧棱长12AA ===.在三角形1A BC中，11A B AC ===，而BC =，所以三角形1A BC 的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C A B A C B B B V V --=得11311232232h ⨯⨯=⨯，解得65h =.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.13．2 【解析】 【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 14．90︒ 【解析】 【分析】利用向量夹角公式，计算出向量0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，由此判断出向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角为90︒.【详解】由于()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r ，所以()()3,22,30AB BC ⋅=⋅-=u u u r u u u r ，所以向量AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为90︒. 故答案为：90o 【点睛】本小题主要考查向量坐标的线性运算，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15．1274【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩证得数列{}n a 是等比数列，由此求得7S 的值.【详解】由于32n n a S +=，当1n =时11232,16a a ==.当2n ≥时113232n n n n a S a S --+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()11120,22n n n n a a a a n ---==≥.所以数列{}n a 是首项为16，公比为12的等比数列，所以77116112721412S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-.故答案为：1274【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的前n 项和公式，属于基础题. 16【解析】 【分析】根据勾股定理求得,a c 的关系式，化简后求得双曲线离心率. 【详解】取AB 的中点E ，连接2EF ，由于22||||AF BF =，所以12BF EF ⊥，而1OA BF ⊥，所以2//OA EF ，OA 是三角形12F F E 的中位线.1F A AE EB ==，设1F A x =，则由双曲线的定义可得2122,322AF a x BF BF x a x a =+-=--=，所以2x a =，24AF a =，所以2EF ===，在三角形12F F E 中，由勾股定理可得()()()22242a c +=，化简得227c a =，所以ce a==【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由1BB AB ⊥，AB BC ⊥证得AB ⊥平面11BCC B ，由此证得平面1O AB ⊥平面11B EC . （2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ，通过证明四边形11EFO C 是平行四边形，证得11//O F C E ，由此证得：1//C E 平面1O AB . 【详解】（1）∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1BB AB ⊥，AB BC ⊥， 又1BB BC B =I ，且1BB ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B∴AB ⊥平面11BCC B ，即AB ⊥平面11B EC .因为AB Ì平面1O AB ，所以平面1O AB ⊥平面11B EC .（2）取AB 中点F ，连接1O F ，AC ，EF ， 则//EF AC ，12EF AC =，111//2O C AC ，1112O C AC =，所以11//EF O C ，且11EF O C =∴11EFO C 是平行四边形，∴11//O F C E ， ∵1O F ⊂平面1O AB ，且1C F Ë平面1O AB ， ∴1//C F 平面1O AB .【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.18．（1）660x =，y z +=500（2）90（3）23【解析】 【分析】（1）根据“在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率”列方程，解方程求得x 的值，进而求得y z +的值.（2）根据C 组占总数的比例，求得C 组抽取的个数.（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）∵在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. ∴0.332000x=，∴660x =， ()20006737766090500y z +=-+++=.（2）应在C 组抽取的个数为500360902000⨯=. （3）由题意疫苗有效需满足7790200010%z ++≤⨯，即33z ≤，C 组疫苗有效与无效的可能情况有(465,35) (466,34)(467,33) (468,32)()469,31()470, 30，共6种结果，有效的可能情况有(467,33) (468,32)()469,31()470, 30， 共4种结果， ∴疫苗能通过测试的概率4263P ==. 【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题.19．（1）23B π=（2）a c += 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和与差的余弦公式，求得()cos A C +的值，由此求得A C +的大小，进而求得B 的大小.（2）根据正弦定理求得R ，由此求得ac ，结合余弦定理列方程，求得228a c +=，化简后求得a c +的值. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得211sin sin 26ac B R B =，即2112sin 2sin 26R A R C R ⨯⨯=， ∴1sin sin 12A C =， ∵()2cos cos cos sin sin 3A C A C A C -=+=， ∴7cos cos 12A C =， ∴()1cos cos cos sin sin 2A C A C A C +=-=， ()0,A C π+∈Q∴3A C π+=，23B π=.（2）2sin b R B ==，R ∴2113ac R ==， 由已知及余弦定理得2222292cos 1b a c ac B a c ==+-=++，228a c +=，∴()222210a c a c ac +=++=，a c +=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题. 20．（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】 【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2. 【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=，同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+. ∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-，∴直线AB 过定点1(,2)2. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求得导函数()'f x ，对a 分成0,0a a <>两种情况进行分类讨论，求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()ln xae F x x x=-，利用导数证得()F x 的最大值小于零，由此证得不等式成立. 【详解】（1）()'2(1)x ae x f x x-=，0x ≠， 若0a <，则当1x <且0x ≠时，()'0fx <，当1x >时，()'0f x >，∴()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；若0a <，则()f x 在(),0-∞，()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）令()ln x ae F x x x =-（0x >），则()()2'211xx x x a x e axe ae F x x x x---=-=， 当01x <≤时，()'0F x >，()F x 单调递增，∴()()10F x F ae ≤=-<，当1x >时，()()()2'1[]1x a x xF x e x a x -=-⋅--， 令()()1xx g x e a x =--，则()()2'101x g x e a x =+>-，()222220ae g e a a-=-=≥（22a e ≥）， 由于22a e≥，所以222,11ae ae ≥-≥，所以，存在m 使得22222111112111ae ae m ae ae ae -+<<==+≤---. 由2211ae m ae <<-得()21m e a m >-. 故取()1,2m ∈，且使()21m e a m >-，即()21m e a m -<--，而2m e e <，所以有()()2201m mg m e e e a m =-<-=-.∵()()20g m g ⋅<，∴()g x 存在唯一零点()01,2x ∈， ∴()F x 有唯一的极值点且为极大值点、最大值点()01,2x ∈，由()00g x =可得()0001x x e a x =-，∴()0001ln 1F x x x =--， ∵()()020'01101F x x x =+>-，∴()0F x 为()1,2上的增函数， ∴()()202ln 2ln 2102ae F x F <=-≤-<（22a e ≥），∴()0F x <. 综上可知，当 22a e≥时，()ln 0x f x -<. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3πθθ-= 【解析】 【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值. 【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=， 直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l的距离5d ==.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考理科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4 2．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2 3．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A．2 B ．12C ．3log 2-D ．3log 2 4．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 5．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ）A ．45B ．60C ．75D ．1007．要得到函数2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 22y x x =的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 8．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种9．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，1a =，4sin 3cos c A C =，ABC ∆的面积为32，则c =（ ）A ．B ．4C ．5D ．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=L （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．211．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）12．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0122x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则32z x y =+的最小值为______．14．若椭圆C ：22211x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为_______． 15．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则12x x +=_______；12sin()x x -=_______．16．在四棱锥P ABCD -中，PAB是边长为ABCD 为矩形，2AD =，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____．三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是n a 与1n a 的等差中项. （1）证明：{}2n S 为等差数列，并求n S ；（2）设11n n nb S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足5n T ≥的最小正整数n 的值. 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1A BC ∆均为等腰直角三角形，190BAC BAC ∠=∠=︒，侧面11BAA B 是菱形.（1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1A BC C --的余弦值.19．某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值μ和样本方差2σ；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记X 为体重在[)55,65的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重Y 近似服从正态分布2(,)N μσ.若220(.5)944P Y p μσσ-≤<+>，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线2y x =-上动点，过点作M 抛物线C :2x y =的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，N 为AB 的中点.（1）证明:MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点?若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 21．已知函数()1ln f x a x x=+. （1）讨论()f x 的零点个数；（2）证明：当02e a <≤时，()12xe f x ->. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 250ρθρθ+-=. （1）写出1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()14,M θ，()24,N θ（以上两点坐标均为极坐标，102θπ<<，202θπ<<），使点M 、N 到l 的距离都为3？若存在，求12||θθ-的值；若不存在，请说明理由.23．已知a ，b 均为正数，且1ab =.证明：（111()2a b≥+； （2）22(1)(1)8b a a b+++≥.参考答案1．B【解析】【分析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证.【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.2．C【解析】【分析】 由532ai i a i+=-+，可得()()()5323232ai a i i a a i +=+-=++-，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a 的值.【详解】 解：532ai i a i+=-+Q ，()()()5323232ai a i i a a i ∴+=+-=++- 53232a a a =+⎧∴⎨-=⎩，解得：1a =. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把2i 当成1进行运算.3．A【解析】【分析】根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭的值，再求得f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】依题意12331log log 3332f -⎛===- ⎝⎭，1212322f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.4．C【解析】【分析】求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r ，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r . 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r的夹角为90︒.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b⋅=r r r r r r 进行计算. 5．A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6．B【解析】【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算．【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =． 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．7．A【解析】【分析】 运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭以及2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,按四个选项分别对2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭变形，整理后与2sin 23y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭对比，从而可选出正确答案.【详解】解：1sin 22sin 22sin 22sin 2233y x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 222sin 222sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=-==-. 对于A ：可得2sin 22sin 22sin 22333y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.8．B【解析】【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种本题正确选项：B【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.9．D【解析】【分析】由正弦定理可知4sin 4sin 3cos c A a C C ==,从而可求出34sin ,cos 55C C ==.通过13sin 22ABC S ab C ∆==可求出5b =，结合余弦定理即可求出c 的值. 【详解】解：4sin 3cos c A C =Q ，即4sin 3cos c A a C =4sin sin 3sin cos A C A C ∴=，即4sin 3cos C C =.22sin cos 1C C +=Q ，则34sin ,cos 55C C ==. 1133sin 12252ABC S ab C b ∆∴==⨯⨯⨯=，解得5b =.222242cos 15215185c a b ab C ∴=+-=+-⨯⨯⨯=，c ∴= 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角C 的正弦值余弦值. 10．C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+，所以()()()()1232020f f f f ++++=L ()()()()12341f f f f +++=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11．D 【解析】 【分析】作出图象，取AB 中点E ，连接EF 2，设F 1A ＝x ，根据双曲线定义可得x ＝2a ，再由勾股定理可得到c 2＝7a 2，进而得到e 的值 【详解】解：取AB 中点E ，连接EF 2，则由已知可得BF 1⊥EF 2，F 1A ＝AE ＝EB ， 设F 1A ＝x ，则由双曲线定义可得AF 2＝2a +x ，BF 1﹣BF 2＝3x ﹣2a ﹣x ＝2a ，所以x ＝2a ，则EF 2＝，由勾股定理可得（4a ）2+（a ）2＝（2c ）2， 所以c 2＝7a 2，则e ca== 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有,,a b c 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 12．B 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义写出()f x 在,A B 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出()122112x a x e =-，令函数()()()22102xg x x e x =-≤ ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案. 【详解】解：当0x ≤ 时，()2f x x x a =++，则()'21f x x =+;当0x >时，()ln x x a f x =-则()'ln 1f x x =+.设()()()()1122,,,A x f x B x f x 为函数图像上的两点， 当120x x << 或120x x <<时，()()12''f x f x ≠，不符合题意，故120x x <<. 则()f x 在A 处的切线方程为()()()2111121y x x a x x x -++=+-；()f x 在B 处的切线方程为()()2222ln ln 1y x x a x x x -+=+-.由两切线重合可知 21221ln 121x x x a a x +=+⎧⎨--=-⎩ ，整理得()()12211102x a x e x =-≤.不妨设()()()22102xg x x e x =-≤ 则()()22',''12xxg x x e g x e =-=- ，由()''0g x = 可得11ln 22x =则当11ln 22x =时，()'g x 的最大值为11111'ln ln 022222g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭. 则()()2212x g x x e =-在(],0-∞ 上单调递减，则()102a g ≥=-. 故选:B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a 和x 的函数关系式.本题的易错点是计算. 13．2 【解析】 【分析】作出可行域，平移基准直线320x y +=到()0,1处，求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线320x y +=到()0,1处时，z 取得最小值为2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．【解析】 【分析】由焦点坐标得211m m --=从而可求出2m =，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长. 【详解】解：因为一个焦点坐标为()0,1，则211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-由22211x y m m +=-表示的是椭圆，则0m >，所以2m =，则椭圆方程为22132y x +=所以a a ==故答案为:【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略0m >，从而未对m 的两个值进行取舍. 15．23π45- 【解析】【分析】求出()sin(2)6f x x π=-在()0,π 上的对称轴，依据对称性可得12x x +的值;由2123x x π=-可得121sin(cos(2)6)x x x π-=--，依据13sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求出1cos(2)6x π-的值.【详解】 解：令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,32k x k Z ππ=+∈ 因为120x x π<<<，所以12,x x 关于3x π=对称.则122233x x ππ+=⨯=. 由2123x x π=-，则121112sin(sin(2)sin(2)cos(2)36)26x x x x x ππππ-=-=--=-- 由120x x π<<<可知，1112,6612x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为13125<< ，所以12662x πππ<-<，则14cos(2)65x π-==，即124sin()5x x -=-故答案为: 23π;45-. 【点睛】本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断126x π-的取值范围，导致求出14cos(2)65x π-=±.在求()()sin f x A x =+ωϕ的对称轴时，常用整体代入法，即令,2x k k Z πωϕπ+=+∈ 进行求解. 16．28π 【解析】 【分析】做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=o ，从而在平面PFG 中建立坐标系，则,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积. 【详解】解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知,PF AD PG BC ⊥⊥，则sin 603,PF PG ====o设PAD ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线PF 上且123PO PF =设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191cos 2322PFG +-∠==-⨯⨯，120PFG ∴∠=o .在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于x 轴的直 线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥设()1,O y，则113,,,2222O P ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，因为1OO PF ⊥，所以2213122y -=+解得y =则2PO ==所以球的表面积为2428ππ⨯=⎝⎭.故答案为: 28π.【点睛】本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解. 17．（1）见解析，n S （2）最小正整数n 的值为35. 【解析】 【分析】（1）由等差中项可知12n n nS a a =+，当2n ≥时，得1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理后可得2211n n S S --=，从而证明{}2n S 为等差数列，继而可求n S .（2）n b ==，则可求出1n T15≥，即可求出n 的取值范围，进而求出最小值. 【详解】解析：（1）由题意可得12n n n S a a =+，当1n =时，11112S a a =+，∴211a =，11a =， 当2n ≥时，1112n n n n n S S S S S --=-+-，整理可得2211n n S S --=，∴{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，∴()2211n S S n n =+-=，n S .（2）由（1）可得n b ==，∴15n T ==≥L ，解得35n ≥， ∴最小正整数n 的值为35. 【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了n a 与n S 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有n a 与n S 的递推关系时，常代入11,1n n n a n a S S -=⎧=⎨-⎩ 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数. 18．（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，通过证明1AOA AOB ∆≅∆，得1A O AO ⊥，结合1A O BC ⊥可证线面垂直，继而可证面面垂直.（2）设2BC =，建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 和平面1BCC 的法向量，继而可求二面角的余弦值. 【详解】解析：（1）取BC 中点O ，连接AO ，1A O ，由已知可得AO BC ⊥，1A O BC ⊥，112AO AO BC OB ===， ∵侧面11BAA B 是菱形，∴1AB AA =，1AOA AOB ∴∆≅∆，190AOB AOA ∴∠=∠=︒， 即1A O AO ⊥，∵AO BC O =I ，∴1A O ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面1A BC .（2）设2BC =，则11AO AO BO OC ====，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ，()10,0,1A ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()111,0,1AA CC ==-u u u r u u u u r，1(1,1,1)C --，()11,2,1BC =--u u u u r ，()1,1,0BA =-u u u r ，设平面1ABC 的法向量为(),,m x y z =u r， 则200x y z x y --+=⎧⎨-=⎩，令1x =得()1,1,3m =u r .同理可求得平面1BCC 的法向量()1,0,1n =r ，∴cos ,11m n <>==u r r.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.19．（1）60；25（2）见解析，2.1（3）可以认为该校学生的体重是正常的.见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可求出平均值μ和样本方差2σ；（2）由题意知X 服从二项分布()3, 0.7B ，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，进而可求出分布列以及数学期望；（3）由第一问可知Y 服从正态分布()60,25N ，继而可求出()5070P Y ≤<的值，从而可判断. 【详解】 解：（1）()()()47.572.50.004552.567.50.026557.562.50.07560u =+++⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯+()()()()2226047.572.5600.0260 52.52 67.5 602 0.13 σ=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦-⨯+-+⨯⎣⎦-()22 6057.562.560)[.525(]03+-+-⨯≈（2）由已知可得从全校学生中随机抽取1人，体重在[55,65)的概率为0.7. 随机拍取3人，相当于3次独立重复实验，随机交量X 服从二项分布()3, 0.7B ， 则()03300.70.30.027P X C ==⨯⨯=，()12310.70.30.189P X C ==⨯⨯=，()22320.70.30.441P X C ==⨯⨯=，()330330.70.30.343P X C ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望30.7 2.1EX =⨯=（3）由题意知Y 服从正态分布()60,25N ，则()()2250700.960.9544P Y P Y μσμσ-≤<+=≤<=>， 所以可以认为该校学生的体重是正常的. 【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计，考查了二项分布，考查了正态分布.注意，统计类问题，如果题目中没有特殊说明，则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同. 20．（1）见解析（2）直线AB 过定点1(,2)2. 【解析】 【分析】（1）设出,A B 两点的坐标，利用导数求得切线MA 的方程，设出M 点坐标并代入切线MA 的方程，同理将M 点坐标代入切线MB 的方程，利用韦达定理求得线段AB 中点N 的横坐标，由此判断出MN x ⊥轴.（2）求得N 点的纵坐标N y ，由此求得N 点坐标，求得直线AB 的斜率，由此求得直线AB 的方程，化简后可得直线AB 过定点1(,2)2. 【详解】（1）设切点()211,A x x ，()222,B x x ，'2y x =，∴切线MA 的斜率为12x ，切线MA ：()21112y x x x x -=-，设(),2M t t -，则有()211122t x x t x --=-，化简得211220x tx t -+-=，同理可的222220x tx t -+-=.∴1x ，2x 是方程2220x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，122x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()2222121212112222N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,22N t t t -+.∵221212122ABx x k x x t x x -==+=-，∴直线AB ：()()2222y t t t x t --+=-，即122()2y t x -=-，∴直线AB 过定点1(,2)2. 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出()21'ax f x x-=，分别以当0a <，0a =，0a >时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令()ln 1h x ax x =+，结合导数求出()11()12a h x h e e ≥=-+≥；同理可求出()112x g x xe -=满足()()112g x g ≤=，从而可得11ln 12x ax x xe -+>，进而证明()12x e f x ->. 【详解】解析：（1）()21'ax f x x-=，()0,x ∈+∞， 当0a <时，()'0f x <，()f x 单调递减，10f a e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，1110aa f e e ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，此时()f x 有1个零点； 当0a =时，()f x 无零点；当0a >时，由()'0f x <得1(0,)x a ∈，由()'0f x >得1(,)x a ∈+∞，∴()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴()f x 在1x a =处取得最小值1()ln f a a a a=-+，若ln 0a a a -+>，则a e <，此时()f x 没有零点； 若ln 0a a a -+=，则a e =，此时()f x 有1个零点； 若ln 0a a a -+<，则a e >，()10f >，求导易得21()0f a >，此时()f x 在211(,)a a，1(,1)a 上各有1个零点.综上可得0a e ≤<时，()f x 没有零点，0a <或a e =时，()f x 有1个零点，a e >时，()f x 有2个零点.（2）令()ln 1h x ax x =+，则()()'1ln h x a x =+，当1x e >时，()'0h x >；当10x e<<时，()'0h x <，∴()11()12a h x h e e ≥=-+≥.令()112x g x xe -=，则()()11'12x g x e x -=-， 当01x <<时，()'0g x >，当1x >时，()'0g x <，∴()()112g x g ≤=， ∴()()h x g x >，11ln 12x ax x xe -+>，∴11ln 2x e a x x -+>，即()12xe f x ->. 【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明. 22．（1）4ρ=，43250x y +-=（2）存在，124||3πθθ-= 【解析】 【分析】（1）先求得曲线C 的普通方程，利用伸缩变换的知识求得曲线1C 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式，求得直线l 的直角坐标方程.（2）求得曲线1C 的圆心和半径，计算出圆心O 到直线l 的距离，结合图像判断出存在,M N 符合题意，并求得12||θθ-的值.【详解】（1）曲线C 的普通方程为221164x y +=，纵坐标伸长到原来的2倍22121164y x ⎛⎫⎪⎝⎭+=，得到曲线1C 的直角坐标方程为2216x y +=，其极坐标方程为4ρ=， 直线l 的直角坐标方程为43250x y +-=. （2）曲线1C 是以O 为圆心，4为半径的圆， 圆心O 到直线l的距离5d ==.∴由图像可知，存在这样的点M ，N ，则//MN l ，且点O 到直线MN 的距离532OD =-=，∴23MON π∠=，∴124||3πθθ-=.【点睛】本小题主要考查坐标变换，考查直线和圆的位置关系，考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化，考查参数方程化为普通方程，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由222a b ab +≥进行变换，得到222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将22(1)(1)b a a b+++化为()()()33222a b a b a b +++++，然后利用基本不等式，证得不等式成立. 【详解】（1）222a b ab +≥，两边加上22a b +得()22222()a b a b a b ab +⎛⎫+≥+= ⎪⎝⎭，即222112()a b b a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时取等号，11()2a b≥+. （2）()22223333(1)(1)2121112()()b a b b a a a b b a a b a b a a a b b b ab a b a b++++=+++++=++++=++()()22248a b a b ab +++≥+=.当且仅当1a b ==时取等号. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。