2010年7月线性代数02198t8

2010年7月自考线性代数（经管类）试卷及答案第一篇：2010年7月自考线性代数(经管类)试卷及答案全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184 说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.＊一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中α（为A的列向量，若|B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=(C)ii=1,2,3）A.-12 C.6B.-6D.12 解析: αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列0 -2 0 2 10 5 0 0 0 -2 0-2 3 -2 32.计算行列式=（A)A.-180 C.120B.-120 D.180 解析: =3*-2*10*3=-1803.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=（C)1A.B.2 2C.4 解析:=23D.8 | A |=8*1/2=44.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（B)n+1个n维向量线性相关A.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1可由α2，α3，α4线性表示B.α1，α2，α3，α4线性相关D.α1不可由α2，α3，α4线性表示B.3n-r(A)=解向量的个数=2,n=6 D.5 5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=（C)A.2 C.4 6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则（C)A与B合同⇔r(A)=r(B)⇔PTAP=B, P可逆 A.A与B相似 C.A与B等价B.| A |=| B | D.A与B合同7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=（D)，| A |=所有特征值的积=0 A.0 C.3B.2A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E |=4*3*2 D.248.若A、B相似，则下列说法错误的是（B)．．A.A与B等价 C.| A |=|B |B.A与B合同D.A与B有相同特征值A、B相似⇔A、B特征值相同⇔| A |=| B |⇔r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=（D)A.-2 C.2B.0 D.4σβT=0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（B)，所有特征值都大于0，正定； A.A正定B.A半正定所有特征值都小于0，负定；C.A负定D.A半负定所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cb cb a ;解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a cb a ;解222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++.解yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n ); 解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项. 解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44, (-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf decd bd ae ac ab ---;解ef cf bf de cd bd ae ac ab ---ec b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=.(4)dc b a100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1.5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 .(2)yx z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+=yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b b a a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d );证明444422221111d c b a d c b a d c b a)()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++-++------=)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n+a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明. 当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立.假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111)1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a aD D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 00000 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a aan n n nn a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得ax x a ax x a a x x a aa a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 0000 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 1111)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)n nnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112;解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==,所以∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |,4321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,28411235122412111512-=-----=D , 42611135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100650000611==D ,11455101065100065000601000152-==D , 70351100650000601000051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D ,2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k.解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k.8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k.解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A-1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1. |P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000320012101301300120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A , 故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311;解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267. (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TT B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1TT T B A X ,从而⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BAX . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式? 解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x , 故方程组的解为。

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi(i=1,2,3)为A的列向量，若|B|=|[α1 2α2，α2，α3]|=6，则|A|=（）A.-12B.-6C.6D.122．计算行列式（）A.-180B.-120C.120D.1803．设A= ，则|2A*|=（）A.-8B.-4C.4D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则R(A)=（）A．2B．3C．4D．56．设A、B为同阶矩阵，且R(A)=R(B)，则（）A．A与B相似B．|A|=|B|C．A与B等价D．A与B合同7．设A为3阶方阵，其特征值分别为2，l，0则|A 2E|=（）A．0B．2C．3D．248．若A、B相似，则下列说法错误的是（）A．A与B等价B．A与B合同C．|A|=|B|D．A与B有相同特征值9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t)正交，则t=（）A．-2B．0C．2D．410．设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，l，0，则（）A．A正定B．A半正定C．A负定D．A半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1l.设A= ,B= ，则AB=________.12．设A为3阶方阵，且|A|=3，则|3A-l|=________.13．三元方程x1 x2 x3=0的结构解是________.14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______．15．设A为5阶方阵，且R(A)=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______．16．设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，l，则|5A-1|=_______．17．若A、B为同阶方阵，且Bx=0只有零解，若R(A)=3，则R(AB)=________．18．二次型f(x1，x2，x3)= -2x1x2 -x2x3所对应的矩阵是________.19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1= ，α2= ，且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.20.设α= ，则A=ααT的非零特征值是_____.三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．计算5阶行列式D=22.设矩阵X满足方程X =求X.23.求非齐次线性方程组的结构解.24.求向量组α1=（1，2，3，4），α2=（0，-1，2，3），α3=（2，3，8，11），α4=（2，3，6，8）的秩.25.已知A= 的一个特征向量 =（1，1，-1）T，求a,b及所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.26.用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)= 为标准形，并写出所用的正交变换.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1，α1 α2，α2 α3也是Ax=0的基础解系。

《线性代数》试题一（课程代码：02198）一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若矩阵A满足Aˆ2-5A=E，则矩阵（A-5E）ˆ-1=【】A、A-5EB、A+5EC、AD、-A2.设矩阵A是2阶方阵,且det（A）=3,则det（5A）=【】A、3B、15C、25D、753.设矩阵A,B,X为同阶方阵,且A,B可逆,若A（X-E）B=B,则矩阵X=【】A、E+Aˆ-1B、E+AC、E+Bˆ-1D、E+B4.设矩阵A1，A2均为可逆方阵，则以下结论正确的是【】5.设αˇ1,αˇ2,…,αˇk是n维列向量,则αˇ1,αˇ2,…αˇk线性无关的充分必要条件是【】A、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意两个向量线性无关B、存在一组不全为0的数lˇ1,lˇ2,…,lˇk,使得lˇ1αˇ1+lˇ2αˇ2+…+lˇkαˇk≠0C、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中存在一个向量不能由其余向量线性表示D、向量组αˇ1,αˇ2,…,αˇk中任意一个向量都不能由其余向量线性表示6.设α=（aˇ1,aˇ2,aˇ3）,β=（bˇ1,bˇ2,bˇ3）,其中aˇ1,aˇ2,aˇ3不全为0,且bˇ1,bˇ2,bˇ3不全为0,则αˇTβ的秩为【】A、0B、1C、2D、37.设三阶方阵A的特征值分别为1/2，1/4，3，则Aˆ-1的特征值为【】A、2，4，1/3B、1/2,1/4,1/3C、1/2,1/4,3D、2，4，38.二次型f（X1,X2,X3）=（X1+X2+X3）2的矩阵是【】9.以下关于正定矩阵叙述正确的是【】A、正定矩阵的特征值一定大于零B、正定矩阵的行列式一定小于零C、正定矩阵的乘积一定是正定矩阵D、正定矩阵的差一定是正定矩阵10.设A为3阶矩阵，且|A|=3，则|（-A）ˆ-1|=【】A、-3B、-1/3C、1/3D、3二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、在五阶行列式中，项的符号为____________。

全国2012年7月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，T α表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，秩(A )表示矩阵A 的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A =032030257⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则|A |=( )A ．-12B ．0C ．12D ．212．设A =123[,,]ααα，其中(1,2,3)i i =α是三维列向量，若|A|=1，则1123[4,23,]-=αααα () A ．-24 B ．-12C ．12D ．243．设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是( )A ．若|AB |=0，则A =0或B =0 B ．若|AB |=0，则|A |=0或|B |=0C ．若AB =0，则A =0或B =0D ．若AB ≠0，则|A |≠0或|B |≠04．设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是( )A ．(AB )-1=A -1B -1 B ．(A +B )-1=A -1+B -1C ．11|()|||-=AB AB D ．|(A +B )-1|=|A -1|+|B -1|5．设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX =0必( )A ．无解B ．只有唯一解C ．有无穷解D ．不能确定6．设A =123111021003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩(A )=( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是．．正交阵的是( )A ．A -1B ．2AC ．A 2D ．A T8．设三阶矩阵A 有特征值0、1、2，其对应特征向量分别为ξ1、ξ2、ξ3， 令P =[ξ3，ξ1，2ξ2]，则P -1AP =( )A ．200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9．设A 、B 为同阶方阵，且秩(A )=秩(B )，则( )A ．A 与B 等阶 B ．A 与B 合同C ．|A |=|B |D ．A 与B 相似10．实二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是( ) A ．负定 B ．正定C ．半正定D ．不定二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

全国2018年7月自学考试线性代数试题课程代码：02198试题符号说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A －1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A ，B ，C 是三个n 阶方阵，若AB ＝AC ，则必有（ ）A ．A ＝0B ．B ＝C C ．|B|＝|C|D ．|AB|＝|AC|2．设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|A T B －1|＝（ ）A ．－2B ．－21 C ．21 D ．23．设A 为4×5矩阵，若矩阵A 的秩为3，则秩（－3A T ）为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设向量α＝（－1，2，－2，4），则下列向量是单位向量的是（ ）A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 5．二次型22212143x x )x ,x (f +=的规范形是（ ）A ．2221y y -B ．2221y y --C ．2221y y +-D ．2221y y + 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）＝4，则齐次线性方程组A x ＝0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．向量空间W ＝｛（x 1,x 2,0,x 4）|x 1+x 2=0｝的维数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛12349．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4000330022201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设A 、B 分别为m×n 和m ×k 矩阵，向量组（Ⅰ）是由A 的行向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的行向量构成的向量组，则必有（ ）A ．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性无关B ．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关D ．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性相关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ）A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数知识点总结大一上线性代数是数学中的一个重要分支，它研究了多个变量之间的线性关系。

在大一上学期，我们学习了线性代数的一些基础知识点，下面将对这些知识点进行总结。

1. 矩阵和向量矩阵是由数字排列成的矩形阵列，用于表示线性关系。

向量是一种特殊的矩阵，它只有一列。

2. 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数量乘法是线性代数中常见的运算。

此外，我们还学习了矩阵的乘法和转置。

3. 线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。

解线性方程组可以使用消元法、矩阵法或克莱姆法则等方法。

4. 矩阵的行列式行列式是一个用于表示矩阵的标量值，它具有重要的几何和代数意义。

行列式的计算可以使用递推法或拉普拉斯展开等方法。

5. 矩阵的逆对于某些矩阵，存在一个逆矩阵，使得它们的乘积为单位矩阵。

逆矩阵的存在与否可以使用行列式来判断。

6. 向量空间和子空间向量空间是由一组向量构成的集合，满足一定的条件。

子空间是向量空间的一个子集，同时也是向量空间。

7. 线性相关性和线性无关性向量的线性相关性与线性无关性是研究向量组内向量之间关系的重要概念。

线性相关的向量组可以通过线性组合得到零向量，而线性无关的向量组则不能。

8. 特征值和特征向量特征值和特征向量是研究矩阵变换的重要工具。

特征值表示矩阵变换的缩放因子，而特征向量表示变换方向。

9. 对角化和相似矩阵对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。

相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。

10. 正交性和正交变换正交性是指向量之间的垂直关系。

正交变换是一种保持向量长度不变且保持向量之间角度不变的变换。

以上是线性代数知识点在大一上学期的内容总结。

通过学习这些知识，我们可以更好地理解和应用线性代数在数学和科学问题中的重要性。

希望这个总结对您的复习和理解有所帮助。

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。

2、闭卷考试。

评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。

(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+(C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数试题02198答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．已知2阶行列式122121221232232a a a a a b b b b b -+=-=-+，则（ A ）A ． -6B ． -2C ．2D ． 6 2．若矩阵A 中有一个r 阶子式不为零，且所有1r +阶子式都不为零，则（ B ）A ．()r A r <B ．()r A r =C ．()1r A r >+D ． ()1r A r =+3．设向量组(1,0,0,),(0,1,0)T T αβ==，下列向量中可以表示,αβ线性组合的是（ C ）A ．(2,1,1)TB ．(2,0,1)TC ．(2,1,0)TD ． (0,1,1)T4．设线性方程组1231231232000x x x kx x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k 的值为（ D ）A ． -2B ． -1C ．1D ． 25．设12312001A x ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且A 的特征值为1，2，3，则x=（ D ） A ． -2 B ． 2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)6．行列式sin cos sin cos sin cos a a a a aa+-+= 17．设10110111111xa x a a --=+=-，则 -2 8．设A 为2阶矩阵，若将A 第二列的2倍加到第一列得到矩阵1234⎛⎫⎪⎝⎭，则A=3254-⎛⎫⎪-⎝⎭9．设A ，B 均为2阶可逆矩阵，则13A O O B -⎛⎫= ⎪⎝⎭11113A O O B ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭10．已知向量组123(1,1,0,),(3,0,),(1,2,3)T T T k ααα===线性相关，则k = -911．设12,a a 是非齐次线性方程组Ax b =的解，12,k k 是常数，若1122k a k a +也是Ax b =的一个解为，则12k k += 112．设线性方程组123231323x x x ax x b x x c -+=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有解，则数,,a b c 应满足2c a b =+ 13．设3阶矩阵A 的特征值为1，-2，3，则2A E += 100 14．若n 阶矩阵A 满足320E A A +=，则必有一个特征值为2315．二次型1,231223(,)f x x x x x x x =+的矩阵为1002110221002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16. 计算行列式1231230100010001a a ab D b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭。

2010年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、单项选择题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12B.-6C.6D.122．计算行列式=----32320200051020203（ ） A.-180B.-120C.120D.1803．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ） A.-8B.-4C.4D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B |C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0B ．2C ．3D ．248．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ） A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B |D ．A 与B 有相同特征值9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

02198 线性代数 复习资料一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使TPP A =；所有特征值大于零)第一章 行列式关键字：行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 克莱默法则一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由2n 个数(,1,2,,)ij a i j n =组成的n阶行列式111212122212n nn n nna a a a a aD a a a =是一个算式，特别当1n=时，定义1111||D a a ==；当2,n ≥时1111121211111nn n j jj D a A a A a A a A ==+++=∑，其中111(1)j j j A M +=-，1j M 是D 中去掉第1行第j 列全部元素后按照原顺序拍成的1n -阶行列式，称为元素1j a 的余子式，1j A 为元素1j a 的代数余子式。

全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题线性代数试题（课程代码：02198）说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，T a 表示向量a 的转置，E 表示单位矩阵，)det(A 表示方阵A 的行列式A -1表示矩阵A 的逆矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，A 表示方阵A 的行列式，R(A )表示矩阵A 的秩,a 表示a 的长度。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1. 对任意n 阶方阵A 、B 总有( )A. BA AB =B. BA AB =C. T T T B A AB =)(D. 222)(B A AB = 2. 设矩阵A=100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，则A -1等于（ ）A. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B. 10001200013⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C. 130********⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D. 12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3. 设A ，B 是同阶正交矩阵，则下列命题错误．．的是（ ） A. 1-A 也是正交矩阵 B. *A 也是正交矩阵 C. AB 也是正交矩阵 D. B A +也是正交矩阵4. 设n 阶方阵A 满足02=A ，则必有（ ）A. E A +不可逆B. E A -可逆C. A 可逆D. 0=A 5. 设有m 维向量组(I)：n a a a ,,,21 ，则 ( ) A. 当n m <时，(I)一定线性相关 B. 当n m >时，(I)一定线性相关 C. 当n m <时，(I)一定线性无关 D. 当n m >时，(I)一定线性无关6. 若向量组（Ⅰ）：r ,,,ααα 21可由向量组（Ⅱ）：s ,βββ,, 21线性表示，则必有（ ）A. 秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ） B. 秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C. r ≤s D. r>s7. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=C T AC. 则（ ） A. A 与B 相似 B. A 与B 不等价 C. A 与B 有相同的特征值 D. A 与B 合同8. 设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确的是( )A. x Ax 2=B. x x A ==-211 C. x x A 21=- D. x x A 42= 9. 设A 是n 阶正定矩阵，则二次型x T (-A)x （ ）A. 是不定的B. 当n 为奇数时是正定的C. 当n 为偶数时是正定的D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. 2334⎛⎝⎫⎭⎪ B. 3426⎛⎝⎫⎭⎪C. 100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪D. 111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。