第三章 圆的基本性质 章末总结提升.pptx

利用切线作角平分线
利用切线的性质，可以过圆外一点作圆的切线，并利用切线作角 平分线。
05
圆的定理与证明
圆的定理
圆的定义
平面上所有与给定点（圆心）的距离等于给定长度（半径）的点 组成的图形。
圆ห้องสมุดไป่ตู้三点确定一个圆
不在同一直线上的三点可以确定一个唯一的圆，且该圆经过这三点 。
直径所对的圆周角是直角
圆的直径所对的圆周角是直角，即90度。
当直线与圆没有公共点时，该直线称为圆的离线 。
04
圆的切线与切线长
圆的切线定义与性质
圆的切线定义
切线与圆只有一个公共点，这个 公共点叫做切点。
切线的性质
切线到圆心的距离等于圆的半径 ，切线与半径垂直，切线与过切 点的半径有相同的斜率。
切线长的计算
切线长的定义
01
切线长是从圆心到切点的线段长度。
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占平面的大小 。
面积的计算公式
A = πr^2，其中A表示圆的面积， r表示圆的半径，π是一个常数约等 于3.14159。
面积的应用
面积的计算在日常生活和科学研究 中有着广泛的应用，例如计算圆的 面积可以帮助我们了解物体的尺寸 和大小。
周长与面积的关系
周长与面积的关系
在圆上任取一点，该点到圆心的距离都等于半径的长度。
03
圆是中心对称图形
将圆心与圆上任意一点连线，这条线段的中点也在圆心，因此圆关于圆
心对称。
圆的基本性质
01
02
03
04
直径是半径的两倍
在一个圆中，直径的长度是半 径的两倍。
弦与直径的关系
通过圆心的弦是直径，其他弦 与直径垂直平分。

谢谢 大家
A
B
C
不在同一直线上的三点确定一个圆
新课讲解
典例分析
例 如图所示，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线 AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是
（ C）
A.1
B.2
C.3
D.4
分析：（1）四个点中取三个点的组数； （2）去掉三点共线的组数.
新课讲解
解：过不在同一条直线上的三点确定一个圆，在点A， B，C，D 四个点中取三个点的方法有：点A，B，C； 点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 又 因A，B，C 三点在同一条直线上，故过这四 个点中的任意三个点能画圆的个数为3.
点的距离为半径作圆即可．
新课讲解
求三角形的外接圆半径的方法： 求三角形的外接圆半径时, 最常用的方法是作出圆心 与三角形顶点的连线( 即半径)，或延长使这条半径 变为直径, 将求半径转化为直角三角形中求边的长.
新课讲解
典例分析
例 如图所示，△ ABC 内接于⊙ O，∠ C=45 °， AB=4，求⊙ O 的半径.
图2
定理可求出半径．
新课讲解
解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r， ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°. ∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42. 解得r1＝2 2 ，r2＝－2 2 (不符合题意，舍去)． ∴⊙O的半径为2 2 .
图1
新课讲解
方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径 为r. ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°. 又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°. 图2 ∴BD＝AB＝4. 在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2 解得r1＝2 2 ，r2＝－2 2 (不符合题意，舍去)． ∴⊙O的半径为2 2 .

2020/1/1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16
1.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A＝50°,∠D－∠B ＝40°.求∠B,∠C,∠D的度数.
•∠B=70°， •∠C=130°， •∠D=110°.
2020/1/1
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2.已知:如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的 ☉O分别交两腰AB,AC于点D,E,连结 DE.求证:DE∥BC.
2020/1/1
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谢谢欣赏！
2020
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23
• 如图，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一条线上。
• 连接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°
• ∴P、L、B、N四点共圆
• ∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA
• 同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA
• 根据方法2，P在△ABC外接圆上
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6.判断命题”圆内接平行四边形一定是矩形”的真 假,并给出证明.
• 真命题,证明提示如下:连结AC,BD
• (如图),由已知得AB∥CD,
• ∴ C»D »AB
• 同理可得»AD B»C
• •
∴ »AB »AD C»D
∴BAD

1 2
B¼CD


B»C 180
1 180 90 2
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7
例1 已知：如图3-47，AD是△ABC的外角∠EAC的 平分线，与△ABC的外接圆交于点D.求证：DB=DC.
• 分析： 要证明DB=DC，只需证 明∠DBC=∠DCB.

解:
23÷2÷20=0.575cm
答: 这棵红衫树的半径每年增 加0.575cm
1.如图：CD为⊙O直径，AE交⊙O于B，且AB=OC， ∠A=20o,求∠DOE的度数.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
以OA为半径的圆上。
矩形－－四点共圆
练一练 1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固 定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒 以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是 所画的圆.
根据圆的形成定义
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以 很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵20年 树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉 树的半径每年增加多少?.
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22 在 Rt △AOE中
·
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
圆的有关概念和性质
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个

圆是生活中常见的图形，许多物
英镑
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
O
r
·
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
B
I
D F A O
E C
⌒ ⌒ ⌒ ACD,ACF,ADE,ADC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC,AE,AF,AD
⌒
1、请写出图中所有的弦； 2、请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
A
B
O D
C
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦；
议一议
小明和小强为了探究 ⊙O 中有没有最长的弦，经过 了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最 长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
A
O
B
A
O
B
C
D
C
D
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 它们是否能够完全重
合？并思考什么情况下两个圆能够完
全重合？半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2
O1
判断题
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
半径相等的两个圆是等圆.
三、巩固新知
用一用
应用新知
如图,一 根 5m 长的绳子 , 一端栓在柱子 上,另一端栓 着一只羊,请 画出羊的活动 区域.
5
5m
4m
o

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )

圆的基本性质及其应用 ppt课件
欢迎来到本次课程《圆的基本性质及其应用ppt课件》！在这里，我们将深入 探讨圆的定义、特点和应用领域，以及学习如何应用这些知识解决实际问题。
圆的定义和特点
1 定义
Hale Waihona Puke 圆是平面上的一条曲线，其上的所有点到一个固定点的距离相等。
2 特点
圆具有无限多的对称轴、等边、等角、等弧长等特点。
工程测量
测量工程中，圆形的特性常被用于建筑布线和 设备安装。
运动竞技
许多运动场地如田径运动场和游泳池都有圆形 的特点。
数学研究
数学中的几何学和分析学等学科中，圆的性质 和应用是重要的研究领域。
实例和案例分析
1
实例1
如何使用圆的特性设计一个圆形花坛？
案例分析
2
为了修建一个标志性的圆形建筑，设计
师如何应用圆的知识和技术？
圆的基本元素和表达方式
圆心
圆的中心点，通常表示为O。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线 段，通常用r表示。
直径
通过圆心的线段，通常用d表示。
圆内角和圆心角
1
圆内角
位于圆内的两个射线之间的角，其顶点
圆心角
2
位于圆心。
位于圆周上的两个射线之间的角，其顶
点位于圆心。
3
关系
圆内角的度数是对应的圆心角的一半。
弧长和扇形面积
弧长
圆上一段弧的长度，可以通过圆的半径和圆心角来 计算。
扇形面积
由圆心角所对的圆弧和两个半径所围成的区域的面 积。
圆的切线和切点
1 切线
与圆相切于一点的直线。
2 切点
切线与圆相切的点。
3 性质

6.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为 2 3 .
2021/6/20
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21
C
D
B
O
O
F
A
E
C
A
B
8.已知:如图,AB,CD是⊙O直径D,D是AC中点,AE与CDE交于F,
OF=3,则BE= 6 .
9.如图,DE ⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则 CD= 9 ,OC= 4 .
判断：
C
C
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
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12
试一试:
如图,已知⊙O的半径OA长为5, 弦AB的长8,OC⊥ACB于=BCC,则OC 的长为 ___3____.
B.6cm
C.8cm
D.10cm
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3.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,DC⊥AB于E,则下列结论不一 定正确的是( C )
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.BD=BC
4.已知⊙O半径为2cm,弦AB长为 2 3 cm,则这条弦的中点到 这条弦所对的劣弧中点的距离为( A )
AC
B
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8
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
A
●O
●O
B

(2)由圆的定义可知:圆是一条封闭的曲线,不是圆面.确定圆的两
个条件是圆心和半径,其中圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
4
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
例1 下列条件中,能确定圆的是(
)
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,以5 cm长为半径
D.经过已知点A
解析:根据圆的定义对各选项进行判断:A,点O为圆心,半径不确
知识点二
例2 如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,∠BCD=30°,下列
结论:①AE=BE;②OE=DE;③AB=BC;④BE=
DE.其中正确的是
3
(
)
A.① B.①②③
C.①③
D.①②③④
20
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
解析:根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出
中的弦有AB,BC,CE共三条.
答案:B
8
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
抓住“弦是端点在圆上的线段”是解决本题的关键.
9
教材新知精讲
知识点一
综合知识拓展
知识点二
例3 如图,在☉O中,半径有
有
,弦有
,劣弧有
有
.
,直径
,优弧
解析:根据半径、直径、弦、劣弧和优弧的定义分别求解.
答案:OA,OB,OC,OD AB AB,BC , , , ,
知识点二
知识点一圆的轴对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
名师解读:不能错误地说成“圆的任何一条直径都是圆的对称轴”,

旋转变换的应用
在几何、代数、三角函数 等数学领域中都有广泛应 用。
相似变换
相似变换定义
将图形放大或缩小后，再进行平 移或旋转。
相似变换性质
图形的大小和形状发生变化，但相 对关系保持不变。
相似变换的应用
在几何、代数、三角函数等数学领 域中都有广泛应用。
05
CATALOGUE
圆的解析几何
圆与直线的位置关系
圆的整理课件
目录
• 圆的定义与性质 • 圆的周长与面积 • 圆的方程 • 圆的几何变换 • 圆的解析几何 • 圆的综合应用
01
CATALOGUE
圆的定义与性质
圆的定义
圆上三点确定一个圆
在一个平面内，有三个不共线的点，以这三个点为端点画三条线段，再以这三 条线段为邻边作一个封闭的图形，这个图形就是圆。
分解为圆或圆弧。
圆在物理学中的应用
03
例如，计算圆形物体的转动惯量、角速度等物理量。
圆的数学竞赛问题
圆的轨迹问题
研究物体在圆周上的运动轨迹，以及如何利用圆的性质解决相关 问题。
圆的对称性问题
探讨圆关于某点的对称性，以及如何利用对称性解决几何问题。
圆的极值问题
研究圆上的点到某点的距离的最值，以及如何利用极值定理解决 相关问题。
圆的一般方程是圆的标准方程的扩展 ，它描述了所有满足 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$的点 $(x,y)$的集合。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x=acostheta+bsintheta$，$y=bcostheta-asintheta$，其中 $(a,b)$是圆心，$theta$是参数。
圆的参数方程通过引入参数$theta$，将圆的坐标表示为参数的函数形式，方便 进行圆的几何性质分析和计算。

周长的推导
周长是由圆的直径和π值 相乘得到的，即周长 = πd，其中d是圆的直径。
圆的面积计算
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占平面的大小。
面积的计算公式
面积 = πr^2。
面积的推导
面积是由圆的半径和π值相乘得到的，即面积 = πr^2。
周长与面积的关系
周长与面积的关系
周长和面积是圆的重要属 性，它们之间存在一定的 关系。
割线的定义与性质
割线的定义
割线是与圆有两个公共点的直线 。
割线的性质
割线与圆心的距离大于半径，割线 与圆有两个交点。
割线的应用
在几何学中，割线常用于计算圆的 面积、周长等。
切线与割线的应用
切线与割线的性质在几何学中有着广泛的应用，如计算圆的面积、周长、弧长等。
在实际生活中，切线与割线的应用也十分常见，如建筑设计、机械制造等领域。
圆上两点之间的距离为直径
02
圆上任意两点之间的距离等于直径，直径是经过圆心的弦。
圆心到圆上任一点的距离相等
03
圆心到圆上任一点的距离都等于半径，半径是连接圆心和圆上
任意一点的线段。
圆的基本性质
01
直径所对的圆周角为直角
直径所对的圆周角等于直角，即90度。
02
弦心距定理
弦心距、半径和半弦长满足勾股定理，即弦心距的平方加上半径的平方
周长与面积的关联
周长的增加会导致面积的 增加，反之亦然。
周长与面积的差异
周长和面积的计算公式不 同，它们所代表的意义也 不同。
01
圆的切线与割线
切线的定义与判定
切线的定义
切线的性质
切线是与圆只有一个公共点的直线。

(NH－PH)2＋(NH＋PH)2＝2(PH2＋NH2)＝2R2.
又 AB2＝4R2，∴PMA2＋B2PN2 ＝24RR22 ＝12
∴PMA2＋B2PN2 的值不发生变化，为定值12 .
12．如图，AC为半圆的直径，弦AB＝3， ∠BAC＝30°，点E，F分别为AB和AC上的动
点，则BF＋EF的最小值为________．
【解析】作 B 点关于直 径 AC 的对称点 B′，过 B′点作 B′E⊥AB 于 E，交 AC 于 F， 如图，则 FB＝FB′， ∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E， 此时 FB＋FE 的值最小，∵∠BAC＝30°， ∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝ AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题 为真命题的是( B )
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平 行四边形
B ． 若 四 边 形 OABC 是 平 行 四 边 形 ， 则 ∠ABC ＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
16．(12分)如图，在⊙O中，AB是直径，P为 AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°.
(1)若AP＝2，BP＝6，求MN的长；
(2)若MP＝3，NP＝5，求AB的长； 解：(1)作 OH⊥MN 于 H，
连结 ON，可求得 MN＝2NH＝2 14 ； (2)作 OH⊥MN 于 H，连结 ON， 可求得 AB＝2ON＝2 17 ；
6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
︵
AB
，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40

是的，折枝的命运阻挡不了。人 世一生 ，不堪 论，年 华将晚 易失去 ，听几 首歌， 描几次 眉，便 老去。 无论天 空怎样 阴霾， 总会有 几缕阳 光，总 会有几 丝暗香 ，温暖 着身心 ，滋养 着心灵 。就让 旧年花 落深掩 岁月， 把心事 写就在 素笺， 红尘一 梦云烟 过，把 眉间清 愁交付 给流年 散去的 烟山寒 色，当 冰雪消 融，自 然春暖 花开， 拈一朵 花浅笑 嫣然。
1 像我这样的人……
最近总是单曲循环的播放着这首 《像我 这样的 人》， 听很久 都不会 觉得腻 ，或许 这首歌 最大的 魅力就 是共鸣 。
像我这样的人…… 比如：
“像我这样优秀的人
人生在世，草木一秋。一闪一灭，转 瞬之间 。你我 都轻如 云烟， 渺如微 当花瓣 离开花 朵，暗 香残留 ，香消 在风起 雨后， 无人来 嗅”忽 然听到 沙宝亮 的这首 《暗香 》，似 乎这香 味把整 间屋子 浸染。 我是如 此迷恋 香味， 吸进的 是花儿 的味道 ，吐出 来的是 无尽的 芬芳。 轻轻一 流转， 无限风 情，飘 散，是 香，是 香，它 永远不 会在我 的时光 中走丢 。
可证OE＝OF即可
16．(10分)如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，AE交⊙O 于点B，AB等于⊙O的半径，∠DOE＝78°，求∠A的度数．
设∠A＝x，∵∠A＋∠E＝∠DOE＝78°，∴∠E＝78°－x，∵OB＝ OE，∴∠OBE＝∠A＋∠BOA＝2∠A.∴2x＝78°－x，∴x＝26°， 即∠A＝26°
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老 旧的故 事，试 图找回 曾经的 踪迹， 却渐渐 明白了 流年， 懂得了 时光。 过去的 沟沟坎 坎，风 风雨雨 ，也装 饰了我 的梦， 也算是 一段好 词，一 幅美卷 ，我愿 意去追 忆一些 旧的时 光，有 清风， 有流云 ，有朝 露晚霞 ，我确 定明亮 的东西 始终在 。静静 感念， 不着一 言，百 转千回 后心灵 又被唤 醒，于 一寸笑 意中悄 然绽放 。