浙江理工大学线性代数经典试题合集

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28分)在每小题列出①四个选项中只有 一个是符合题目要求◎，请将其代码填在题后①括号内。

错选或未选均无分。

A. -6 C. 24. 设A 是方阵，如有矩阵关系式 AB =AC ,则必有( A. A = 0C. A =0 时 B =C5. 已知3X 4矩阵A O 行向量组线性无关，则秩( A. 1 C. 3 D.46.设两个向量组a 1, a 2,…，a s 和B 1, 3 2,…，3 s 均线性相关，则()A. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 a 什入2 a 2+…+入s a s =0和入1 3什入2 3 2+…入s 3 s =0B. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1+ 3 1) +入2 ( a 2+ 3 2) +…+入s ( a s + 3 s ) =0C. 有不全为0 O 数入1,入2,…，入s 使入1 ( a 1- 3 1) +入2 ( a 2- 3 2)+…+入s ( a s - 3 s ) =0D. 有不全为0 O 数入1,入2，…，入s 和不全为0 O 数卩1 ,卩2,…，卩s 使入1 a 计入2a 2+…+入 s a s =0 和卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+ …+ 卩 s 3 s =0 7. 设矩阵A O 秩为r ,则A 中( )A. m+n C. n-a11a12a13a11=m ,a 21 a 22a 23 a 21a11 a 12 ' a13a 21 a 22 亠a 23B. - (m+n)D. m- n等于(2•设矩阵A =3.设矩阵 ■‘3 -1 21 0 -1 V-2 14丿中位于 (1 , 2)0兀素是(B. 6 D.-)B. B = C 时 D. | A0 时 B =C A T)等于( )B. 2 1•设行列=n ，则行列式(10 2 VP 0 A. C.0，则A -1等于(3丿,A *是A ①伴随矩阵，则 A A =A.所有r- 1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，n 1,A. n什n 2是Ax=0 O—个解B.所有r- 1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0n 2是其任意2个解，则下列结论错误O是1 1B. —n 1+ n 2是Ax=b O—个解C. n i -n 2 是 Ax=O ①一个解D.2 n 1- n 2 是 Ax=b ①一个解 9•设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ） A.秩（A ）＜n B.秩（A ）=n- 1 C. A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10•设A 是一个n （＞3）阶方阵，下列陈述中正确①是（ ）A. 如存在数入和向量a 使A a =入a,则a 是A ①属于特征值 入①特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E - A ） a =0，则入是A ①特征值C. A O 2个不同①特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A O 3个互不相同①特征值， a 1, a 2, a 3依次是A ①属于入i ,入2,入3①特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关 11. 设入o 是矩阵A ①特征方程①3重根，A ①属于入°①线性无关①特征向量①个数为 k ，则必有（ ） A. k ＜ 3B. k ＜3C. k=3表示|A |中元素a j ①代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则2 218. 设向量（2, -3, 5）与向量（-4, 6, a ）线性相关，贝y a= 一 . 19. ______________ 设A 是3X 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b O 2个不同①解，则它 ◎通解为 .20.设A 是m x n 矩阵，A ①秩为r （＜n ），则齐次线性方程组 Ax=0①一个基础解系中含有解①个 数为D. k>312. 设A 是正交矩阵，则下列结论错误①是（A.| A|2必为 1 -1 ■ T C. A = A13. 设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，A. A 与B 相似B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同①特征值D. A 与B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵①为（）i'2 3:A. I I 母4丿'1 0 0C. 0 2-3©-35」）B.| A 必为1D. A ①行（列）向量组是正交单位向量组 B =C AC .则（）4 6」、1 12 0第二部分 、填空题（本大题共 10小题，每小题 小题①空格内。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（ ）4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。

（ ）5.若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分) 1.设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

①n2②12-n ③12+n ④42. n 维向量组s ααα，，， 21（3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ ）。

①s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关②s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4.设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .4. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200012021A ，求10A .3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4.λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2.证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题1. 无关；2. 3 ；3. 1 ；4. 3 ；5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120 ， 4，5，6 ， 615141,, . 三、计算题1. 解：ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+aaa a a ab b b b a 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==.2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+---1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη. .令()321,,ηηη=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(. 3. 解：因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191， 故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设21321,,,,ββααα是四维列向量，且m =1321,,,βααα，n =3221,,,αβαα，则=+21123,,,ββααα（ ）。

大学生校园网— 线性代数综合测试题共3页第1页×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 1. 若若022150131=---x，则=c ____________________。

2．若齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x x x x x x x x l l 只有零解，则l 应满足。

3 3．已知矩阵．已知矩阵n s ij c C B A ´=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。

阶矩阵。

44．矩阵÷÷÷øöçççèæ=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 1. 若行列式若行列式D 中每个元素都大于零，则0ñD 。

（）2. 2. 零向量一零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（） 3. 3. 向量组向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。

（）4. úúúúûùêêêêëé=01100000010010A ，则A A =-1。

（）5. 5. 若若l 为可逆矩阵A 的特征值，则1-A的特征值为l 。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分) 1. 1. 设设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （）。

线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。

项。

4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。

9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。

(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。

2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。

改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。

线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .4. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200012021A ，求10A .3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4.λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2.证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题1. 无关；2. 3 ；3. 1 ；4. 3 ；5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120 ， 4，5，6 ， 615141,, . 三、计算题1. 解：ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+aaa a a ab b b b a 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==.2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+---1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη. .令()321,,ηηη=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(. 3. 解：因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191， 故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设21321,,,,ββααα是四维列向量，且m =1321,,,βααα，n =3221,,,αβαα，则=+21123,,,ββααα（ ）。

线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制 4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）47. 若方程b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A ）b AX =必有无穷多解 （A ）0=AX 必有非零解 （C ）0=AX 仅有零解 （D ）0=AX 一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B R A R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 .3. 设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A .4. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .6. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，T A 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题1. 计算行列式ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200012021A ，求10A .3. 设三阶方阵A 满足i i i A αα= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4.λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2.证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB .证明A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题1. 无关；2. 3 ；3. 1 ；4. 3 ；5. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120 ， 4，5，6 ， 615141,, . 三、计算题1. 解：ba bbbb b a b b b b b a b b b b ba ----+----+aaa a a ab b b b a 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==.2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+---1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη. .令()321,,ηηη=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(. 3. 解：因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191， 故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ，（1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B R A R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131),(βA B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778 此时2)()(==B R A R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设21321,,,,ββααα是四维列向量，且m =1321,,,βααα，n =3221,,,αβαα，则=+21123,,,ββααα（ ）。

无穷级数自测题一、选择题（每题5分）1、当n 充分大时，有 ，则由∑∞=1n nb发散，可确定∑∞=1n na发散。

（ ）（A ）n n b a ≥ （B ）n n b a ≥|| （C ）||n n b a ≥ （D ）||||n n b a ≥2、幂级数nn nn n n x ba b a ∑∞=+-0，()b a <<0的收敛半径为 （ ） （A ）b （B ）a 1 （C ）b1（D ）半径与b a ,无关 3、设a 为正实数，若级数∑∞=1!n n n n n a 收敛，级数∑∞=--+222n an n n 发散，则 （ ） （A ）e a > （B ）e a = （C ）e a <<21 （D ）210≤<a4、设()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=πππx x x x f 21201的正弦级数∑∞=1sin n nnx b 和函数为()x s ，则=⎪⎭⎫⎝⎛π25s （ ） （A ）1 （B ）12-π （C ）4π（D ）0 5、幂级数()()() -⋅-+⋅--⋅-+--5314313312311443322x x x x 在其收敛区间的两个端点处（ ）（A ）全发散 （B ）全收敛 （C ）左端点收敛，右端点发散（D ）左端点发散，右端点收敛二、填空题（每题5分） 1、()∑∞=-111n p nn，当 时绝对收敛，当 时条件收敛。

2、若幂级数∑∞=0n n nx a在3-=x 处条件收敛，则其收敛半径为 。

3、幂级数()∑∞=⋅-122n nnn x 的收敛域为 。

4、()=-∑∞=11.0n nn。

5、把()11+=x x f 展开为()1-x 的幂级数，其收敛区间为 。

三、讨论级数()∑∞=-11n nn na ，()0>a 的敛散性。

（10分）四、求级数∑∞=1ln 2n nn x n的收敛域。

（10分）五、将函数()()221x x f -=展开成x 的幂级数。

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每题 2 分，共 10 分）131 1.若05x 0，则__________。

122x1x2x302．若齐次线性方程组x1x2x30 只有零解，则应知足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C( c ij ) s n，知足AC CB ，则 A与 B 分别是阶矩阵。

a11a124．矩阵Aa21a22的行向量组线性。

a31a325．n阶方阵A知足A23A E0，则A1。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每题 2 分，共 10 分）1.若队列式 D 中每个元素都大于零，则 D 0。

（）2.零向量必定能够表示成随意一组向量的线性组合。

（）3.向量组 a1， a2，， a m中，假如 a1与 a m对应的重量成比率，则向量组a1， a2，， a s线性有关。

（）01004.A 1 000，则A1A。

（）000100105.若为可逆矩阵 A 的特点值，则 A 1 的特点值为。

( )三、单项选择题 (每题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每题 2 分，共 10 分)1.设 A 为n阶矩阵，且 A2，则 AA T（）。

① 2n② 2 n 1③ 2n 1④ 42.n 维向量组1，2，，s（3s n ）线性没关的充要条件是（）。

①1，2，，s中随意两个向量都线性没关②1，2，，s中存在一个向量不可以用其他向量线性表示③ 1，2，，s中任一个向量都不可以用其他向量线性表示④1，2，，s 中不含零向量3. 以下命题中正确的选项是 ( )。

① 随意 n 个 n 1维向量线性有关 ② 随意 n 个 n 1维向量线性没关 ③ 随意 n 1个 n 维向量线性有关④ 随意 n 1个 n 维向量线性没关4. 设 A ， B 均为 n 阶方阵，下边结论正确的选项是( )。

① 若 A ， B 均可逆，则 A B 可逆② 若 A ， B 均可逆，则 AB 可逆③ 若 A B 可逆，则A B 可逆④ 若 AB 可逆，则A ，B 均可逆5. 若 1， 2，3，4 是线性方程组A0 的基础解系，则1 2 34 是 A0 的（ ）① 解向量② 基础解系 ③ 通解④ A 的行向量四、计算题 (每题 9 分，共 63 分)x a b c d1. 计算队列式a xbcd 。